专项07 锐角三角函数及实际问题6大题型（大题专练）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专项07 锐角三角函数及实际问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 锐角三角函数是广东中考必考内容，近5年每年均有考查，分值约6-9分。题型以解直角三角形的实际应用为主，如测高、测距等问题，重点考查特殊角三角函数值的应用及构造直角三角形能力。常在解答题中出现，属中等难度题。 ## 命题趋势 基于近五年考情及2026年备考研讨信息，锐角三角函数的命题呈现三大趋势： 一是题型位置稳定，情境化程度提升。该考点继续以解答题形式呈现，位置在第18-20题区间。试题情境将更加贴近现实生活，如航天测量、建筑高度、物理光学、导航定位等真实场景，要求考生从实际问题中抽象出直角三角形模型。 二是“背靠背”“母子”模型成为主流。近年考题多采用双三角形组合模型（如两次仰角测高），考查综合运用能力。预计2026年将继续强化此类“模型识别+计算”的考查模式。 三是与几何图形的深度融合趋势增强。三角函数将更多与矩形、菱形、圆等几何图形结合考查，或在网格背景下求三角函数值，要求学生具备几何模型识别和转化能力。 ## 2026年预测 预计2026年锐角三角函数题型框架稳定：以双三角形测高（或测距）问题为主，分值约6分。必考内容：特殊角三角函数值的应用、解直角三角形基本方法。建议强化“背靠背”“母子”模型识别训练，特别注意辅助线构造和精确计算能力。 题型01 特殊角的三角函数值的计算 析典例·建模型 1．（2026·广东东莞·一模）计算：． 【答案】5 【分析】本题考查了实数的运算，理解负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值的计算，零指数幂的运算法则，平方根等相关知识是解答关键. 根据负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值的计算，零指数幂的运算法则，平方根的相关知识进行计算求解. 【详解】解： 研考点·通技法 1. 牢记数值与图形 熟记30°、45°、60°的sin、cos、tan值（如sin30°=1/2，tan45°=1）。结合含30°的直角三角形（边长1:√3:2）和等腰直角三角形（1:1:√2）帮助记忆，避免混淆。 2. 避免运算错误 计算时先化简每个三角函数值，再代入表达式。注意tan90°无意义需排除。涉及平方时（如sin²30°）先算平方再求和，根号结果要化简。 3. 活用互余关系 若角度非特殊角（如15°），可转化为特殊角的和差（45°-30°）或用互余关系（sin15°=cos75°）。也可构造辅助线（角平分线、垂线）直接计算比值。最后检验结果是否在[-1,1]范围内。 破类题·提能力 1．（2026·广东东莞·一模）计算： 【答案】5 【分析】本题考查实数的混合运算，先分别计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再合并计算得到结果. 【详解】解： 2．（2026·广东东莞·一模）计算： 【答案】 【详解】解： ． 3．（2026·广东深圳·二模）计算：． 【答案】 【分析】根据零指数幂、绝对值的意义、特殊角三角函数值及负整数指数幂将原式化简，再进行加减运算． 【详解】．解： ． 题型02 与锐角三角函数有关的新定义型问题 析典例·建模型 1．（2026·广东东莞·一模）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角． 【概念理解】 (1)根据概念，完成下列问题： ①如图1，是正度三角形，是正度角．若，则________； ②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为________． 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当是正度三角形，是钝角，是正度角时，存在的结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论； 【拓展应用】 (3)如图3，是的直径，点、是圆上的两点，弦与交于点．连接，，和都是正度三角形，且、分别为正度角时，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据新定义进行列式计算，即可作答． ②根据新定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理列方程再求解即可； （2）作，根据新定义可得，再证明，利用相似三角形的性质和锐角的正切的比例关系证明即可； （3）设，结合、分别为正度角，得出，，运用三角形内角和性质，得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵是正度三角形，是正度角，， ∴， 则， ②设正度角的度数为x． 根据题意可得：， 解得：， ∴正度角的度数为； （2）证明：如图1，作交于D， ∴， ∵是正度三角形，是钝角，是正度角， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接，如图所示： 设， ∵是正度角， 则 ∵是直径， ∴， 则， ∵是正度角， ∴在中，， ∵， ∴， 由内角和可得， 解得， ∴． 研考点·通技法 1. 理解新运算定义 仔细阅读新定义的规则，例如定义“α⊕β=sinα+cosβ”或“正弦平方函数”。用具体特殊角（30°、45°）代入验证，明确运算是数值计算还是关系式。 2. 转化为常规三角函数 将新定义中的符号用标准三角函数（sin、cos、tan）表示，化简表达式。注意新定义可能涉及非特殊角，需利用互余关系（sinα=cos(90°-α)）或勾股定理进行转化。 3. 构造直角三角形求解 若新定义与边长比值有关（如“α的正弦值为m/n”），可构造直角三角形，设边长列方程。结合已知条件（如角度互余、边角关系）建立方程，解出未知量后检验是否满足锐角范围（0°<α<90°）。 破类题·提能力 1．（2026·广东深圳·一模）定义：在平行四边形中，是平行四边形的对角线，点是平行四边形边上一点，分别连接，若满足，则称点为平行四边形的“共轭连接点”． (1)如图1，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，则___________； (2)如图2，在平行四边形中，当共轭连接点在上时，若，，，求的长； (3)如图3，已知在矩形中，矩形的两邻边的之比为，点是矩形的共轭连接点； ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）（提示：圆的内接四边形对角互补） ②请直接写出___________． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②或． 【分析】（1）先解出，再证为等边三角形即可求解； （2）同（1）解出，再过作交于，可证得，求得，即，解出即可求解； （3）①延长，使得，再作的垂直平分线，以为直径作圆即可；②设，再分别在中，利用勾股定理，构建方程求解． 【详解】（1）解：， ， 在平行四边形中，, ，， ， ， ， ， ， 又， ，则为等边三角形， ， ； （2）解：， ， ， ， 由（1）， ，， 又， ， 过作交于， ， 为中点，， 在中，， ， ， ； （3）解：①如图即为所求， 延长，使得， 在和中， ， ， ， 又为直角三角形， 则以为直径作，与交于点， 又圆的内接四边形对角互补， ， 即, 故即为所求； ②如图，不妨设，则，， ， 当在处时，连接， 设，则， 为直径， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， 此时， 同理可得， 综上，或． 2．（2026·广东中山·一模）在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角．如图1，是妙趣三角形，是妙趣角．若，则． 【概念理解】 (1)当妙趣三角形是等腰三角形时，则妙趣角的度数为__________； 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当是妙趣三角形，是钝角，是妙趣角时，存在的结论，请你证明这个结论； 【拓展应用】 (3)如图3，是的直径，点，是圆上的两点，弦与交于点，连接，，和都是妙趣三角形，且、分别为妙趣角时，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）设妙趣角的度数为x．根据新定义，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理列方程再求解即可； （2）先根据新定义证明，再证，推出，即可证明； （3）连接，，设，由为妙趣角，得出，由为妙趣角，得出，根据内角和为180度列式可求得，再证明，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设妙趣角的度数为x． 则， 解得， 即妙趣角的度数为． （2）证明：如图，作交于D， ， 是妙趣三角形，是钝角，是妙趣角， ， ， 又， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，，设， 为妙趣角， ， ， 是的直径， ， ， 为妙趣角， 在中，， ， ， ， 解得， 即． 则， ∵，， ∴， ∴， 则， ∴， 故， ∵， ∴， 则， 即， ∴， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴． 题型03 解直角三角形的应用之仰俯角问题 析典例·建模型 1．（2025·广东东莞·二模）交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图为该段隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离，测速仪C和E之间的距离，一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的俯角为，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为（图中所有点都在同一平面内）． (1)求A，B两点之间的距离（结果精确到）； (2)若该隧道限速，小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】(1)A，B两点之间的距离为840m； (2)未超速，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数是解题关键． （1）先证明四边形CDFE是矩形，得到，再利用三角函数，分别求出求得AD和BF的长，然后根据进行求解，即可得到答案； （2）根据题意，求出小汽车的行驶速度，与隧道限速进行比较即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是矩形， ， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 即A，B两点之间的距离为； （2）未超速，理由如下： 由题意可知，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间为，该隧道限速， 小汽车的速度为， 小汽车从点A行驶到点B未超速． 研考点·通技法 1. 画图标注已知角 根据题意画出直角三角形，仰角（视线在水平线上方）标注在视线与水平线之间，俯角在下方。明确已知边、角，标出未知量（如高度、距离）。 2. 选择合适三角函数 已知对边和邻边用tan，已知斜边用sin或cos。若涉及两个直角三角形（如测楼高），设公共边为未知数，分别列方程联立求解。 3. 近似计算与单位 结果按要求取近似值（如精确到0.1米）。注意统一单位（米/千米），避免计算错误。最后检验所得角度是否在合理范围内（仰俯角0°~90°）。 破类题·提能力 1．（2026·广东汕头·一模）实践与探究： 【主题】汕头市小公园中山亭亭高测量及底座面积的计算． 【素材】如图所示：     ①一底座为正八边形的八角形攒尖顶建筑汕头市小公园中山亭； ②一架80厘米高的测量仪 ． 【实践操作】 步骤1：在距离中山亭底座中心29米处立一个测量仪； 步骤2：利用测量仪（仪高）测得中山亭顶部A的仰角为，通过测量得知底座正八边形的外接圆半径为4米； 步骤3：对测量数据进行分析与计算． 【实践探索】（；；） (1)求中山亭的高度．（结果保留整数） (2)求中山亭底座正八边形的面积；（结果保留根号） 【答案】(1)14米 (2) 【分析】（1）过点作于点F，由题意得米，、，易证明四边形为矩形，进而得到、，根据平行线的性质得到，在中，，利用求解即可； （2）连接和，过点作于点M，根据题意得、，在中，，进而得到，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点F， 由题意得米，、， 、、， ， 四边形为矩形， 、、， ， 在中，， ， 答：中山亭的高度AB约为14米； （2）解：如图，连接和，过点作于点M， 由题意得：、， 在中，， ， ， 答：中山亭底座正八边形的面积为． 2．（2026·广东珠海·一模）综合与实践．在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面1.4米）确定以下两种测量方案． 课题 测量学校旗杆AB高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 测量工具 卷尺、标杆 卷尺、可调节支架的测角仪 测角仪方案 测量示意图 标杆方案 测角仪方案 实施过程 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的F处； ②在F处站直看旗杆顶，调整标杆位置，使标杆顶点C与旗杆顶点A在同一视线上； ③测量，的距离，测量人眼到地面高度、标杆的长度； ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的F处，调整测角仪支架高度，使E与旗杆底部B位于同一水平高度； ②测量旗杆顶A的仰角； ③沿方向前移至D处，再次测量杆顶A的仰角； ④测量距离； 测量数据 ①； ②； ③． ④ ①； ②； ③． 备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③旗杆底部基座与运动场的高度差 ①图上所有点均在同一平面内； ②参考数据：，， (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识： “标杆方案”运用的知识是________，“测角仪方案”运用的知识是________．（请在下列选项中选择一个填入横线中） ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理． (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆的高度（结果精确到），并说明你选择该种方案的理由． 【答案】(1)②，③； (2)选择方案一；理由为测量工具较简单，方便；选择方案二，理由为测量较准确．旗杆的高度约为 【分析】（1）任务一：两种方案各自运用的数学知识作出选择； （2）任务二：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便，先求出，再求出与，然后证明，列出比例式求出，再求出旗杆的高度；选择方案二，理由为测量较准确，设，先用表示出，再表示出，然后利用正切求得，即可． 【详解】（1）解：任务一：②，③； （2）任务二：选择方案一，理由为测量工具较简单，方便， 如图： 由题意得：，，， ，， ． ∵， ∴． ， ， ，即， 解得， ， 答：旗杆的高度约为； 选择方案二，理由为测量较准确， 由题意得：，， 设，，， ． 在中，，， ， 即， 解得（米）， 答：旗杆的高度约为米． 题型04 解直角三角形的应用之方位角问题 析典例·建模型 1．（2025·广东云浮·一模）如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东方向上，海岛B位于海岛A南偏东方向上，海岛C位于海岛B北偏东方向上，海岛C位于海岛D南偏东方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里． (1)求海岛A和海岛C之间的距离．（结果保留根号） (2)一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号） 【答案】(1)海里 (2)时 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点，可得是等腰直角三角形，得海里,解,求出即可得到答案； （2）证明是直角三角形，求出的长，根据时间=路程÷速度可得答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图， ∴， 根据题意得， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵海里， ∴海里， 在中，， ∴海里， ∴海里； （2）解：根据题意得，， ∴是直角三角形， 又， 在中，， ∴海里， ∴该船到达海岛D处所用的时间时． 研考点·通技法 1. 画图建立坐标系 以观测点为中心，按“上北下南，左西右东”画方向标。将方位角（如南偏东30°）转化为与正南或正北方向的夹角，标在图中，明确已知边长和角度。 2. 构造直角三角形 过目标点向南北或东西方向作垂线，将斜三角形分割为两个直角三角形。设未知数（如垂线段长），利用三角函数（sin、cos、tan）列方程求解。 3. 解后检验与作答 求出距离或角度后，检查是否符合方位表述（如距离为正数）。若要求“航行时间”，用路程除以速度。注意单位统一（海里/千米），最终结果按要求取近似值。 破类题·提能力 1．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，码头在码头的正东方向，甲船从码头出发，沿北偏东的方向行驶可直达小岛.若甲船与乙船分别从码头，同时等速出发，均直接驶向小岛，两船可以同时到达. (1)在图中，用尺规作图画出小岛的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，过点作正东方向，乙船从点出发，沿行驶且始终保持到，两边的距离相等，请用尺规法作出航向（不写作法，保留作图痕迹）； (3)以为直径的半圆在的右侧，若乙船沿运动不能到该半圆弧之外，当时，求乙船运动的最远距离的长（参考数据：，，）. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查作垂线、角平分线及解三角形，理解题意，掌握相应图形的作法及性质是解题关键. （1）作的垂直平分线交点A北偏东方向的射线于点C，即为所求； （2）连接，作的角平分线，即为所求； （3）根据题意得：，，然后解三角形即可. 【详解】（1）解：如图（a）所示，作的垂直平分线交点A北偏东方向的射线于点C，即为所求； （2）如图（b），连接，作的角平分线，即为所求； （3）如图（c）， 根据题意得：，， ∴ 答：乙船运动的最远距离长为． 2．（2025·广东广州·二模）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城的边长为，南门设立在边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路在上（门宽及门与道路间距离忽略不计），东侧有一条南北走向的道路处有一座雕塑，处测得雕塑在北偏东方向上，在处测得雕塑在北偏东方向上。 (1)______________________； (2)求点到道路的距离； (3)若该小组成员小李出南门后沿道路向东行走，求她离处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到，参考数据：，） 【答案】(1)90，76 (2)点到道路的距离为4.0千米 (3)小李离点不超过 【分析】本题考查了正多边形的外角、解直角三角形、相似三角形的判定和性质，掌握综合推理能力是解题的关键． （1）求出正八边形的一个外角的度数，再根据角的和差关系进行求解即可； （2）过点作于点，如图所示，在中，求出；在中，求出即可得到答案； （3）连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点，如图所示，解，求出，证明，由相似性质列出比例式进行求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵正八边形， ∴外角， ∴， 故答案为：90，76； （2）解：过点作于点，如图所示： 在中，，， ∴， 处有一座雕塑，在处测得雕塑在北偏东方向上，则， 在中，， 答：点到道路的距离为4.0千米； （3）解：连接并延长交于点，延长交于点，过点作于点，如图所示： ∵正八边形的外角均为， ∴在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴，则， 答：小李离点不超过，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响． 题型05 解直角三角形的应用之坡度坡比问题 析典例·建模型 1．（2026·广东东莞·一模）港珠澳大桥青州航道桥面 B 点高出海平面约 42 米，海底隧道最深处在海平面以下 48米的 A 点，如图，汽车从 B 点沿下坡直线行驶到 A 点，斜坡的坡度（即：坡面的竖直高度与水平宽度 的比），求车辆沿路面行驶了多少米？（结果精确到米，参考数据：） 【答案】米 【分析】根据坡度得到，则可求出，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，米，， ∴， ∴， ∴米， 答：车辆沿路面行驶了米． 研考点·通技法 1. 理解坡度概念 坡度i = tan= （h为铅直高度，l为水平宽度）。坡比常写作1 : m形式，即i = 。注意区分坡角与坡度，避免混淆。 2. 构造直角三角形 过坡顶作水平线、铅垂线，形成直角三角形。已知坡比和一边长，可用设h = k、l = mk表示两边，再通过勾股定理求斜边长（坡面长）。 3. 实际问题应用 求加固加宽后的土石方量（体积=底面积×长）时，需分别计算原坡面和新坡面的截面积差。注意单位统一，结果保留根号或按要求取近似值。最后检验坡比是否小于1（通常坡度小于45°）。 破类题·提能力 1．（2026·广东东莞·一模）综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度 【实践背景】 黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识．某中学九年级学生开展数学综合实践活动，计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个点，求该点相对山脚地面的垂直高度），以提升实践操作与数学应用能力． 【实践器材】 测角仪、卷尺．（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平） 【实践过程】 如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为；然后他沿着坡度为的斜坡向后（远离灯笼方向）行走，到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为．测量时，点A、B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内． 【实践探究】 (1)求斜坡的垂直高度（即长度）和水平宽度（即长度）； (2)根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度（结果保留整数）． （参考数据：；．） 【答案】(1)斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米 (2)灯笼所在位置的高度为205米 【分析】（1）由题意可得，在中利用解直角三角形即可求解； （2）过点作于点，设米，在和中分别计算出，，利用建立方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 在中，（米）， （米）， 答：斜坡的垂直高度为14.5米，水平宽度为48米． （2）解：如图，过点作于点， 由题意可得，，，， ∴四边形是矩形， ∴，米， 设米，则（米）， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴灯笼所在位置的高度为205米． 2．（2026·广东·一模）根据以下素材，探索完成任务． 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．    素材一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如右图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，，．    素材二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面． 问题解决 (1)任务一 计算角度 当等于时，________． (2)任务二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围． (3)任务三 方案选择（从右侧的两种方案中选择一个作答即可） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距（即）为多少． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最大可以定制多长（答案可不用化简）． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点F作，，由题意得，由此即可得出结果； （2）作于点N，延长交于点Q，分别求出当时，当时，的长度即可得出结果； （3）若选择方案一作答：当时，，要充分利用斜坡，则最后一排恰好落在B处，设电池板之间的最大间距为，则，求解即可； 若选择方案二作答：设新电池板的长度，过点作水平线的垂线，交于点E，则，利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， 由题意得：， ； （2）解：作于点N，延长交于点Q， ①当时，则， ， ， ， ， ， ， ， ∴． ②当时，， 同理可得：，． （3）解：若选择方案一作答： ∵H在任意时刻均不能落在内， ∴最大，结合任务二中知：当时，， ∵要充分利用斜坡， ∴最后一排恰好落在B处， 设电池板之间的最大间距为，则， 解得：， ∴， 故在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距（即）为； 若选择方案二作答：如图，设新电池板的长度， 过点作水平线的垂线，交于点E，则 ∵H在任意时刻均不能落在内， ∴最大，即当时，最大， 同任务二可得：， ∵电池板与坡面保持不变， ， ∴，即， 解得， 由题意得：， 解得， 故原来长的电池板最大可以定制． 题型06 解直角三角形的应用之实物图问题 析典例·建模型 1．（2026·广东江门·一模）《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣．”这是世界上最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示．其简易图如图2所示：，呈水平状态，在点上方处放置一面小镜，从目标射来的光线经点反射后到达点，再经过点反射到达观察者眼中．图中，为法线（即，镜面）． (1)如图2，若，，求的度数． (2)在（1）的条件下，若米，求点到点的距离（答案保留根号）． 【答案】(1) (2)点到点的距离为米 【分析】（1）由题意可得，则，求出，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）作于点，则米，由正弦的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，作于点， 由（1）可得：，， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴点到点的距离为米． 研考点·通技法 1. 抽象几何图形 将实物（如楼梯、滑梯、吊车臂）抽象为直角三角形，标注已知边长和角度（如仰角、坡角）。注意实物中的水平线、铅垂线对应直角边。 2. 建立边角关系 根据已知条件选择三角函数（sin、cos、tan）。若涉及多个直角三角形（如旗杆+人眼高度），设公共边为未知数，列方程组求解。 3. 结果实际检验 所求边长应满足实物尺寸合理性（如高度为正、长度大于0）。注意单位换算（厘米/米），结果按要求取近似值。最后作答时需明确所求量（如“臂长至少为多少米”）。 破类题·提能力 1．（2026·广东茂名·一模）淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统．请结合几何原理与实际测量数据，解决以下问题： 已知条件 喷头结构 手柄，与墙面的夹角（称为“调整角”）．水流射线，落点需满足竖直站立者的“舒适喷淋点”要求．    淋浴房参数 矩形是淋浴房的截面图，．固定站立点满足．    人体工程学定义 “舒适喷淋点”（高度=身高）．已知父亲身高，小明身高． 参考数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角，水流恰好落于其“舒适喷淋点”处．求：点到地面的距离． (2)父亲使用后，固定器位置不变（长度固定），调整角改为．判断：小明站立于处时，水流是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由．（计算结果精确到个位） 【答案】(1)； (2)水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处．理由见解析 【分析】（1）作于点N，延长交于点M，利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度； （2）利用的正弦值和余弦值可得和的长度，进而可得的长度，那么根据的正切值可得的长度，那么的长度即为的长度减去的长度，再比较即可． 【详解】（1）解：作于点N，延长交于点M，则， ∵爸爸身高是，此时水流正好喷在爸爸的“舒适喷淋点”C处， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：点A到地面的距离约为； （2）解：当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵小明的身高是， ∴小明的舒适距离， ∵， ∴水流无法喷在小明的“舒适喷淋点”处． 2．（2026·广东惠州·一模）日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图1），圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2）．某中学数学兴趣小组以“惠州地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题． (1)【探究】图3是该小组制作的惠州日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行．已知惠州位于北纬，则晷面与地平面的夹角为___________°． (2)【探究】图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺，表为垂直立竿．已知为0.5米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为0.044米，冬至正午时表的影长为0.5米，请结合参考数据，分别估算夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角．（测量误差忽略不计） (3)【实践】小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的大楼楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部．已知春分日光线与晷面平行，若大楼与树干距离为10米，请结合上述探究的内容，求出此树的高度．（假设树的高度变化忽略不计）【参考数据：，，，，】 【答案】(1)67 (2)夏至时测量时光线与地平面夹角；冬至时测量时光线与地平面夹角 (3)树的高度为14米 【分析】（1）根据晷面与地平面的夹角为当地纬度，计算即可得出结果； （2）分别求出，的值，结合题意分析即可得出结果； （3）过作于，由（1）可知春分光线与地平面夹角为，分别解直角三角形得出米，米，最后结合矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：晷面与地平面的夹角为； （2）解：据题意可知：在中，， 故由参考数据估算得，夏至时测量时光线与地平面夹角， 在中，， 故冬至时测量时光线与地平面夹角； （3）解：过作于，如图所示： 由（1）可知春分光线与地平面夹角为， 在中，，且米， ， 故（米） 由（2）可知冬至光线与地平面夹角为， ， 米， 由条件可知，四边形为矩形， ， ∴（米） 故树的高度为14米． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·广东深圳·一模）计算：． 【答案】0 【详解】解： ． 2．（2025·广东清远·模拟预测）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当  之举，是外 部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A 东北方向，点B在点C南偏西，点D在点C北偏西方向100海里处．（参考数据：） (1)求的长． (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径和哪一条最短？ 【答案】(1)海里 (2)最短 【分析】本题考查了方位角问题(解直角三角形的应用)，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）认真研读题干，得，海里，，然后在中，（海里），则，即可作答． （2）分别算出每条路径的总长，再进行比较，即可作答． 【详解】（1）解：如图，过D点作的垂线交于E点， 根据题意有：，海里，， 在中，（海里）； 在等腰直角中，， ∴（海里）； （2）解：由（1）知，海里，海里，海里，海里， ∴走路线时，（海里）； ∴走路线时，（海里）, 则（海里）, （海里）； ∴（海里）， 则 即选择最短． 3．（2026·广东汕尾·一模）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于与水平线平行，与的夹角为与l的夹角为．经测量：为，为，为，． (1)填空：______，______； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽的高度，并直接写出此时伸缩杆的长度．（参考数据：） 【答案】(1)64，53 (2)高度约为，长度约为 【分析】（1）延长交l于点，延长交l于点，由，利用三角形的外角的性质，可求得的度数，利用平角的定义，可得到的度数； （2）延长交l于点，延长交l于点，在中，解直角三角形得，由得，进而得，在中，解直角三角形得． 【详解】（1）解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：64，53； （2）解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：此时理疗灯灯帽D的高度约为，伸缩杆的长度约为． 4．（2025·广东揭阳·三模）某寄宿学校，吃饭时间很多学生跑步冲下楼梯，某数学兴趣小组在一楼楼梯（近似看作坡度为的斜坡）附近监测学生冲向食堂的情况．如图，监测点到地面的距离米，段为监测区域（在学生脚到达点开始到头顶离开上的点范围内可被监测到，忽略因姿势而影响学生的身高），从点处测得点的俯角为，米． (1)求的长度； (2)求的长度； (3)若平均速度超过2米/秒则判断学生在跑步，一名身高米的学生经过监测区域所用时间为3秒，请判断该学生是否跑步冲下楼梯．（结果精确到米，参考数据：） 【答案】(1)的长约为米 (2)的长度为4米 (3)该学生不是跑步冲下楼梯 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，利用一元一次方程解决几何问题，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形． （1）利用勾股定理求解即可； （2）过点作交延长线于点，过点作于点，求出，设，表示出相关的线段长度得出，求解即可得出结果； （3）过点作于点，根据条件得出，根据相似三角形的性质得出，求出，最后求出速度进行比较即可． 【详解】（1）解：在中，， ，， 由勾股定理得， （米） 答：的长约为米； （2）解：如图，过点作交延长线于点，过点作于点． 则四边形是矩形． 斜坡的坡度是，即， ，设， 则，． ， ， 在中，． ， 解得， ， （米） 答：的长度为4米． （3）解：过点作于点， 则， 又， ， ． ， ． （米）， 则， 答：该学生不是跑步冲下楼梯． 5．（2026·广东佛山·一模）综合与实践 【问题提出】 某校为了解决教职工规范停车问题，计划在长、宽的长方形空地修建一个停车场，并向学校师生征集设计方案． 【资料收集】 某班数学学习小组同学通过网络查阅资料，确定采用“垂直式车位”或“倾斜式车位”两种车位类型进行设计，收集的相关材料及数据如表： 类型 形状 俯视图 边长（单位：m） 行车通道宽度 垂直式车位    矩形 不低于 5.5 2.5 倾斜式车位    平行四边形 不低于 6 2.9 【方案设计】 依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案：    【问题解决】 (1)一个倾斜式停车位的面积为________；（结果精确到） (2)计算方案一的行车通道宽度是否符合设计要求； (3)判断方案二是否合理，若合理，则计算出方案二可以设计多少个停车位；若不合理，则说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1) (2)方案一的行车通道宽度不符合设计要求 (3)方案二合理，可以设计42个停车位 【分析】（1）过H点作的延长线于M点，则．根据三角函数的定义求出的长，再根据平行四边形的面积公式求出平行四边形的面积即可． （2）按照方案一的设计求出行车通道宽度，再与作比较即可得解． （3）结合（1）中的数据先计算行车通道的宽度为，可知方案二合理．根据三角函数的定义求出的长，先计算一行倾斜式车位的数量，再乘以2，则可得方案二共可设计42个停车位． 【详解】（1）解：如图，过H点作交的延长线于M点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴一个倾斜式停车位的面积为． （2）解：∵， ∴方案一的行车通道宽度不符合设计要求； （3）解：由（1）得， ∴行车通道宽度为， ∴方案二合理． ∵中，，，， ∴， ∵， ∴倾斜式车位每行可以设计21个， ∴方案二可以设计倾斜式车位共42个． 6．（2024·广东江门·二模）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． (1)【初步尝试】填空：我们知道：，，发现当是锐角时，____（填“”或“”）． (2)【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小明想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小明的思路求的值． (3)【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，在直角三角形中作辅助线，是解决本题的关键． （1）根据锐角三角函数公式即可求解． （2）根据题意可知，，即可求解的值． （3）作的垂直平分线交于点，连接，设，则，即，根据勾股定理得出，求出．作的垂直平分线交于，连接，设，得出，根据勾股定理得出，求出，求出三角函数值即可． 【详解】（1）解：∵，， ； 故答案为：； （2）解：如图1，在中，，，， ， ， ， ，， ， （3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接． 则， ∴， ∴， 中，，，， ∴， 设，则，即， 在中，， 解得：． 即，， 作的垂直平分线交于，连接， 同理可得：， 设， ， 在中，， 解得：， ， 即． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专项07 锐角三角函数及实际问题 。。。。。●。。●●。●●●e。。●●●。●。0。●e●●9●●●●●●●●●●●●●●●●●●●。●●●●e●●●。●●。。。。。0p。●e●●●00。e999 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 PART 命题解码•定方向 锐角三角函数是广东中考必考内容，近5年每年均有考查，分值约6-9分。题型以解直角三角形的实际 应用为主，如测高、测距等问题，重点考查特殊角三角函数值的应用及构造直角三角形能力。常在解答 题中出现，属中等难度题。 烘命题趋势 基于近五年考情及2026年备考研讨信息，锐角三角函数的命题呈现三大趋势： 是题型位置稳定，情境化程度提升。该考点继续以解答题形式呈现，位置在第18-20题区间。试题情 境将更加贴近现实生活，如航天测量、建筑高度、物理光学、导航定位等真实场景，要求考生从实际问 题中抽象出直角三角形模型。 二是“背靠背”“母子”模型成为主流。近年考题多采用双三角形组合模型（如两次仰角测高），考查 综合运用能力。预计2026年将继续强化此类“模型识别+计算”的考查模式。 三是与几何图形的深度融合趋势增强。三角函数将更多与矩形、菱形、圆等几何图形结合考查，或在网 格背景下求三角函数值，要求学生具备几何模型识别和转化能力。 拼2026年预测 预计2026年锐角三角函数题型框架稳定：以双三角形测高（或测距）问题为主，分值约6分。必考内 容：特殊角三角函数值的应用、解直角三角形基本方法。建议强化“背靠背”“母子”模型识别训练， 特别注意辅助线构造和精确计算能力。 PART 02 解题建模•通技法 1/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 >题型01特殊角的三角函数值的计算<《 析典侧，.建摸型 1. (2026广东东莞一模)计算：27+)》 -3tan60°+（π-V2)°. 研考点：通技法 .牢记数值与图形 熟记30°、45°、60°的sin、cos、tan值（如sin30°=1/2，tan45°=1）。结合含30°的直角三角形 (边长1：√3：2)和等腰直角三角形(1：1：√2)帮助记忆，避免混淆。 12.避免运算错误 计算时先化简每个三角函数值，再代入表达式。注意tan90°无意义需排除。涉及平方时（如s230°) 「先算平方再求和，根号结果要化简。 !3.活用互余关系 若角度非特殊角（如15°)，可转化为特殊角的和差(45°-30°)或用互余关系(sin15°=cos75°) 也可构造辅助线（角平分线、垂线)直接计算比值。最后检验结果是否在红1,1]范围内。 破送题提能力 1.(2026广东东莞一模)计算：V16+2sin60°-（π-2026）°+V3-2 2.(206广东东莞一模)计算：(x-°+27+2cos60++( 3. (2026广东深圳二模)计算：(2025-元°+W5-2+2sin60°- >题型02与锐角三角函数有关的新定义型问题<《 析典侧：.建模里 1.(2026广东东莞·一模)【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度 的和，则称这个钝角三角形为正度三角形，这个锐角叫做正度角， 2/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 图2 图3 【概念理解】 (1)根据概念，完成下列问题： ①如图1，ABC是正度三角形，∠C是正度角.若∠B=130°，则LC=: ②若正度三角形是等腰三角形时，则正度角的度数为 【性质探究】 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当ABC是正度三角形，∠B是钝角，∠A是正度角时，存在tanA= BC 的 结论，亲爱的同学，请你深入思考并证明这个结论： 【拓展应用】 (3)如图3，AB是OO的直径，点C、D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E,连接AD,BD,△ACE和 △BCD都是正度三角形，且∠CAB、∠DCB分别为正度角时，求∠CAB的度数， 研考点通技法 11.理解新运算定义 仔细阅读新定义的规则，例如定义“a⊕B=sina+cosB”或“正弦平方函数”。用具体特殊角(30° 45°)代入验证，明确运算是数值计算还是关系式。 12.转化为常规三角函数 将新定义中的符号用标准三角函数(sin、cos、tan)表示，化简表达式。注意新定义可能涉及非特殊角 1需利用互余关系(sina=cos(90°-a)或勾股定理进行转化。 3.构造直角三角形求解 若新定义与边长比值有关（如“a的正弦值为m”),可构造直角三角形，设边长列方程。结合己知 条件（如角度互余、边角关系）建立方程，解出未知量后检验是否满足锐角范围(0°<a<90°)。 破类题提能力 1.(2026广东深圳一模)定义：在平行四边形ABCD中，AC是平行四边形ABCD的对角线，点P是平行 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 四边形ABCD边上一点，分别连接PA、PB,若满足LAPB+∠ACB=180°，则称点P为平行四边形ABCD的 “共轭连接点” B B P ■ C D C 图1 图2 图3 (1)如图1，在平行四边形ABCD中，当共轭连接点P在BC上时，若AC⊥DC,∠D=30°，AC=3,则 BP= ； (②如图2，在平行四边形ABCD中，当共能连接点P在8C上时，若4C1DC,anD=,4C:5,求 BP的长； (3)如图3，已知在矩形ABCD中，矩形的两邻边的之比为3：1，点P是矩形ABCD的共轭连接点； ①请在下面的矩形中标记上字母，用尺规作图找到点P；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，并写出必要 的文字说明)（提示：圆的内接四边形对角互补） ②请直接写出DP CP 2.(2026广东中山一模)在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这 个钝角三角形为妙趣三角形，这个锐角叫做妙趣角.如图1，ABC是妙趣三角形，∠C是妙趣角.若 ∠B=130°，则∠C=∠B-90°=40°. B D 图1 图2 图3 【概念理解】 (1)当妙趣三角形是等腰三角形时，则妙趣角的度数为 【性质探究】 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，数学兴趣小组发现，当ABC是妙趣三角形，∠B是钝角，∠A是妙趣角时，存在tanA= BC的 AC 结论，请你证明这个结论： 【拓展应用】 (3)如图3，AB是OO的直径，点C,D是圆上的两点，弦CD与AB交于点E,连接AD,BD,△ACE和 △BCD都是妙趣三角形，且∠CAE、∠DCB分别为妙趣角时，求CE的值. ED >题型03解直角三角形的应用之仰俯角问题<〈 ♪析典例建模型 1.(2025·广东东莞·二模)交通安全心系千万家，高速公路管理局在某隧道内安装了测速仪，如图为该段 隧道的截面示意图，测速仪C和测速仪E到路面之间的距离CD=EF=7m,测速仪C和E之间的距离 CE=830m,一辆小汽车在水平的公路上由西向东匀速行驶，在测速仪C处测得小汽车在隧道入口A点的 俯角为25°，在测速仪E处测得小汽车在B点的俯角为60°，小汽车在隧道中从点A行驶到点B所用的时间 为40s(图中所有点都在同一平面内). 25o 60°E D ◆'BF 7777777777777777 777777 隧道入口 (I)求A,B两点之间的距离（结果精确到1m); (2)若该隧道限速22ms,小汽车从点A行驶到点B是否超速？通过计算说明理由.（参考数据：√3≈1.7， sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5) 考点通技法 ·1.画图标注己知角 根据题意画出直角三角形，仰角（视线在水平线上方）标注在视线与水平线之间，俯角在下方。明确已： ·知边、角，标出未知量（如高度、距离)。 12.选择合适三角函数 己知对边和邻边用tan,己知斜边用sn或cos。若涉及两个直角三角形（如测楼高)，设公共边为未知· 5/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 厂一-一- 数，分别列方程联立求解。 3.近似计算与单位 结果按要求取近似值（如精确到0.1米)。注意统一单位（米/千米)，避免计算错误。最后检验所得角 度是否在合理范围内（仰俯角0°~90°）。 破送题提能九 1.(2026广东汕头一模)实践与探究： 【主题】汕头市小公园中山亭亭高测量及底座面积的计算. 【素材】如图所示： ①一底座为正八边形的八角形攒尖顶建筑汕头市小公园中山亭： ②一架80厘米高的测量仪· 【实践操作】 步骤1：在距离中山亭底座中心29米处立一个测量仪DE; 步骤2：利用测量仪（仪高80cm)测得中山亭顶部A的仰角为25°，通过测量得知底座正八边形的外接圆 半径为4米； 步骤3：对测量数据进行分析与计算， B 【实践探索】（sin25°≈0.423；c0s25°≈0.906；tan25°≈0.466) (I)求中山亭的高度AB.(结果保留整数) (2)求中山亭底座正八边形的面积；（结果保留根号） 6/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026广东珠海一模)综合与实践.在数学活动课中，老师组织同学们分小组测量学校旗杆的高度（学 校旗杆底部有基座，经测量，基座高于运动场水平面1.4米)确定以下两种测量方案. 课题 测量学校旗杆AB高度 成员 组长：××组员：××，×X,×× 卷尺、可调节支架的测角仪 卷尺、标杆 A 测角仪方案 测量工具 M B 1.4mh YM B E N D 1.4mh N 测量示意 标杆方案 测角仪方案 图 ①选取运动场与旗杆相距一定距离的F ①在运动场与旗杆底部相距一定距离的F处，调 处； 整测角仪支架高度，使E与旗杆底部B位于同一 ②在F处站直看旗杆顶，调整标杆DC 水平高度； 实施过程 位置，使标杆顶点C与旗杆顶点A在同 ②测量旗杆顶A的仰角∠AEB; 一视线上； ③沿EB方向前移至D处，再次测量杆顶A的仰 ③测量DF,GH的距离，测量人眼到 角∠ACB; 地面EF高度、标杆CD的长度； ④测量DF距离； ①DF=1.4m; ①∠AEB=42°； ②GH=38.6m; 测量数据 ②∠ACB=45°； ③CD=2.6m. ③DF=3.2m. ④EF=1.6m ①图上所有点均在同一平面内： ①图上所有点均在同一平面内： 备注 ②AB,CD均与地面垂直； ②参考数据：sin42°≈0.67，c0s42°≈0.74， ③旗杆底部基座与运动场的高度差 tan42°≈0.90 7/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 MN =1.4m (1)任务一：说明以上两种方案各自运用的数学知识： “标杆方案”运用的知识是 ,“测角仪方案”运用的知识是 (请在下列选项中选择一个填入 横线中) ①全等三角形；②相似三角形；③锐角三角函数；④勾股定理， (2)任务二：根据以上测量结果，任意选择一种方案，计算旗杆AB的高度（结果精确到0.1m),并说明你 选择该种方案的理由， >题型04解直角三角形的应用之方位角问题<了 析典侧：建模型 1.(2025·广东云浮一模)如图，某一海域有4个海岛A,B,C,D,海岛C在海岛A的正东方向，海岛 D位于海岛A北偏东60°方向上，海岛B位于海岛A南偏东45°方向上，海岛C位于海岛B北偏东60°方向 上，海岛C位于海岛D南偏东30°方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里. 北 西→东 30 160° 念 45 60° B (1)求海岛A和海岛C之间的距离AC.(结果保留根号) (2)一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿AD方向前往海岛D处运送物资.求该船到达海岛D 处所用的时间.（结果保留根号） 研考点通技法 11.画图建立坐标系 以观测点为中心，按“上北下南，左西右东”画方向标。将方位角（如南偏东30°）转化为与正南或 正北方向的夹角，标在图中，明确已知边长和角度。 2.构造直角三角形 过目标点向南北或东西方向作垂线，将斜三角形分割为两个直角三角形。设未知数（如垂线段长），利】 8/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一一一一-一-一- 用三角函数(sin、cos、tan)列方程求解。 3.解后检验与作答 求出距离或角度后，检查是否符合方位表述（如距离为正数）。若要求“航行时间”，用路程除以速度 注意单位统一（海里千米），最终结果按要求取近似值。 破送题提能力 1.(2025·广东深圳模拟预测)如图，码头B在码头A的正东方向，甲船从码头A出发，沿北偏东40°的方 向行驶可直达小岛C若甲船与乙船分别从码头A,B同时等速出发，均直接驶向小岛C,两船可以同时到 达 东 40 (1)在图中，用尺规作图画出小岛C的位置（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在(1)的基础上，过点C作正东方向CD,乙船从点C出发，沿CQ行驶且始终保持到CD,CB两边的 距离相等，请用尺规法作出航向CQ(不写作法，保留作图痕迹)； (3)以BC为直径的半圆在BC的右侧，若乙船沿CQ运动不能到该半圆弧之外，当BC=20km时，求乙船运 动的最远距离CP的长（参考数据：sin25°=0.423，c0s25°=0.906，tan25°=0.466）· 2.(2025·广东广州·二模)图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究数学兴 趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A,A,4,A4,AA,A,的边长为√2km,南门0设立在 A。A,边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,A。A,在BM上（门宽及门与道路间距离忽略不计）， 东侧有一条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑，A处测得雕塑在北偏东45°方向上，在4处测得雕塑在北 偏东59°方向上。 北 个东 3 9. A A 6 A 0 M As A 图1 图2 (1)∠CA,A2= °，∠CA2A= 9/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求点A到道路BC的距离； (3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会 受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km,参考数据：√2≈1.41，sin76°≈0.97， tan76°≈4.00，sin59°≈0.86，tan59°≈1.66) >题型05解直角三角形的应用之坡度坡比问题<〈 析典侧.建摸興 1.(2026广东东莞·一模)港珠澳大桥青州航道桥面B点高出海平面约42米，海底隧道最深处在海平面 以下48米的A点，如图，汽车从B点沿下坡直线BA行驶到A点，斜坡AB的坡度i=2.79100(即：坡 面的竖直高度BC与水平宽度AC的比)，求车辆沿路面行驶了多少米？（结果精确到01米，参考数据： sin1.6°≈0.0279，c0s1.6°≈0.9996，tan1.6°≈0.0279) 研考点通技法 丨1理解坡度概念 坡度i=a乡(h为铅直高度，1为水平宽度)。坡比常写作1：m形式，即i=点。注意区分坡角0 」与坡度，避免混淆。 ！2.构造直角三角形 过坡顶作水平线、铅垂线，形成直角三角形。己知坡比和一边长，可用设h=k、1=mk表示两边，再通！ ·过勾股定理求斜边长（坡面长）。 ·3.实际问题应用 求加固加宽后的土石方量（体积=底面积×长）时，需分别计算原坡面和新坡面的截面积差。注意单位 1统一，结果保留根号或按要求取近似值。最后检验坡比是否小于1（通常坡度小于45°）。 破类题提能力 1.(2026广东东莞一模)综合与实践：测量黄旗山灯笼所在位置的高度 【实践背景】 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 黄旗山是东莞的标志性景观，山顶的灯笼是该景区的核心标识.某中学九年级学生开展数学综合实践活动， 计划利用测角仪、卷尺等工具，结合解直角三角形的知识，测量灯笼所在位置的高度（即将灯笼视为一个 点，求该点相对山脚地面的垂直高度)，以提升实践操作与数学应用能力， 【实践器材】 测角仪、卷尺。（本次测量忽略测角仪高度，即测角仪视线与观测点地面齐平） 【实践过程】 如图，小明在山脚地面上的点A处，测得灯笼所在位置P的仰角为22°；然后他沿着坡度为17°的斜坡向后 (远离灯笼方向)行走50m,到达观景台点B处，再次测得灯笼所在位置P的仰角为18.6°.测量时，点A、 B、C与灯笼底部的投影点Q在同一竖直平面内。 Bs-1.18.6° 22 A 【实践探究】 (1)求斜坡的垂直高度（即BC长度）和水平宽度（即AC长度）； (2)根据测量数据，求出灯笼所在位置的高度PQ(结果保留整数)· (参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31；sin18.6°≈0.32，cos18.6°≈0.96，tan18.6°≈0.34； sin22°≈0.38，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40.) (2026广东一模)根据以下素材，探索完成任务 项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某 厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板 都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究. 将电池板的侧面摆放情况抽象成如右图所示的 数学示意图，其中第一排电池板AD位置固定， 太阳光线 第二排HG位置待确定，每块电池板与坡面夹角 太阳能电池板G 素材一 太阳能电池板 D 固定不变，DE,GM所在的直线垂直于水平线 AC,坡面AB=400cm,∠BAC=16°， AD=HG=100cm,AE=91cm,∠DAC=31° 11/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 上午太阳光线与水平线的夹角α范围为 14°<u≤29°，EF为阴影长，为了使得太阳能 素材二 电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外 珍 问题解决 (1)任务一计算角度当a等于14°时，∠AFD= (2)任务二探究影长求DE在斜坡上的阴影EF的取值范围. (3)任务三方案选择（从右侧的两种方案中选择一个作答即可）方案一：若在该斜坡上安装3排100©m的 电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板下面两个端点之间的最大间距（即EH )为多少 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来100©m长的电池板最大可 以定制多长（答案可不用化简） >题型06解直角三角形的应用之实物图问题<〈 析典侧.建摸型 1.(2026广东江门一模)《准南万毕术》记载：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻矣."”这是世界上 最早的潜望镜应用，其原理利用了光的反射定律（入射角等于反射角），如图1所示.其简易图如图2所 示：A,B呈水平状态，在A点上方C处放置一面小镜，从目标B射来的光线经C点反射后到达A点，再经 过A点反射到达观察者眼中，图中AE,CD为法线（即AE⊥AB,CD⊥镜面）， 大镜 镜面 B 图1 图2 (1)如图2，若∠BCD=30°，∠CAE=15°，求∠ABC的度数， (2)在(1)的条件下，若AB=12米，求点C到点A的距离（答案保留根号）. 考点通技法 12/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一一一 1.抽象几何图形 将实物（如楼梯、滑梯、吊车臂）抽象为直角三角形，标注已知边长和角度（如仰角、坡角）。注意实 物中的水平线、铅垂线对应直角边。 2.建立边角关系 根据己知条件选择三角函数(s、cos、an)。若涉及多个直角三角形（如旗杆+人眼高度），设公共 边为未知数，列方程组求解。 3. 结果实际检验 所求边长应满足实物尺寸合理性（如高度为正、长度大于0）。注意单位换算（厘米米），结果按要求 取近似值。最后作答时需明确所求量（如“臂长至少为多少米”)。 破类题提能力 1.(2026广东茂名一模)淋浴房喷头位置的数学建模探究 题目背景：为优化淋浴体验，某品牌淋浴房设计了可调节喷头系统.请结合几何原理与实际测量数据，解 决以下问题： B 手柄AB=30cm,与墙面EH的夹角∠HAB=a(称为 喷头 “调整角”)，水流射线BC⊥AB,落点C需满足竖直 结构 站立者的“舒适喷淋点”要求。 E 己 H G B 多 淋浴 矩形EFGH是淋浴房的截面图， 条 房参 EF=90cm,EH=195cm.固定站立点D满足 件 数 DE =54cm E D 人体 工程 “舒适喷淋点”（高度=身高-30cm)·已知父亲身高170cm,小明身高140cm. 学定 义 13/18 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 参考 sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80，tan37°≈0.75，V3≈1.73 数据 问题解决 (1)当父亲使用喷头时，调整角a=37°，水流恰好落于其“舒适喷淋点”C处(CD=170-30=140cm).求：点 A到地面的距离AE, (2)父亲使用后，固定器位置不变(AE长度固定)，调整角改为=60°.判断：小明站立于D处时，水流 是否能喷到他的“舒适喷淋点”？通过计算说明理由.（计算结果精确到个位） 2.(2026广东惠州一模)日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图 1),圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2），某中学数学兴趣小组以“惠州地域下的古代计时工具”为 主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题， 晷针 地平面 光线光线 地轴 晷面 表 底座 秋分 23 赤道 地球 夏至 春分冬至 图1 图2 图3 冬至阳光、 春分阳光 南 北 夏至 冬至 D 图4 图5 (1)【探究】图3是该小组制作的惠州日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行.已 知惠州位于北纬23°，则晷面与地平面的夹角为 (2)【探究】图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺OM,表为垂直立竿OA.已知OA为 0.5米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长OB为0.044米，冬至正午时表的影长0C为0.5米，请结合参 考数据，分别估算夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角.（测量误差忽略不计） 14/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)【实践】小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的大楼楼顶E射入，恰好射到大楼 北侧一棵木棉树的顶部F;春分正午时，阳光从该楼顶E射入，恰好照射到树的根部G,已知春分日光线 与晷面平行，若大楼与树干距离DG为10米，请结合上述探究的内容，求出此树的高度GF.(假设树的 高度变化忽略不计)【参考数据：tan23°≈0.4，tan67°≈2.4，tan84°≈9.5，tan85°≈11.4，tan86°≈14.3】 ☑PART 03 实战刷题•冲高分 （建议用时：45分钟) 刷模拟、 1.(2026广东深一机)计第：-+-2+2as604(x--得)八 2.(2025·广东清远模拟预测)中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利 益的正当之举，是外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动， 某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向， D在A东北方向，点B在点C南偏西60°，点D在点C北偏西30°方向100海里处.（参考数据： √2≈1.41，√5≈1.73,6≈2.45) B (1)求AD的长. (2)由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B,那么C到A的两条路径C-D-A和 C-B-A哪一条最短？ 3.(2026广东汕尾一模)现有一台红外线理疗灯（如图1所示)，该设备的主体由底座AB、立柱BC、 15/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 伸缩杆CD和灯臂DE组成.A,B,C三点在同一直线上.图2是该设备的平面示意图.AC垂直于 AF,AF与水平线I平行，CD与I的夹角为∠1，DE与1的夹角为∠2.经测量：AB为12cm,BC为26cm, DE为30cm,∠BCD=154°，∠CDE=63°. M 图1 图2 (1)填空：∠1= °，∠2= o; (2)已知点E到AF的距离EM为50cm时，该设备使用效果最佳.求此时理疗灯灯帽D的高度，并直接写出 此时伸缩杆CD的长度.（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80） 4.(2025·广东揭阳·三模)某寄宿学校，吃饭时间很多学生跑步冲下楼梯，某数学兴趣小组在一楼楼梯（近 似看作坡度为1：√3的斜坡MC)附近监测学生冲向食堂的情况.如图，监测点A到地面的距离AE=10米， BC段为监测区域（在学生脚到达点B开始到头顶离开AC上的点T范围内可被监测到，忽略因姿势而影响 学生的身高)，从点A处测得点B的俯角为30°，AC=4V13米. M B. (1)求CE的长度； (2)求BC的长度； (3)若平均速度超过2米/秒则判断学生在跑步，一名身高1.5米的学生经过监测区域所用时间为3秒，请判断 该学生是否跑步冲下楼梯.（结果精确到0.1米，参考数据：√5≈1.73） 5.(2026广东佛山一模)综合与实践 【问题提出】 某校为了解决教职工规范停车问题，计划在长65m、宽16m的长方形空地修建一个停车场，并向学校师生 征集设计方案。 【资料收集】 16/18 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 某班数学学习小组同学通过网络查阅资料，确定采用“垂直式车位”或“倾斜式车位”两种车位类型进行设计， 收集的相关材料及数据如表： 类型 形状 俯视图 边长（单位：m) 行车通道宽度 D AB BC 垂直式车位 矩形 不低于6m 5.5 2.5 B E H EF FG 倾斜式车位 平行四边形 不低于4.5m 6 2.9 F60°6 【方案设计】 依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案： 方案一 方案二 …… 行车通道 行车通道 … … 【问题解决】 (1)一个倾斜式停车位的面积为 m2;（结果精确到0.1m2) (2)计算方案一的行车通道宽度是否符合设计要求： (3)判断方案二是否合理，若合理，则计算出方案二可以设计多少个停车位；若不合理，则说明理由.（参 考数据：√2≈1.41，√3≈1.73) 6.(2024广东江门二模)综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三 角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究. B B D A 图1 图2 (0)【初步尝试】来空：我们知道：an60:=5,an30°=5，发现当∠A是锐角时，an4一2a}4 3 (填=”或“≠”). 1718 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 @【实践深究】在解决如图1，在R1△4BC中，∠C=90,4C=4,BC=3,求am台∠84C的筐这- 问题时，小明想构造包含)∠B4C的直角三角形，延长C4到点D,使DA=AB,连接BD,所以可得 ∠D=∠BAC,间题即转化为求∠D的正切值，请按小明的思路求an;∠BAC的值. 2 2 (3)【拓展延仰】如图2，在R△48C中，∠C=90°，4C=9,amA=号，求a(40的值。 18/18