黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以文化传承与问题梯度为特色，通过复数、三角、向量等知识检测，融合数学眼光（如几何直观）、思维（如推理运算）与语言（如模型表达），适配阶段性学情诊断。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数几何意义、三角函数定义、向量运算|基础题占比高，如第3题矩形中点向量关系，检测空间观念| |多选|3/18|复数模与几何意义、向量基底与夹角|第9题结合复数模性质，考查逻辑推理能力| |填空|3/15|复数运算、向量分解、解三角形参数范围|第13题向量模与夹角综合，体现数学思维严谨性| |解答|5/77|三角恒等变换、向量夹角、解三角形综合|第11题引用《数书九章》三斜求积公式，渗透文化传承；第19题含动点问题，检测创新意识|

大庆铁人中学2025级高一年级下学期第一次阶段考试数学答案 一、二选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 0 A D ACD BC ABC 三.填空题 四.12.2 13.3 14[2,4] 详解： 1.【答案】D 解：复数z在复平面上对应的点为(2，-1)，则z=2-1,A错；元=2+iC错： |z=V22+(-1)2=5,8错； z-2=2-1-2=-i,则z-2是纯虚数，D对. 2.【答案】B 解：角c的终边经过点(-4,3)，可得sin=是，c0s=一寺， snatcosa 则na 3.【答案】C 解：建立平面直角坐标系，如图所示： 矩形ABCD中，AB=2AD,E,F分别为BC,CD的中点，G为EF中点， 设(2,0则D(0,1,E(2)F(1,1,·G(月，) Ac=(③，)A=(2,0小=(0,1： 设6=x+y则（得，）=(2x小即2x=号，解得x=是·y=星“C=导+号动 ly= 4.【答案】A 第1页，共1页 解：因为锐角△ABC的面积为5V3,且AB=4,AC=5, 由三角形的面积公式符到×4×5×sA=55,则5inA=9, 又A为锐角，所以A=号， 则由余弦定理得：BC=VAB2+AC2-2×AB X ACcosA =V42+52-2×4×5×()=V2i, 设△ABC外接圆的半径为R,则由正弦定理得 2R=盛==25，所以R=万， 5.【答案】D x=-4,x=-4, 解：设D(x),则有A应=元所以(4,3)=(-x2-y,即{2-y=3,所以y=-1 所以D点坐标为(-4，-1) 6.【答案】B 解：sima+=sinacosβ+cos·siB=专， 由tana=3tang,符器=是，所以inco=3 c, 解得cosasinB=号，sinacos3=号， 所以sim(a-B)=sinacosB-cosasinB=是-青=号. 7.【答案】C 解：设B(-1,0),C(1,0: 因为AB=AC,所以A在y轴上，不妨设A0,h)(h>0 因为N为AB中点，所以N(-,)则c=2,0:A=(1,), 故M=xc+yA=(2x+y,yh),故M(2x+y-1,yh) 由2x+y=1,得M(0,yh 则m=(-是-0，-yh)=(-,h(含-y) =(-)+[h(3-y)]2=+h(-y)2 第1页，共1页 当y=号时，M取得最小值号 X 8.【答案】C 解：f(x)=2si(ωx+Xω>0)在y轴右边第一个最值点是（无，2） 以后每相间一个周期有一个最值点， 当x∈[0,1]上恰好取得5个最大值时，必有无+4×恶≤1<无+5×恶】 →≤ω< 9.【答案】ACD 解：由题意得21+2z2+2(2z1-22)=5z1=5-i+61=5+5i,所以z1=1+i, 所以z1=V2,82=221-3i=2(1+i)-3i=2-1, 所以z1'z2=(1+1)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i, 所以品=品=号-学-1+21， 在复平面内对应的点为(1,2)位于第一象限. 10.【答案】BC 解：对A:若a//,即4m-3(m+2=0,即m=6,此时a,b不能作基底，故A错误； 对B:=Vm2+(m+2=2m2+4m+4=2(m+1)+3≥3，故有最小值5，故B正确： 第1页，共1页 对C:若+=a-,则有酿+2=信-2， 即+2+2.言=2+2-2.， 即.6=0，即3m+4(m+2)=0,解得m=-号，即当m=-号时，后+可=信-，故C正确： 对D:由A知，若a//,则m=6,此时，只能同向不能反向，故，的夹角不可能为π，故D错 误。 11.【答案】ABC 解：由正弦定理可得：a:b:c=2:3:V万 a=2m,b=3m,c=7m(m>0) S=7m×4m-(2g=m=65,解：m=2 :△ABC的周长为a+b+c=4+6+2y7=10+2y7,A正确； 由余弦定理得：0sC=4e-1602=主，“C=骨， 2ab 2x4x6 :A+B+C=π，·A+B=,即2C=A+B,B正确； 由正弦定理知外接圈直径为2R=立=二= 2万4W21 3,C正确： 由cD=(cA+C)得cò2-￥(cA+c) =(62+42+2×6×4×c0s60°)=19，·CD=V19,D错误 12.【答案】2 解：：1=a+2i,z2=b-3i,且z1十z2=bi,(a,beR, ∫a+b=0 (a+b)-i=bi,则{6=-1，得a=1,b=-1. a2023+b2024=12023+(-1)2024=1+1=2. 13.【答案】3 第1页，共1页 解：如图所示，建立平面直角坐标系，则A1,0), B 由与0元的夹角为x,且tanx=7, aC0s=月 'sina=市'ac传，) co时a+45）-(cosa-sinm）-- sima+45=号sina+cosa)=等'B(-) :oC=mOA+no(m,neR,青=m-是n'号=0+专n, 解得n=子'm=是，则m十n=3, 14.【答案】[2,4] 解：由三角形的面积公式可得S。ABc=吉bcsinA=吾，即a2=25bcs1nA。 由余弦定理可得a2=b2+c2-2 bccosA: .23 bcsinA=b2+c2-2bccosA, :.B+c2=2bc(V3 sinA+CosA)=4bcsinA+) sin2B +sin2C msinBsinC, 由正弦定理可得b2+c2=mbc, 4bcsinA+=mbc.m=4sinA+) :0<A<π，晋<A+晋<2F:-克<sn(A+)≤1a-2<m≤4， :b2+c2≥2bc,当且仅当b=c时取等号，mbc≥2bc,·m≥2， 综上所述m的取值范围为2,4， 第1页，共1页 15解：)因为角的终边上点p(-与，)，又(-写)'+(5)=1 所以s1a= osm=-号，所以na+2cosa=0, sin(2r-a)cos(a-Tcos音π+a 2o年-3m0n-π-可 -ina(-cosa)sinao sina sinasina 16.解：1)因为=(3,2)，=(x-1, 所以a+2b=(3+2x0),2-6=(6-x,5), +261(2a-,可得+2)2-)=0， 即(3+2x)(6-x)=0,解得x=6或x=-号： (②)由题意，b+元=(-8+x-2): 又a//6+,则-2×3=2×(x-8), 解得x=5,则6=(5，-1)， 所以os<豆i>-蒂=品-号 V13×W26 又<a,石>∈0，π，所以后与6的夹角为平， 17,解：(1)f&=京.五=V3six·cosx+是-cos2x =号sin2x-专co2x=sin2x-晋】 x∈[0，引，得2x-晋∈[-晋，g], 故fnn=sin-晋）=- (II)f(号)=sim(a-)=专， :a为锐角，cos(a-)=V1-sin(a-)=V2 cos(2a+)codda+=-sinda) =-2si(a-)coa-)=-V2. 第1页，共1页 18解： (:6a= sin C-2 sin B' .cos2B-cos2A=sin2C-2 sin Csin B. sin2A=sin2B+sin2C-v2sin Csin B, 由正弦定理得，a2=b2+c2-V2bc,·cosA=2-D6c 2bc 2bc :0<A<π，aA= 2snB=9,0<B<告， cos B=V1-sinB=专， sin C=si(A+B-m(任+B=sinco B+cos哥sB=号x专+号x9=# 2 6 由正弦定理知，A=iB=nc, x sin A =1+22 ·SAABC=acnB=专×3×1+22)×29=4+V2 19.解：(1)法-：因为asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA: 所以根据正弦定理得：sin2A+sinA:sinC·cosB+sinB·sinC·cosA=sin2B+sinA:sinC, sin2A+sinC(sinA·cosB+sinB·cosA)=sin2B+sinA·sinC, 所以sin2A+sinC.sin(A+B)=sin2B+sinA.sinC' 所以sin2A+sin2C=sin2B+sinA:sinC' 根据正弦定理，得a2+c2=b2+ac,即a2+c2-b2=ac, 根据余弦定理，得0sB=斗=器=生 2ac 因为B∈(0，π小所以B=晋， 法二：因为asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA, 所以根据正弦定理，得a2+ac~cosB+bc.cosA=b2+ac 第1页，共1页 根据余弦定理，得+aC.4+bc.+=b+aC即a2+c2-b2=ac Zac 2bc 根据余弦定理，得0SB==器=生” 2ac 因为BE(0,π：所以B=: 2)由余弦定理，得b2=a2+c2-2ac·cosB,所以54=a2+18-32a 即a2-32a-36=0:所以(a-62a+32=0因为a>0,所以a=62: 因为前=而-翻=专+c-丽=(c-)=号BC, 所以BD=号BC=42 所以△A8D的面积为AB-BD-s咖B=支×32×4巨×号=65， 3 dnB=9,sin4 AsinC=是'÷sin28=-siAsinc即62=ac 由余弦定理得b2=a2+c2-ac=ac,所以(a-g2=0:即a=c 故△ABC是等边三角形，所以∠AOB=牙， da~i=|6冰os∠A0B=-2'6a+l=a+°=V4+4-4=2' 2 设AB的中点为D, D B ·pa·p品=(d4-0)o品-)=0A品+o品2-(0a+a =-2+4-20Dl0cos<oD'0p>=2-4cos<0D'02>, :-1≤c0s<0D'0>≤1，·-2≤2-4C0s<0'0P>≤6， ÷PA.P的取值范围为-2,6小 第1页，共1页▣▣ 报告查询：登录zhi xue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 铁人中学2025级高一年级下学期阶段考试 数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [o] [o] [o] [o] [o] [0] [o] 注意事项 [1] 1] [1] [1] [1] [1] [1] 答题前，请将姓名、班级、考 场、准考证号填写清楚。 [2] 21 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 2.客观题答题必须使用2B铅笔填 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 涂，修改时用橡皮擦干净。 [4] [4] [4] 3.主观题使用黑色笔书写。 [4] [4] [4] [4] [4] 4. 必须在题号对应的答题区内作 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] 答，超出答题区书写无效。 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] 7 正确填涂■ 缺考标记口 [8] [8] [8] [8] [8] [8] [8 [8] [9] [9] [9] [9] 9] [9] [9] [9] 客观题(1~8为单选题9-11为多选题) 1[A][B][C][D] 6[A][B]C][D] 11[A][B][c][D] 2[A][B][C][D] T[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 填空题 12 13 14. 解答题 15.(本小题13分) I 16.(本小题15分) 囚囚■ 囚囚■ 17.(本小题15分) ■ ■ 18.(本小题17分) 1 1 1 I 囚■囚 19.(本小题17分) ▣ 请勿在此区域作答或 者做任何标记 囚■囚 大庆铁人中学2025级高一年级下学期第一次阶段考试 数 学 出题：李万英 审题：张庆文 2026.4 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数在复平面上对应的点为，则(    ) A. B. C. D. 是纯虚数 2.已知角的终边过点，则 A. B. C. D. 3.如图，在矩形中，，分别为的中点，为中点，则(    ) A. B. C. D. 4.若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是(    ) A. B. C. D. 5.已知▱的三个顶点，，，则顶点的坐标为 A. B. C. D. 6.已知，，则(    ) A. B. C. D. 7.在中，，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.函数，当上恰好取得个最大值，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数，满足，，则(    ) A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10.已知平面向量，，，则下列说法正确的有(    ) A. ，一定可以作为一个基底 B. 一定有最小值 C. 一定存在一个实数使得 D. ，的夹角的取值范围是 11.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是(    ) A. 周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆直径为 D. 中线的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数，，且，，则__________． 13.如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为，，，与的夹角为，且，与的夹角为若，则          ． 14.已知的三个内角，，的对应边分别为，，，且则使得成立的实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点． 求的值； 求的值． 16.本小题分 已知向量，． 若，求实数的值； 若，，求向量与的夹角． 17.本小题分 设平面向量，，函数． 当时，求函数的最小值； 若锐角满足，求的值． 18.本小题分 已知，，分别是的内角，，的对边，． 求角 若是锐角三角形，，，求的面积． 19.本小题分 在中，角，，的对边分别为，，，已知A. 求角的大小 若，，点满足，求的面积 若，且的外接圆半径为，圆心为，为上的一动点，试求的取值范围． 大庆铁人中学2025级高一年级下学期第一次阶段考试数学试题 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $