易错10 相似三角形（易错专练，8大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题10 相似三角形 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 找错相似三角形的对应边、对应角 易错点 2 平行线分线段成比例 易错点 3 相似三角形的判定方法 易错点 4 混淆相似三角形的线段比、周长比、面积比 易错点 5 对应关系不明确的相似三角形多解问题 易错点 6 位似与相似的区别 易错点 7 网格背景下无刻度直尺作图 易错点 8 相似三角形的实际应用 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 找错相似三角形的对应边、对应角 错因剖析 概念混淆：对应关系认知模糊，书写时，顶点不一一对应。 认知偏差：识图能力不足，对应边关系混乱。 基础薄弱：比例性质不熟练，导致变形错误。 【例1】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，，相似比为．若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】书写规范： 字母严格一一对应： 【知识链接】 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 如图：， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， 变式迁移 【变式1-1】（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式1-2】如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 易错点2 平行线分线段成比例 概念混淆：一组平行线截两条直线，对应线段成比例，对 “对应” 二字理解偏差。 认知偏差：解题中没有先找平行线，直接找比例。 基础薄弱：比例关系列错，不会解比例等式。 【例2】（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】解题三步避坑 ① 找平行：先圈出所有平行线，确定平行组； ② 定截线：找出被截取的两条相交直线； ③ 对线段：按从上到下、从左到右顺序，一一对应列比例。 【知识链接】平行线分线段成比例 定理或基本事实 1.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 当，且时，有。 2.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 当时，有， 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所得的对应线段成比例。 当时，有,等。 变式迁移 【变式2-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 易错点3 相似三角形的判定方法 错因剖析 概念混淆：对相似判定的必要条件理解不透彻，不清楚每种判定方法的限定要求，概念边界模糊。 认知偏差：缺乏先找等角、再凑边比例的审题习惯，几何识图与条件提取能力不足。 基础薄弱：几何证明逻辑薄弱，答题规范欠缺，不会择优选用最简判定方法。 【例3】（2026·四川成都·一模）如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】解题固定步骤 ① 找等角：优先找公共角、对顶角、平行等角、互余等角； ② 选方法：有两组等角直接用 AA；有边比例优先 SAS/SSS； ③ 写规范：顶点对应书写，条件罗列完整，再下相似结论。 【知识链接】 1.判定三角形相似的思路 2.常见的相似模型 （1）平行线型 （2）斜交型 （3）一线三等角型 变式迁移 【变式3-1】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 易错点4 混淆相似三角形的线段比、周长比、面积比 错因剖析 概念混淆：误认为相似三角形面积比也等于相似比；与同高三角形面积比等于底的比混淆。 认知偏差：不理解：一维长度比、二维面积比的维度区别。 基础薄弱：比例运算、平方开方基础薄弱，几何性质综合运用不熟练。 【例4】（2026·宁夏银川·一模）如图，的面积为，点D、E分别是、边的中点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 相似三角形中， 只要是长度类（边、高、中线、角平分线、周长），全部等于相似比； 只要是面积类，一定是相似比的平方； 做题先标注：谁是大三角形、谁是小三角形，防止比颠倒。 【知识链接】 若两个三角形相似，相似比为 对应边之比 对应高、对应中线、对应角平分线之比 周长之比 面积之比 变式迁移 【变式4-1】（2026·江苏扬州·一模）如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·上海虹口·一模）已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是___________． 【变式4-3】（2025·上海杨浦·一模）如果两个相似三角形的面积比是，那么其对应高之比为__________． 易错点5 对应关系不明确的相似三角形多解问题 错因剖析 概念混淆：混淆 “△ABC∽△DEF（顺序固定）” 与 “△ABC 与△DEF 相似（无顺序、多解）” 两种题型区别。 认知偏差：审题不抓关键提示词：相似（无顺序）、是否存在、动点、在直线上，缺少多解预判。 基础薄弱：比例建模能力不足，范围检验意识薄弱，复杂题型综合分析能力不足。 【例5】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 避错秘籍 【防错指南】 相似三角形只要内角分别相等即可， 顶点顺序不固定，无字母约束时，边角可自由搭配对应。 【知识链接】两种相似表述 ① 有序书写： 顶点一一对应，唯一解，不需分类。 ② 无序表述：与相似 无固定顺序，必须分类讨论，有多解。 变式迁移 【变式5-1】（2026·湖北黄冈·一模）如图，在中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 【变式5-2】（2026·河南安阳·一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点D作延长线的垂线，垂足为E，且与相似，则四边形的面积为______． 【变式5-3】如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，____． 易错点6 位似与相似的区别 错因剖析 概念混淆：混淆两者从属关系：位似一定相似，相似不一定位似。 认知偏差：忽视位似中心的存在，不会找位似中心，不会区分内位似、外位似。 基础薄弱：位似性质与坐标规律运用混乱。 【例6】（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为位似中心，把按相似比缩小，得到，则点的坐标是______． 避错秘籍 【防错指南】 ① 相似无交点要求，位似必交于一点； ② 随意摆放、翻转、交错相似图形，一律不是位似； ③ 位似作图先定中心，再连点延长，最后缩放取点。 【知识链接】 1. 位似图形两大必备判定条件（缺一不可） 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于同一点（位似中心）； 对应边互相平行或在同一直线上。 2. 相似与位似核心区别 相似：只要求形状相同、对应角相等、对应边成比例，位置无要求； 位似：不仅相似，还要满足共中心点、对应边平行，是特殊的相似。 3. 坐标系位似口诀 原点为位似中心，位似比为： 横纵同乘，同向正、反向负，整体同缩放。 变式迁移 【变式6-1】（2026·重庆·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河北石家庄·一模）如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（   ） A．与的相似比为 B． C． D． 【变式6-3】（2026·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，以为边，在第一象限内作正方形，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是______． 易错点7 网格背景下无刻度直尺作图 错因剖析 概念混淆：不理解网格作图核心：利用格点矩形、相似三角形、勾股逆定理、矩形性质构图，只会盲目连线。 认知偏差：不会利用网格天然直角、等距线段、平行横线竖线，不会构造全等与相似。 基础薄弱：无刻度直尺只允许连线、延长，擅自标注刻度、量长度，违规作图。 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 避错秘籍 【防错指南】 牢记作图限制 无刻度直尺：只能连接两点、延长线段，不能度量、不能截取长度。 解题步骤 ① 分析要画的线条：平行 / 垂直 / 平分 / 高 / 中线； ② 匹配对应网格模型，寻找合适格点； ③ 用直尺连线、延长，保留全部辅助作图痕迹； ④ 标注关键点、作答。 【知识链接】 网格万能核心模型 ① 作平行线：利用同方向等比例格点、矩形对边平行； ② 作垂线：横纵比互倒，如 与 线段互相垂直； ③ 作线段中点 / 等分点：借助矩形对角线、8 字型相似； ④ 作角平分线：构造菱形、轴对称格点、等距线段； ⑤ 作三角形的高：先构网格直角，利用勾股逆定理定垂直。 变式迁移 【变式7-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 【变式7-2】（2026·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作中线； (2)在图2中，在上找一点E，使； (3)在图3中，将点向右平移个单位，得到点，连接；并在线段上找到一点，连接，使． 【变式7-3】（2025·山西太原·一模）阅读与理解 下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等 如图1，在的正方形网格中，已知线段的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点． 思路1：如图2，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点． 思路2：如图3，利用网格构造格点的中点，将平移至，则，此时与的交点即为线段的中点． 问题2：求作线段的三等分点，使． ．．．．．． 类型二：构造特殊角 问题3：如图4，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得． ．．．．．． 任务： (1)思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是_________； (2)请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）； (3)请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）． 易错点8 相似三角形的实际应用 错因剖析 概念混淆：不会将生活场景抽象为几何图形，不理解不同测量方式下相似的成立条件。 认知偏差：缺少 “实际问题→几何图形→找等角→证相似” 的转化思维，识图建模薄弱。 基础薄弱：相似性质应用不熟练，比例运算薄弱，应用题答题规范意识差。 【例8】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 避错秘籍 【防错指南】基本解题步骤： ① 建模：根据题意画图，标出垂直、平行、已知长度； ② 证形：利用平行、直角、等角，证明三角形相似； ③ 列式：严格按对应边成比例列方程； ④ 求解：统一单位、计算、检验线段为正，规范写答。 【知识链接】 标杆测高：垂直地面 + 平行光线，两角对应相等证相似； 镜面反射：反射角 = 入射角，构造两组等角，证相似； 盲区 / 测距：利用平行线，构造 A 字型、8 字型相似。 变式迁移 【变式8-1】（2026·陕西榆林·二模）泰塔，为八角七层楼阁式砖塔，是旧时某县的风水塔和标志性建筑．李强与王刚利用所学知识测量泰塔的高度，具体研究方法与过程如表： 课题 测量泰塔的高度 工具 卷尺、测角仪、标杆等 示意图    说明 阳光明媚的一天，如图，李强在地面上的点处竖立一根标杆，标杆在阳光下的影子末端与塔在阳光下的影子末端正好重合于地面上的点，并测出的长；王刚在地面上的点处用测角仪测得塔的顶端的仰角为．已知，，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 数据 米，米，米，米，． 根据以上信息，求泰塔的高度．（参考数据：，，） 【变式8-2】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 1. （2026·上海杨浦·二模）下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 2. （2026·上海松江·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 3. （2026·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，为边的中点，连接，若．则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 4. （2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 5. （2026·重庆·一模）如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6. （2026·上海闵行·一模）如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 7. （2026·浙江·模拟预测）如图，正方形和正方形是位似图形，其位似中心为．已知点F的坐标为，若点A的坐标为，则点C的坐标为__________． 8. （2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 9. （2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 10. （2026·辽宁铁岭·二模）如图，，的顶点A，B分别在射线和射线上，点C与点O在的同侧，D为边的中点，，．若与相似时，则的长_____． 11. （2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 12. （2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 13. （2026·陕西西安·三模）刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产．某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度．因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的，两点处分别竖立两根高为的标杆和（如图），两标杆间隔为，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆右侧远的点处，此时测得点D，F，A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆右侧远的点处，测得点C，H，A在同一条直线上．已知点B，E，D，G，C在同一条直线上，，，，求该建筑物的高度． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 找错相似三角形的对应边、对应角 易错点 2 平行线分线段成比例 易错点 3 相似三角形的判定方法 易错点 4 混淆相似三角形的线段比、周长比、面积比 易错点 5 对应关系不明确的相似三角形多解问题 易错点 6 位似与相似的区别 易错点 7 网格背景下无刻度直尺作图 易错点 8 相似三角形的实际应用 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 找错相似三角形的对应边、对应角 错因剖析 概念混淆：对应关系认知模糊，书写时，顶点不一一对应。 认知偏差：识图能力不足，对应边关系混乱。 基础薄弱：比例性质不熟练，导致变形错误。 【例1】（2026·四川巴中·模拟预测）如图，，相似比为．若，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形的相似比等于边长之比． 根据，得，进而可以解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】书写规范： 字母严格一一对应： 【知识链接】 相似三角形对应角相等，对应边成比例。 如图：， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F， 变式迁移 【变式1-1】（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【变式1-2】如图，点在的边上，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据相似三角形的性质，如果，那么它们的对应边成比例，且对应角相等，即可解答． 【详解】解：， ，，，， A、B、D错误，不符合题意，C正确，符合题意， 故选：C． 易错点2 平行线分线段成比例 概念混淆：一组平行线截两条直线，对应线段成比例，对 “对应” 二字理解偏差。 认知偏差：解题中没有先找平行线，直接找比例。 基础薄弱：比例关系列错，不会解比例等式。 【例2】（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 避错秘籍 【防错指南】解题三步避坑 ① 找平行：先圈出所有平行线，确定平行组； ② 定截线：找出被截取的两条相交直线； ③ 对线段：按从上到下、从左到右顺序，一一对应列比例。 【知识链接】平行线分线段成比例 定理或基本事实 1.平行线等分线段定理：三条平行线截两条直线，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 当，且时，有。 2.基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 当时，有， 推论 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所得的对应线段成比例。 当时，有,等。 变式迁移 【变式2-1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-2】（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，对角线与相交于点，在的延长线上取一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】过点作的平行线交于点，利用平行线分线段成比例得到为的中点，再结合相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：过点作交于点， 四边形是平行四边形， 是的中点，， ， ∴， 是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 易错点3 相似三角形的判定方法 错因剖析 概念混淆：对相似判定的必要条件理解不透彻，不清楚每种判定方法的限定要求，概念边界模糊。 认知偏差：缺乏先找等角、再凑边比例的审题习惯，几何识图与条件提取能力不足。 基础薄弱：几何证明逻辑薄弱，答题规范欠缺，不会择优选用最简判定方法。 【例3】（2026·四川成都·一模）如图，点在的边上，若只添加一个条件，就可以判定，则下列添加的条件中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、不是的边，不能判定，该选项不符合题意； B、由，，判定，该选项符合题意； C、两个三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，该选项不符合题意； D、比例式中没有的边，不能判定，该选项不符合题意． 故选：B． 避错秘籍 【防错指南】解题固定步骤 ① 找等角：优先找公共角、对顶角、平行等角、互余等角； ② 选方法：有两组等角直接用 AA；有边比例优先 SAS/SSS； ③ 写规范：顶点对应书写，条件罗列完整，再下相似结论。 【知识链接】 1.判定三角形相似的思路 2.常见的相似模型 （1）平行线型 （2）斜交型 （3）一线三等角型 变式迁移 【变式3-1】（2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 【变式3-2】（2026·广东中山·一模）如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：A、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； B、，而夹角和不一定相等，不能判断与相似； C、，能判断与相似； D、，不是对应角相等，不能判断与相似． 【变式3-3】（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 易错点4 混淆相似三角形的线段比、周长比、面积比 错因剖析 概念混淆：误认为相似三角形面积比也等于相似比；与同高三角形面积比等于底的比混淆。 认知偏差：不理解：一维长度比、二维面积比的维度区别。 基础薄弱：比例运算、平方开方基础薄弱，几何性质综合运用不熟练。 【例4】（2026·宁夏银川·一模）如图，的面积为，点D、E分别是、边的中点，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确掌握相似三角形的性质是解题的关键．先证，，再证得，相似比为，运用“相似三角形面积之比等于相似比的平方”可得，最后计算得出． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 避错秘籍 【防错指南】 相似三角形中， 只要是长度类（边、高、中线、角平分线、周长），全部等于相似比； 只要是面积类，一定是相似比的平方； 做题先标注：谁是大三角形、谁是小三角形，防止比颠倒。 【知识链接】 若两个三角形相似，相似比为 对应边之比 对应高、对应中线、对应角平分线之比 周长之比 面积之比 变式迁移 【变式4-1】（2026·江苏扬州·一模）如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：，相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为． 【变式4-2】（2026·上海虹口·一模）已知两个相似三角形的相似比为，且这两个三角形的周长之和为25，那么其中较小三角形的周长是___________． 【答案】10 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的周长比等于相似比设较小三角形周长为，较大三角形周长为，根据周长之和为25列方程求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴它们的周长比为． 设较小三角形的周长为，较大三角形周长为，则，即， 解得， ∴较小三角形的周长为． 故答案为：10． 【变式4-3】（2025·上海杨浦·一模）如果两个相似三角形的面积比是，那么其对应高之比为__________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，因此由面积比可得相似比为，再根据对应高之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴相似比为， ∴对应高之比为． 故答案为：． 易错点5 对应关系不明确的相似三角形多解问题 错因剖析 概念混淆：混淆 “△ABC∽△DEF（顺序固定）” 与 “△ABC 与△DEF 相似（无顺序、多解）” 两种题型区别。 认知偏差：审题不抓关键提示词：相似（无顺序）、是否存在、动点、在直线上，缺少多解预判。 基础薄弱：比例建模能力不足，范围检验意识薄弱，复杂题型综合分析能力不足。 【例5】（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 ______________________时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似． 【答案】3或 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ∵， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴， 综上，或， 故答案为：3或． 避错秘籍 【防错指南】 相似三角形只要内角分别相等即可， 顶点顺序不固定，无字母约束时，边角可自由搭配对应。 【知识链接】两种相似表述 ① 有序书写： 顶点一一对应，唯一解，不需分类。 ② 无序表述：与相似 无固定顺序，必须分类讨论，有多解。 变式迁移 【变式5-1】（2026·湖北黄冈·一模）如图，在中，，，，是的中点，点在上．若与相似，则________cm． 【答案】或 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用；根据题意，求出，分类讨论：当时，，当时，，分别求出，即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得：； 当时，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 【变式5-2】（2026·河南安阳·一模）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．如图，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点D作延长线的垂线，垂足为E，且与相似，则四边形的面积为______． 【答案】或 【分析】如图，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得．再由垂等四边形的性质知．分两种情况：①当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果；②当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴． ∵在中，， ∴，即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵四边形为垂等四边形， ∴． ①当时，， ∴， 设，则， ∴． 在中，根据勾股定理得，，即， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴ ； ②当时，， ∴， 设，则， ∴． 根据勾股定理得，， 解得：，（舍去）， ∴，， ∴， ∴综上所述，四边形的面积为或． 【变式5-3】如图，矩形中，，，为边上的动点，当与相似时，____． 【答案】1或4或2.5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，需要分类讨论：和，根据该相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． ①当时， ， 即， 解得：，或； ②当时， ， 即， 解得：． 综上所述，的长度是1或4或2.5． 故答案为：1或4或2.5． 易错点6 位似与相似的区别 错因剖析 概念混淆：混淆两者从属关系：位似一定相似，相似不一定位似。 认知偏差：忽视位似中心的存在，不会找位似中心，不会区分内位似、外位似。 基础薄弱：位似性质与坐标规律运用混乱。 【例6】（2026·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为位似中心，把按相似比缩小，得到，则点的坐标是______． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心，根据位似图形的性质，将点的横纵坐标分别乘以位似比，即可得到对应点的坐标． 【详解】解：∵以点为位似中心把缩小得到，其相似比， ∴位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的对应点的坐标为或，即或． 避错秘籍 【防错指南】 ① 相似无交点要求，位似必交于一点； ② 随意摆放、翻转、交错相似图形，一律不是位似； ③ 位似作图先定中心，再连点延长，最后缩放取点。 【知识链接】 1. 位似图形两大必备判定条件（缺一不可） 两个图形相似； 对应顶点的连线相交于同一点（位似中心）； 对应边互相平行或在同一直线上。 2. 相似与位似核心区别 相似：只要求形状相同、对应角相等、对应边成比例，位置无要求； 位似：不仅相似，还要满足共中心点、对应边平行，是特殊的相似。 3. 坐标系位似口诀 原点为位似中心，位似比为： 横纵同乘，同向正、反向负，整体同缩放。 变式迁移 【变式6-1】（2026·重庆·二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，已知，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质可得，且相似比为，再由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心， ∴， 根据位似图形的性质，位似比（即相似比）等于对应顶点到位似中心的距离之比， ∵， ∴相似比为， ∴与的面积比是． 【变式6-2】（2026·河北石家庄·一模）如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（   ） A．与的相似比为 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似比等于对应点到位似中心的距离之比求出相似比，再结合相似三角形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：与是位似图形，位似中心为 ，， ，且相似比， 故选项正确，不符合题意； 与位似， ， ， ，故选项正确，不符合题意； ，相似比为， ，故选项正确，不符合题意； ， ， 故选项错误，符合题意． 【变式6-3】（2026·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，以为边，在第一象限内作正方形，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】先通过点A、B的坐标，利用全等三角形的方法推导点D的坐标，再根据位似图形的坐标变化规律，结合已求得的点D的坐标，得到符合条件的点的坐标． 【详解】过D作轴于E， ∵，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴，， ∴，即D点坐标为． ∵两个正方形以原点O为位似中心，位似比，且位似图形在第三象限， ∴ ． 易错点7 网格背景下无刻度直尺作图 错因剖析 概念混淆：不理解网格作图核心：利用格点矩形、相似三角形、勾股逆定理、矩形性质构图，只会盲目连线。 认知偏差：不会利用网格天然直角、等距线段、平行横线竖线，不会构造全等与相似。 基础薄弱：无刻度直尺只允许连线、延长，擅自标注刻度、量长度，违规作图。 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 避错秘籍 【防错指南】 牢记作图限制 无刻度直尺：只能连接两点、延长线段，不能度量、不能截取长度。 解题步骤 ① 分析要画的线条：平行 / 垂直 / 平分 / 高 / 中线； ② 匹配对应网格模型，寻找合适格点； ③ 用直尺连线、延长，保留全部辅助作图痕迹； ④ 标注关键点、作答。 【知识链接】 网格万能核心模型 ① 作平行线：利用同方向等比例格点、矩形对边平行； ② 作垂线：横纵比互倒，如 与 线段互相垂直； ③ 作线段中点 / 等分点：借助矩形对角线、8 字型相似； ④ 作角平分线：构造菱形、轴对称格点、等距线段； ⑤ 作三角形的高：先构网格直角，利用勾股逆定理定垂直。 变式迁移 【变式7-1】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图（1）中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在线段上画点E， 使； (3)在图（2）中，E 为格点，在线段上画点F， 使； (4)在（2）的基础上，在线段上画点G， 使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）找到以为对角线的矩形，连接另一条对角线，利用矩形对角线互相平分即可找到的中点； （2）连接，可证为边中线，则与的交点为三角形的重心，利用重心的性质可知此点即为所求点； （3）连接，可证明四边形为平行四边形，所以，则与交点即为点； （4）因为，所以，若使，即使，即使，利用平行线分线段成比例定理作图即可． 【详解】（1）解：如图，连接交于点，连接即为所求； ∵四边形为矩形， ∴为的中点， 连接即为△ABC的中线； （2）解：如图，连接与交于点，点即为所求； 为中点， ∴为边中线， 则与的交点为三角形的重心， 根据重心性质可知， ∴点即为所求； （3）解：如图，连接交于，即为所求； ， ∴四边形为平行四边形， ∴， 则与交点即为点， 故即为所求； （4）解：如图，连接，与交于点，点即为所求； ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故点即为所求． 【点睛】本题考查方格纸作图，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，重心的性质，平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 【变式7-2】（2026·吉林长春·一模）图①、图②、图③均是6×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作中线； (2)在图2中，在上找一点E，使； (3)在图3中，将点向右平移个单位，得到点，连接；并在线段上找到一点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据矩形对角线互相平分即可解答； （2）如图，取点M、N，连接交于点E，则点E即为所求，利用相似三角形的性质得到，再根据三角形的面积求解即可； （3）取点H，连接交于点Q，则点Q即为所求，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，在网格上取点E，连接交于点D，即为所求； 理由如下： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为的中线； （2）解：如图所示，取点M、N，连接交于点E，则点E即为所求； 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，取点H，连接交于点Q，则点Q即为所求； 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 【变式7-3】（2025·山西太原·一模）阅读与理解 下面是小含同学的一篇数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务． 正方形网格中“无刻度直尺作图”问题初探正方形网格中使用无刻度直尺作图是一种经典的几何构造问题，其核心是仅用无刻度直尺和给定网格，通过有限的步骤完成特定的几何构造任务．如构造线段上的特殊点，或与线段相关的特殊角等 如图1，在的正方形网格中，已知线段的端点均为格点．利用无刻度的直尺解决下面的问题． 类型一：构造特殊点 问题1：求作线段的中点． 思路1：如图2，利用网格构造线段，满足且，连接，则与的交点即为线段的中点． 思路2：如图3，利用网格构造格点的中点，将平移至，则，此时与的交点即为线段的中点． 问题2：求作线段的三等分点，使． ．．．．．． 类型二：构造特殊角 问题3：如图4，在线段外有点，连接．在线段上确定一点，使得． ．．．．．． 任务： (1)思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是_________； (2)请用无刻度的直尺在图1中参照思路1或思路2完成问题2的作图（保留作图痕迹）； (3)请用无刻度的直尺在图4中完成问题3的作图（保留作图痕迹）． 【答案】(1)平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得答案； （2）思路1：如图，取格点，，且，，，连接交于，则，即为所求； 思路2：如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求； （3）如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求； 【详解】（1）解：思路2中由条件“和为的中点”判断点为中点的依据是： 平行线分线段成比例基本事实的推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例； （2）解：思路1：如图，取格点，，且，，，连接交于，则，即为所求； 理由：∵， ∴，而，， ∴， ∴； 思路2：如图，取格点，且，连接，将向左平移4个单位长度至，则，此时与的交点即为，满足； 理由：由平移可得：，，， ∴， ∴； （3）解：如图，把线段向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到线段，连接，交线段于，则即为所求； 理由：由平移可得：，， 而，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； 【点睛】本题考查的是格点作图，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键. 易错点8 相似三角形的实际应用 错因剖析 概念混淆：不会将生活场景抽象为几何图形，不理解不同测量方式下相似的成立条件。 认知偏差：缺少 “实际问题→几何图形→找等角→证相似” 的转化思维，识图建模薄弱。 基础薄弱：相似性质应用不熟练，比例运算薄弱，应用题答题规范意识差。 【例8】（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 避错秘籍 【防错指南】基本解题步骤： ① 建模：根据题意画图，标出垂直、平行、已知长度； ② 证形：利用平行、直角、等角，证明三角形相似； ③ 列式：严格按对应边成比例列方程； ④ 求解：统一单位、计算、检验线段为正，规范写答。 【知识链接】 标杆测高：垂直地面 + 平行光线，两角对应相等证相似； 镜面反射：反射角 = 入射角，构造两组等角，证相似； 盲区 / 测距：利用平行线，构造 A 字型、8 字型相似。 变式迁移 【变式8-1】（2026·陕西榆林·二模）泰塔，为八角七层楼阁式砖塔，是旧时某县的风水塔和标志性建筑．李强与王刚利用所学知识测量泰塔的高度，具体研究方法与过程如表： 课题 测量泰塔的高度 工具 卷尺、测角仪、标杆等 示意图    说明 阳光明媚的一天，如图，李强在地面上的点处竖立一根标杆，标杆在阳光下的影子末端与塔在阳光下的影子末端正好重合于地面上的点，并测出的长；王刚在地面上的点处用测角仪测得塔的顶端的仰角为．已知，，，点、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内． 数据 米，米，米，米，． 根据以上信息，求泰塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】53米 【分析】先用标杆比例算出总影长是塔高的2倍，再用测角仪算出水平距离和塔高的关系，最后把两段距离加起来等于总影长，即可得解． 【详解】解：过点作于点． ∵ ∴，即： ∴， ∵， ∴四边形是矩形． ∴米，， ∴， 在直角三角形中，，， ∴， ∴ 又∵．米，米， ∴ ∴ 解得：（米） 答：泰塔的高度为53米． 【变式8-2】（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 1. （2026·上海杨浦·二模）下列选项条件中，一定能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵相似三角形的判定要求必须满足对应条件，三边对应成比例或两角分别相等或两边成比例且夹角相等，才能判定两三角形相似． A、涉及的边不是的对应边，也不符合判定条件，不能判定，错误． B、只给出的两条边长，缺少的相关条件，不能判定，错误． C、满足三边对应成比例，符合相似三角形的判定定理，∴可以判定，正确． D、仅给出一组角相等，缺少其他必要条件，不能判定，错误． 2. （2026·上海松江·一模）已知与相似，，那么的度数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 利用相似三角形的性质，对应角相等，但对应顶点不确定，需讨论对应或的情况，从而求出的可能值． 【详解】解：∵与相似， ∴对应角相等． ∵， ∴，故不对应． 情况1∶若对应，则， ∴； 情况2∶若对应，则； ∴可能为或． 只有C符合． 故选：C． 3. （2026·安徽·模拟预测）如图，在四边形中，为边的中点，连接，若．则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形外角的性质结合得到，即可判断A正确；根据题意无法证明，故B错误；证明出，得到，等量代换得到，证明出，得到，，即可判断C，D正确． 【详解】解：∵， ∴，故A正确； 根据题意无法证明，故B错误； ∵ ∴ ∴ ∵为边的中点， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，，故C正确． ∴，故D正确． 4. （2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 5. （2026·重庆·一模）如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的性质得出，，根据相似三角形的性质得出，即可求出的值． 【详解】解：∵与是位似图形，点是位似中心， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 6. （2026·上海闵行·一模）如果两个相似三角形的面积之比为，那么它们的周长之比是___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：设两个相似三角形的相似比为， 则面积比为， 由题意，， 解得， 周长比等于相似比，即它们的周长之比是， 故答案为：． 7. （2026·浙江·模拟预测）如图，正方形和正方形是位似图形，其位似中心为．已知点F的坐标为，若点A的坐标为，则点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质．位似图形对应顶点的连线经过位似中心，且对应点到位似中心的距离之比等于位似比．根据正方形顶点F的坐标确定小正方形顶点坐标，再利用位似中心及对应顶点A的坐标求出位似比，进而由位似变换公式求得点C的坐标． 【详解】解：∵正方形中，，且点O为坐标原点， ∴ ，， ∵ 正方形与正方形是位似图形，位似中心为， ∴ 点O与点A为对应顶点，点F与点C为对应顶点，设位似中心为M，过M作射线，，由题意可知，，分别过D，C， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴ ， ∴ 点C的坐标为． 8. （2026·辽宁沈阳·一模）如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的定义可得，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 9. （2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. （2026·辽宁铁岭·二模）如图，，的顶点A，B分别在射线和射线上，点C与点O在的同侧，D为边的中点，，．若与相似时，则的长_____． 【答案】或 【分析】根据等腰三角形的性质求出的长，确定为直角三角形，由可知为直角三角形，根据相似三角形的对应边成比例，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】解：，为边的中点，， ，， 在中，， ， ， 若与相似，分两种情况： 当时，，即，解得； 当时，，即，解得； 综上所述，的长为或． 11. （2026·四川成都·一模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过作于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为，的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是菱形，得，，又，所以，则，，得出，然后通过相似三角形的判定方法即可求证； （）由四边形是菱形，得，又，所以，即， 解得，在中，，再证明，所以，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍）， ∴的长为，的长为． 12. （2026·安徽阜阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于点位似，其中顶点的对应点依次为，且都在格点上． (1)请利用位似的知识在图中找到并画出位似中心； (2)请在图中画出，使之满足如下条件： ①与关于点位似，且与的位似比为； ②与位于点的同侧． 【答案】(1)作图见解析 (2)①作图见解析；②作图见解析 【分析】（1）连接、、相交于点即可； （2）取、、的中点、、，顺次连接各点即可． 【详解】（1）解：连接、、相交于点，作图如下 （2）解：取、、的中点、、，顺次连接各点，作图如下 13. （2026·陕西西安·三模）刘徽是中国历史上杰出的数学家之一，《海岛算经》是他留给后世宝贵的数学遗产．某校数学兴趣小组决定参考《海岛算经》中的方法测量校园围墙外某建筑物的高度．因其在墙外，底部不可直接到达，故在校园内的，两点处分别竖立两根高为的标杆和（如图），两标杆间隔为，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内，将测量仪器（仪器高度忽略不计）放在标杆右侧远的点处，此时测得点D，F，A在同一条直线上；将测量仪器放在标杆右侧远的点处，测得点C，H，A在同一条直线上．已知点B，E，D，G，C在同一条直线上，，，，求该建筑物的高度． 【答案】 【分析】设，由题意可知两组三角形相似，利用相似比找出关于x的方程，即可求出建筑物的高度． 【详解】解：设， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴ 解得：， 答：该建筑物的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $