6.2.4 组合数导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三导学案 第六章 计数原理 6.2 排列与组合 6.2.4 组合数 【学习目标】 1. 理解组合数的定义，能利用组合数公式解决简单的组合问题，提升逻辑推理、数学运算素养. 1. 理解组合数的两个性质（对称性、递推性），并会求值、化简和证明. 1. 能利用计数原理推导组合数公式，体会排列与组合的内在联系. 【学习重点】 1. 组合数的概念及组合数公式（连乘形式与阶乘形式）. 2. 组合数的两个性质及其应用. 3. 用组合数公式解决“至少” “至多”等实际问题. 【学习难点】 1. 从排列数推导组合数公式的过程. 2. 组合数两个性质的证明与灵活运用. 3. 对“至少” “至多”问题的正确分类或间接求解. 学习任务一 组合数的定义与公式 【合作探究】 1. 回顾引入： · 上节课我们学习了组合的概念：从 个不同元素中取出 个元素并成一组（与顺序无关）. (1) 从 3 个不同元素中取出 2 个元素的组合有哪些？个数为多少？ (2) 从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合有哪些？个数为多少？ · 数学上，把从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，记作 （或 ）. · 例如： ______， ______. 1. 公式推导： · 我们已经知道排列数 ，且每个组合中的 个元素可以产生 个不同的排列. · 因此：，从而 · 这就是组合数的连乘形式. · 利用阶乘可以写成： · 规定 . 1. 计算练习： 用阶乘形式计算 . · 比较：在计算时，连乘形式更直接；在化简证明时，阶乘形式更方便. 【自主梳理】 1. 组合数定义： · 从 个不同元素中取出 个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，记作 . 1. 组合数公式： (1) 连乘形式： (2) 阶乘形式： (3) 特别地：，，. 学习任务二 组合数的两个性质 【合作探究】 1. 观察发现： · 计算下列各组组合数： (1) ， (2) ， · 你有什么发现？猜想：. · 你能用公式证明吗？ · 证明：. · 性质1（对称性）：. · 解释：从 个元素中选 个，等同于留下 个，所以选法数相同. 1. 另一个性质： · 计算：，而 ，发现 . · 一般地，猜想：. · 你能用公式证明吗？ · 证明（略）：利用阶乘形式通分可得. · 性质2（递推性/帕斯卡法则）：. · 解释（组合意义）：从 个元素中取 个，考虑某个特定元素：若取它，则从剩下 个中取 个，有 种；若不取它，则从剩下 个中取 个，有 种.由分类加法原理即得. 【自主梳理】 组合数的两个性质： 1. 对称性：（）. 1. 递推性：（）. 性质2常用来化简求和或递推计算. 学习任务三 组合数公式的应用（实际问题的求解） 【合作探究】 1. 例3（产品抽检问题）： · 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件. · (1) 有多少种不同的抽法？ · 解：总抽法数 . · (2) 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ · 解：先选1件次品（），再选2件合格品（），分步得 种. · (3) 抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？ 1　 直接法：分“1件次品”和“2件次品”两类. · 1件次品：；2件次品：. · 总数为 . 2　 间接法：总抽法减去3件全是合格品：. 3　 思考：两种方法哪种更简便？ · (4) 变式：抽出的3件中至多有1件次品的抽法有多少种？ · （提示：分“0件次品”和“1件次品”两类，或间接法） 1. 小组合作： · 从5名男生和4名女生中选出4人参加一项创新大赛. · (1) 如果4人中男生、女生各选2人，有多少种选法？ · (2) 如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？ · (3) 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ · (4) 如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ · 分组讨论并写出解答过程. 【自主梳理】 组合数应用题的一般解法： 1. 直接法：按条件分类（如按特殊元素是否被选、按数量分类），再用分类加法. 2. 间接法（补集法）：总数减去不符合条件的组合数. 3. 分步法：当有多个限制条件且互不干扰时，可分步再相乘. 注意事项： 1. 注意问题是否与顺序有关（组合问题）. 2. “至少” “至多”通常用间接法或分类法. 3. 对“必须在内”或“不能在内”的元素，优先处理. 【自查自纠】（正误判断） 1. . （ ） 1. . （ ） 1. . （ ） 1. 从 10 人中选 3 人，甲必须入选的选法有 种. （ ） 1. 在“至少”问题中，间接法往往比直接法更简便. （ ） 【典例分析】 例1：计算： (1)  (2)  (3) 已知 ，求 . 解： 例2：某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有多少种？ （用直接法和间接法分别求解） 解： 【习题巩固】 1. 计算 的值为（ ） · A. 126 B. 84 C. 56 D. 36 1. 若 ，则 的值为（ ） · A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 1. 将 6 本相同的书分给 8 个同学，每人至多分一本，而且书必须分完，则不同的分法种数是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人，要求男生甲和女生乙至少有一人入选，则不同的选法有（ ） · A. 60 种 B. 70 种 C. 120 种 D. 140 种 1. （选做）证明：.（提示：利用二项式定理或组合意义） 学科网（北京）股份有限公司 $