专题02 概率基本性质的五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题02 概率基本性质的五大常考题型 题型一：判断所给事件是否是互斥关系 题型二：互斥事件概率求算 题型三：互斥与对立的区别 题型四：利用对立事件的概率公式求概率 题型五：相互独立事件与互斥区别 题型一：判断所给事件是否是互斥关系 1．某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（   ） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可求解. 【详解】样本空间为：3 粒种子发芽数为 0,1,2,3. “至少有一粒发芽”（1,2,3）与 “至多有一粒发芽”（0,1）交集为 “1 粒发芽”，能同时发生 不是互斥事件,故A不对； “恰有两粒发芽”（2）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3） 交集为 “2粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故B不对； “三粒都发芽”（3）与 “至少有一粒发芽”（1,2,3）交集为 “3粒发芽”，能同时发生不是互斥事件，故C不对； “至少有两粒发芽”（2,3）与 “三粒都不发芽”（0）交集为空（不能同时发生）是互斥事件；并集为 {0,2,3}，未包含 “1粒发芽” 的情况所以两件事不是对立事件，故D正确. 故选D. 2．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B．若样本数据，，……，方差为4，则数据，，……，方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 【答案】AB 【分析】根据古典概型概率公式求解判断A；根据方差的性质求解可判断B；根据互斥事件的定义可判断C；根据百分位数的求法可判断D. 【详解】选项A：由题意某个个体被抽到的概率是，故A正确； 选项B：因为样本数据，，……，方差为4， 所以数据，，……，的方差为，故B正确； 选项C：事件“第一次正面朝上”时，第二次可能反面朝上， 反之事件“第二次反面朝上” 时，第一次可能正面朝上， 所以两个事件可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 选项D：，所以第75百分位数是，故D错误. 故选：AB 3．甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有1人出的是布.则（   ） A．与互斥 B．与互为对立事件 C． D． 【答案】ACD 【分析】记“石头”，“剪刀”，“布”，列举样本空间以及确定事件分别对应的样本点，利用事件的关系，结合古典概型计算概率，逐项判断得结论. 【详解】记“石头”，“剪刀”，“布”， 则样本空间，总数为， 事件包含的样本点为，事件包含的样本点为，事件包含的样本点为， 所以与互斥，与不互为对立事件， 又事件包含的样本点为， 所以，，， 所以，故ACD正确，B错误. 故选：ACD. 4．不透明的口袋内装有红色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为（   ） ①2张卡片都不是蓝色；    ②2张卡片恰有1张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色；    ④2张卡片至多一张为蓝色； A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据互斥事件和对立事件概念，列出所有可能结果：口袋中有红，蓝卡片各2张，一次性取2张，结果有3种： ①两张红色（都不是蓝色）；②一红一蓝（恰有1张蓝色）；③两张蓝色（都为蓝色），再逐一分析事件即可. 【详解】事件①：2张都不是蓝色与“2张都为蓝色”不能同时发生（互斥），但还有“恰有1张蓝色”的情况，不是对立； 事件②：2张恰有1张蓝色与“2张都为蓝色”不能同时发生（互斥），但还有“都不是蓝色”的情况，不是对立； 事件③：2张至少有1张蓝色：包含“恰有1张蓝色”和“都为蓝色”，与“都为蓝色”能同时发生，不互斥； 事件④：2张至多1张蓝色：包含“都不是蓝色”和“恰有1张蓝色”，与“都为蓝色”既互斥又对立. 所以与“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的是①②，个数为2. 故选：C. 5．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据事件的包含关系，互斥与对立关系分别判断. 【详解】由事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，则，A选项错误； 事件“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，两事件为互斥事件，则，且，B选项正确，C选项正确； 由“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，根据对立事件定义可知，D选项正确； 故选：A. 6．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．至多一名女生 D．全是男生 【答案】D 【分析】根据互斥与对立事件的概念直接判断即可. 【详解】A选项：事件“至少有名女生”与事件“至多一名男生”可以同时发生，不满足互斥事件的概念，A选项错误； B选项：事件“至少两名男生”与事件“至多一名男生”互为对立事件，B选项错误； C选项："至多一名女生"即为“至少二名男生”，与事件“至多一名男生”为对立事件， ，C选项错误； D选项：事件“全是男生”与事件“至多一名男生”，不能同时发生，满足互斥事件概念， 又除两事件外还有可能发生事件“恰好两名男生”，所以两事件不对立，D选项正确； 故选：D. 7．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用互斥和对立的定义逐个选项分析求解即可. 【详解】一次性任意取出2张卡片,则这两张卡片的颜色为（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）这六种情况， 设（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），（蓝色，蓝色）. 设事件“2张卡片都为蓝色”为，①设2张卡片都不是蓝色为事件， 则（红色，绿色），（红色，红色），（绿色，绿色）， 则，，和是互斥不对立事件，故①正确； ②设2张卡片恰有1 张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， 则，，和是互斥不对立事件，故②正确； ③设2张卡片至少有1张是蓝色为事件，则（绿色，蓝色），（红色，蓝色）， （蓝色，蓝色），则，， 得到和是不互斥不对立事件，故③不正确； ④设2 张卡片至多一张为蓝色为事件，则（红色，绿色），（绿色，蓝色）， （红色，蓝色），（红色，红色），（绿色，绿色），则，， 得到和是对立事件，故④不正确. 故选：B. 8．先后抛掷质地均匀的硬币3次，得到以下结论，其中错误的是（　　） A．可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 B．事件“至少2次正面朝上”与事件“至少1次反面朝上”是互斥事件 C．事件“至少1次正面朝上”与事件“3次反面朝上”是对立事件 D．事件“1次正面朝上2次反面朝上”发生的概率是 【答案】B 【分析】根据样本空间的定义判断A，古典概型计算判断D，应用互斥事件定义判断B，应用对立事件定义判断C. 【详解】不同的观察角度所得到的样本空间也可以不同，A正确； 考虑样本空间中一共含有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反反正，反正反，反反反共8个样本点时， 正正反可以使事件“至少2次正面朝上”与事件“至少1次反面朝上”能同时发生，不是互斥事件，故B不正确； 事件“至少1次正面朝上”与事件“3次反面朝上”是对立事件，故C正确； 事件“1次正面朝上2次反面朝上”，发生的概率是，故D正确． 故选：B. 9．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是（    ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 【答案】ABC 【分析】利用互斥事件与对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与C也互斥， 但是，又， 所以与C不是对立事件，故A错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与D也互斥， 但是，， 所以与D不是对立事件，故B错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以与也互斥， 又因为，， 又因为，所以与是对立事件，故C错误； 因为事件A，B，C，D彼此互斥，所以A与也互斥， 又因为， 所以，所以A与也是对立事件，故D正确． 故选：ABC. 10．粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（   ） A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件 B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件 C．白色与红色粉笔都用到的概率为 D．白色与红色粉笔至少1支用到的概率为 【答案】BD 【分析】根据题意，由互斥事件的定义，可判定A错误；根据对立事件的定义，可得判定B正确，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，可判定C错误，D正确. 【详解】记白、红、黄、蓝、绿颜色的粉笔分别为：， 对于A中，“都入选”与“至少1支入选”可以同时发生，所以A错误； 对于B中，对于是否入选所有事件类型有：都入选，入选不入选，不入选入选和都不入选，所以事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件，所以B正确； 对于C中，设从5支中随机选3支，则有，，，，，，，，，，共10种选法， 其中都入选的选法有3种，故所求概率，所以C错误； 对于D中，由至少1支入选的选法有9种，故所求概率，所以D正确． 故选：BD． 题型二：互斥事件概率求算 11．已知随机事件A和B互斥，且，则等于（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】C 【分析】利用互斥事件加法公式和对立事件概率公式计算即可. 【详解】因为随机事件A和B互斥，且， 所以，所以. 故选：C. 12．已知随机事件和互斥,且,,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为和互斥,由求出,再由即可得到答案. 【详解】因为和互斥, 所以, 又, 所以, 因为, 所以. 故选:B. 13．某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为（    ） A．0.16 B．0.22 C．0.12 D．0.1 【答案】C 【分析】根据事件间的关系，利用概率公式，可得答案. 【详解】由于奖项一等奖、二等奖，幸运奖和不中奖四个事件是相互互斥的， 且构成事件为必然事件，故中一等奖的概率为． 故选：C. 14．某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由互斥事件的和事件的概率公式的计算可得结果； （2）由对立事件的概率公式的计算可得结果； （3）由互斥事件的和事件的概率公式和对立事件的概率公式的计算可判定结论. 【详解】（1）记“他乘火车去”为事件，“他乘轮船去”为事件，“他乘汽车去”为事件，“他乘飞机去”为事件，这四个事件任意两个都不可能同时发生，故它们彼此互斥， 故，即他乘火车或乘飞机去的概率为. （2）设他不乘轮船去的概率为P， 则. （3）由于， 故他有可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去． 15．已知事件，互斥，若，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由互斥事件并事件概率的加法公式求解. 【详解】由于事件，互斥， 则， 所以，选项A正确. 故选：A 16．已知与为互斥事件，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用互斥事件的概率公式可求得的值. 【详解】因为与为互斥事件，则， 因此，. 故答案为：. 17．袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， ， . 【答案】 /0.25 /0.25 【分析】设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，根据题意结合互斥事件的概率加法公式，列出方程组，即可求得答案. 【详解】设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”， 则事件A，B，C，D两两互斥， 根据题意，得， 解得，，， 故答案为：，， 18．在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1个球.记事件A为“取出的球为红球”，事件B为“取出的球为黑球”，事件C为“取出的球为白球”，事件D为“取出的球为绿球”.求: (1)“取出的球为红球或黑球”的概率; (2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）应用互斥事件的概率加法公式求出对应的概率值即可. （2）应用互斥事件的概率加法公式求出对应的概率值即可. 【详解】（1）由题意可知，. 易知“取出的球为红球”与“取出的球为黑球”为互斥事件， 故“取出的球为红球或黑球”的概率为. （2）易知，“取出的球为红球”“取出的球为黑球”“取出的球为白球”两两互斥， 故“取出的球为红球或黑球或白球”的概率为. 19．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 【答案】/ 【分析】利用互斥事件与对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件A、B互斥，，所以， 又它们都不发生的概率为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 20．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，且前两局以领先，则最后甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，根据题意，最后甲获胜分成3种情况，分别为第三局甲胜；第三局乙胜，第四局甲胜；第三局和第四局乙胜，第五局甲胜，分别列式求解即可. 【详解】最后甲获胜含3种情况：①第三局甲胜，概率为； ②第三局乙胜，第四局甲胜，概率为； ③第三局和第四局乙胜，第五局甲胜，概率为． 所以最后甲获胜的概率为． 故选：D 题型三：互斥与对立的区别 21．有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 【答案】A 【分析】事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，结合互斥、对立事件的定义即可判断. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人， 所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件； 故选：A 22．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 【答案】ABD 【分析】写出以及样本空间所包含的基本事件，逐一判断各个选项即可. 【详解】由题意，样本空间为， 对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确； 对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 故选：ABD. 23．下列说法正确的是（    ） A．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．若，则事件A与事件B是对立事件 C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 D．事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大 【答案】D 【分析】根据互斥事件、对立事件和古典概型及其计算逐一判定即可． 【详解】对于A，由互斥事件和对立事件的关系可判断，对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，故A错误; 对于B，由，并不能得出A与B是对立事件， 举例说明：现从a，b，c，d四个小球中选取一个小球，已知选中每个小球的概率是相同的， 设事件A表示选中a球或b球，则，事件B表示选中b球或c球，则，所以，但A，B不是对立事件，故B错误; 对于C，该试验的样本空间可表示为： ，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有，共3个， 故所求概率，故C错误; 对于D，若A，B是互斥事件，事件A，B中至少有一个发生的概率等于A，B中恰有一个发生的概率，故D正确． 故选：D. 24．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 【答案】D 【分析】利用互斥事件的定义判断A；利用对立事件的定义判断B；利用古典概型求概率方法判断C、D即可. 【详解】对于A，事件“该家庭个小孩中至少有个女孩” 和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”能同时发生，不是互斥事件，故A错误； 对于B，事件“该家庭3个孩子都是男孩” 和事件“该家庭个孩子都是女孩”不能同时发生，能同时不发生， 是互斥但不对立事件，故B错误； 对于C，有个小孩的家庭包含的样本点有个，分别为： （男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）， （男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）， 该家庭3个小孩中只有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中只有个男孩的概率为，故C错误； 对于D，该家庭个小孩中至少有个男孩包含的样本点有个， 所以该家庭个小孩中至少有个男孩的概率为，故D正确． 故选：D． 25．从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可. 【详解】从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，可能的结果为：1正1次､2正､2次， 对于A：“至少有1件正品”与“都是次品”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1件次品”包括1正1次､2次，“至少有1件正品”包括1次1正､2正，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是正品”与“都是次品”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D 26．从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析可得答案. 【详解】恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球是对立事件，故A错误； 至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故B错误； 至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球可以同时发生，不是互斥事件，故C错误； 恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球是互斥事件而不是对立事件，故D正确. 故选：D. 27．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖 C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断即可. 【详解】“甲、乙恰有一人中奖”与互斥但不对立，故A错误； “甲、乙都没中奖”与互斥但不对立，故B错误； “甲、乙至少有一人中奖”与不互斥，故C错误； “甲、乙至多有一人中奖”与互斥且对立，故D正确． 故选：D. 28．下列说法正确的是（    ） A．当A，B不互斥时，可由公式计算的概率 B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 C．若，则事件A与B是对立事件 D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 【答案】A 【分析】根据概率加法公式判断A，根据概率的性质判断B，对立事件的概率性质判断C， 【详解】根据概率的性质可知，当A，B不互斥时，， 故A中说法正确. 对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故B中说法错误. 在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故C错误； 故C中说法错误. 当事件与事件互斥时，则事件，中至少有一个发生的概率与，中恰有一个发生的概率相等，故D错误； 故选：A. 29．下列说法正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．某事件的概率为1.1 C．若彩票中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 D．必然事件的概率为1 【答案】D 【分析】根据互斥事件和对立事件的区别与联系可知A选项错误；由随机事件概率的性质可知某事件的概率不可能大于1，即B错误；根据互斥事件概率的计算公式可知，买1000张这种彩票也不一定能中奖，即C错误；由必然事件的概念可得D正确. 【详解】对于A，互斥事件和对立事件都不可能同时发生，但对立事件两者必发生其一，而互斥事件还可能发生第三种情况，所以互斥事件不一定是对立事件，即A错误； 对于B，根据随机事件概率的性质可知，某事件的概率取值范围为，即B错误； 对于C，根据随机事件的概率可知，买1000张这种彩票也会有的可能性不中奖，所以C错误； 对于D，根据必然事件和不可能事件的定义可知，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即D正确； 故选：D 30．下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B．若，为两个事件，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，满足，则与相互对立 【答案】A 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念判断A，根据和事件的概率公式判断B，利用反例说明C、D. 【详解】对于A，若事件与互斥，则与不一定相互对立， 但与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若，为两个事件，则，故B错误； 对于C，若事件，，两两互斥，则不一定成立， 如：抛掷一枚均匀的骰子一次，记“向上的点数为1”，“向上的点数为2”，“向上的点数为3”， 事件，，两两互斥，但.故C错误； 对于D，抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是， 抛掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是与不对立，故D错误. 故选：A. 题型四：利用对立事件的概率公式求概率 31．已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】CD 【分析】由互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号, 记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误; 对于选项B，如果 , 那么 ，选项B错误; 对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确; 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确。 故选：CD 32．若事件与事件互斥，且，，则 . 【答案】/ 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得，再由对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件与事件互斥，则， 又因为，所以. 故答案为：. 33．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【详解】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 34．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥事件的概率公式和对立事件概率计算公式即可求解. 【详解】， 又， 所以， 所以， 故选：D 35．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 36．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 37．已知是事件的对立事件，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据概率的性质得出以，再结合计算求解. 【详解】因为， 所以． 又，所以． 故答案为：. 38．已知随机事件A和B，， （1）若A，B是对立事件，则 ； （2）若，且，则 ； （3）若，，则 ． 【答案】 【分析】根据对立事件、互斥事件的定义及概率加法公式逐一分析即可. 【详解】（1）因为事件A与事件B是对立事件，则， （2）根据题意得，则事件A和事件B互斥， 所以， 则，故． （3）根据题意得，则事件A和事件B不互斥， 由概率的性质，可得， 故． 故答案为：；；. 39．设随机事件A，B满足，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用条件概率公式、互斥事件的概率的性质计算判断. 【详解】， ， ， 故选：B． 40．已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用概率的加法公式即可； （2）利用互斥事件的概率公式即可； （3）利用对立事件的概率公式即可. 【详解】（1）由概率的加法公式，可得， 则. （2）因事件是事件的对立事件，则， 依题意，事件与事件互斥，则， 即，解得. （3）因事件是事件和事件的交集的对立事件， 则. 题型五：相互独立事件与互斥区别 41．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 【答案】ABD 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义一一分析结合列举法判定选项即可. 【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况， 则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况； 事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况； 所以， 显然，， ，，即ABD正确. 故选：ABD 42．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ，    ， ，     ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立，， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 43．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 【答案】BD 【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可. 【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果. 由题意，共15种结果； 共15种结果. 共12种结果. , 对于选项A： 事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：，，所以，所以C错误； 对于选项D：，. 由于，所以相互独立，所以D正确. 故选：BD. 44．现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 45．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 46．已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件 “出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确． 47．已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【分析】根据对立事件的定义、互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答. 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件与事件互斥，则，B正确； 若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误； 因为，所以事件与事件相互独立， 则事件与事件相互独立，D正确． 故选：BD. 48．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 49．设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 【答案】AC 【分析】根据互斥事件和对立事件的关系判断A，根据事件的包含关系判断B，利用相互独立事件的概念判断C，结合对立事件定义举反例判断D. 【详解】选项A：互斥事件为两事件不能同时发生，对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生， 所以对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立，A说法正确； 选项B：若，则，B说法错误； 选项C：由相互独立事件的概念可知，若，则相互独立，C说法正确； 选项D：对立事件为两事件不能同时发生且两者必有其一发生，即不能保证两事件不同时发生，也不能保证两者必有其一发生， 如投掷一枚骰子，事件为：向上的点数为奇数，事件为向上的点数不小于4， 满足，但不是对立事件，D说法错误； 故选：AC 50．现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 【答案】ABD 【分析】根据古典概型公式判断A，根据互斥事件的定义判断B，根据相互独立事件的定义判断C，对于D，分两种情况讨论，若取出颜色相同与颜色不同，分别计算出概率即可判断. 【详解】根据题意可得，故A错误；根据互斥事件的定义可知与不互斥，故B错误； 由题可得，，所以与相互独立，故C正确； 对于D，事件分为三类： 颜色都为白球,则混合后袋中有白球4个,红球6个,取出红球概率； 颜色都为红球,则混合后袋中有白球6个,红球4个,取出红球概率为- 颜色一红一白,则混合后袋中有白球5个，红球5个，取出红球概率为，故D不对， 故选：ABD 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 概率基本性质的五大常考题型 题型一：判断所给事件是否是互斥关系 题型二：互斥事件概率求算 题型三：互斥与对立的区别 题型四：利用对立事件的概率公式求概率 题型五：相互独立事件与互斥区别 题型一：判断所给事件是否是互斥关系 1．某生物实验小组种植了3粒新品种的种子，下列两个事件是互斥且不对立的是（   ） A．“至少有一粒种子发芽”与“至多有一粒种子发芽” B．“恰有两粒种子发芽”与“至少有一粒种子发芽” C．“三粒种子都发芽”与“至少有一粒种子发芽” D．“至少有两粒种子发芽”与“三粒种子都不发芽” 2．下列说法正确的是（    ） A．用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B．若样本数据，，……，方差为4，则数据，，……，方差为16 C．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，则事件“第一次正面朝上”与事件“第二次反面朝上”互斥 D．数据1，2，4，5，6，7，8，9的第75百分位数是7 3．甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件：甲、乙两人出的都是剪刀；事件：甲、乙两人出的相同；事件：甲、乙两人至少有1人出的是布.则（   ） A．与互斥 B．与互为对立事件 C． D． 4．不透明的口袋内装有红色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为（   ） ①2张卡片都不是蓝色；    ②2张卡片恰有1张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色；    ④2张卡片至多一张为蓝色； A．4 B．3 C．2 D．1 5．一个袋子中有大小和质地相同的个球，其中有个红色球（标号为和），个绿色球（标号为和），从袋中不放回地依次随机摸出个球．设事件“第一次摸到红球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，“两球颜色相同”，“两球颜色不同”，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．某小组有名男生和2名女生，从中任选名同学去参加活动，下列事件中与“至多一名男生”互斥而不对立的是（    ） A．至少有名女生 B．至少两名男生 C．至多一名女生 D．全是男生 7．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为蓝色”互斥而不对立的个数为 （    ） ①2张卡片都不是蓝色； ②2张卡片恰有1 张是蓝色； ③2张卡片至少有1张是蓝色； ④2 张卡片至多一张为蓝色. A．1 B．2 C．3 D．4 8．先后抛掷质地均匀的硬币3次，得到以下结论，其中错误的是（　　） A．可以从不同的观察角度写出不同的样本空间 B．事件“至少2次正面朝上”与事件“至少1次反面朝上”是互斥事件 C．事件“至少1次正面朝上”与事件“3次反面朝上”是对立事件 D．事件“1次正面朝上2次反面朝上”发生的概率是 9．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.1，0.2，0.3，0.4，则下列说法错误的是（    ） A．与C是互斥事件，也是对立事件 B．与D是互斥事件，也是对立事件 C．与是互斥事件，但不是对立事件 D．A与是互斥事件，也是对立事件 10．粉笔盒中只装了白红黄蓝绿5支不同颜色的粉笔，老师上课时随机使用了3支，下列结论中正确的是（   ） A．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至少1支用到”为互斥事件 B．事件“白色与红色粉笔都用到”与“白色与红色粉笔至多1支用到”为对立事件 C．白色与红色粉笔都用到的概率为 D．白色与红色粉笔至少1支用到的概率为 题型二：互斥事件概率求算 11．已知随机事件A和B互斥，且，则等于（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.5 D．0.2 12．已知随机事件和互斥,且,,则等于（    ） A． B． C． D． 13．某超市举行有奖促销活动，活动中设置一等奖、二等奖、幸运奖三个奖项，其中中幸运奖的概率为0.3，中二等奖的概率为0.2，不中奖的概率为0.38，则中一等奖的概率为（    ） A．0.16 B．0.22 C．0.12 D．0.1 14．某人出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是 (1)求他乘火车或乘飞机去的概率； (2)求他不乘轮船去的概率； (3)如果他去的概率为，请问他有可能乘何种交通工具去？ 15．已知事件，互斥，若，.则（    ） A． B． C． D． 16．已知与为互斥事件，且，，则 ． 17．袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 ， ， . 18．在一个不透明的盒子里装有大小、质地完全相同的球12个，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1个球.记事件A为“取出的球为红球”，事件B为“取出的球为黑球”，事件C为“取出的球为白球”，事件D为“取出的球为绿球”.求: (1)“取出的球为红球或黑球”的概率; (2)“取出的球为红球或黑球或白球”的概率. 19．已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率为，且，则 . 20．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定五局三胜制（无平局），已知甲每局获胜的概率都为，且前两局以领先，则最后甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 题型三：互斥与对立的区别 21．有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（    ） A．互斥但非对立事件 B．对立事件 C．非互斥事件 D．以上都不对 22．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（  ） A．B与D互斥 B．A与D互为对立事件 C． D． 23．下列说法正确的是（    ） A．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 B．若，则事件A与事件B是对立事件 C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为 D．事件A与事件B中至少有一个发生的概率不一定比A与B中恰有一个发生的概率大 24．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有个小孩的家庭，此家庭是随机选择的，则下列说法正确的是（　　） A．事件“该家庭个小孩中至少有个女孩”和事件“该家庭个小孩中至少有个男孩”是互斥事件 B．事件“该家庭个孩子都是男孩”和事件“该家庭个孩子都是女孩”是对立事件 C．该家庭个小孩中只有个男孩的概率为 D．该家庭个小孩中至少有2个男孩的概率为 25．从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1件正品”与“都是次品” B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品” C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品” D．“都是正品”与“都是次品” 26．从装有2个红色乒乓球和3个白色乒乓球的口袋内任取3个球，那么是互斥事件而不是对立事件的两个事件是（    ） A．恰有1个白色乒乓球与至少2个白色乒乓球 B．至少2个白色乒乓球与都是白色乒乓球 C．至少1个白色乒乓球与至少1个红色乒乓球 D．恰有1个红色乒乓球与恰有1个白色乒乓球 27．某饮料生产企业推出了一种有一定几率中奖的新饮料．甲､乙两名同学都购买了这种饮料，设事件为“甲､乙都中奖”，则与互为对立事件的是（    ） A．甲､乙恰有一人中奖 B．甲､乙都没中奖 C．甲､乙至少有一人中奖 D．甲､乙至多有一人中奖 28．下列说法正确的是（    ） A．当A，B不互斥时，可由公式计算的概率 B．A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 C．若，则事件A与B是对立事件 D．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 29．下列说法正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．某事件的概率为1.1 C．若彩票中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖 D．必然事件的概率为1 30．下列说法正确的是（    ） A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件 B．若，为两个事件，则 C．若事件，，两两互斥，则 D．若事件，满足，则与相互对立 题型四：利用对立事件的概率公式求概率 31．已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 32．若事件与事件互斥，且，，则 . 33．已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则 ． 34．已知事件，互斥，且，，则（   ） A． B． C． D． 35．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 36．已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 37．已知是事件的对立事件，，，，则 ． 38．已知随机事件A和B，， （1）若A，B是对立事件，则 ； （2）若，且，则 ； （3）若，，则 ． 39．设随机事件A，B满足，，则（    ）． A． B． C． D． 40．已知一个古典概型试验中，事件发生的概率为，事件B发生的概率为，且事件和事件的并集发生的概率为. (1)求事件和事件同时发生的概率. (2)若事件是事件的对立事件，求事件和事件同时发生的概率. (3)若事件是事件和事件的交集的对立事件，求事件发生的概率. 题型五：相互独立事件与互斥区别 41．先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 42．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 43．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（   ） A．A与B为互斥事件 B． C． D．B与C相互独立 44．现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 45．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 46．已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（   ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 47．已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 48．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 49．设是一个随机试验的两个事件，则（    ） A．若对立，则一定互斥 B．若，则 C．若，则相互独立 D．若，则一定对立 50．现有，两个相同的箱子，其中均有除了颜色不同外其他均相同的红白小球各3个，先从两个箱子中各取出一个小球，，再将两箱子混合后取出一个小球，事件：“小球为红色”，事件：“小球为白色”，事件：“已知颜色的前提一下，小球为红色”，则下列说法错误的有（    ） A．发生的概率为 B．与互斥 C．与相互独立 D．发生的概率为 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $