7.1条件概率和全概率公式讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1 条件概率和全概率公式 题型预览 题型一 计算条件概率 题型二 条件概率乘法公式的应用 题型三 利用全概率公式求概率 题型四 利用贝叶斯公式求概率 知识清单 条件概率的理解 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生． 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【注意】(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生 (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件 应用乘法公式求概率的关注点 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A). 互斥事件的条件概率 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【注意】若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ 称此公式为全概率公式． 【注意】(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和 (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝ (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有 题型突破 题型一 计算条件概率 1．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）一枚质地均匀的正四面体骰子，各个面上分别有1，2，3，4个点.抛掷该骰子两次，已知着地一面上的点数之和为4，则两次都是奇数点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】设事件为“两次掷骰子点数之和为4”，事件为“两次都是奇数点”， 事件（点数和为4）的所有等可能有序结果： 抛掷两次骰子，点数满足的结果为：，共3种， 事件的结果： 满足条件的结果为：，共2种， 由条件概率计算公式得：. 2．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】袋中原来有个小球，其中白球有个， 已知第一次抽到白球，则第一次抽取后：袋中还剩个小球， 白球还剩个， 所以在“第一次抽到白球”这个条件下，第二次抽到白球的概率为 3．（25-26高二下·湖北荆州·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各3个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 故. 4．（2026·山西临汾·二模）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. 5．（2026·江苏苏州·二模）对于事件A、B，，，，则（   ） A．0.7 B．0.75 C．0.85 D．0.9 【答案】A 【详解】由条件概率公式，可得， 故 又因，则. 6．（25-26高二下·吉林四平·月考）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 题型二 件概率乘法公式的应用 7．（25-26高二下·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件概率公式可得出的值，分析可知，且与互斥，利用互斥事件的概率公式可求得的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【详解】由条件概率公式可得，所以， 因为，且与互斥，所以， 所以， 由条件概率公式可得. 8．（24-25高二下·浙江·期中）（多选）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 【答案】ABD 【分析】条件概率是指事件发生的条件下事件发生的概率，记为，计算公式为，其中.事件与事件相互独立的充要条件是，结合定义和性质，对选项逐一判断. 【详解】选项A，，A选项正确. 选项B，，B选项正确. 选项C，，，不能得出，选项C错误. 选项D，，D选项正确. 9．（2026·江西赣州·一模）（多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 10．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用相互独立事件的概率与条件概率计算即可. 【详解】由已知得， 注意到，所以相互独立， 故， ， 又因为，故， 所以. 故选：C. 11．（25-26高二上·江西九江·期末）（多选）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 【答案】BCD 【分析】利用互斥事件，相互独立事件同时发生乘法公式，条件概率公式来进行判断即可. 【详解】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，对于古典概型，若，则事件与互斥，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，则， 所以，故与独立，即事件与独立，D对． 故选：BCD． 12．（25-26高三上·湖北武汉·月考）（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 【答案】BCD 【分析】根据条件概率的计算公式以及并事件的概率公式，可得方程组，进而可得，则，所以，根据相互独立满足的公式即可判断A，结合基本不等式即可求解C,根据条件概率即可求解D. 【详解】由可得, 又, , 则, 不妨设，则， 所以，化简得， 设，则，所以， 对于A，要使A，B相互独立，则需要， 即，即，不恒成立，故A错误， 对于B，由，得，， 故，B正确， 对于C, , 当且仅当时取到等号，而,故，C正确， 对于D,由，得,又, 所以，化简可得, 由于，则,将其代入上式得 ,化简得①， 结合②, 联立①②可得,故， 解得，则，故，故D正确. 故选：BCD 题型三 利用全概率公式求概率 13．（25-26高二下·江苏淮安·月考）（多选）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据条件写出和 ，，再根据全概率公式和贝叶斯公式判断选项. 【详解】由条件可知，，，故AC正确；， ，故B正确； ，故D错误. 14．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为3%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________． 【答案】0.032 【详解】设“任取一个零件为次品”，“零件为第台车床加工”， ， 取到的零件是次品的概率为 15．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）某学习软件题库中有三类试题，甲类试题占，乙类试题占，丙类试题占，小王同学正确解答这三类试题的概率分别为，，.小王同学从题库里选择一题，则他能正确解答该题的概率为__________. 【答案】 【详解】设所选的题目为甲类试题、乙类试题、丙类试题分别为事件， 所选的题目解答正确为事件， 则. 16．（湖北武汉市2026届高三下学期四月供题数学试题）在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（   ） A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7 【答案】B 【详解】设该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为， 根据题意可得，，解得. 17．（25-26高二下·江苏无锡·期中）学校食堂每餐推出、两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设为第天选套餐，则为第天选套餐. ，，，； ； ； ； . 18．（25-26高二下·福建福州·期中）某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.1.邻居记得浇水的概率为0.9.如果该人回来植物没有枯萎，则邻居浇水的概率为_____. 【答案】 【分析】根据全概率公式计算即可求解. 【详解】记为事件“植物没有枯萎”，为事件“邻居记得给植物浇水”， 则根据题意，知，， ， ， 因此 . . 题型四 利用贝叶斯公式求概率 19．（25-26高二下·天津河北·期中）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 【答案】 /0.25 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解 【详解】记=“零件是第一台车床加工”，=“零件是第二台车床加工”， =“取出的零件是合格品”，=“取出零件是废品”； 第一台加工零件数是第二台的2倍，因此，； ，， 因此，， 任意取出零件是合格品的概率： 废品的总概率， 再代入贝叶斯公式：. 20．（25-26高二下·上海·期中）某地肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，但是化验结果存在错误的可能性，已知患肝癌的人化验99%呈阳性，而未患肝癌的人99.9%呈阴性.某人化验结果呈阳性，则他患肝癌的概率为多少? 【答案】 【分析】记事件：某人患肝癌，事件：化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件：某人患肝癌，事件：化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， 现在某人的化验结果呈阳性，则他实际患肝癌的概率是 . 21．（25-26高二下·江苏无锡·期中）（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（   ） A．事件与相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据相互独立事件的定义判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据贝叶斯公式判断D． 【详解】对于A：因为，，而， 所以事件与不相互独立，故A错误； 对于B：因为，，所以，故B正确； 对于C：因为，，， 所以 ，故C正确； 对于D：，故D错误． 22．（25-26高二下·浙江台州·期中）（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】AD 【分析】利用条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算可得. 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 23．（25-26高二下·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 【答案】 【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算． 【详解】解：设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券， 则，，，， ∴， ∴． 24．（25-26高二下·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用间接法求解即可得； （2）利用条件概率公式求解即可得； （3）先根据全概率公式求解，再根据贝叶斯公式即可求解得. 【详解】（1）记事件表示“抽出的个球中有红球”，则； （2）记事件表示“两个球都是红球”，则， 故； （3）设事件表示“从乙箱中抽球”，事件表示“抽到红球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 则，， 则， 故． 强化训练 1．（赤峰市高三年级2025模拟考试试题数学）一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】①当甲取到玩具盲盒且乙也取到玩具盲盒时，； ②当甲取到文具盲盒且乙取到玩具盲盒时，. 所以乙取到玩具盲盒的概率为． 2．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式和并事件的概率公式即可求解. 【详解】代入，， . 3.（25-26高二下·江苏南京·月考）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用条件概率和事件的概率算出，再根据概率加法公式和、的值求出，最后根据对立事件概率公式求出． 【详解】由条件概率公式，可得， 故， 又因， 则，所以． 4．（25-26高二下·福建福州·期中）在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为0.1，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件E：在某次通电后有且只有一个需要更换，事件F：C需要更换， 则，， 由条件概率公式可得. 5．（25-26高二下·福建厦门·月考）某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件 根据题目条件可知，，，， 根据全概率公式，可得，解得. 6．（2026·湖南郴州·三模）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 所以 由全概率公式可得. 7．（2026·河南开封·二模）某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或趟，第一次游趟或趟的概率均为，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为；若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为．若一周至少游趟为训练量达标，则该同学一周训练量达标的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全概率公式的应用，根据题干条件进行分类，然后求出每种情况的概率，最后由互斥事件，将所有概率相加即可得到达标概率. 【详解】由题意知：一周训练量达标即为游趟或趟，设第一次游趟为事件， 第一次游趟为事件，第二次游趟为事件，第二次游趟为事件， 可分为以下三种情况： 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得； 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得； 情况：第一次游趟，第二次游趟，共游趟，训练量达标. 则由条件概率可得， 由三种情况为互斥事件，因此，该同学一周训练量达标的概率. 8．（25-26高二下·浙江温州·期中）（多选）设A，是一个随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．事件A，B为独立事件 C． D． 【答案】AC 【分析】应用概率基本性质计算判断A，独立事件概率乘积公式计算判断B，应用条件概率公式计算判断C，应用概率基本性质结合独立事件概率公式计算判断D. 【详解】因为， ，所以A正确； 所以B错误； ，所以C正确； ，所以D错误. 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若A和B是两个独立事件，则 B．设和B互为对立事件，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据独立事件和对立事件的概念可判断AB；根据条件概率公式即可判断CD． 【详解】A和B是两个独立事件，则， ，故A错误； 和B互为对立事件，则，即，故B正确； 易知，， ，故C正确； ，故D正确． 10．（2026·吉林长春·二模）（多选）景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 【答案】BCD 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD. 【详解】设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件， 则，，且，， 可得，. 对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件， 其概率为，故A错误； 对于选项B：因为， 即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确； 对于选项C：因为， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确. 11．（25-26高二下·河南许昌·期中）（多选）寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为，，.当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为，，，则下列说法中正确的是（   ） A．甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件 B．甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立 C．甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于 D．若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为 【答案】ACD 【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，由全概率公式求解判断；对D，由条件概率的计算公式求解判断. 【详解】设“甲同学今天早上步行出行”为事件，“甲同学今天早上坐轻轨出行”为事件， “甲同学今天早上坐出租车出行”为事件，“甲同学到达博物馆能立即找到讲解器”的事件为B． 对于A，A1与A2不可能同时发生，故A正确； 对于B，因为，，但， 故，故B错误； 对于C，由，，，，，， 由全概率公式得： ．故C正确； 对于D，由题意可知所求概率为，故D正确． 12．（25-26高二下·浙江·期中）某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是________. 【答案】 【分析】利用条件概率公式与全概率公式计算即可得. 【详解】设事件表示预报为雨天，事件表示实际为雨天， 则由题意可得， ， 所以， 解得， 则，故， 所以. 13．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 【答案】/ 【分析】根据题意结合条件概率公式可得，结合概率性质可得，即可得结果. 【详解】因为，，则， 又因为，则， 且，所以. 14．（25-26高二下·北京·期中）一个盒子里装有质地、大小和形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，白球1个．现从中任取两个球，记事件“取出的两球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”则___________． 【答案】 【详解】取出的两球颜色不同的取法共有种， 而取出一个红球，一个白球的取法共有， 所以. 15．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】(1) (2)该球取自2号箱的可能性最大 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【详解】（1）设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得 ，故取到红球的概率为. （2）根据（1）中数据， 由贝叶斯公式知； ； ， 因为，所以该球取自2号箱的可能性最大． 16．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）应用贝叶斯公式求概率即可. 【详解】（1）设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 （2）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 条件概率和全概率公式 题型预览 题型一 计算条件概率 题型二 条件概率乘法公式的应用 题型三 利用全概率公式求概率 题型四 利用贝叶斯公式求概率 知识清单 条件概率的理解 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)＞0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．P(B|A)读作事件A发生的条件下事件B发生的概率． 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示事件A，B同时发生． 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件． (3)算：利用P(B|A)＝求得结果． 概率的乘法公式 概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)． 【注意】(1)P(AB)表示A，B都发生的概率，P(B|A)表示A先发生，然后B发生 (2)当P(B|A)＝P(B)时，事件A与事件B是相互独立事件 应用乘法公式求概率的关注点 (1)功能：是一种计算“积事件”概率的方法，即当不容易直接计算P(AB)时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解． (2)推广：设A，B，C为三个事件，且P(AB)>0，则有P(ABC)＝P(C|AB)P(AB)＝P(C|AB)·P(B|A)P(A). 互斥事件的条件概率 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质，设P(A)>0，则 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(Ω|A)＝1； (3)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (4)设和B互为对立事件，则P＝1－P(B|A)． 【注意】若A与B互斥，即A，B不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0 全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝ 称此公式为全概率公式． 【注意】(1)全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用了化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和 (2)全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＋…＋P(AnB)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋…＋P(An)P(B|An) 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与)． (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率． (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)． “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝ (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1，2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能的情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和． 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有 题型突破 题型一 计算条件概率 1．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）一枚质地均匀的正四面体骰子，各个面上分别有1，2，3，4个点.抛掷该骰子两次，已知着地一面上的点数之和为4，则两次都是奇数点的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）从装有6个红球，3个白球的袋子中，不放回地依次抽取2个小球，在第一次抽取到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北荆州·期中）口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各3个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ） A． B． C． D． 4．（2026·山西临汾·二模）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏苏州·二模）对于事件A、B，，，，则（   ） A．0.7 B．0.75 C．0.85 D．0.9 6．（25-26高二下·吉林四平·月考）甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（    ） A． B． C． D． 题型二 件概率乘法公式的应用 7．（25-26高二下·山东济南·期中）已知随机事件、，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·浙江·期中）（多选）若、分别为随机事件、的对立事件，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则独立 D． 9．（2026·江西赣州·一模）（多选）设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·湖南湘西·期末）设是两个随机事件，已知，，，记，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江西九江·期末）（多选）下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 12．（25-26高三上·湖北武汉·月考）（多选）设A，B是一个随机试验中的两个事件，，，则（   ） A．事件A，B相互独立 B．若，则 C． D．若，则必有 题型三 利用全概率公式求概率 13．（25-26高二下·江苏淮安·月考）（多选）甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二下·安徽芜湖·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为4%，第2，3台加工的次品率均为3%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的20%，30%，50%．现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为________． 15．（山西晋中市2025-2026学年高二下学期素养测评（二）数学试题）某学习软件题库中有三类试题，甲类试题占，乙类试题占，丙类试题占，小王同学正确解答这三类试题的概率分别为，，.小王同学从题库里选择一题，则他能正确解答该题的概率为__________. 16．（湖北武汉市2026届高三下学期四月供题数学试题）在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为（   ） A．0.55 B．0.6 C．0.65 D．0.7 17．（25-26高二下·江苏无锡·期中）学校食堂每餐推出、两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·福建福州·期中）某人外出出差，委托邻居给家里植物浇一次水，设不浇水，植物枯萎的概率为0.8，浇水，植物枯萎的概率为0.1.邻居记得浇水的概率为0.9.如果该人回来植物没有枯萎，则邻居浇水的概率为_____. 题型四 利用贝叶斯公式求概率 19．（25-26高二下·天津河北·期中）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．则任意取出一个零件是合格品的概率为___________；如果任意取出的零件是废品，则它是第二台车床加工的概率为___________． 20．（25-26高二下·上海·期中）某地肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，但是化验结果存在错误的可能性，已知患肝癌的人化验99%呈阳性，而未患肝癌的人99.9%呈阴性.某人化验结果呈阳性，则他患肝癌的概率为多少? 21．（25-26高二下·江苏无锡·期中）（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）、先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件.下列结论正确的是（   ） A．事件与相互独立 B． C． D． 22．（25-26高二下·浙江台州·期中）（多选）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（   ） A．第二天去室内健身的概率为 B．第二天去户外运动的概率为 C．若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D．若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 23．（25-26高二下·河南·期中）某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4 号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率 ______． 24．（25-26高二下·黑龙江绥化·月考）甲和乙两个箱子中各装有个大小相同的小球，其中甲箱中有个红球、个白球；乙箱中有个红球、个白球． (1)从甲箱中随机抽出个球，求抽到的个球中有红球的概率； (2)从甲箱中随机抽出个球，在已知抽到的个球中有红球的条件下，求个球都是红球的概率； (3)掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于，从甲箱随机抽出个球；如果点数大于等于，从乙箱中随机抽出个球，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率． 强化训练 1．（赤峰市高三年级2025模拟考试试题数学）一袋中装有7个盲盒，已知其中3个是玩具盲盒，4个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·山东临沂·期中）已知 ，，=，则=（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·江苏南京·月考）对于事件A，B，，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建福州·期中）在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换C元件的概率为0.2，需要更换D元件的概率为0.1，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，C需要更换的概率是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建厦门·月考）某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南郴州·三模）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河南开封·二模）某同学每周进行两次游泳训练，每次游趟或趟，第一次游趟或趟的概率均为，若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为；若第一次游趟，则第二次游趟的概率为，游趟的概率为．若一周至少游趟为训练量达标，则该同学一周训练量达标的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·浙江温州·期中）（多选）设A，是一个随机试验中的两个事件，且，则（   ） A． B．事件A，B为独立事件 C． D． 9．（25-26高二下·浙江温州·期中）（多选）下列说法正确的是（   ） A．若A和B是两个独立事件，则 B．设和B互为对立事件，则 C．若，则 D．若，则 10．（2026·吉林长春·二模）（多选）景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 11．（25-26高二下·河南许昌·期中）（多选）寒假期间，甲同学早上去博物馆有三种出行方式：步行、坐轻轨、坐出租车，概率分别为，，.当他步行、坐轻轨和坐出租车时，到达博物馆能立即找到讲解器的概率分别为，，，则下列说法中正确的是（   ） A．甲同学今天早上步行出行与坐轻轨出行是互斥事件 B．甲同学今天早上坐轻轨出行与坐出租车出行相互独立 C．甲同学到达博物馆能立即找到讲解器的概率大于 D．若甲同学今天早上到达博物馆立即找到了讲解器，则他是步行出行的概率为 12．（25-26高二下·浙江·期中）某地区有两种天气类型：晴天和雨天.气象台对第二天的天气进行预报，但预报有误差：如果实际是晴天，预报为雨天的概率是0.2，如果实际是雨天，预报为雨天的概率是0.9.已知该地区预报为雨天的总概率是0.76，现在某天气象台预报为雨天，则实际为雨天的概率是________. 13．（25-26高二下·上海奉贤·月考）已知、为随机事件，且，，若，则___________. 14．（25-26高二下·北京·期中）一个盒子里装有质地、大小和形状都相同的6个球，其中红球3个，黄球2个，白球1个．现从中任取两个球，记事件“取出的两球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”则___________． 15．（2026·云南玉溪·二模）有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和2个白球，3号箱装有4个红球和6个白球，这些球除颜色外完全相同． (1)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； (2)某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球取自几号箱的可能性最大． 16．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末）2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $