6.5.2 平面与平面垂直课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

6.5.2 平面与平面垂直 北师大版（2019）必修第二册 学习目标 1.理解二面角有关概念，会求简单的二面角的平面角，体现数学抽象能力（重点） 2.理解两平面垂直的定义，掌握面面垂直的性质定理，并能解决有关垂直问题，体现逻辑推理能力（重点） 3.掌握面面垂直的判定定理，并能利用定理解决相关问题，体现逻辑推理和数学计算能力（重难点） 课程引入 在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直，即若紧贴墙面的铅锤的线垂直地面，则确定墙面与地面垂直，否则不垂直.“紧贴墙面的线”这句话的实质意义是什么？ 新课学习 二面角的概念 一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角． 这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面. Q P l A B α  棱 面 记法：如图，以直线AB(l)为棱、半平面αβ为面的二面角，记作二面角αABβ或αlβ. 新课学习 二面角的平面角概念 以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角称为二面角的平面角. 如图中的∠AOB就是二面角αlβ的平面角. 特殊的平面角：平面角是直角的二面角称为直二面角.两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：α⊥β. 新课学习 两个互相垂直平面的画法：画两个互相垂直的平面时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 新课学习 例5：如图，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是30°，沿这条路上山，行走100m后升高多少米？(精确到0.1 m) H G 如图，设DH垂直于过BC的水平面，点H为垂足，线段DH的长度就是所求的高度. 在平面DBC内，过点D作BC的垂线，垂足为点G，连接GH. 因为DH⊥平面BCH，BC⊂平面BCH，所以DH⊥BC. 新课学习 又因为DG∩DH＝D，DG，DH⊂平面DGH，所以BC⊥平面DGH. 又因为GH⊂平面DGH，所以GH⊥BC. 因此，∠DGH就是坡面DGC与水平平面BCH所成的二面角的平面角，∠DGH＝60°， 由此得DH＝DGsin 60°=CDsin 30°sin 60°=100sin 30°sin 60°≈43.3(m) 即沿直道前进100 m，升高约43.3m. 新课学习 思考下面的问题： 1.在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？怎么画？ α β l m 设黑板所在平面为α，地面所在平面为β，它们的交线为l. 显然，αβ. 在平面α内作直线m⊥l，则m⊥β. 新课学习 思考下面的问题： 2.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直，直线A1A垂直于其交线AD，那么直线A1A与平面ABCD垂直吗？平面A1ADD1内还有哪些直线与平面ABCD垂直？ 直线A1A与平面ABCD垂直 D1D与平面ABCD垂直，以及其它与AD垂直的直线 新课学习 思考一下：α⊥β，α∩β=MN，AB⊂β，AB⊥MN于点B，这时，直线AB和平面α垂直吗？ C M N A B 在平面α内作直线BC⊥MN，则∠ABC是二面角α-MN-β的平面角. 因为α⊥β，所以∠ABC=90°，即AB⊥BC. 又AB⊥MN，BC∩MN=B，BC⊂α，MN⊂α， 从而AB⊥α. 新课学习 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 符号语言：α⊥β，α∩β＝l，a⊥l，a⊂β⇒a⊥α． 图形表示： α β a l 面面垂直⇒线面垂直 新课学习 例6：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，MN在平面B1BCC1内，MN⊥BC于点M，判断MN与AB的位置关系，并说明理由. 由题意知平面B1BCC1⊥平面ABCD，交线为BC. 因为MN⊂平面B1BCC1，且MN⊥BC， 所以MN⊥平面ABCD. 又AB⊂平面ABCD，从而MN⊥AB. 新课学习 例7：证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 已知：如图，α⊥β，P∈α，P∈m，m⊥β.求证：m⊂α. 直接证明m⊂α不易，可采用反证法. 假设mα，如图，设α∩β=c，过点P在平面a内作直线n⊥c. 根据平面与平面垂直的性质定理，n⊥β. 已知m⊥β，m∩n＝P，这与“过一点只有一条直线与平面β垂直”矛盾，所以mα不成立， 即m⊂α. 新课学习 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 符号语言：a⊥α，a⊂β⇒α⊥β. 图形表示： α β a 线面垂直⇒面面垂直 新课学习 例8：如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四个侧面都是矩形. 求证：平面BB1C1C⊥平面ABCD. 由四边形BB1C1C是矩形，得CC1⊥BC. 同理可得CC1⊥CD. 又BC∩CD＝C，BC，CD⊂平面ABCD，因此CC1⊥平面ABCD， 又CC1⊂平面BB1C1C，于是平面BB1C1C⊥平面ABCD. 新课学习 例9：如图，在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB. (1)四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面？ 由A1A⊥平面ABC，A1A⊂平面A1AB，得平面A1AB⊥平面ABC，同理可得平面A1AC⊥平面ABC. 因为A1A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1A⊥BC. 又因为AB⊥BC，A1A⊂平面A1AB，AB⊂平面A1AB，A1A∩ AB=A， 所以BC⊥平面A1AB， 新课学习 例9：如图，在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB. (1)四面体A1-ABC中有几组互相垂直的平面？ 由BC⊂平面A1BC，得平面A1BC⊥平面A1AB. 综上所述四面体A1-ABC中有3组互相垂直的平面， 分别是平面A1AB⊥平面ABC，平面A1AC⊥平面ABC，平面A1BC⊥平面A1AB. 新课学习 例9：如图，在四面体A1-ABC中，A1A⊥平面ABC，AB⊥BC，且AA1＝AB. (2)求二面角A-A1B-C和A1-BC-A的大小. 由(1)知，平面A1BC⊥平面A1AB，所以二面角A-A1B-C为90°. 由BC⊥平面A1AB，得A1B⊥BC， 又AB⊥BC，所以∠A1BA是二面角A1-BC-A的平面角. 在Rt△A1AB中，AA1＝AB，则∠A1BA＝45°，即二面角A1-BC-A为45°. 新课学习 思考一下：直线、平面之间的垂直的位置关系有什么关系？ 线线垂直 线面垂直 判定 面面垂直 判定 性质 定义 课程练习 D 课程练习 课程练习 C 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 B 课程练习 课程练习 6 课程练习 课程总结 您的内容打在这里，或者通过复制您的文本后，在此框中选择粘贴，并选择只保留文字。 1.二面角的概念 2.二面角的平面角的概念 3.面面垂直的性质定理 4.面面垂直的判定定理 感谢各位同学的观看 TEACHING COURSEWARE $