专题01 古典概率的五大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版高一必修第二册

专题01 古典概率的五大常考题型 题型一：书写样本空间 题型二：计算古典概率 题型三：有放回与无放回问题 题型四：根据古典概率求参数 题型五：事件的关系与运算 题型一：书写样本空间 1．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【详解】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 2．投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有 对. 【答案】12 【分析】用列表法把所有的基本事件一一列举，即可得到答案. 【详解】由题意知m，n的取值依次为1，2，3，4，5，6，因此可得的取值如下表.经检验，符合题中不等式的在下表中用下划线标注，相应的数对共有12对. 故答案为：12 3．掷一枚骰子，记事件“出现奇数点”，事件“出现4点或5点”，事件“点数不超过3”．写出事件所包含的样本点： ，事件所包含的样本点： ． 【答案】 【分析】先求出各个事件的样本点，再利用交事件和并事件的性质求解即可. 【详解】由题得，，， 则，． 故答案为：； 4．一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题意，列举出所有可能得情况，即可得到结果. 【详解】因为事件为“从箱中任取个小球观察其编号”， 则事件包含的样本点有， 共种. 故选：B. 5．柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是 ． 【答案】 【分析】列举法写出试验的样本空间，根据古典概型的概率公式直接可得解. 【详解】设表示三只左鞋，表示三只右鞋， 则从中有放回取出2只的所有可能为： ，共计36种， 其中满足取出的鞋一只左脚一只右脚，但不是一双鞋的有12种， . 故答案为：. 6．袋中装着分别标有数字，，，，的个形状相同的小球，从袋中有放回的依次取出个小球，记第一次取出的小球所标数字为，第二次为. (1)列举出所有基本事件； (2)求是的倍数的概率； 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）利用列举法写出所有基本事件. （2）列举出是的倍数的基本事件，再求出概率即可. 【详解】（1）第一次取出的小球所标数字为，第二次为，则一个基本事件记为， 所以所有基本事件为： . （2）由（1）知，试验的所有基本事件数为25， 是的倍数的事件为，共9个， 所以是的倍数的概率为. 7．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】根据根的判别式得到，然后找样本点即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为和， 方程有实数解， ， 则，共含19个样本点． 故选：C. 8．在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求第一次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式求解. 【详解】（1）两次取球的基本事件为，，共20个， 所以第一次取到红球的概率. （2）两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件， 由（1）可知两次取到红球的概率， 两次取到黑球的概率， 所以两次取到的球颜色相同的概率. 9．一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为. (1)写出试验的样本空间； (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率. 【答案】(1)见详解； (2)，，. 【分析】（1）用列举法写出样本空间计算即可； （2）根据事件的运算及古典概型计算即可. 【详解】（1）由题意可知所有可能的结果共有16种，样本空间为{， }； （2）由题意可知事件A=，共三个结果，故， 事件B=，共六个结果，故， 事件包含的结果有一个，故. 10．袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同． (1)采取有放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率； (2)采取不放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】利用列举法求出样本点及古典概型的概率公式即可求解. 【详解】（1）用表示2个白球，用表示3个黑球，采取有放回抽取方式，从中依次摸出两个球，样本空间为 ，每个样本点都是等可能发生的，, 设“两球颜色不同的事件”，则，, 所以. （2）用表示2个白球，用表示3个黑球，采取不放回抽取方式，从中依次摸出两个球，样本空间为 ，每个样本点都是等可能发生的，, 设“两球颜色不同的事件”，则，, 所以. 题型二：计算古典概率 11．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 【答案】(1)，平均年龄为31.75；中位数为31 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数和中位数的公式即可求解； （2）列举出所有的情况，再根据古典概型公式可得. 【详解】（1）由题意有：，解得，                  设这n人的平均年龄为， 则， 由于前2组的频率为， 前3组的频率为， 则中位数在，设中位数为， 则，解得，则中位数为31. （2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： ，共包含15个等可能的样本点， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，共包含9个等可能的样本点， 所以. 即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为.. 12．已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则 . 【答案】或 【分析】根据古典概型的概率公式、互斥事件的概率加法公式列式计算可得解. 【详解】设事件为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”，事件为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”， 则， 依题意，解得或. 故答案为：或. 13．湖北恩施被誉为“世界硒都”，又被称为祖国的后花园．恩施有大峡谷、腾龙洞、神农溪这3个级景区，已知腾龙洞景区有金牌讲解员2人，大峡谷景区有金牌讲解员3人，若从这5人中随机抽取2人，则抽取的这两人来自不同景区的概率为 ． 【答案】/0.6 【分析】由古典概型的概率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】大峡谷景区3人，腾龙洞景区2人，设大峡谷景区的3人分别为，腾龙洞景区2人分别为，则在其中任取2人的基本事件总数， 分别为：． 则抽取的这两人来自不同景区的情况分别为：； 故抽取的这两人来自不同景区的概率为． 故答案为： 14．将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用古典概型计算求解. 【详解】若书放在上层用“上”表示，放在中层用“中”表示，放在下层用“下”表示， 则样本空间上上，上中，上下，中上，中中，中下，下上，下中，下下，共9种情况. 放在同一层书架的情况为上上，中中，下下，共3种情况， 故所求概率为. 故选：B. 15．某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义求，再确定6人中的成绩分布，应用列举法求古典概率即可. 【详解】因为，所以分， 所以这20名学生中物理测验成绩不低于分的学生有6人， 其中有3人此次物理测验的成绩不高于90分，记为， 有3人此次物理测验的成绩高于90分，记为， 现从这6人中随机抽取2人的情况有，共15种， 其中这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的情况有，共9种， 故所求概率. 故选：D 16．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出5个球中随机摸出2个球的所有可能性，在选出两个球的数字之和是奇数的情况，代入古典概型公式，即可得答案. 【详解】5个球中随机摸出2个球，共有： 共10种情况， 两个球的数字之和是奇数有共6种情况， 所以两个球的数字之和是奇数的概率是. 故选：D 17．已知一个正整数n，若能找到正整数a、b，使得，则称n为一个“好数”．现在从1到20这20个正整数中任取一个数，取到“好数”的概率为 【答案】/ 【分析】根据题意，变形为，得到只要是好数，则就是好数，结合列举法和古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】由，可得， 所以只要是好数，则就是好数， 在以内的好数有：，共有12个， 所以取到好数的概率为. 故答案为：. 18．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的试验有36个样本点， 两次向上的点数之和除以4的余数为3的事件含有的样本点为： ，共10， 所以两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为. 故选：C 19．袋子中装有红、黄、白三种颜色共100个小球（除颜色外完全相同），随机抽取一个小球，取出红球的概率是0.3，取出白球的概率是0.25，那么袋子中黄色的小球共有 个. 【答案】45 【分析】算出黄色球的概率乘以100即可. 【详解】因为“取出黄色小球”的概率是，所以黄色小球有个． 故答案为：45. 20．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间为，共6个样本点， 设选出的两人恰好是两名女生为事件，则，共1个样本点， 故选出的两人恰好是两名女生的概率是. 故选：B. 题型三：有放回与无放回问题 21．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出试验的样本空间和事件（“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”）的样本点个数，由古典概型计算即可. 【详解】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 22．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有几种，即可求得答案. 【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有等6种可能的情况； 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是， 故选：A 23．我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为 .    【答案】 【分析】将红桃A，黑桃A，梅花A分别记为A、B、C，画出树状图，利用概率公式即可求出两次抽取的扑克牌为同一张的概率． 【详解】设红桃A，黑桃A，梅花A分别为A，B，C， 两次抽取的扑克牌出现的结果如图所示：    由树状图可知共有9种情况，其中两次抽到同一张的情况有3种， 所以两次抽取的扑克牌为同一张的概率为． 故答案为： 24．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 【答案】 【分析】先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率． 【详解】二次函数的图象不经过第四象限， 则对称轴且或顶点纵坐标， 即或， 由题意，两次摸球的数字组合可能有： ，共9种， 其中符合条件的组合有，共5种， 所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为. 故答案为：. 25．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 26．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； （2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可； 【详解】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 27．一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 【答案】(1)样本空间见解析；； (2)第二次，第三次摸到红球的概率均为； (3)抽签中签的概率与抽签顺序无关 【分析】（1）依据古典概型写出基本事件空间，再写出“第一次摸到红球”中包含的基本事件，从而求出概率； （2）由古典概型求得概率； （3）依据概率相同得到结论. 【详解】（1）将三个红球记为，一个黄球记为， 从中不放回地依次随机摸出个球，该实验的基本事件空间为： 共有个基本事件， 设“第一次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第一次摸到红球的概率为. （2）设“第二次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第二次摸到红球的概率为. 设“第三次摸到红球”为事件，则 共有个基本事件， 所以，即第三次摸到红球的概率为. （3）因为，即第一、二、三次抽到红球的概率相同， 所以，抽签中签的概率与抽签顺序无关. 28．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式，求出事件概率，计算结果. 【详解】由题意知， 不放回地选取共有20个样本点，标签上的数字之和为6有4个样本点，分别为，所以， 有放回地选取共有25个样本点，标签上的数字之和为6有5个样本点，分别为，所以， 则． 故选：B. 29．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析出总的基本事件数和中奖的基本事件数，再结合古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回， 连续取2次的基本事件共有种， 取出的2个小球号码之和等于5的基本事件有：，共2种， 取出的2个小球号码之和等于4的基本事件有：，共3种， 取出的2个小球号码之和等于3的基本事件有：，共4种， 所以中奖的概率是. 故选：C. 30．口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出样本空间的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解； （2）列出样本空间的样本点，结合古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）无放回地取球，任意摸出两个小球的样本空间为 ｛（红,白）,（红,黄）,（白,黄）｝，共3个， 所以摸出的是红球和白球的概率为． （2）有放回地取球，样本空间为 ｛（红,红）,（红,白）,（红,黄）,（白,白）,（白,红）,（白,黄）,（黄,红）,（黄,白）,（黄,黄）｝，共9个， 而事件“摸出一红一白”包括（红,白），（白,红）2个样本点， 所以两次摸出的球是一红一白的概率为． 题型四：根据古典概率求参数 31．一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 32．一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）写出所有样本点，根据古典概型的计算公式即可得到答案； （2）根据古典概型公式得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题可知袋中共有5个球，记作， 从中依次不放回取出2个球，样本点有 ， ， ， 共20个样本点， 记＂第次取到红球＂为事件，则＂第次取到绿球＂为事件， 不妨设为红球，为绿球．两次都取到红球，则． 先取到绿球再取到红球，则， 于是， 即第二次取到红球的概率为. （2）两次都取到红球为事件. 所以两次取出红球的概率为， 即，解得． 33．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【答案】(1)盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； (2)不公平，理由见解析 【分析】（1）根据题设的概率可得关于球数的方程组，求出其解后可得不同颜色的求出. （2）利用列举法可求甲胜或乙胜的概率，从而可判断游戏是否公平. 【详解】（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为x，y，z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件A，得到黄球或蓝球为事件B， 则， 由已知得，解得， 所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1； （2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2个，1个，1个， 用，表示红球，用表示黄球，用表示蓝球， 表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间，． 可得， 记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件， 则，所以， 所以， 因为，所以此游戏不公平． 34．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 【答案】10 【分析】由古典概型概率公式得方程，求解即可. 【详解】根据题意， 从袋中随机摸出一个红球的概率是， 所以. 故答案为：10 35．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题设分析出：要使资金增加必须2次刮出中奖，转化为5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于，再列不等式求n取值. 【详解】由于总资金100元，每次在对一张卡片刮码前下注已有资金的一半. 刮第1张卡前，下注50元： 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否中奖，资金必减少； 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资金减少；中奖资金增加； 所以，要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少； 所以，5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于即可， 由5张卡片中任取2张的方法数有10种，n张“中奖”卡中取到2张的方法数有种， 所以且，故或5，即n至少为4. 故选：C 36．一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由古典概型的概率计算公式，分别列举所有可能情况，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分别列出出所有情况，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由古典概型概率公式，列出方程，即可得到结果. 【详解】（1）将两个红球编号为1，2，四个绿球球编号为3，4，5，6．第一次摸球时有6种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时有5种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，设第一次摸到的球的编号为m，第二次摸到的球的编号为n，样本点为，则样本空间为，则． 设“第二次取到红球”为事件A，则，即 ， 所以，故第二次取到红球的概率为． （2）设“两次取到的球颜色相同”为事件B，则，即 所以，故两次取到的球颜色相同的概率为 （3）由已知得，解得． 37．在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，据此可得答案. 【详解】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，则. 故选：B 38．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. （1）求第二次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率； （3）如果是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）5. 【解析】（1）先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可； （2）结合（1）求解即可； （3）由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可. 【详解】解：（1）从10个球中不放回地随机取出2个共有（种）可能，即. 设事件A=“两次取出的都是红球”，则. 设事件B=“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则. 设事件C=“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则. 设事件D=“两次取出的都是绿球”，则. 事件A，B，C，D两两互斥. ∴P（第二次取到红球）=. （2）P（两次取到的球颜色相同）； （3）,. 又,解得. 39．从湖中打一网鱼，共条，做上记号再放回湖中；数天后再打一网鱼共有条，其中有条有记号，则能估计湖中有鱼 条. 【答案】 【分析】按比例计算． 【详解】估计湖中有鱼条，则，． 故答案为． 40．在一个不透明的袋中，装有若干个颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为，那么袋中球的总个数为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式即得． 【详解】设袋中共有个球，根据古典概型概率公式可得=， 解得，即袋中球的总个数为12个． 故选：C． 题型五：事件的关系与运算 41．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下： 等候人数 0 1 2 3 4 5及以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将所求事件表述为基本事件的并集，由互斥事件的概率加法公式计算即得； （2）利用对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）记“等候的人数为0”为事件A，“1人等候”为事件B，“2人等候”为事件C，“3人等候”为事件D， “4人等候”为事件E，“5人及5人以上等候”为事件F，则易知两两互斥． 记“至多2人排队等候”为事件G，则， 所以； （2）记“至少3人排队等候”为事件H，则事件恰为事件的对立事件. 故. 42．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的加法公式求得. 【详解】由题意可得，. 故选：A 43．已知随机事件A，B，A和互斥，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据互斥事件概率的加法公式求解. 【详解】因为和互斥，所以， 所以，解得， 故答案为：. 44．分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合概率的计算公式，即可求解. 【详解】若采用有放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率； 若采用不放回简单随机抽样，可得抽到的两人都是女生的概率. 故选：A. 45．下列说法中正确的是（    ） A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为 B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D．已知，，且，则 【答案】AC 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用韦恩图法可判断B选项；利用平均数和方差的性质可判断C选项；利用事件的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故数据、、、、、、、、、的下四分位数为，A对； 对于B选项，若事件、互斥且不对立，如下图所示： 则，即的对立事件与的对立事件不一定互斥，B错； 对于C选项，设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和， 若，则、、、、、 的平均数为，方差为，C对； 对于D选项，若，则，故，D错. 故选：AC. 46．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 【答案】B 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于B中，事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于C中，当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于D中，当向上的点数是2时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 47．掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，所以有；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，所以事件A与事件B之间不存在包含关系． 48．某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（    ） A．至多投中2次 B．全部没投中 C．投中1次或全部没投中 D．没有全部投中 【答案】C 【分析】写出某人连续投篮3次，包含的所有基本事件，利用对立事件的定义可得答案. 【详解】某人连续投篮3次，包含的基本事件有①全部没投中，②1次投中，2次没投中， ③2次投中，1次没投中，④全部投中这4个， 事件“至少投中2次”包含基本事件③和④， 事件“投中1次或全部没投中”包含基本事件①和②，则它们互为对立事件， 其他选项不合要求. 故选：C. 49．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 【答案】D 【分析】写出基本事件和样本空间，得到；B，C包含共同的基本事件；C，D包含共同的基本事件；，且，从而判断出结论. 【详解】A选项，设抛掷一颗质地均匀的骰子，向上的点数为基本事件， 则样本空间为， 事件包含的基本事件有点数为1，点数为2，点数为3， 事件包含的基本事件有点数为3，点数为4，点数为5，点数为6， 由于有共同的基本事件，即点数为3，，故A，B不为互斥事件，A错误； B选项，事件C包含的基本事件有点数为5，点数为6， 结合A选项，显然B，C包含共同的基本事件，不互斥，不对立，B错误； C选项，事件包含的基本事件有点数为1，点数为3，点数为5， 结合B选项，可知C，D包含共同的基本事件，不互斥，C错误； D选项，事件包含的基本事件有点数为2，点数为4，点数为6， 结合C选项，，且， 所以D，E为对立事件，D正确. 故选：D 50．已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 【答案】B 【分析】由A与B之间的包含关系可直接得到答案. 【详解】因为，所以, 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 古典概率的五大常考题型 题型一：书写样本空间 题型二：计算古典概率 题型三：有放回与无放回问题 题型四：根据古典概率求参数 题型五：事件的关系与运算 题型一：书写样本空间 1．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 2．投掷两枚质地均匀的骰子，正面朝上的点数分别记为m、n，则能使成立的数对共有 对. 3．掷一枚骰子，记事件“出现奇数点”，事件“出现4点或5点”，事件“点数不超过3”．写出事件所包含的样本点： ，事件所包含的样本点： ． 4．一个箱子中装有编号分别为、、、、的个小球，个小球除编号外其他均无异，现有事件为“从箱中任取个小球观察其编号”，问事件A的样本点数有（       ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．柜子里有3双不同的鞋子，分别用表示6只鞋，从中有放回地取出2只，记事件“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，则事件的概率是 ． 6．袋中装着分别标有数字，，，，的个形状相同的小球，从袋中有放回的依次取出个小球，记第一次取出的小球所标数字为，第二次为. (1)列举出所有基本事件； (2)求是的倍数的概率； 7．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，得到的点数依次记为，，设事件为“方程有实数解”，则事件中含有样本点的个数为（    ） A．6 B．17 C．19 D．21 8．在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)求第一次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率． 9．一个盒子中装有4个编号依次为1､2､3､4的球，这4个球除号码外完全相同，采用放回方式取球，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为. (1)写出试验的样本空间； (2)设事件A=“两次取出球的编号之和小于4”，事件B=“编号”，分别求事件A，B，AB发生的概率. 10．袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同． (1)采取有放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率； (2)采取不放回抽取方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率． 题型二：计算古典概率 11．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 12．已知甲袋中有4个白球､个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，则 . 13．湖北恩施被誉为“世界硒都”，又被称为祖国的后花园．恩施有大峡谷、腾龙洞、神农溪这3个级景区，已知腾龙洞景区有金牌讲解员2人，大峡谷景区有金牌讲解员3人，若从这5人中随机抽取2人，则抽取的这两人来自不同景区的概率为 ． 14．将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 15．某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（    ） A． B． C． D． 16．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（    ）． A． B． C． D． 17．已知一个正整数n，若能找到正整数a、b，使得，则称n为一个“好数”．现在从1到20这20个正整数中任取一个数，取到“好数”的概率为 18．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（   ） A． B． C． D． 19．袋子中装有红、黄、白三种颜色共100个小球（除颜色外完全相同），随机抽取一个小球，取出红球的概率是0.3，取出白球的概率是0.25，那么袋子中黄色的小球共有 个. 20．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加学校辩论赛，则选出的两人恰好是两名女生的概率是（　　） A． B． C． D． 题型三：有放回与无放回问题 21．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 22．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 23．我们规定把同一副扑克牌中的红桃A，黑桃A，梅花A三张牌背面朝上放在桌子上，将扑克牌洗匀后从中随机抽取一张，记下扑克牌的花色后放回，洗匀后再随机抽取一张，则两次抽取的扑克牌为同一张的概率为 .    24．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为 . 25．从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 26．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 27．一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球. (1)写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率； (2)分别求第二次，第三次摸到红球的概率； (3)从求解的结果可以得出一个什么基本事实. 28．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 29．某商场举行抽奖活动，从装有编号0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．那么中奖的概率是（    ） A． B． C． D． 30．口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率． 题型四：根据古典概率求参数 31．一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 32．一个袋子中有5个球，其中个红球，其余为绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． (1)若，求第二次取到红球的概率； (2)若取出的2个球都是红球的概率为，求． 33．已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色．若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜，从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 34．在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则的值为 ． 35．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 36．一个袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中2个红球，4个绿球，从中不放回地依次随机摸出2个球． (1)求第二次取到红球的概率； (2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是2个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少? 37．在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 38．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. （1）求第二次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率； （3）如果是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？ 39．从湖中打一网鱼，共条，做上记号再放回湖中；数天后再打一网鱼共有条，其中有条有记号，则能估计湖中有鱼 条. 40．在一个不透明的袋中，装有若干个颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为，那么袋中球的总个数为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 题型五：事件的关系与运算 41．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下： 等候人数 0 1 2 3 4 5及以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？ 42．已知随机事件满足，则（    ） A． B． C． D． 43．已知随机事件A，B，A和互斥，且，则 . 44．分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，从两名男生和三名女生中抽取两人，在以上两种抽样方式下，抽到的两人都是女生的概率分别为（   ） A． B． C． D． 45．下列说法中正确的是（    ） A．数据、、、、、、、、、的下四分位数为 B．若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C．设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D．已知，，且，则 46．在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或2”，事件C表示“向上的点数大于2”，则下列说法正确的是（   ） A．A与B是对立事件 B．B与C是对立事件 C．A与C是互斥事件 D．A与B是互斥事件 47．掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 48．某人连续投篮3次，下列事件中与事件“至少投中2次”互为对立的是（    ） A．至多投中2次 B．全部没投中 C．投中1次或全部没投中 D．没有全部投中 49．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数不小于3”，“点数大于4”，“点数为奇数”，“点数为偶数”，下列结论正确的是（   ） A．A，B为互斥事件 B．B，C为对立事件 C．C，D为互斥事件 D．D，E为对立事件 50．已知，，且，则（   ） A．0.5 B．0.4 C．0.9 D．0.2 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $