精品解析：宁夏平罗中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

平罗中学2025-2026学年度第二学期第一次月考试卷 高一数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 3. 已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 已知向量满足，向量与的夹角为，则（ ） A. 12 B. 4 C. D. 2 6. 下列有关向量的说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若和都是单位向量，则 C. D. 若，则且 7. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的虚部为 C. 若，则 D. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为锐角 C. 与同向的单位向量为 D. 在上的投影向量为 11. 在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（ ） A. B. 若为的外心，则 C. 若，则 D. 若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则___________． 13. 中，为边的中线，，，，则中线的长为_________. 14. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点的坐标分别是． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若四边形为平行四边形，求顶点的坐标． 16. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求边长； （2）求外接圆的半径及的值； （3）过作的角平分线交于点，求的长度． 17. 如图，在中，为的中点，设与相交于点，且． （1）试用和表示； （2）若，求的值； （3）求． 18. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 19. 在中，内角的对边分别为，且与共线． （1）求； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2025-2026学年度第二学期第一次月考试卷 高一数学 满分：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，.    2. 已知平面向量，，若，则k＝（ ） A. B. 6 C. D. －6 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示进行求解. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：A. 3. 已知复数满足（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据复数的运算由，变形得，根据复数除法法则计算， 可得，进而得复数对应的点为（-1,-2），判断点所在象限． 详解：因为满足，所以 ． 所以复数在复平面内对应的点为（-1，-2）， 故复数在复平面内对应的点在第三象限． 故选C． 点睛：本题主要考查复数乘法、除法运算、复平面内的点与复数的对应关系等知识点．意 在考查学生的转化与计算求解能力． 4. 在中，已知，，，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】解：在中，因为，，， 由余弦定理，即， 解得或（舍去）. 故选：C 5. 已知向量满足，向量与的夹角为，则（ ） A. 12 B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积公式得到，从而得到. 【详解】因为，向量与的夹角为．所以， 所以． 故选：C． 6. 下列有关向量的说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 若和都是单位向量，则 C. D. 若，则且 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，零向量有方向，其方向是任意的，A错误； 对于B，和都是单位向量，则和的长度相等，方向不确定，因此和不一定相等，B错误； 对于C，是实数，是与共线的向量，同理是与共线的向量， 而向量与可能不共线，C错误； 对于D，由，得且方向相同，从而有，D正确. 7. 已知平面向量且，则一定共线的三点是（    ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可. 【详解】若向量共线，则共线，此时共线， 当向量不共线时， 对于A选项， ，所以三点共线，A正确； 对于B选项，设 ，则 ，即 无解，B错误； 对于C选项，设 ，则 ，即 ，无解，C错误； 对于D选项， ，设 ， 即 ，即 ，无解，D错误． 故选：A 8. 如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，在中，，，所以. 在中，，， 所以， 由正弦定理，. 又为等腰直角三角形，所以. 故选项B正确. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 复数的模为 B. 复数的虚部为 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】A：复数的模，正确. B：复数的虚部为，正确. C：复数不能比较大小，错误. D：设则，，正确. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 与的夹角为锐角 C. 与同向的单位向量为 D. 在上的投影向量为 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，，因此与的夹角为锐角，B正确； 对于C，与同向的单位向量为，C正确； 对于D，在上的投影向量为，D错误. 11. 在中，角的对边分别为，已知，以下说法正确的是（ ） A. B. 若为的外心，则 C. 若，则 D. 若点为所在平面内一动点，且，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦定理和条件计算判断A，建立坐标系，先计算外心的坐标，再结合向量的数量积坐标公式计算判断B，根据向量关系计算得到点坐标，进而计算向量的模判断C，根据条件和两点间距离公式，结合三角函数计算得到最值判断D. 【详解】因为，结合余弦定理的推论可得 ， 对于A，由余弦定理推论，因为，所以，A正确. 对于B，以点为原点，为轴建立坐标系，， 外心在垂直平分线上，代入的垂直平分线方程 得，，，B错误. 对于C，设，因为，， ，所以， 解得,C正确. 对于D，设满足则 ， 由圆的方程得代入化简得， 设，得 ，其中， 因为，得的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数是纯虚数，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】复数是纯虚数，则，所以. 13. 中，为边的中线，，，，则中线的长为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由三角形构建平行四边形，使转化为，然后在根据余弦定理求，即可. 【详解】 如图，以边,为邻边做平行四边形， 因为边的中线，则由平行四边形性质知共线，且， 在平行四边形中，，， 在中，由余弦定理得： ， 所以，， 故答案为： 14. 如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助平面向量线性运算与数量积公式计算即可得. 【详解】 ， 因，当且仅当与同向时，等号成立， 故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点的坐标分别是． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）若四边形为平行四边形，求顶点的坐标． 【答案】（1）钝角三角形，理由见解析. （2）顶点的坐标为. 【解析】 【小问1详解】 已知，，，所以 所以，，，三边互不相等， 由余弦定理，角的余弦值为. 因为,所以角为钝角，故是钝角三角形. 【小问2详解】 设点坐标为. 四边形为平行四边形. 所以，，. 联立方程，， 解得，. 所以顶点的坐标为. 16. 在中，角所对的边分别为，且． （1）求边长； （2）求外接圆的半径及的值； （3）过作的角平分线交于点，求的长度． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）借助余弦定理计算即可得； （2）借助正弦定理计算即可得； （3）借助等面积法与三角形面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 故； 【小问2详解】 由正弦定理， 可得，； 【小问3详解】 由题意可得， 即， 即， 即，故. 17. 如图，在中，为的中点，设与相交于点，且． （1）试用和表示； （2）若，求的值； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以、为基底，先用向量减法表示，结合线段比例求出，通过向量加法推导；再利用中点性质得到，结合向量减法表示出. （2）由在、两条直线上，分别用参数写出的两种基底表达式，依据平面向量基本定理，令的系数对应相等，列方程组求解参数的值. （3）利用对顶角相等转化夹角余弦，代入得到，进而表示与，结合已知模长与数量积为0，分别计算向量数量积与模长，套用夹角余弦公式算出结果. 【小问1详解】 由题意，. 因为，所以. 因为为的中点，所以，所以. 【小问2详解】 由①， 又为中点，则, 因为点在上，设②. 因为与不共线，由①与②，可得，解得. 【小问3详解】 因为与为对顶角，所以. 由，得，所以，. 由题意，，，， 则 又， 所以. 18. 如图所示，在中，在线段BC上，满足，是线段的中点． （1）延长交于点Q（图1），求的值； （2）过点的直线与边，分别交于点E，F（图2），设，． （i）求证为定值； （ii）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将作为基底表示，由三点共线可知，的系数之和为1，即可求出的值； （2）（i）根据题意，将，作为基底表示，由三点共线可知，，的系数之和为1，即可求出为一定值；（ii）根据题意，，，，由可将化为关于的函数，利用函数性质求的最小值即可. 【小问1详解】 依题意，因为， 所以， 因为是线段的中点，所以， 设，则有， 因为三点共线，所以，解得， 即，所以，所以； 【小问2详解】 （i）根据题意, 同理可得：， 由（1）可知，， 所以， 因为三点共线，所以， 化简得， 即为定值，且定值为3； （ii）根据题意，， ， 所以， 由（i）可知，则， 所以， 易知，当时，有最小值，此时. 19. 在中，内角的对边分别为，且与共线． （1）求； （2）若，求周长的取值范围； （3）若，且为锐角三角形，角与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的坐标运算可得，再根据正弦定理化简即可得出答案； （2）应用余弦定理、基本不等式得，进而有，结合三角形三边关系求范围； （3）设，，应用正弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换得，再应用正弦函数的性质求范围. 【小问1详解】 （1）在中，， 向量与向量共线，， 由正弦定理可得， ， ， ，， 又，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 即 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，， 由三角形三边关系知，所以，即， 所以周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为角A与角B的角平分线交于点D，，所以， 设，， 在中，由正弦定理， 所以，即，， 所以 ， 因为，为锐角三角形，所以，即， 所以，即， 则， 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $