河北部分高中2026届高三二模数学试题

**基本信息** 立足高中数学核心内容，融合人工智能推荐系统、AI模型对比等时代情境，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，适配二模综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、等比数列、向量应用、抛物线|第4题以推荐系统为背景考查向量模的优化，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|3题15分|二项式定理、椭圆离心率、三角函数零点|第14题含绝对值三角函数零点问题，考查数学思维的严谨性| |解答题|5题77分|独立性检验、数列、立体几何、双曲线、导数|第15题以AI模型对比设计独立性检验，第19题导数极值点证明，突出数学语言表达与逻辑推理|

数学试题 本试卷共19题，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={yly=x²+4},则A∩B= A.{4,5} B.{1,2,3,4,5} C.{4} D.∅ 2.若z+i=2(1-zi),则z= A. - 5i B.5i C. - i D. i 3.已知正项等比数列{an}满足 则 A.8 B.8 C.4 D.4 4.在某人工智能推荐系统中，用户偏好与商品特征会被编码为特征向量，即c=a-b，其中a代表用户偏好向量，b代表商品特征向量，lel越小，商品越符合用户喜好.已知某用户偏好向量a=(4，2)，某件商品的特征向量b=(x，x)，当该商品最符合该用户喜好时，x的值是 A.3 B.2 C.1 D.0 5.已知抛物线C 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，若则p= A.1 B.2 C.3 D.4 6.若函数的图象在点.M(x₁,f(x₁))处的切线恰好与函数 的图象切于点N(x₂,g(x₂)),则. A. B. - 2 C. - e D. - 3 7.若圆 M: 上存在两点A,B,且直线l:3x+4y-5=0上存在点 P,使得∠APB=60°,则r的取值范围是 A.(0,4] B.[4,+∞) C.(0,2] D.[2,+∞) 8.已知某口袋中装有编号分别为1，2，3，4的红色小球各一个，编号分别为1，2，3，4的白色小球各一个(共8个小球，除颜色与编号外，其他完全相同)，每次从口袋中不放回地任取一个小球，只要取到相同编号的红色小球和白色小球，就结束取球.记取球次数为X，则X的数学期望为 B. C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知在锐角三角形ABC中,sin(B-C)+sin(B-A)>0,则 A. A+C>2B B. C. tan Atan B >1 D. 10.如图,四面体ABCD中,O₁,O₂分别为△ABC,△BCD的重心,则 A. AO₁与CO₂可能平行 B. O₁O₂∥平面ABD C.若△ABC与△BCD 均为等边三角形,则平面ABC⊥平面AO₁O₂D D.若△ABC与△BCD 均为等边三角形,则 11.已知函数f(x)的定义域为R 且当x>0时,f(x)>0,则 A. f(0)=0 B. f(x)是增函数 C. 函数. 是增函数 D.若实数x₁,x₂ 满足. 则 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分。 12.(3x-1)⁶的展开式中x的系数为 . 13.已知 F₁,F₂分别是椭圆. 的左、右焦点，P是E上位于x轴上方的一点，直线PF₂交E 于另一点 B, 且 则E 的离心率为 . 14. 已知函数f(x)=|sinx|+|cosx|+acos 2x,a∈R,若f(x)在区间(0,2 026π)内恰有2 026 个零点，则实数a 的值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模型A，为了比较其与传统人工智能模型B的文本生成效果，随机抽取A，B两种模型各40次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，且部分统计数据如下表. 有效生成 无效生成 合计 模型A 4 模型 B 12 合计 16 (1)完成2×2列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，若利用模型A随机生成1次文本，求该文本生成效果为有效生成的概率； (2)根据小概率值α=0.05 的独立性检验，判断文本生成效果与模型类型是否有关. 附 α 0.100 0.050 0.010 xα 2.706 3.841 6.635 学科网（北京）股份有限公司 16.(15分) 已知 是数列 的前n项和， (1)求 的通项公式； (2)若数列 的前n项和为 证明： 17.(15分) 如图，四棱台 的底面为正方形， 平面 与平面 的交线为l. (1)证明:l⊥平面ADD₁A₁; (2)若 直线AA₁ 与 交于点 M，点N是l上一点，且 当直线BB₁ 与平面 NAC 所成的角最大时,求 MN. 学科网（北京）股份有限公司 18.(17 分) 已知双曲线 的离心率为 点 在 Γ上. (1)求Γ 的方程. (2)已知A,B分别为Γ 的左、右顶点,过点M(4,0)的直线与 Γ 的右支交于 C,D 两点. (i)若直线BC 和 BD 的斜率分别为k₁,k₂,求k₁k₂; (ii)若直线BC交直线x =﹣2 于点 N,直线AD 和直线MN的交点为 Q,证明:点Q 在定直线上. 19.(17分) 已知函数 是f(x)的导函数. (1)当a=0时，证明：f(x)≥x-1; (2)讨论f(x)的极值点个数； (3)若f(x)有两个极值点 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $