易错08 圆（易错专练，8大易错剖析+避错秘籍+易错闯关）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

专题08 圆 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 圆周角、圆心角、弧、弦之间关系 易错点 2 垂径定理及应用 易错点 3 忽略题图中圆的内接四边形 易错点 4 切线的判定与性质 易错点 5 混淆三角形的内心和外心 易错点 6 忽略切线长定理 易错点 7 扇形面积公式、弧长公式 易错点 8 与圆锥有关的计算 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 圆周角、圆心角、弧、弦之间关系 错因剖析 概念混淆：只记结论不记前提“同圆或等圆中”，对 “四组量（圆心角、圆周角、弧、弦）的等价关系” 理解片面。 认知偏差：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），对应两类圆周角，往往只算一种。 基础薄弱：不会利用弧相等→角相等进行倒角。 【例1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的圆周角，，则________． 避错秘籍 【防错指南】 前提不能丢：没有 “同圆或等圆”，弦相等≠弧相等，角相等≠弧相等。 一弦对两弧：弦对应优弧、劣弧，对应两个互补的圆周角，无图题一定双解。 倍半别搞反：圆心角大，圆周角小，永远是 “圆周角 = 1/2 圆心角”。 【知识链接】 四组等量关系 同圆或等圆中： 弧相等 ⇄ 圆心角相等 ⇄ 圆周角相等 ⇄ 弦相等 ⇄ 弦心距相等 重要推论 同弧或等弧所对圆周角相等； 相等的圆周角所对弧相等； 直径 ⇌ 90° 圆周角； 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 变式迁移 【变式1-1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______． 【变式1-2】（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为______． 【变式1-3】（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 易错点2 垂径定理及应用 错因剖析 概念混淆：混淆垂径定理及其推论的前提条件，导致推理逻辑错误。 认知偏差：忽略垂径定理的前提条件、推论的限制条件，不会构造直角三角形。 基础薄弱：垂径定理的辅助线构造方法不熟练，勾股定理应用能力薄弱，对 “弦、弦心距、半径” 的转化模型掌握不足，书写规范意识差。 【例2】（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】 前提不能漏：没有 “过圆心（直径）”，再垂直于弦也不能用垂径定理； 限制不能丢：推论中 “平分弦” 必须强调 “不是直径”，否则结论不成立； 无图必分类：涉及弦、弧的无图题，必考虑优弧 / 劣弧、弦在圆心的不同侧（特殊情况除外）； 辅助线必作：遇到弦长、弦心距、半径计算，必作 “过圆心作弦的垂线”，构造直角三角形。 【知识链接】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意:垂径定理使用时必须具备两个条件：一是直径；二是垂直，二者缺一不可。 垂径定理的逆定理：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意：定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立。 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 垂径定理的核心模型：半弦长（）、弦心距（d）、半径（r） 满足勾股定理： 变式迁移 【变式2-1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【变式2-2】（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 易错点3 忽略题图中圆的内接四边形 错因剖析 概念混淆：对「四点共圆→内接四边形特有性质」理解模糊，与平行四边形性质混淆。 认知偏差：缺乏整体识图意识，不会主动挖掘图形中隐藏的四点共圆模型。 基础薄弱：不会利用圆内接四边形进行快速倒角，角度推导思路单一。 【例3】（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 避错秘籍 【防错指南】整体识图，主动挖掘隐藏模型 看圆先看点：只要有四个点同时在圆周上，立刻反应：圆内接四边形； 遇求角度、倒角题，优先先用内接四边形性质，再用圆周角、三角形内角和； 复杂组合图形，圈出圆上多点，快速锁定内接四边形，补全隐藏条件。 【知识链接】 圆内接四边形的性质 ① 对角互补：圆内接四边形两组对角之和均为； ② 外角等于内对角：四边形任意一个外角，等于它的内对角。 注意：四个顶点都在同一个圆上，才是圆内接四边形，才可使用以上两条性质。 变式迁移 【变式3-1】（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【变式3-3】（2026·安徽·模拟预测）如图，A，B，C，D四点均在上，若，，则的度数为______． 易错点4 切线的判定与性质 错因剖析 概念混淆：只证明 “直线⊥半径”，忽略经过半径外端点，直接判定为切线。 认知偏差：审题不抓关键，缺乏模型识别意识，不会区分 “有切点、无切点” 两类切线证明套路。 基础薄弱：几何证明跳步严重，缺少关键依据，扣分严重。 【例4】（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 避错秘籍 【防错指南】证明切线的基本思路 1、已知直线与圆有公共点（有切点） 口诀：连半径，证垂直 连接圆心和公共点，证明夹角为。 2、未知公共点，直线与圆位置不确定 口诀：作垂直，证半径 过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。 【知识链接】 切线性质： 直线是圆的切线 切线过切点的半径。 切线判定（两个条件缺一不可）： ① 直线经过半径外端点； ② 直线与这条半径互相垂直； 同时满足 直线是圆的切线。 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和该点连线平分两条切线夹角。 变式迁移 【变式4-1】（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【变式4-2】（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【变式4-3】（2026·河南郑州·一模）如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)比较大小：___________（填或）； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 易错点5 混淆三角形的内心和外心 错因剖析 概念混淆：混淆内心、外心的定义：分不清是角平分线交点还是垂直平分线交点。 认知偏差：三角形外心位置与三角形的形状有关：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点、钝角三角形外心在外部；而三角形的内心只在三角形的内部。 基础薄弱：审题不仔细，题干文字 “内切圆、外接圆、内接、外切” 看错，导致错误。 【例5】（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 避错秘籍 【防错指南】 内切圆、切三边、角平分线 → 找内心 外接圆、过三顶点、垂直平分线 → 找外心 【知识链接】 内心 形成：三角形三条角平分线交点 对应圆：内切圆 相等距离：到三条边距离相等 外心 形成：三边垂直平分线交点 对应圆：外接圆 相等距离：到三个顶点距离相等 变式迁移 【变式5-1】（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【变式5-2】（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____． 【变式5-3】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 易错点6 忽略切线长定理 错因剖析 概念混淆：混淆切线性质与切线长定理，切线性质侧重「切线垂直半径」；切线长定理侧重「线段相等、角平分」，学生常只记得垂直，完全遗忘切线长等量关系 认知偏差：多图形组合、四边形与圆综合、三角形内切圆题型中，看不到多组切线长相等关系，无法转化边长。 基础薄弱：不会利用切线长定理进行线段拆分与代换，尤其内切圆、直角三角形、菱形与圆结合题型。。 【例6】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 避错秘籍 【防错指南】 看见：圆外一点 + 两条切线，第一时间联想切线长定理； 圆内切多边形计算，优先用切线长分段转化，减少方程数量； 规范答题句式： 是 的两条切线 （切线长定理） 区分：单一切线用切线性质，双切线必用切线长定理。 【知识链接】 圆外切四边形性质：对边之和相等； 直角三角形内切圆半径公式：，由切线长定理推导而来； 双切线 + 半径：构成一组全等直角三角形。 基本解题思路： 1、一点两切线 线段相等、角相等； 2、三角形内切圆 三组切线长两两相等，快速求边长、周长； 3、圆外切四边形 对边之和相等。 变式迁移 【变式6-1】（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，_______ 【变式6-2】（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 易错点7 扇形面积公式、弧长公式 错因剖析 概念混淆：混淆弧长公式与扇形面积公式，两个公式记混、写反，系数、乱用。 认知偏差：组合图形中，不会拆分扇形＋三角形求弓形、阴影面积，漏加、漏减。 基础薄弱：分数运算、代数式化简能力薄弱，公式应用不熟练。 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 避错秘籍 【防错指南】 先找：半径、圆心角 再套对应公式，能约分先约分，结果保留。 不规则阴影面积，先确定可求图形面积的和差关系，再分别计算。 【知识链接】 设：圆心角，半径 弧长公式： 扇形面积两种形式： 变式迁移 【变式7-1】（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 易错点8 与圆锥有关的计算 错因剖析 概念混淆：混淆圆锥与侧面展开扇形的对应关系：扇形半径 = 圆锥母线，扇形弧长 = 圆锥底面周长，经常记反。 认知偏差：忽略底面半径r，高h，母线l，三者围成一个圆锥中的直角三角形：， 基础薄弱：含运算、分数约分、根式化简能力弱，计算步骤繁琐易出错。 【例8】（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 避错秘籍 【防错指南】 定三量：先标出 （底面半径）、（高）、（母线），杜绝代错数； 找等量：遇展开问题，确定圆锥与扇形的对应关系，「扇形弧长 = 底面周长」列方程； 看题型：求侧面积只用，求全面积必须加底面圆面积。 【知识链接】 侧面展开扇形半径 圆锥母线 侧面展开扇形弧长 圆锥底面周长 圆锥构成直角三角形： 圆锥侧面积： 圆锥全面积： 侧面扇形圆心角推导： 变式迁移 【变式8-1】（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【变式8-2】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 【变式8-3】（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 1. （2025·甘肃·中考真题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2. （2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 3. （2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4. （2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 5. （2026·辽宁沈阳·一模）如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6. （2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 7. （2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 8. （2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 9. （2026·广东东莞·一模）若一个圆锥的底面半径为3，母线长为8，则该圆锥的侧面展开图的面积为__________． 10. （2026·江苏徐州·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 11. （2026·河南周口·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，的切线与相交于点．若，，则的长为______． 12. 在中，，则外接圆的半径为 ___________． 13. （2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 14. （2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 15. （2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求线段的长． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆 目录 第一部分 错因诊断与精准突破 错因剖析 避错秘籍 变式迁移 易错点 1 圆周角、圆心角、弧、弦之间关系 易错点 2 垂径定理及应用 易错点 3 忽略题图中圆的内接四边形 易错点 4 切线的判定与性质 易错点 5 混淆三角形的内心和外心 易错点 6 忽略切线长定理 易错点 7 扇形面积公式、弧长公式 易错点 8 与圆锥有关的计算 第二部分 易错题验收与闯关 易错点1 圆周角、圆心角、弧、弦之间关系 错因剖析 概念混淆：只记结论不记前提“同圆或等圆中”，对 “四组量（圆心角、圆周角、弧、弦）的等价关系” 理解片面。 认知偏差：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），对应两类圆周角，往往只算一种。 基础薄弱：不会利用弧相等→角相等进行倒角。 【例1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的圆周角，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先由圆周角定理求出，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的圆周角，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 前提不能丢：没有 “同圆或等圆”，弦相等≠弧相等，角相等≠弧相等。 一弦对两弧：弦对应优弧、劣弧，对应两个互补的圆周角，无图题一定双解。 倍半别搞反：圆心角大，圆周角小，永远是 “圆周角 = 1/2 圆心角”。 【知识链接】 四组等量关系 同圆或等圆中： 弧相等 ⇄ 圆心角相等 ⇄ 圆周角相等 ⇄ 弦相等 ⇄ 弦心距相等 重要推论 同弧或等弧所对圆周角相等； 相等的圆周角所对弧相等； 直径 ⇌ 90° 圆周角； 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 变式迁移 【变式1-1】（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【变式1-2】（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 【变式1-3】（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】80 【详解】解：， . ， ． 易错点2 垂径定理及应用 错因剖析 概念混淆：混淆垂径定理及其推论的前提条件，导致推理逻辑错误。 认知偏差：忽略垂径定理的前提条件、推论的限制条件，不会构造直角三角形。 基础薄弱：垂径定理的辅助线构造方法不熟练，勾股定理应用能力薄弱，对 “弦、弦心距、半径” 的转化模型掌握不足，书写规范意识差。 【例2】（2025·四川广元·中考真题）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用以及求角的正弦值，关键是根据垂径定理和勾股定理解答． 只要证明，求出即可． 【详解】解：连接，如图， 是的弦，， ， ， ， 和所对的弧都为， ， ， 设， ，， ，， ， ． 故选：B． 避错秘籍 【防错指南】 前提不能漏：没有 “过圆心（直径）”，再垂直于弦也不能用垂径定理； 限制不能丢：推论中 “平分弦” 必须强调 “不是直径”，否则结论不成立； 无图必分类：涉及弦、弧的无图题，必考虑优弧 / 劣弧、弦在圆心的不同侧（特殊情况除外）； 辅助线必作：遇到弦长、弦心距、半径计算，必作 “过圆心作弦的垂线”，构造直角三角形。 【知识链接】 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意:垂径定理使用时必须具备两个条件：一是直径；二是垂直，二者缺一不可。 垂径定理的逆定理：平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 注意：定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立。 关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形． 垂径定理的核心模型：半弦长（）、弦心距（d）、半径（r） 满足勾股定理： 变式迁移 【变式2-1】（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是的弦，半径于点．若，．则的长是（　　） A．3 B．2 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟悉掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理得到的长，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在中，， 故选：A． 【变式2-2】（2026·陕西渭南·一模）如图，是的直径，是的弦，，点E是劣弧上一点，连接交于点F，若，则的度数为________°． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，再根据直角三角形的锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，为的直径， ∴， ∵， ∴． 易错点3 忽略题图中圆的内接四边形 错因剖析 概念混淆：对「四点共圆→内接四边形特有性质」理解模糊，与平行四边形性质混淆。 认知偏差：缺乏整体识图意识，不会主动挖掘图形中隐藏的四点共圆模型。 基础薄弱：不会利用圆内接四边形进行快速倒角，角度推导思路单一。 【例3】（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 避错秘籍 【防错指南】整体识图，主动挖掘隐藏模型 看圆先看点：只要有四个点同时在圆周上，立刻反应：圆内接四边形； 遇求角度、倒角题，优先先用内接四边形性质，再用圆周角、三角形内角和； 复杂组合图形，圈出圆上多点，快速锁定内接四边形，补全隐藏条件。 【知识链接】 圆内接四边形的性质 ① 对角互补：圆内接四边形两组对角之和均为； ② 外角等于内对角：四边形任意一个外角，等于它的内对角。 注意：四个顶点都在同一个圆上，才是圆内接四边形，才可使用以上两条性质。 变式迁移 【变式3-1】（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，，连接BD，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆的性质，解题的关键是熟练掌握圆的性质． 根据圆的内接四边形对角互补可得的度数，由弦相等可得弧相等，从而可得圆周角相等，计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-2】（2025·四川广安·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，连接并延长，交于点，连接，由圆周角定理得到，根据圆内角四边形的内对角互补，求出的度数，再解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：四边形是的内接四边形，， ∴， 连接并延长，交于点，连接，则：为的直径，， ∴， ∵的半径为6， ∴， 在中，； 故答案为：． 【变式3-3】（2026·安徽·模拟预测）如图，A，B，C，D四点均在上，若，，则的度数为______． 【答案】/75度 【分析】根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，求出的度数，根据圆内接四边形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：连接， ，， ， ，， ， ， 四边形是的内接四边形， ． 易错点4 切线的判定与性质 错因剖析 概念混淆：只证明 “直线⊥半径”，忽略经过半径外端点，直接判定为切线。 认知偏差：审题不抓关键，缺乏模型识别意识，不会区分 “有切点、无切点” 两类切线证明套路。 基础薄弱：几何证明跳步严重，缺少关键依据，扣分严重。 【例4】（2026·北京通州·一模）如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：为圆O的切线； (2)连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图1，连接，垂径定理得出，垂直平分线的性质得，则，根据，得，根据是半圆O的切线，得出，则，即，即可证明为圆O的切线； （2）作于M，如图2，根据垂径定理和，求出，，根据，得出，则，则，求出，，证明，根据相似三角形的性质即可求解； 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的切线， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴为圆O的切线． （2）解：作于M，如图2， ∵半圆O的直径为10，为半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴设， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 避错秘籍 【防错指南】证明切线的基本思路 1、已知直线与圆有公共点（有切点） 口诀：连半径，证垂直 连接圆心和公共点，证明夹角为。 2、未知公共点，直线与圆位置不确定 口诀：作垂直，证半径 过圆心作直线垂线，证明垂线段长度等于半径。 【知识链接】 切线性质： 直线是圆的切线 切线过切点的半径。 切线判定（两个条件缺一不可）： ① 直线经过半径外端点； ② 直线与这条半径互相垂直； 同时满足 直线是圆的切线。 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和该点连线平分两条切线夹角。 变式迁移 【变式4-1】（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 【变式4-2】（2026·新疆·一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点．作，垂足为点，已知平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）连接，根据题意求得，，从而求出，，结合切线的判定即可求解； （2）设的半径，则，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，是的直径， ， 设的半径，则， ，， 由勾股定理得， 解得：，（舍）， 的半径为． 【变式4-3】（2026·河南郑州·一模）如图，为菱形的对角线上一点，以点为圆心，长为半径的与相切于点． (1)比较大小：___________（填或）； (2)判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)若菱形的边长为2，，则的半径为___________ 【答案】(1) (2)与相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）由菱形的对角线平分一组对角可得答案； （2）过点O作于点N，由切线的性质得到，由角平分线的性质得到，则与相切； （3）由菱形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到；由切线的性质得到，，设，则，解直角三角形得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴； （2）解：与相切，理由如下： 如图所示，过点O作于点N， ∵与相切于点， ∴， 由（1）可得，即平分， 又∵， ∴， ∴与相切； （3）解：∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵以点为圆心，长为半径的与相切于点， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，即的半径为． 易错点5 混淆三角形的内心和外心 错因剖析 概念混淆：混淆内心、外心的定义：分不清是角平分线交点还是垂直平分线交点。 认知偏差：三角形外心位置与三角形的形状有关：锐角三角形外心在内部、直角三角形外心在斜边中点、钝角三角形外心在外部；而三角形的内心只在三角形的内部。 基础薄弱：审题不仔细，题干文字 “内切圆、外接圆、内接、外切” 看错，导致错误。 【例5】（2025·山东滨州·中考真题）如图，E、F、G、H四点分别在正方形的四条边上，．若，，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内切圆的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据正方形的性质证明全等，得到，设，利用勾股定理求出，，令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，，根据内切圆的性质得到，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：正方形ABCD， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：或， ，， 令的内切圆圆心为，连接、、，令切点为M，N，P，然后连接，，，则，，， 内切于， ， ， ， ， 解得：，即的内切圆半径为2， 故选：B． 避错秘籍 【防错指南】 内切圆、切三边、角平分线 → 找内心 外接圆、过三顶点、垂直平分线 → 找外心 【知识链接】 内心 形成：三角形三条角平分线交点 对应圆：内切圆 相等距离：到三条边距离相等 外心 形成：三边垂直平分线交点 对应圆：外接圆 相等距离：到三个顶点距离相等 变式迁移 【变式5-1】（2025·上海·中考真题）在锐角三角形中，，，的外接圆为，且半径为5，边中点为，如果以为圆心的圆与相交，那么的半径可以为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得；当与相交时，圆心距需满足条件，代入数值求解r的范围，进而确定选项． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E， ∵，D为中点， ∴，； ∵锐角三角形中，， ∴外接圆心O在上， 连接，由勾股定理得：；      设以D为圆心的圆的半径为，相交应满足：， 即，解得：； 在此范围的半径只有选项B； 故选：B． 【变式5-2】（2025·宁夏·中考真题）如图，⊙是的内切圆，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内切圆的性质与三角形内角和定理，此题难度不大． 根据是的内切圆，得出，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式5-3】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得，，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 易错点6 忽略切线长定理 错因剖析 概念混淆：混淆切线性质与切线长定理，切线性质侧重「切线垂直半径」；切线长定理侧重「线段相等、角平分」，学生常只记得垂直，完全遗忘切线长等量关系 认知偏差：多图形组合、四边形与圆综合、三角形内切圆题型中，看不到多组切线长相等关系，无法转化边长。 基础薄弱：不会利用切线长定理进行线段拆分与代换，尤其内切圆、直角三角形、菱形与圆结合题型。。 【例6】（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为_______． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 避错秘籍 【防错指南】 看见：圆外一点 + 两条切线，第一时间联想切线长定理； 圆内切多边形计算，优先用切线长分段转化，减少方程数量； 规范答题句式： 是 的两条切线 （切线长定理） 区分：单一切线用切线性质，双切线必用切线长定理。 【知识链接】 圆外切四边形性质：对边之和相等； 直角三角形内切圆半径公式：，由切线长定理推导而来； 双切线 + 半径：构成一组全等直角三角形。 基本解题思路： 1、一点两切线 线段相等、角相等； 2、三角形内切圆 三组切线长两两相等，快速求边长、周长； 3、圆外切四边形 对边之和相等。 变式迁移 【变式6-1】（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，_______ 【答案】/70度 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵、是圆O的切线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式6-2】（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为____________． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由圆的切线的性质证明四边形为矩形，则，可求圆的半径为，设，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解． 【详解】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∵梯形，， ∴点共线， ∴四边形为矩形， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ∵在中，， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故答案为：． 易错点7 扇形面积公式、弧长公式 错因剖析 概念混淆：混淆弧长公式与扇形面积公式，两个公式记混、写反，系数、乱用。 认知偏差：组合图形中，不会拆分扇形＋三角形求弓形、阴影面积，漏加、漏减。 基础薄弱：分数运算、代数式化简能力薄弱，公式应用不熟练。 【例7】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个扇形的弧长是，半径是，则此扇形的圆心角是_____． 【答案】 【分析】本题考查弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键． 利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为． 由题意得：， 解得：． 故答案为：． 避错秘籍 【防错指南】 先找：半径、圆心角 再套对应公式，能约分先约分，结果保留。 不规则阴影面积，先确定可求图形面积的和差关系，再分别计算。 【知识链接】 设：圆心角，半径 弧长公式： 扇形面积两种形式： 变式迁移 【变式7-1】（2025·海南·中考真题）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，若与半圆相切于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据切线的性质得出，再利用直角三角形两个锐角互余求得，然后利用圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：连结， ∵，以为直径的半圆交于点， ∴， ∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，弧长公式，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【变式7-2】（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-3】（2025·山东东营·中考真题）如图，是的直径，、是上的两点，，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定定理、扇形面积与三角形面积的计算，利用弧相等推导圆心角相等，结合直角三角形性质分析线段与角度关系是解题的关键． （1）连接，，由得圆心角，进而得，由得，由得，可得，即可得，又因是的半径即可证明； （2）由，结合得，由勾股定理可得，由即可得出． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错点8 与圆锥有关的计算 错因剖析 概念混淆：混淆圆锥与侧面展开扇形的对应关系：扇形半径 = 圆锥母线，扇形弧长 = 圆锥底面周长，经常记反。 认知偏差：忽略底面半径r，高h，母线l，三者围成一个圆锥中的直角三角形：， 基础薄弱：含运算、分数约分、根式化简能力弱，计算步骤繁琐易出错。 【例8】（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键； 先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可 【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长， ∴该圆锥的底面圆的半径为； 故选：A 避错秘籍 【防错指南】 定三量：先标出 （底面半径）、（高）、（母线），杜绝代错数； 找等量：遇展开问题，确定圆锥与扇形的对应关系，「扇形弧长 = 底面周长」列方程； 看题型：求侧面积只用，求全面积必须加底面圆面积。 【知识链接】 侧面展开扇形半径 圆锥母线 侧面展开扇形弧长 圆锥底面周长 圆锥构成直角三角形： 圆锥侧面积： 圆锥全面积： 侧面扇形圆心角推导： 变式迁移 【变式8-1】（2025·江苏盐城·中考真题）已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为，母线与高的夹角为，那么圆锥侧面展开图的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，圆锥侧面积，先利用直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半计算出，然后利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的面积公式计算圆锥的侧面积即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，， ∴， ∴圆锥侧面展开图的面积为， 故答案为：． 【变式8-3】（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， 则， ∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长， 则， ∴， 解得：， 则． 1. （2025·甘肃·中考真题）如图，四边形内接于，，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质得到，根据得到，即可得到的度数．关键是根据圆内接四边形的性质得到解答． 【详解】解：由圆内接四边形的性质可知：， ， ， ∵， ． 故选：C． 2. （2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案. 【详解】解：如图，连接，， ∵分别与相切于两点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故选：D 3. （2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 4. （2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长． 设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径． 【详解】解：设圆锥底面圆半径为， 由题意得：， 解得， 因此，该圆锥的底面圆半径为， 故选：B． 5. （2026·辽宁沈阳·一模）如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等弦对等弧可得，利用圆周角定理求得的度数，进而求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ． 6. （2025·山东淄博·中考真题）如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 7. （2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 8. （2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为，则点N的坐标为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，勾股定理，坐标与图形等知识，连接，，过点P作于点A，由点P的坐标可得出，，再结合切线的性质和圆的半径相同可得出，再由勾股定理得出，进而可求出，即可求出点N的坐标． 【详解】解：如图，连接，，过点P作于点A， ∵与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q， ∴轴， ∵点P的坐标为，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9. （2026·广东东莞·一模）若一个圆锥的底面半径为3，母线长为8，则该圆锥的侧面展开图的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面积等于底面周长乘以母线长除以2，代入已知的底面半径和母线长，即可计算出侧面展开图的面积. 【详解】解：圆锥底面周长， 圆锥侧面积. 10. （2026·江苏徐州·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留） 【答案】 【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为．，然后求得，利用扇形面积公式即可求解． 【详解】解：∵八边形是正八边形，六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴． 11. （2026·河南周口·二模）如图，在中，，以为直径的交于点，的切线与相交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查切线的性质定理，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，弧长的计算公式等知识点． 连接，连接，首先证明是的垂直平分线，得到，通过证明是等边三角形，得到，继而根据弧长计算公式得到答案． 【详解】解：如图，连接，连接， ∵是的直径， ∴，即， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴的半径， ∴． 12. 在中，，则外接圆的半径为 ___________． 【答案】4或5 【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键． 根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可． 【详解】解：当为斜边时，， 是直角， 三角形外接圆直径， 半径是4； 当为斜边时， 为直角， ， ， 三角形外接圆直径为 半径是5； 综上所述：半径为4或5． 故答案为：4或5． 13. （2026·河北·模拟预测）如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连接，．点为的内心，且，则半圆的半径为_____． 【答案】/ 【分析】过作于，于，于，根据已知条件推出四边形是正方形，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：过作于，于，于， ∵， ∴四边形是矩形， ∵是的内心， ∴， ∴四边形是正方形， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. （2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接． (1)求证：； (2)延长交的延长线于点E．若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)长为44． 【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明； （2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长． 【详解】（1）证明：，分别切于A点，B点， 平分， ， 又， ， ． （2）延长交于点F，连接，则， ，分别切于A点，B点， C为的中点， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键． 15. （2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点． (1)求证：是的切线． (2)当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线； （2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案． 【详解】（1）方法一： 证明：过点作于点， ， ， 与相切于点， ， ， ，， ， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； 方法二： 证明：过点作于点， 与相切于点， ， ， 是的平分线， ， 为的半径， 为的半径， ， 是的切线； （2），为半径， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ，， ， ， 设，则， ， 解得， ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $