湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期中考试自编模拟试卷（五）

《湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期中考试自编模拟试卷（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A B D D B B ABC ACD 题号 11 答案 ABC 1．C 【详解】由题意可得，，故，故． 2．B 【分析】根据集合间的真子集关系即可结合必要条件和充分条件的定义求解. 【详解】因为集合是的真子集 ， 所以p是q的必要不充分条件． 故选:B． 3．A 【分析】由题意可得，进而由可得结论. 【详解】由，所以， 所以销售量约在1950到2050盒的概率为， 所以由可知大约有205天． 故选：A. 4．B 【分析】根据等高条形图中的数据即可得出选项. 【详解】根据两个表中的等高条形图知，药物实验显示不服药与服药时患病差异较药物实验显示明显大， 所以药物的预防效果优于药物的预防效果， 故选：B. 5．D 【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质计算即可． 【详解】为等差数列，，即， . 故选：D. 6．D 【分析】把问题转化为在区间上有解，利用基本不等式求解. 【详解】关于的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解， 即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6． 故，可得，则实数的最小值为5． 故选：D． 7．B 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 8．B 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域，根据题意可得两函数值域的关系，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 9．ABC 【分析】A选项利用样本中心在回归直线上即可；利用线性回归方程判断选项B、C；把代入线性回归方程求解判断选项D. 【详解】由，， 代入中有：，故A正确； 由线性回归系数，所以与正相关，故B正确； 由样本点不全在线性回归方程上，则与的样本相关系数一定小于1，故C正确， 将代入线性回归方程中得：， 故7月份该市新能源汽车销量约为0.84万辆，故D不正确， 故选：ABC. 10．ACD 【分析】利用赋值法求二项展开式的系数即可. 【详解】对于A，令，，故A正确； 对于B，令，，故B错误； 对于C，令，， 结合，所以，故C正确； 对于D，令，，故D正确； 故选：ACD. 11．ACD 【分析】根据列举法或者排列组合即可求解AB，由全概率公式即可求解C，列出分布列或者利用分布列的性质即可求解D. 【详解】对于A,选一个盒子装2个小球，剩余两个盒子各装一个小球，故共有3种方法，A选项正确； 对于B,由于小球和盒子都不一样，故选一个盒子装两个小球，剩余两个盒子各装一个小球，共有种方法，故B选项不正确； C选项，法一：相当于把5个球排序，共有种方法.黄球最先被全部取出，最后一个黄球最晚在第三次被取出，前两次都是黄球共有3种情况，前两次中有一个红球一个黄球，第三次是黄球共有4种情况，故总共有7种，所以概率为. 法二：记“最后一次取出球是红球”为事件，“最后一次取出球是黑球”为事件， 显然事件，互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件，则. 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球， 则. 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球， 则.所以. D选项，法一：的可能取值为1，2，3，4个球随机放入3个盒子共有81种方法， ，，， 法二：定义时，表示第个盒子中有球，时，表示第个盒子中没有球， 其中，则， 又，，故， 所以 12． 【分析】利用等价转化法，可得，根据基本不等式，可得，简单计算，最后可得结果. 【详解】由题可知：若有解 则 因为，且 所以 当且仅当，即时，取等号 所以， 则 所以或，即 故答案为： 【点睛】本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题. 13． 【分析】由题可得函数图象恒在x轴上方，据此可得答案. 【详解】不等式对一切恒成立， 即函数图象恒在x轴上方，当时不成立， 故需要. 故答案为： 14． 【分析】根据双曲线与圆的对称性确定关于原点对称，可得，再利用直线斜率的坐标运算与坐标关系即可得关系，从而可得双曲线离心率. 【详解】由题可知关于原点对称，所以， 又在双曲线上，所以， 则， 所以， 即， ∴由，① 连接，可得， 可得，② 由①②联立可得，即，所以离心率. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助，从而得到. 15．(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据导函数在的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程. （2）根据导函数，确定单调区间，进而可得最值. 【详解】（1）由得,又,所以函数在处的切线方程为:,即 （2）由,令解得 令解得,所以在上单调递减,在上单调递增. 所以当时,最小,且最小值为,,, 故最大值为 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面垂直的性质定理即可证明;(2)建立空间直角坐标系，利用空间角的坐标运算求解方法进行求解. 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴． 又∵平面平面，平面平面， 且平面 ∴平面． （2）由，得， ∴．     建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ∴，，． 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为． 则，令，则， ∴． ，令，则， ∴， ∴． ∴平面与平面夹角的余弦值为． 17．(1)，很强的线性正相关关系 (2) X 80 150 210 P 【详解】（1）由题意，，， 则， 由， 同理， 则， 则， 由接近1且为正，故变量x与y之间有很强的线性正相关关系. （2）由题意，X的可能取值为80、150、210， 则，， ， 故X的分布列为： X 80 150 210 P 则. 18．(1)，，， (2) (3)． 【分析】（1）根据操作，利用古典概型的概率计算公式，直接求值即可. （2）根据操作，先表示出，再结合，即可探索与的递推关系. （3）令，根据（2）的结论，可求数列的通项公式，再由随机变量的分布列，求随机变量的数学期望． 【详解】（1），，，． （2）由题可知， ， ， ， ， 且有， 则 ， 即． （3）令，由（2）有，， ，，即是首项为，公比为的等比数列， 因此，， 则的分布列为 0 1 2 3 P 故． 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据已知条件即可解题 （2）利用直线与椭圆的位置关系和韦达定理即可解题 【详解】（1）根据极线方程的定义，右焦点对应的极线为， 即，又右焦点对应的极线方程为，. 又，，联立解得，，. 的标准方程为：. （2）（i）由，可得， 点P关于E所对应的极线方程为， 设，，，直线， 代入椭圆方程整理得：， 显然，则，， 则，. ，B，M三点共线，则，得，解得， 则点，同理得点. ，. （ii）解：，， 因，故，则有. 由关于E对应的极线为直线，设直线， 代入椭圆方程整理得：， 由韦达定理得：，. 则，. ，B，M三点共线，，即，解得， 则点，，， 由可得， 整理得， 即， 故， 化简得， 即， 又，则有，解得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南长沙市2025-2026学年高二下学期数学期中考试自编模拟试卷（五） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知p：，q：，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．安徽省某市石斛企业2024年加入网络平台直播后，每天石斛的销售量（单位：盒），估计300天内石斛的销售量约在1950到2050盒的天数大约为（    ） （附：若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．286 4．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 5．设是等差数列的前n项和，若，则（   ） A．25 B．35 C．45 D．55 6．若关于的不等式在区间上有解，则实数的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 7．已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变化等环境问题.减少碳排放具有深远的意义.我国明确提出节能减排的目标与各项措施、其中新能源汽车逐步取代燃油车就是其中措施之一.在这样的大环境下，我国新能源汽车逐渐火爆起来.下表是2022年我国某市1∼5月份新能源汽车销量（单位：千辆）与月份的统计数据. 月份 1 2 3 4 5 销量 5 5 m 6 8 现已求得与的经验回归方程为，则（    ） A． B．与正相关 C．与的样本相关系数一定小于1 D．由已知数据可以确定，7月份该市新能源汽车销量为0.84万辆 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的有（   ） A．4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种 B．4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种 C．盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是 D．把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记为装有球的盒子的个数，则的期望值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，且，若有解，则实数m的取值范围是_____________. 13．若不等式对一切恒成立，则a的取值范围是__________. 14．如图，已知双曲线与过其焦点的圆相交于，，，四个点，直线与轴交于点，直线与双曲线交于点，记直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．(13分)已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值． 16．(15分)如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 17．(15分)近年来某App用户保持连续增长，若李明收集了年的年份代码与该App在线用户数y（单位：万）的数据，具体如下表所示： 年份代码x 1 2 3 4 5 App在线用户数y（单位：万） 80 150 210 260 300 (1)求样本相关系数r，并判断变量x与y之间的线性相关关系的强弱： (2)从年中随机抽取三个不同年份所对应的在线用户数据y，记最小的数据为X，求X的分布列及数学期望． 注：样本相关系数．当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当它接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.其中，． 18．(17分)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现同时从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，甲口袋中恰有3个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，没有黑球的概率为． (1)求，，，； (2)求与的递推关系式； (3)求随机变量的数学期望．（用n表示） 19．(17分)已知椭圆的右顶点为A，离心率.定义：点关于E所对应的极线方程为，右焦点关于E所对应的极线方程为.    (1)求E的标准方程； (2)设点关于E所对应的极线为直线l，l与x轴交于点Q，过点P作直线（不与x轴重合）交E于B，C两点，直线AB，AC与l分别交于点M，N，如图. （i）连接PM，PN，证明：当时，； （ii）连接OM，试问：当t取何值时，. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $