考点03 互斥事件和独立事件（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点03 互斥事件和独立事件 考点一：互斥事件 1、互斥事件 不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 2、互斥事件的加法公式 如果事件A，B互斥，那么事件发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即 3、对立事件 如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为，对立事件概率公式． 考点二：独立事件 1、相互独立事件的概念 （1）概念：一般地，如果事件是否发生不影响事件发生的概率，那么称A，B为相互独立事件． （2）结论：A，B相互独立． 2、相互独立事件的性质 如果事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立． 题型一：互斥事件和对立事件的判定 （1）要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件． （2）考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析． 对立一定互斥，互斥不一定对立。易错把互斥当成对立，忽略两事件是否涵盖全部结果；混淆并事件、同时发生的逻辑关系，乱用概率加法公式。 1．掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 2．已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C． D．的概率一定等于0.5 3．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，错误的个数为（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 5．至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 题型二：互斥、对立事件的概率公式 只有当A，B互斥时，公式才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式才成立． 易错不分互斥乱用加法公式；把互斥直接当成对立。 1．甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 3．某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 4．某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 5．若事件与相互独立，，则（    ） A．0.9 B．0.85 C．0.7 D．0.6 题型三：概率公式的综合应用 复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的 概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式求解． 综合应用易混淆古典概型、互斥与对立公式适用条件；乱用互斥加法公式，忽略事件可同时发生。 1．一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 2．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 3．甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： (1)两人中只有一人成功破译的概率； (2)密码被成功破译的概率． 4．一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 5．由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 题型四：事件独立性的判断 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 易错把互斥当成独立；凭主观感觉判独立不代公式；忽略条件概率判断法，有关联还误判独立。 1．掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 2．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 3．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 5．一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（   ）    A．C与D是对立事件 B．A与D是互斥事件 C．B与D是相互独立事件 D．A与C是相互独立事件 题型五：相互独立事件概率的计算 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 易错把互斥当成独立乱用公式；多个独立事件漏乘概率；有先后关联却强行用独立乘法；不会用 1− 都不发生概率求至少一件发生，计算繁琐易出错。 1．已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 2．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 3．某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______． 4．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 5．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为_______ 题型六：相互独立事件概率的综合应用 求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 综合应用中易混淆独立与互斥，乱套乘法、加法公式；多事件独立时漏乘、错乘概率；遇到 “至少、至多” 问题不善于用对立事件转化硬算；有条件关联事件误判为独立直接相乘；分步与分类概率混用，逻辑层次混乱致结果出错。 1．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 2．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 3．为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 4．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 1．如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 2．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 4．若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 6．某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 7．甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 8．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 9．（多选题）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 10．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 11．（多选题）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 12．事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 13．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 14．如图，已知开关闭合后是否正常工作是相互独立的，且正常工作的概率分别为，现在闭合，则灯亮的概率是_____________________. 15．某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 16．某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 17．西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 18．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点03 互斥事件和独立事件 考点一：互斥事件 1、互斥事件 不能同时发生的两个事件称为互斥事件． 2、互斥事件的加法公式 如果事件A，B互斥，那么事件发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即 3、对立事件 如果两个互斥事件必有一个发生，那么称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为，对立事件概率公式． 考点二：独立事件 1、相互独立事件的概念 （1）概念：一般地，如果事件是否发生不影响事件发生的概率，那么称A，B为相互独立事件． （2）结论：A，B相互独立． 2、相互独立事件的性质 如果事件与相互独立，那么与，与，与也都相互独立． 题型一：互斥事件和对立事件的判定 （1）要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件． （2）考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析． 对立一定互斥，互斥不一定对立。易错把互斥当成对立，忽略两事件是否涵盖全部结果；混淆并事件、同时发生的逻辑关系，乱用概率加法公式。 1．掷两枚骰子，设事件两骰子出现点数之和为奇数，两骰子出现点数之和为偶数，则（   ） A．事件和事件是互斥但不对立事件 B． C．事件和事件是对立事件 D．以上均不对 【答案】C 【解析】由互斥事件和对立事件的定义知，事件和事件互斥且对立，所以A错误，C正确， 又（必然事件），所以B错误. 2．已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C． D．的概率一定等于0.5 【答案】C 【解析】选项A：若与是互斥事件，则，若是对立事件，则（样本空间）， 题干中未说明事件，，之间的关系，无法确定与是否互斥、对立，故A错误. 选项B：若事件，，互斥，则， 若事件，，存在包含关系，则概率会小于1，因此不一定是必然事件，故B错误. 选项C：. 又，所以． 该结果满足，故C正确. 选项D：. 只有当事件，互斥时，，此时， 因此的概率不一定等于0.5，故D错误. 3．先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论： ①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 ②事件“至少2次正面朝上”与事件“至少2次反面朝上”是互斥事件 ③事件“至少1次正面朝上”与事件“4次反面朝上”是对立事件 ④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是 以上结论中，错误的个数为（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】对于①，可以从不同角度定义样本空间， 例如：以4次抛掷的有序结果为样本点，构成个等可能样本点的样本空间，是古典概型； 若以正面出现的次数为结果，构成含有5个样本点的样本空间， 但各样本点不是等可能的，不是古典概型； 由于可以构建不同的样本空间，故①正确； 对于②，事件“至少2次正面朝上”为2正2反，3正1反，4正， 事件“至少2次反面朝上”为2反2正，3反1正，4反，不互斥，故②错误； 对于③，事件“至少1次正面朝上”为1正3反，2正2反，3正1反，4正， 与事件“4次反面朝上”互为对立事件，故③正确； 对于④，基本事件样本总数为，事件“1次正面朝上3次反面朝上”有种， 所以事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是，故④正确， 所以，错误的个数为1个. 4．从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【解析】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ， 事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误； ，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误； ，和C不对立，故选项D错误. 5．至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【解析】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 题型二：互斥、对立事件的概率公式 只有当A，B互斥时，公式才成立；只有当A，B互为对立事件时，公式才成立． 易错不分互斥乱用加法公式；把互斥直接当成对立。 1．甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 2．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【解析】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 3．某个部件由三个元件按图所示的方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则该部件正常工作．各个元件正常工作的概率均为，且相互独立，那么该部件正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记事件元件正常工作，记事件该部件正常工作， 则，且、、相互独立， 由题意可得， 所以 . 4．某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若摸出的2个球颜色相同则中奖，则两个球的颜色依次为红红或白白， 所以中奖的概率为. 5．若事件与相互独立，，则（    ） A．0.9 B．0.85 C．0.7 D．0.6 【答案】C 【解析】由题， 因为事件与相互独立，所以事件与相互独立， 所以， 故，， 所以. 故选：C. 题型三：概率公式的综合应用 复杂的互斥事件概率的求法有两种：一是直接求解，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的 概率的和，运用互斥事件的概率的加法公式计算；二是间接求解，先找出所求事件的对立事件，再用公式求解． 综合应用易混淆古典概型、互斥与对立公式适用条件；乱用互斥加法公式，忽略事件可同时发生。 1．一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【解析】从袋中任取1球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为，，，， 则有，， ． 解得，，． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，． 故答案为：. 2．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是．试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【解析】从袋中任取一球，记事件“取到红球”，“取到黑球”，“取到黄球”和“取到绿球”分别为，则事件两两互斥， 依题意，，则，解得， 所以取到黑球的概率是，取到黄球的概率是，取到绿球的概率是． 3．甲乙两人独立破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求： (1)两人中只有一人成功破译的概率； (2)密码被成功破译的概率． 【解析】（1）记“甲破译出密码”为事件A，“乙破译出密码”为事件B， 则，， 设“甲乙只有一人破译出密码”为事件C，则， 故两人中只有一人破译出密码的概率为. （2）密码未被破译的概率为， 密码被成功破译的概率为． 4．一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 【解析】（1）记事件任取1球为红球，事件任取1球为黑球，事件任取1球是绿球， 显然彼此互斥． 所以取出1个球是红球或黑球的概率为． （2）取出一个球不是绿球与是绿球为对立事件，． 5．由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书时，等候付款的人数及概率如下表： 排队人数 0 1 2 3 4 5人及以上 概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 求： (1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？ (2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？ 【解析】（1）设“5人及以上排队等候付款”为事件，由于所有概率的和为1， 则，即5人及以上排队等候付款的概率是0.04． （2）设“至多有1人排队”为事件，“没有人排队”为事件，“恰有1人排队”为事件，则事件与互斥，，，，所以，即至多有1人排队等候付款的概率是0.26． 题型四：事件独立性的判断 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 易错把互斥当成独立；凭主观感觉判独立不代公式；忽略条件概率判断法，有关联还误判独立。 1．掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则（    ） A．B包含A B．A与B对立 C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】D 【解析】对于A，因为，，因此不包含，故A错误； 对于BC，因为，， 因此与不是对立事件，也不是互斥事件，故BC错误； 对于D，由于，，而， 故，所以， 所以A与B相互独立，故D正确． 2．有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项不正确的是（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥 【答案】B 【解析】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，，，，，，共种情况； 第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况； 第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况； 则两次取出球的数字之和为的所有可能为，，，共种情况； 两次取出球的数字之和为的所有可能为，共种情况； 记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为， “两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为， 则，，，. A：当甲丙同时发生时，取出的恰是，此时， 故甲丙相互独立，故A正确； B：当甲乙同时发生时，取出的恰是，此时，， 故甲乙不相互独立，故B错误； C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确； D：当第二次取出的球的数字是2时，第一次不可能取2，即两次取出的数字之和不能为4，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确； 故选：B. 3．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，设事件“向上的点数是奇数”，事件“向上的点数是2或4”，事件“向上的点数是2或5”，则下列说法正确的是 （    ） A．与对立 B．与互斥 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】D 【解析】， 对于A：因为，所以不对立，A错误； 对于B：因为当向上的点数为时，事件同时发生，所以不互斥，B错误； 对于C：因为事件“向上的点数是2”，，， ，所以与不相互独立； 对于D：因为事件“向上的点数为”，，又， 所以，所以与相互独立. 故选：D. 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面向上”，事件“第二枚正面向上”，则下列说法正确的是（ ） A．与互斥 B． C．与对立 D．与相互独立 【答案】D 【解析】抛掷两枚质地均匀的硬币的样本空间(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 对于A、C：事件可以同时发生，因此事件与不互斥，不对立，故A、C错误； 对于B：，故B错误； 对于D：，故与相互独立，故D正确. 故选：D. 5．一枚质地均匀的正四面体的骰子如图所示，其四个面分别标有数字1，2，3，4.现抛掷该骰子两次，并记录骰子着地一面的数字.设事件A表示“第一次记录的数字为偶数”，事件B表示“第一次记录的数字为奇数”，事件C表示“两次记录的数字之和为5”，事件D表示“两次记录的数字之和为6”，则（   ）    A．C与D是对立事件 B．A与D是互斥事件 C．B与D是相互独立事件 D．A与C是相互独立事件 【答案】D 【解析】由题意知，， 事件有，共4个，， 事件有，共3个，. 易知与是互斥事件，但不是对立事件，与可同时发生，不是互斥事件， ，与不是相互独立事件， ，与是相互独立事件. 故选：D. 题型五：相互独立事件概率的计算 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 易错把互斥当成独立乱用公式；多个独立事件漏乘概率；有先后关联却强行用独立乘法；不会用 1− 都不发生概率求至少一件发生，计算繁琐易出错。 1．已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 【答案】0.79/ 【解析】依题意，甲、乙、丙没有人解决问题的概率为， 所以甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是. 2．小明参加一项积分晋级赛，规则如下：初始积分为10分，每场比赛胜则加5分，负则减5分，平则积分不变；当积分达到0分（淘汰出局）或20分（晋级成功）时终止比赛，否则继续比赛；若三场比赛后仍未终止，则判定为晋级成功并终止比赛.已知每场比赛结果相互独立，小明每场比赛胜、负、平的概率分别为，，，则比赛终止时小明积分为0分的概率为________. 【答案】 【解析】要计算比赛终止时小明积分为0分的概率，仅需考虑三场以内终止且得到0分的所有情况： 情况1：第二场比赛终止，得到0分： 初始积分10分，要第二场得到0分，必须前两场两连败：第一场负，积分变为（未终止），第二场再负，积分变为（终止）； 概率为：； 情况2：第三场比赛终止，得到0分： 前两场未终止，且前两场结束后积分为5分，第三场负得到0分， 积分为5分说明总变化为，只能是1负1平，共两种排列且两种排列都不会在前两场提前终止， 前两场得到5分的概率为：，第三场负的概率为，因此该情况概率： ； 总概率为两种情况相加：. 3．某班级举行套玩具趣味游戏，奖品只有拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物，分三堆摆放（每堆一个种类，个数足够），每人三个圈，一个圈只能在一堆奖品套一次．小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品的概率依次为，则小麟同学恰好套中两个奖品的概率为______． 【答案】/0.25 【解析】记小麟同学套中拉布布盲盒，小熊玩偶，校庆吉祥物这三个奖品为事件,,, 所以小麟同学恰好套中两个奖品的概率为 4．甲、乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为，乙同学一次投篮命中的概率为，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲、乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是______. 【答案】 【解析】甲一次投篮不命中的概率为， 乙一次投篮不命中的概率为， ∴两人都不命中的概率为， ∴至少有一人命中的概率为． 5．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出1个红球的概率是，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球的概率为_______ 【答案】 【解析】记从甲袋中摸出红球为事件，从乙袋中摸出红球为事件，从两袋中各摸出1个球，则至少有一个红球为事件， 易知事件发生与否对事件发生的概率没有影响，所以相互独立， 所以． 题型六：相互独立事件概率的综合应用 求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 综合应用中易混淆独立与互斥，乱套乘法、加法公式；多事件独立时漏乘、错乘概率；遇到 “至少、至多” 问题不善于用对立事件转化硬算；有条件关联事件误判为独立直接相乘；分步与分类概率混用，逻辑层次混乱致结果出错。 1．为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对名青年选手进行专项成绩考核（满分分），考核成绩的频率分布直方图如图所示． (1)从得分在中，按，分层，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人进行考核，求至少有人分数低于分的概率； (2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为三个等级．若在两项考核中，至少一项为级，且另一项不低于级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得等级的概率分别是；乙在每项考核中取得等级的概率分别是．求甲、乙能同时获得参赛资格的概率． 【解析】（1）由题意得，， 解得． 因为按、分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人， 所以从成绩在中抽出的人数为，分别记为M、N、Q， 从成绩在中抽出的人数为：，分别记为m、n， 从5人中抽取2人进行考核，样本空间为， 则，记“至少有1人分数低于80分”为事件R， 则． 即，因此． 故5人中至少有1人分数低于80分的概率为． （2）记甲获得参赛资格的概率为，乙获得参赛资格的概率为， 由题意可得，， ． 由于甲、乙的考核结果互相不受影响，所以甲获得参赛资格与乙获得参赛资格相互独立． 则甲、乙能同时获得参赛资格的概率为． 2．全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书．甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”的概率依次为、、，在医学综合笔试中“合格”的概率依次为、、，所有考试是否合格互不影响． (1)假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？请说明理由． (2)这三人进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率． 【解析】（1）记甲、乙、丙三人在实践技能考试中“合格”依次为事件，在医学综合笔试中“合格”依次为事件. 因为所有考试是否合格互不影响，所以与，与，与相互独立. 因此甲获得执业医师证书的概率； 乙获得执业医师证书的概率； 丙获得执业医师证书的概率， 所以. 故乙获得执业医师证书的可能性最大. （2）记甲、乙、丙三人获得执业医师证书依次为事件，则，，. 由于事件相互独立，则恰有两人获得执业医师证书的概率 . 故有两人获得执业医师证书的概率为. 3．为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【解析】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 4．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 【解析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 1．如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 2．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】D 【解析】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此； 计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况： 甲中奖后乙中奖：概率为； 甲未中奖后乙中奖：概率为； ； 计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况： 甲中、乙中、丙中：； 甲中、乙不中、丙中：； 甲不中、乙中、丙中：； 甲不中、乙不中、丙中：； ； 因此. 3．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚反面朝上”，“第二枚正面朝上”，则（   ） A．A包含B B．A与B互斥 C．A与B互为对立 D．A与B相互独立 【答案】D 【解析】A不包含B，A与B不互斥，也不互为对立. 又因为，，，， 所以A与B相互独立. 4．若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 由独立事件性质得， 则，而， 可得，故C正确. 5．已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ． 6．某种细胞如果不能分裂则死亡，并且一个细胞死亡的概率为，分裂为两个细胞的概率为．现有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】一个细胞的谱系经过两轮演化后仍存活的概率为， 因此两个细胞经过两轮演化后还有细胞存活的概率是． 7．甲乙两人下棋比赛，规则是谁先赢2局，谁便赢得奖金5400元.根据以往的交手记录，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛相互独立.然而因突发事件，比赛未能举行，为公平服众，奖金按照比赛正常进行时各自赢得比赛的概率之比进行分配，则甲分得奖金（    ）元. A．3600 B．3800 C．4000 D．4200 【答案】C 【解析】甲要赢得比赛，需要先赢两局，可能的比赛局数为2局或3局. 2局结束，即甲连赢2局，概率为； 3局结束，即前2局甲、乙各赢1局，第3局甲赢，概率为， 所以甲赢得比赛的总概率为. 同理可求得乙赢得比赛的总概率为. 所以甲分得奖金为元. 8．甲、乙两颗卫星同时独立的监测台风．在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为（   ） A．0.95 B．0.6 C．0.05 D．0.4 【答案】A 【解析】设在同一时刻至少有一颗卫星预报准确为事件， 方法一：在同一时刻至少有一颗卫星预报准确可分为： ①甲预报准确，乙预报不准确，此事件的概率为， ②甲预报不准确，乙预报准确，此事件的概率为， ③甲预报准确，乙预报准确，此事件的概率为， 这三个事件彼此互斥，故事件的概率为， 方法二：“在同一时刻至少有一颗卫星预报准确”的对立事件是 “在同一时刻甲、乙两颗卫星预报都不准确”， 故事件的概率为． 9．（多选题）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【解析】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 10．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．5人站成一排，“甲站正中间”与“乙站正中间”是互斥事件 B．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，则向上面的点数是3的整数倍的概率为 C．数据7.0，7.4，7.6，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的25%分位数为7.4 D．某班级共有学生55人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取10人参加一项活动，如果女生抽了4人，则该班级有33名男生 【答案】AD 【解析】对于A，“甲站正中间”与“乙站正中间”不可能同时发生，它们是互斥事件，A正确； 对于B，向上面的点数是3的整数倍的概率为，B错误； 对于C，这组数据已经是从小到大排列，又，故25%分位数为，C错误. 对于D，，D正确． 11．（多选题）某市四所高中的足球队（分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”）进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是（   ） A．甲队积分为9分的概率为 B．四支球队的积分总和可能为15分 C．丙队积分为3分的概率为 D．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 【答案】ABD 【解析】甲队积分为9分，则甲队三场比赛全胜，所以概率为， 选项A正确； 四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 即甲得9分，乙、丙、丁各得2分， 四支球队的积分总和为15分， 选项B正确； 丙队积3分的情况为胜1平0负2或者胜0平3负0， 胜1平0负2的概率为， 胜0平3负0的概率为， 丙队积分为3分的概率为， 选项C错误； 若甲胜乙，甲队以胜1场，乙队以负1场，甲还需对丙丁胜1场，乙需对丙丁全胜， 概率为， 若乙胜甲，乙队以胜1场，甲队以负1场，乙还需对丙丁胜1场，甲需对丙丁全胜， 概率为， 若甲乙平，甲需对丙、丁全胜，乙需对丙、丁全胜， 概率为， 甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 选项D正确. 12．事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 【答案】/ 【解析】由事件相互独立，得， 代入已知条件得：， 二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 故 . 13．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次命中的概率为，向乙靶射击两次，每次命中的概率为，该射手每次射击的结果相互独立．该射手完成以上三次射击，恰好命中一次的概率为________． 【答案】 【解析】记“该射手恰好命中一次”为事件，“该射手射击甲靶命中”为事件，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件． 由题意知，，. 根据事件的独立性和互斥性， 得 ． 故答案为：. 14．如图，已知开关闭合后是否正常工作是相互独立的，且正常工作的概率分别为，现在闭合，则灯亮的概率是_____________________. 【答案】 【解析】若灯亮，则开关闭合，中至少一个闭合， 所以灯亮的概率为. 故答案为： 15．某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者．比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩，按分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)若规定，成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (3)现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，已知甲同学答对每道题目的概率均为，乙同学答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率． 【解析】（1）频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1， ，解得. （2）的频率为，的频率和为， 故排名前的同学的成绩位于内，且设为，则，解得， 进入决赛的同学成绩应不低于分． （3）甲乙两人共计答对三道题目的情况有： 甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题， 设甲对一道题，乙对两道题为事件，甲对两道题，乙对一道题为事件， ，， 两人各道题答对与否互不影响，则． 甲、乙两人共计答对三道题目的概率为． 16．某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 【解析】（1）甲赢得比赛的概率是，乙赢得比赛的概率是， ，∴甲赢得比赛的概率更大. （2）甲赢乙输的概率是，甲输乙赢的概率是， 相加得两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 17．西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【解析】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 18．某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【解析】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，显然相互独立， 表示三人都合格，表示三人都不合格， 则，，， ，，， 设恰有人合格的概率为． 三人都合格的概率为， 三人都不合格的概率为， 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为． （2），，两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为 ， 恰有一人合格的概率为：， 结合（1）可知中最大，所以出现恰有一人合格的概率最大. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $