易错09 勾股定理及锐角三角函数的应用（易错专练，5大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

**基本信息** 以易错点为核心，通过错因剖析-避错秘籍-变式迁移三阶体系，系统构建勾股定理及锐角三角函数解题方法，强化知识逻辑与应用能力，培养几何直观、模型意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |混淆斜边与直角边|1例+3变式|先判定直角、标斜边，平方和差口诀|勾股定理概念→直角三角形分类讨论→综合应用| |折叠问题|1例+3变式|折叠五步法（找等量-设元-定直角-列方程-求解）|轴对称性质→勾股定理→方程思想| |三角函数定义|1例+3变式|定角-辨边-套式，“正对正，余靠邻”口诀|直角三角形边角关系→三角函数定义→辨析应用| |特殊三角函数值|1例+2变式|特殊三角形边长比推导记忆法|特殊直角三角形→函数值推导→实数运算| |实际应用|1例+3变式|建模四步法（画图-作辅助线-定边角-选三角比）|解直角三角形→实际场景转化→模型应用|

专题09 勾股定理及锐角三角函数的应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 混淆直角三角形的斜边与直角边，直接乱套勾股定理 易错点 2 折叠问题中的勾股定理等式方程 易错点 3 混淆三角函数的定义 易错点 4 特殊三角函数值记忆错误 易错点 5 解直角三角形在实际问题中的应用 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 混淆直角三角形的斜边与直角边，直接乱套勾股定理 错因剖析 概念混淆：死记勾股定理公式 ，但不区分字母含义，随意代入边长，分不清哪边是斜边。 认知偏差：忽略勾股定理只适用于直角三角形，锐角、钝角三角形乱用定理计算边长。 基础薄弱：无图题型不分类讨论：已知直角三角形两边长，未区分 “两边都是直角边”“一边直角边、一边斜边” 两种情况，造成漏解。 【例1】若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用以及分类讨论思想，解题的关键是分情况讨论已知的两边是直角边还是其中一边为斜边，再利用勾股定理计算第三边的长度． 分两种情况计算：当6和8为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得第三边长为；当8为斜边、6为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得第三边长为． 【详解】解：本题可分两种情况讨论： 情况一：若6和8均为直角边，根据勾股定理，第三边（斜边）的长为； 情况二：若8为斜边，6为直角边，根据勾股定理，第三边（另一条直角边）的长为． 故第三边的长为10或． 故答案为：10或． 避错秘籍 【防错指南】 先判定直角、标出斜边，再列公式； 非直角三角形，严禁使用勾股定理。 【知识链接】 1、勾股定理专属直角三角形： 斜边 = 直角对的边 = 三角形最长边。 2、固定公式用法，精准对应 设： 为斜边， 为直角边 求斜边： 求直角边： 口诀：平方和求斜边，平方差求直边 变式迁移 【变式1-1】（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，则边的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形、勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作于点，根据求出，进而求出长，利用勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【变式1-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质，确定的外接圆直径为斜边，连接，，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，且为直角， ∴， 作的外接圆如图，连接，，交于点 ，则为直径，，    ∴， ∵为弧的中点， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-3】（2026·河南开封·一模）如图，在等腰直角中，，点是的中点，在上取一点，连接，过点作，交于点，连接．若，则的长为___________． 【答案】 【分析】连接，证明以及，结合勾股定理解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，点是的中点， ∴，，，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 设，则，， 在中，， ∴， ， 整理得， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 易错点2 折叠问题中的勾股定理等式方程 错因剖析 概念混淆：不能根据折叠的性质迁移线段、角，找到适合的直角三角形建立勾股方程。 认知偏差：缺乏 “折叠 + 勾股 + 方程” 固定解题模型，识图不完整，代数几何结合能力薄弱。 基础薄弱：方程建模与求解能力不足。 【例2】（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知，证明，设，则，由勾股定理得到，求出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由折叠的性质易知， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∵E为边的中点， ∴． 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】一般解题步骤： ① 找等量：由折叠，标出所有相等线段； ② 巧设元：设最短未知线段为，其余相关线段用**总长**表示； ③ 定直角：锁定折叠后新形成的直角三角形； ④ 列方程：利用 直角边 ²＋直角边 ²＝斜边 ² 列一元一次方程； ⑤ 解方程、验结果，舍去不合理负值、超范围解。 【知识链接】 折叠变换：轴对称→全等→边等、角等； 勾股定理：直角三角形边长等量关系； 方程思想：几何线段计算代数化，是中考折叠题型核心考法。 变式迁移 【变式2-1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由折叠知：， 设，则， 在中，， ， 解得， 即的长为． 【变式2-2】（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，则，根据矩形的判定和性质、折叠的性质、中点的定义得到，设，在中，进一步利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处． ∴， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得 即的长为． 【变式2-3】（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质与折叠可得，与都是直角三角形，根据 “”即可证明； （2）由中点的定义得到，由折叠得到，设，则，，在中，根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形 ∴，， 由折叠可得，， ∴，， ∴在和中 ∴； （2）解：∵，点E是的中点， ∴， 由折叠得到， ∵ ， ∴ 设，则， ∵在中，， ∴ 解得 ∴． 易错点3 混淆三角函数的定义 错因剖析 概念混淆：混淆的边角对应关系，尤其混淆正弦和余弦。 认知偏差：忽略三角函数只在直角三角形中定义，无直角三角形不构造而强行计算。 基础薄弱：运用三角函数时，不指明那个直角三角形，导致混乱。 【例3】（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：B 避错秘籍 【防错指南】确定三角函数值的方法 ① 定角：锁定要求的锐角； ② 辨边：以该角为顶点，分清：对边、邻边、斜边； ③ 套式：严格按定义列式，不乱替换。 【知识链接】定义（锐角三角函数） 在中，对于一个锐角： 正弦： 余弦： 正切： 极简口诀： 正对正，余靠邻，切对比邻；斜边永远在下方。 变式迁移 【变式3-1】（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键． 直接由正弦的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴在中，， 故选：D． 【变式3-2】（2026·广西钦州·一模）如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦的定义，计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则． 【变式3-3】（2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ∵， ∴ 易错点4 特殊三角函数值记忆错误 错因剖析 概念混淆：混淆的与；混淆正切大小，把与写反。 认知偏差：缺少规律认知，不理解互余角三角函数之间的关系。 基础薄弱：含特殊角三角函数值的基础实数运算法则不熟练，计算错误。 【例4】（2026·天津东丽·一模） 的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 避错秘籍 【防错指南】理解记忆（依托两个特殊直角三角形） 含直角三角形：三边比 含等腰直角三角形：三边比 由边长比推导三角函数，告别死记硬背。 【知识链接】特殊角的三角函数值 1. 图表记忆 三角函数 图形记忆 30° 45° 60° 1 2. 规律记忆 30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，； 30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。 变式迁移 【变式4-1】（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 【变式4-2】（2025·广东·中考真题）计算的结果是_____． 【答案】0 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键． 分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：0． 易错点5 解直角三角形在实际问题中的应用 错因剖析 概念混淆：专业名词理解错误，边角对应混乱。 认知偏差：建模能力弱，不会把实际文字场景转化为几何图形，缺少 “化斜为直” 的解题思维。 基础薄弱：不会根据已知边、所求边，合理选择 ，乱套公式。 【例5】（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    【答案】（1）； （2），不会影响一楼的采光 【分析】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． （1） 根据正切的定义求出； （2）延长交延长线于点F，先根据正切的定义和的长求出，进一步求出，再使用一次正切的定义求出，根据结果进行判断即可． 【详解】解：（1）根据题意，得， 在Rt中，，，， ∵， ∴， ∴楼房的高度为； （2）如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴ 在Rt中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在Rt中， ∵一楼窗户下端距离地面的高度为， ∴不会影响一楼的采光． 避错秘籍 【防错指南】通用解题建模步骤 ① 画图：根据题意画出示意图，标出已知长度、角度； ② 作辅助线：遇斜面、斜角，作铅垂线、水平线，构造直角三角形； ③ 定边角：锁定目标直角三角形，分清对边、邻边、斜边； ④ 选三角比： 求高 / 竖边优先 ；求斜边优先 ； ⑤ 计算作答：注意是否加底座、眼高，按要求保留结果。 【知识链接】解直角三角形的实际应用 概念 定义 图形 俯角、仰角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. 坡度（坡比）、坡角 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= . 方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向). 变式迁移 【变式5-1】（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算，根据，求解即可． （2）过点作于点M，则四边形是矩形，根据，求解即可． （3）设小路的宽为，根据题意，得，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 的宽度为， ， ． （2）解：过点作于点M， 则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：设小路的宽为， 根据题意，得， 整理，得， ， 解得，（大于16，舍去）， 答：小路的宽为． 【变式5-2】（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【变式5-3】（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于点，则，在中，利用的三角函数可求，则可求，进而在中利用三角函数值可求， 则可求． 【详解】解：如解图，延长交于点，则， 在中，， ，， ， 在中，， ， ， 河宽约为． 1. （2026·云南·一模）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据余弦的定义计算的值即可． 【详解】解：由题可得图， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得 ， 根据余弦定义可得 ． 2. （2026·天津·一模）的值等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3. （2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 4. （2026·广东汕尾·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】设，先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义得出答案． 【详解】解：如图所示，根据题意，得设， 在中，根据勾股定理，得， ∴． 5. （2026·安徽阜阳·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题以矩形折叠为背景，先利用矩形性质与中点条件得出边长，再根据折叠性质得到点关于折痕对称，进而推出 且，通过同角的余角相等，证得，因此，最后在中计算从而得到． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴， ∵是中点， ∴， ∵， 又∵ 折叠后点落在处， ∴关于折痕对称， 可得： ∴， ∵， ∴， ∵矩形纸片沿边折叠， ∴， ∴， 在中，， ∴． 6. （2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接，证明，可得，设，则，根据勾股定理可得，再利用角平分线的性质得到点到的距离相等，利用面积之比即可解答，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程解得是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， , 将沿直线翻折得， ，, ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得, 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 故选：A． 7. 如图，四边形中，，，，，则_____． 【答案】 【分析】过点作于点，证明，得出，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ． 8. （2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 9. （2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设，可得，在中，利用勾股定理可求出，根据翻折的性质得出，，，设，在中利用勾股定理可求出a值，即可得答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，如图，设与y轴交于点G，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为， 故答案为： 10. （2026·河北石家庄·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：①如图，若， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将沿着翻折， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ②如图，若， ∵将沿着翻折， ∴，，， ∵， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴． ③若， ∵， ∴点不可能落在直线上， ∴不存在， 综上所述：或． 11. （2025·四川·中考真题）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    【答案】树的高度为16.5 米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． 由题意得，，，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 在中，， ∴， ∴ 答：树的高度为16.5 米． 12. （2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64；53； (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求角度即可； （2）过点D作，过点E作，利用矩形的判定得出四边形为矩形，四边形为矩形，再结合图形，利用三角函数求解即可． 【详解】（1）解：过点C作， ∵垂直于， ∴， ∴， ∵与水平线平行， ∴， ∴， ∴， 故答案为：64；53； （2）解：过点D作，过点E作，如图所示： ∴四边形为矩形， 同理得：四边形为矩形， ∴， ∵为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. （2026·河北邯郸·一模）【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 【答案】(1) (2)图形见解析 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据矩形纸片，得到，由折叠可得； （2）先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）由正方形得到，，由折叠可得，再由勾股定理求出，得到； （4）①由折叠可得，，根据，得到； ②由折叠可得，，再在中由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴； （2）解：如图，先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则 （3）解：∵矩形纸片， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：①∵正方形纸片， ∴，， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； ②由折叠可得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵中， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 勾股定理及锐角三角函数的应用 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 混淆直角三角形的斜边与直角边，直接乱套勾股定理 易错点 2 折叠问题中的勾股定理等式方程 易错点 3 混淆三角函数的定义 易错点 4 特殊三角函数值记忆错误 易错点 5 解直角三角形在实际问题中的应用 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 混淆直角三角形的斜边与直角边，直接乱套勾股定理 错因剖析 概念混淆：死记勾股定理公式 ，但不区分字母含义，随意代入边长，分不清哪边是斜边。 认知偏差：忽略勾股定理只适用于直角三角形，锐角、钝角三角形乱用定理计算边长。 基础薄弱：无图题型不分类讨论：已知直角三角形两边长，未区分 “两边都是直角边”“一边直角边、一边斜边” 两种情况，造成漏解。 【例1】若一个直角三角形两边的长分别为6和8，则第三边的长为_____． 避错秘籍 【防错指南】 先判定直角、标出斜边，再列公式； 非直角三角形，严禁使用勾股定理。 【知识链接】 1、勾股定理专属直角三角形： 斜边 = 直角对的边 = 三角形最长边。 2、固定公式用法，精准对应 设： 为斜边， 为直角边 求斜边： 求直角边： 口诀：平方和求斜边，平方差求直边 变式迁移 【变式1-1】（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，，则边的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·江苏无锡·模拟预测）已知中，，，且为直角，作它的外接圆，取弧的中点，连接，则的长为______． 【变式1-3】（2026·河南开封·一模）如图，在等腰直角中，，点是的中点，在上取一点，连接，过点作，交于点，连接．若，则的长为___________． 易错点2 折叠问题中的勾股定理等式方程 错因剖析 概念混淆：不能根据折叠的性质迁移线段、角，找到适合的直角三角形建立勾股方程。 认知偏差：缺乏 “折叠 + 勾股 + 方程” 固定解题模型，识图不完整，代数几何结合能力薄弱。 基础薄弱：方程建模与求解能力不足。 【例2】（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形中，，点E是的中点，把沿折叠，点B落在点F处，延长交于点G，连接，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 避错秘籍 【防错指南】一般解题步骤： ① 找等量：由折叠，标出所有相等线段； ② 巧设元：设最短未知线段为，其余相关线段用**总长**表示； ③ 定直角：锁定折叠后新形成的直角三角形； ④ 列方程：利用 直角边 ²＋直角边 ²＝斜边 ² 列一元一次方程； ⑤ 解方程、验结果，舍去不合理负值、超范围解。 【知识链接】 折叠变换：轴对称→全等→边等、角等； 勾股定理：直角三角形边长等量关系； 方程思想：几何线段计算代数化，是中考折叠题型核心考法。 变式迁移 【变式2-1】（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点B与点A重合，折痕交于点D，交于点E，则的长为（     ） A． B． C．3 D．4 【变式2-2】（2026·山东青岛·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点A落在边的中点M处．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形的边的中点，连接，将沿所在直线折叠，点C落在点F处，连接并延长交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 易错点3 混淆三角函数的定义 错因剖析 概念混淆：混淆的边角对应关系，尤其混淆正弦和余弦。 认知偏差：忽略三角函数只在直角三角形中定义，无直角三角形不构造而强行计算。 基础薄弱：运用三角函数时，不指明那个直角三角形，导致混乱。 【例3】（2025·广西·中考真题）在中，，则（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】确定三角函数值的方法 ① 定角：锁定要求的锐角； ② 辨边：以该角为顶点，分清：对边、邻边、斜边； ③ 套式：严格按定义列式，不乱替换。 【知识链接】定义（锐角三角函数） 在中，对于一个锐角： 正弦： 余弦： 正切： 极简口诀： 正对正，余靠邻，切对比邻；斜边永远在下方。 变式迁移 【变式3-1】（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·广西钦州·一模）如图，在中，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·江西九江·一模）在中，，则等于（   ） A． B． C． D． 易错点4 特殊三角函数值记忆错误 错因剖析 概念混淆：混淆的与；混淆正切大小，把与写反。 认知偏差：缺少规律认知，不理解互余角三角函数之间的关系。 基础薄弱：含特殊角三角函数值的基础实数运算法则不熟练，计算错误。 【例4】（2026·天津东丽·一模） 的值等于（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】理解记忆（依托两个特殊直角三角形） 含直角三角形：三边比 含等腰直角三角形：三边比 由边长比推导三角函数，告别死记硬背。 【知识链接】特殊角的三角函数值 1. 图表记忆 三角函数 图形记忆 30° 45° 60° 1 2. 规律记忆 30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子依次为1，，； 30°，45°，60°角的余弦值分别是60°，45°，30°角的正弦值。 变式迁移 【变式4-1】（2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式4-2】（2025·广东·中考真题）计算的结果是_____． 易错点5 解直角三角形在实际问题中的应用 错因剖析 概念混淆：专业名词理解错误，边角对应混乱。 认知偏差：建模能力弱，不会把实际文字场景转化为几何图形，缺少 “化斜为直” 的解题思维。 基础薄弱：不会根据已知边、所求边，合理选择 ，乱套公式。 【例5】（2025·山东东营·中考真题）五一假期，小良家准备购买一套新楼房，要求楼层是一楼，位置在第二排，冬天采光不受第一排的影响．以下是小良和爸爸看房后完成的调查报告，请你根据报告中的信息，解决两个问题． 调查目的 居民楼一楼采光是否受到影响 调查数据 ①五一正午测得楼房影子的长度为，楼间距为，太阳光线与水平线的夹角为． ②一楼窗户下端距离地面的高度为． ③该小区冬至正午的太阳光线与水平线的夹角为，第一排楼房的影子会落在第二排楼房的墙上． 建立模型 小良同学根据调查数据画出了数学图形．如图， ，，，， ，．    测量工具 卷尺 参考数据     ，，，． 问题解决 （1）根据调查数据，请你计算楼房AB的高度（精确到）； （2）计算在冬至正午第一排楼房影子落在第二排楼房墙上的高度DE，并判断会不会影响一楼的采光（精确到）．    避错秘籍 【防错指南】通用解题建模步骤 ① 画图：根据题意画出示意图，标出已知长度、角度； ② 作辅助线：遇斜面、斜角，作铅垂线、水平线，构造直角三角形； ③ 定边角：锁定目标直角三角形，分清对边、邻边、斜边； ④ 选三角比： 求高 / 竖边优先 ；求斜边优先 ； ⑤ 计算作答：注意是否加底座、眼高，按要求保留结果。 【知识链接】解直角三角形的实际应用 概念 定义 图形 俯角、仰角 在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角. 坡度（坡比）、坡角 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫坡度(坡比),用字母i表示.坡面与水平面的夹角α叫坡角,i=tan α= . 方向角 一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角),通常表达成北(南)偏东(西)××度,方向角的角度值在0°~90°.如图,点A,B,C关于O点的方向角分别是北偏东30°、南偏东60°、北偏西45°(也称西北方向). 变式迁移 【变式5-1】（2025·四川雅安·中考真题）为了夏天能最大限度地遮挡炎热阳光，冬天能最大限度地使温暖的阳光射入室内，很多家庭都会选择安装遮阳棚．小强家也在墙上安装了一伸缩式遮阳棚，已知一楼墙高为． (1)如图2，墙上有一扇窗户（），某日正午，为了使阳光能最大限度的射入室内，需要将遮阳棚收缩，收缩后遮阳棚的宽度为，此时______． (2)如图3，另一日正午，当遮阳棚完全展开后，太阳光与地面的夹角，被遮挡形成的阴影，则展开后的遮阳棚______．（参考数据：，，） (3)小强的爸爸准备将房后一块长，宽的矩形荒地改造成花园，花园的中间有两条宽度相同的小路（如图4），并且小路所占面积为荒地面积的一半，设小路的宽为，求x的值． 【变式5-2】（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【变式5-3】（2025·陕西·中考真题）小伟和小华想用所学数学知识测量小河的宽．测量示意图如图所示，他们在河边的山坡上的点处安装测角仪，测得河对岸点的俯角为与的夹角为，又测得点与河岸点之间的距离为．已知，点在同一平面上，点在同一水平直线上，且．求河宽．（参考数据：，，，） 1. （2026·云南·一模）在中，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2. （2026·天津·一模）的值等于（   ） A．0 B． C． D． 3. （2025·江苏镇江·中考真题）如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4. （2026·广东汕尾·一模）如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 5. （2026·安徽阜阳·一模）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边的中点处．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6. （2025·重庆·中考真题）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7. 如图，四边形中，，，，，则_____． 8. （2025·江苏盐城·中考真题）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影_____． 9. （2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为______． 10. （2026·河北石家庄·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 11. （2025·四川·中考真题）为测量物体的高度，某数学兴趣小组开展了如下活动： 【制作仪器】 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，当测量物体时，将该仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径所在直线刚好到达物体的最高点．    【测量高度】 小丽同学用此测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点A，站立此处，测得树顶端D的仰角为，再测得点A离树底端B的距离为20米，并测得眼睛所在位置点C离点A的距离为1.5米，请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据：，，）    12. （2025·海南·中考真题）现有一台红外线理疗灯（如图-1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图-2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 13. （2026·河北邯郸·一模）【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片和一张正方形纸片，要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点的对应点落在边BC上，折痕为，此时折出的__________度； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到__________度； 【探究与解决】 (4)如图4，小慧将正方形纸片的沿过点的直线翻折，点的对应点落在正方形内部的点处，折痕为，再将沿过点的直线翻折，使点的对应点与点重合，折痕为． ①此时可得到__________度； ②若，求的长度． 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