热点09 反比例函数6大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦江苏中考反比例函数核心考点，以题型为纲构建“考情分析-方法提炼-限时突破”体系，6大题型覆盖8-14分高频考点，融合几何直观与代数推理 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像与性质|2例+2变式|表格化性质速记，对称应用与象限判断技巧|从概念（k≠0）到性质（增减性、对称性）递进| |k值几何意义|2例+2变式|矩形/三角形面积公式，xy=k坐标特征|几何意义与坐标运算结合，强化符号意识| |与一次函数交点|2例+3变式|方程组联立求交点，图像法比较函数值|代数推理（方程求解）与几何直观（图像位置）融合| |专项面积题型|3例+3变式|直接法/和差法/坐标法，复杂图形分割技巧|从基础模型到综合图形，培养空间观念| |实际应用|3例+2变式|变量关系分析，k值求解与实际意义检验|建立数学模型，发展应用意识与数据观念| |含参数小题|2例+3变式|代入法求参数，判别式与分类讨论|参数范围推理，提升运算能力与推理意识|

热点09 反比例函数 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 反比例函数图像与性质 题型02 k值几何意义、坐标特征 题型03 反比例与一次函数交点问题 题型04 反比例专项面积题型 题型05 反比例实际应用 题型06 反比例含参数小题（江苏高频） 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：反比例函数是江苏中考数学的核心中档题模块，是函数与几何结合的重要考点，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在8-14分，以选择、填空和中档解答题为主，是区分度考点的重要来源。 1.高频考点分布： · 反比例函数图像与性质：基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-3分； · k值几何意义、坐标特征：高频基础考点，占2-3分； · 反比例与一次函数交点问题：中档题高频考点，占3-5分； · 反比例专项面积题型：区分度考点，常以填空压轴形式出现，占2-4分； · 反比例实际应用：情境化考点，占2-3分； · 含参数小题：江苏中考特色高频考点，占2-4分。 2.命题特点： · 基础题以反比例函数的图像性质、k值的直接应用为主； · 中档题以反比例与一次函数的交点、面积问题为核心，常结合几何图形考查； · 含参数问题侧重考查分类讨论与代数推理能力，是江苏中考的高频区分点； · 情境化试题常结合生活中的工程、行程、物理问题，考查反比例函数的实际应用。 3.高频失分点： · 混淆反比例函数的增减性，忽略 “在每个象限内” 的前提条件； · k值的几何意义理解不清，计算面积时未考虑k的符号； · 反比例与一次函数交点问题中，未联立方程求解，或忽略交点在不同象限的情况； · 面积问题中，无法正确构造矩形/三角形，利用k值的几何意义简化计算； · 含参数问题中，未考虑参数的取值范围，导致漏解或多解。 预测2026年：2026年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出数形结合与综合应用： · 基础题难度不变，仍以反比例函数的图像性质、k值的基础考查为主； · 反比例与一次函数的交点、面积问题仍为中档题高频考点，可能结合几何图形背景； · 含参数的反比例问题区分度增强，侧重考查分类讨论与代数推理能力； · 情境化试题占比提升，将更多结合江苏本地科技、生活背景，考查反比例函数的实际应用。 题型01 反比例函数图像与性质 解｜题｜策｜略 1 反比例函数的一般形式：（k≠0，x≠0），也可写成xy=k或y=kx−1的形式； ② 图像与性质速记： 表格 k的符号 图像所在象限 增减性 对称性 k>0 第一、三象限 在每个象限内，y随x的增大而减小 关于原点中心对称，关于直线y=x、y=−x轴对称 k<0 第二、四象限 在每个象限内，y随x的增大而增大 关于原点中心对称，关于直线y=x、y=−x轴对称 ③ 技巧： · 判断图像所在象限时，先看k的符号，再结合x的正负判断； · 比较函数值大小时，优先看点是否在同一象限，同一象限内利用增减性判断，不同象限内根据图像位置直接判断； · 利用反比例函数的对称性，可快速解决关于原点对称的点的问题。 ④ 易错点：忽略 “在每个象限内” 的前提条件，直接说k>0时y随x的增大而减小；或混淆k的符号与图像所在象限的对应关系。 例1（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得 ，根据 的取值范围和函数的增减性 ，求最小值． 【详解】解：将反比例函数代入中， 可得：， ， 当增大时，也随之增大，则随之减小， 因此，在时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 例2（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【答案】C 【分析】结合反比例函数的图象与性质以及平移的性质逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：将代入，得， ∴该函数的图象交轴于点，故A错误； 对于选项B与C：∵关于点对称，且关于直线对称 又∵由向右平移1个单位得到， ∴关于点对称，且关于直线对称，故B错误，C正确； 对于选项D：举例，，则，， 满足，但不满足，故D错误． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）反比例函数，若，则x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】由题意可得反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大，由此解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随着的增大而增大， ∴当时，， 当时，令，则， ∴若，则x的取值范围是或． 【变式2】（2025·江苏扬州·三模）已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由，可得函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，又由，，可得点A在第二象限，点B在第四象限，据此即可列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵图象过点，且，， ∴， ∴． 故答案为： 题型02 k值几何意义、坐标特征 解｜题｜策｜略 ① k值的几何意义： · 过反比例函数图像上任意一点作 x 轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为∣k∣； · 过反比例函数图像上任意一点作 x 轴（或 y 轴）的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为∣k∣。 ② 坐标特征： · 图像上任意一点的横、纵坐标的乘积等于k，即xy=k； · 关于原点对称的两点，坐标满足(x,y)和(−x,−y)，横、纵坐标乘积相等； · 若点(a,b)在反比例函数图像上，则点(b,a)、(−a,−b)、(−b,−a)也在图像上。 ③ 解题技巧： · 已知反比例函数图像上一点的坐标，可直接求出k的值； · 已知矩形或三角形的面积，可求出∣k∣的值，再结合图像所在象限确定k的符号； · 利用xy=k的特征，可快速判断点是否在反比例函数图像上。 ④ 易错点：计算面积时，忽略k的符号，直接用k代替∣k∣；或误将三角形的面积当作∣k∣，忘记乘以。 例1（2026·江苏徐州·一模）如图，点A在双曲线上，轴于B，点C是x轴上的任意点，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：设点的坐标为，根据轴可知平行于轴，且的长度为；以为底时，高为点的纵坐标；利用三角形面积公式结合反比例函数的几何意义即可求解. 【详解】解：设点的坐标为 ∵点在双曲线上， ∴； ∵轴， ∴轴，且， ∵点在轴上， ∴点到直线的距离等于点的纵坐标； ∴； ∵图像在第二象限，； ∴ ∴ ∵ ∴， 如图可知： 故选：D. 例2（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，通过中点的性质可得到，进而可求出． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴为的中点， ∴， ∵点C为的中点，的面积为4， ∴， ∴， 又∵点A是反比例函数图像上一点， ∴， ∴， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【分析】设，由题意可得，进而列方程求出，再根据反比例函数系数的几何意义求解即可． 【详解】解：设， ， ，， ， ，， ， 解得：， 顶点在函数的图象上， ， ． 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（   ） A． B． C．6 D．11 【答案】B 【分析】设点的坐标为，根据轴可知，的高为点的纵坐标，利用三角形面积公式结合反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∵点在第二象限， ∴，即， ∴， 即，解得 ． 题型03 反比例与一次函数交点问题 解｜题｜策｜略 ① 通用解题步骤： · 联立反比例函数与一次函数的解析式，组成方程组； · 解方程组，得到交点的坐标； · 根据交点坐标，解决后续问题（如比较函数值大小、求线段长度等）。 ② 解题技巧： · 若已知一个交点坐标，可利用反比例函数的对称性，直接得到另一个交点的坐标（关于原点对称）； · 比较两个函数值的大小时，结合图像，根据交点的横坐标划分区间，判断图像的上下位置； · 求线段长度时，利用两点间距离公式，或利用坐标差求水平/竖直线段的长度。 ③ 易错点：联立方程组时，计算错误；或比较函数值大小时，未结合图像，导致区间划分错误。 例1（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法． （1）先将代入求出反比例函数解析式，再将代入，求出，将，代入，求解即可； （2）先求出，再利用求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、， ∴将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， 将代入， 得：， ∴， 将，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴． 例2（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 (2)8 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键． （1）将点代入可得反比例函数的解析式，再求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得； （2）设一次函数的图象与轴的交点为点，先求出点的坐标，再根据的面积等于与的面积之和即可得． 【详解】（1）解：由题意得：将点代入得：， 所以反比例函数的表达式为； 将点代入可得：， ∴， 将点，代入得：，解得， 所以一次函数的表达式为． （2）解：如图，设一次函数的图象与轴的交点为点， 将代入一次函数得：，解得， ∴， ∴， 由（1）已得：，， ∴的边上的高为，的边上的高为， ∴的面积为． 【变式1】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【答案】6 【分析】把点的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求出一次函数解析式和反比例函数解析式，再分别求出的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 把代入中得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵轴，， ∴点和点的纵坐标都为 2 ， 在中，当时，，即， 在中，当时，,即, ， ∵， 【变式2】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)分别求一次函数及反比例函数的表达式； (2)在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接，，且满足，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把代入求出，即可求出反比例函数的表达式，把代入求出，把，代入即可求出一次函数的表达式； （2）过点P作轴，交于点H，设，则，根据三角形面积公式列方程计算即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为， 把代入得：， ， 把，代入，得，解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点P作轴，交于点H， 设，则， ， ， ，即， 解得：（舍去）， 点P的坐标为． 【变式3】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当，求的最小值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，即可得到的值；把一次函数与反比例函数的解析式联立，解方程组即可求出点的坐标； （2）过点作，根据垂线段最短，可知当时，的值最小，根据，可知，根据点、的坐标可以求出、、的长度，根据等腰三角形的三线合一定理可知，根据三角形的面积公式可得：，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：当时，可得：， 点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为， 解方程组， 整理可得：， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 点的坐标为， （2）解：如下图所示，过点作，根据垂线段最短，可知当时，的值最小， ， ， ， 点的坐标 为，点的坐标为， ，，， ， ， ， ， ， ． 题型04 反比例专项面积题型 解｜题｜策｜略 ① 常见面积模型： · 基础模型：过图像上一点作坐标轴的垂线，矩形/三角形面积； · 双曲线上两点模型：两点分别在同一分支或不同分支上，结合坐标轴围成的图形面积； · 与一次函数结合模型：一次函数与反比例函数图像围成的三角形/四边形面积。 ② 解题方法： · 直接法：利用k的几何意义，直接计算基础矩形/三角形的面积； · 和差法：将复杂图形的面积转化为几个规则图形的面积和或差； · 坐标法：求出关键点的坐标，利用坐标计算图形的底和高，再用面积公式计算。 ③ 解题技巧： · 优先利用k的几何意义，简化面积计算； · 遇到复杂图形，可通过作辅助线，将图形分割为多个基础矩形/三角形； · 若两点在同一分支上，可利用梯形面积公式计算围成的图形面积。 ④ 易错点：无法正确利用k的几何意义，导致面积计算错误；或分割图形时，遗漏部分面积。 例1（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 例2（2025·江苏镇江·二模）如图，直线与双曲线交于点和点． (1)求k、b的值； (2)写出点的坐标_____； (3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积，求得交点坐标是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）解析式联立，解方程组即可求得； （3）求得C点的坐标，然后根据求得，进一步求得M的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线交于点， ∴，， ∴，； （2）解：联立方程组， 解得或， ∴． 故答案为：； （3）解：如图， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 故答案为：或． 例3（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 【变式1】（2025·江苏镇江·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求与一次函数的函数表达式； (2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1)， ， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合． （1）把点代入求出，由题意可知点A横坐标为4，代入反比例函数解析式求出A的坐标，即可求出，设直线的解析式为，将代入求出，将代入计算即可求出点C的坐标； （2）先求出，再根据割补法计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中，， ∴反比例函数解析式为， ∵将点B向左平移4个单位，再向上平移m个单位得到点A， ∴， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ， ， ， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴， ． 【变式2】（2025·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， ∴轴，， ∴的面积． 【变式3】（2025·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数）的图像交于，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)延长交反比例函数图像于点C，点D在x轴正半轴上，，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，正确理解交点坐标的意义，是解题的关键． （1）利用待定系数法列式求解即可求出两个函数解析式即可； （2）根据三角形的面积公式，以为底边计算即可． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， 将代入得 ， ∴反比例函数表达式为． 把代入反比例函数， 则，即． 把，代入一次函数，得 ． 解得． ∴一次函数表达式为． （2）∵，延长交反比例函数图象于点， ∴与关于原点对称， ∴． ∵， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴． 过作轴于，过作轴于， 则，． ． ，． ∴． 题型05 反比例实际应用 解｜题｜策｜略 ① 通用解题步骤： · 分析实际问题中的变量关系，确定两个变量成反比例关系（乘积为定值）； · 设反比例函数解析式，根据已知条件求出k的值； · 结合解析式解决实际问题，如求特定值、求取值范围等； · 检验结果是否符合实际意义（如变量为正数）。 ② 高频应用场景： · 工程问题：工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例； · 行程问题：路程一定，速度与时间成反比例； · 物理问题：压力一定，压强与受力面积成反比例；电压一定，电流与电阻成反比例。 ③ 解题关键：找到变量之间的乘积关系，确定反比例函数的解析式，再结合实际问题求解。 ④ 易错点：忽略实际问题中变量的取值范围，导致结果不符合题意；或误将变量关系判断为正比例关系。 例1（2025·江苏宿迁·二模）根据物理学知识，作用于物体上的压力所产生的压强与物体受力面积三者之间满足．若压力为时，压强要大于，则此时关于的说法正确的是（    ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用．由题意可得，再由题意得出，解不等式即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵压强要大于， ∴， ∴， ∴小于， 故选：C． 例2（2025·江苏南京·模拟预测）欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长______． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 【答案】4 【分析】本题是反比例函数的应用问题，设解析式为 ，用待定系数法求解得到把值代入所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设波长关于频率的函数解析式为 ， 把点代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， 答：当时，此电磁波的波长为． 故答案为：4． 例3（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3) 杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【答案】(1) (2)x每增加相同的数值，y的增加量相同 (3) 【分析】（1）由，得，将代入求解即可； （2）由题意可得，设（为常数），计算即可； （3）求得，由 得x随着a的增大而减小，结合反比例函数的性质代入即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ， ∴， ∴， 即； （2）解：， ， ， 设（为常数）， 则， ∴是常数． ∴x每增加相同的数值，y的增加量相同． （3）解：， 整理得， ∵， ∴x随着a的增大而减小． 当最大刻度是时，令， 得， ∴． 【变式1】（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质． （1）设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式； （2）把代入（1）中的函数解析式可得到V的值，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）设 ∵图像经过点 ∴ 解得 ∴； （2）把代入 ∴由图象可得，要使密度不高于，的取值范围为． 【变式2】（2025·江苏盐城·二模）学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）    【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 (1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． (2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ (3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 【答案】(1)； (2)分钟； (3)①75，230；②秒． 【分析】（1）把值和其中两个点代入函数，得到关于、的方程组，解方程组即可得到、的值，进而确定函数表达式． （2）令函数值，代入拟合函数表达式，求解关于的方程，得到的值就是跳绳后应该休息的时间（单位：秒），再将其转化为分钟． （3）①根据函数图象平移“左加右减，上加下减”的原则，对比两个函数的形式，确定和方向上的平移量． ②当与直线平行的直线与曲线相切时，切点到直线的距离最大．因为平行直线间距离处处相等，而在曲线与平行于的直线的位置关系中，相切时的切点是距离最远的点（在曲线一侧）．进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，，代入，得到 ． 用第二个方程减去第一个方程消去： 解得或（舍去，因为 ）． 把代入，可得，， 解得． ∴拟合函数表达式为． （2）解：令，可得． 解得秒， 分钟． ∴跳绳运动分钟后就应该休息一下 （3）解：①函数到，根据“左加右减，上加下减”原则，变为，图象向左平移了个单位；整体加，图象向上平移了个单位． 故答案为：75，230； ②设与直线平行的直线方程为． ∵该直线与曲线相切时，该切点到的距离最大， ∴联立方程， 得到． ∴． ， ． ∵直线与曲线相切， ∴联立后的一元二次方程的判别式． ∴． ∴． ∴的解为， ∴（舍去）或， ∴最佳运动心率的时间为秒． 【点睛】本题综合考查函数相关知识，关键在于：熟练掌握用待定系数法求函数表达式，通过代入已知点坐标构建方程组求解未知参数．理解函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，准确分析函数形式变化确定平移量．利用根的判别式解决最值问题． 题型06 反比例含参数小题（江苏高频） 解｜题｜策｜略 ① 常见参数问题类型： · 已知函数图像经过某点，求参数的值； · 已知函数图像所在象限，求参数的取值范围； · 已知函数的增减性，求参数的取值范围； · 已知函数与一次函数有交点，求参数的取值范围。 ② 解题技巧： · 已知点在图像上，直接将点的坐标代入解析式，列方程求解参数； · 已知图像所在象限或增减性，根据k的符号列不等式，求解参数的取值范围； · 有交点问题，联立两个函数的解析式，转化为一元二次方程，利用判别式Δ≥0求解参数的取值范围； · 注意参数的隐含条件，如反比例函数中k≠0，一次函数中一次项系数不为0。 ③ 易错点：忽略反比例函数中k≠0的条件，或有交点问题中，未考虑一元二次方程的判别式，导致参数范围错误。 例1（2026·江苏南京·一模）反比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质； 根据反比例函数的系数分析函数在给定范围内随的增大而增大，确定最大值和最小值，再结合差值列方程求解． 【详解】解：∵， ∴在的范围内随的增大而增大， 当时，； 当时，； 所以， 解得：， 故答案为：． 例2（2025·江苏南京·三模）已知函数与反比例函数．当时，则k的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，利用数形结合的思想是解题的关键． 分类讨论，画出图形，利用函数图象即可求解． 【详解】解：函数图象经过第一，三象限，当时， 当时，函数图象两支在二四象限，当时， 始终满足，如图： 当时，函数图象两支在第一三象限，记直线与直线交于点， ∴， 当函数图象经过时，，如图： 此时，直线图象在函数图象的上方，符合题意； 当时，，直线图象在函数图象的上方，符合题意； 综上所述：或， 故答案为：或． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【答案】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 【变式2】（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，可知两个交点关于原点对称，据此求解即可． 【详解】解：∵直线的图象关于原点对称，双曲线的图象也关于原点对称， ∴直线与双曲线的两个交点关于原点对称． 已知一个交点坐标为， 因此另一个交点坐标为． 【变式3】（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，∵抛物线：，双曲线：，过点P作x轴的垂线，交于点M，交于点N，q为点M与点N纵坐标中的较大值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T．若直线y=n与图形T恰好有3个公共点，则n的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题需要先求出点、的纵坐标，进而确定图形的构成，再通过分析直线与图形的公共点个数来确定的取值范围．本题主要考查了二次函数与反比例函数的性质，通过比较两个函数值大小确定图形的组成．解题关键在于准确分析两个函数值的大小关系，以及理解直线与所构成图形公共点个数和函数值之间的联系，通过对函数图象的分析来确定参数的取值范围． 【详解】解：∵过点作轴的垂线，交于点， ∴将代入，可得； ∵过点作轴的垂线，交于点， ∴将代入，可得（）． ∴ 为与中较大值，即． 令，即，解得． 当时，对与作差：， ∵， ∴，，， ∴，即，此时． 当时，，． 当时，，，， ∴，即，此时． 当时，，， ∴，此时． ∴图形是与以及点组成． 是一个开口向上，顶点在原点的抛物线（去掉原点）；是反比例函数在的部分． 当时，直线与（或）以及（）有个公共点； 当时，直线与（有两个值满足）和（有一个值满足）有个公共点． ∴的取值范围是． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知点在反比例函数图象上，则的值为（   ） A．5 B．7 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数中，进行求解即可． 【详解】解：把点代入反比例函数，得； 故选C． 2．（2025·江苏南京·三模）在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，其图象如图所示．当时，物体所受到的压强是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由图象得反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 当时，． 即当时，物体所受到的压强是， 故选：A． 3．（2025·江苏泰州·三模）已知：下列函数①②③④， 则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【分析】要确定三点能否确定一个圆，需判断三点是否共线，若三点共线，则无法确定圆；否则可以确定唯一的圆，再结合所给函数图象与性质逐个判定即可得到答案． 【详解】解：①是直线，其图象上任意三点必然共线，无法确定圆，故①不满足题意； ②是抛物线，直线与抛物线最多有两个交点，因此抛物线上任意三点不共线，可以确定圆，故②满足题意； ③是反比例函数，图象为双曲线，直线与双曲线最多有两个交点，因此双曲线上任意三点不共线，可以确定圆，故③满足题意； ④图象上三点、和共线，在直线图象上，存在三点共线的情况，这三点无法确定圆，故④不满足题意； 综上所述，满足题意的是②③， 故选：B． 4．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质． 画出图象，根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：如图， ，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A选项正确，符合题意；B选项错误，不符合题意； 由图可知图象经过第二、三、四象限， 故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：A． 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若，的面积为16，则k的值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质求出的面积，再根据求出的面积；设点坐标，利用相似三角形性质表示出点的坐标，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，且为中心对称图形，而反比例函数图象也为中心对称图形， ∴点为的交点， ∴， ． ， ． 过点作轴于，过点作轴于， ， ， ． 设，则，， ，即点的纵坐标为． 点在反比例函数上， 点的横坐标为． ． ， ，即， ， 解得． ． ， ， ， ． ， ． 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知点在反比例函数的图像上，则与的大小关系是___________． 【答案】 【详解】解：在反比例函数中，， 函数图象分布在二、四象限，在每一个分支的图象上，y随x的增大而增大， ， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， ∴． 7．（2025·江苏扬州·三模）已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为____． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，由，可得函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，又由，，可得点A在第二象限，点B在第四象限，据此即可列出不等式，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴该函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵图象过点，且，， ∴， ∴． 故答案为： 8．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，矩形的顶点B、C在x轴上，E是的中点，反比例函数的图像经过点A、E．若，，则k的值为______． 【答案】6 【分析】先根据矩形的性质可得，，再设，则，，代入反比例函数的解析式求解即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， 设，则， ∴，， ∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·江苏苏州·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）如图，设直线 与 的交点为， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)点的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式等知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，交于点，利用平行线分线段成比例定理求得，求得点的纵坐标为4，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵点在直线上， ∴，解得， ∴点， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：作轴于点，交于点， ∵点， ∴， ∵轴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴点的纵坐标为4， ∴，解得， ∴点的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点09 反比例函数 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 反比例函数图像与性质 题型02 k值几何意义、坐标特征 题型03 反比例与一次函数交点问题 题型04 反比例专项面积题型 题型05 反比例实际应用 题型06 反比例含参数小题（江苏高频） 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：反比例函数是江苏中考数学的核心中档题模块，是函数与几何结合的重要考点，近三年在 13 市中考中，整体分值占比稳定在8-14分，以选择、填空和中档解答题为主，是区分度考点的重要来源。 1.高频考点分布： · 反比例函数图像与性质：基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-3分； · k值几何意义、坐标特征：高频基础考点，占2-3分； · 反比例与一次函数交点问题：中档题高频考点，占3-5分； · 反比例专项面积题型：区分度考点，常以填空压轴形式出现，占2-4分； · 反比例实际应用：情境化考点，占2-3分； · 含参数小题：江苏中考特色高频考点，占2-4分。 2.命题特点： · 基础题以反比例函数的图像性质、k值的直接应用为主； · 中档题以反比例与一次函数的交点、面积问题为核心，常结合几何图形考查； · 含参数问题侧重考查分类讨论与代数推理能力，是江苏中考的高频区分点； · 情境化试题常结合生活中的工程、行程、物理问题，考查反比例函数的实际应用。 3.高频失分点： · 混淆反比例函数的增减性，忽略 “在每个象限内” 的前提条件； · k值的几何意义理解不清，计算面积时未考虑k的符号； · 反比例与一次函数交点问题中，未联立方程求解，或忽略交点在不同象限的情况； · 面积问题中，无法正确构造矩形/三角形，利用k值的几何意义简化计算； · 含参数问题中，未考虑参数的取值范围，导致漏解或多解。 预测2026年：2026年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出数形结合与综合应用： · 基础题难度不变，仍以反比例函数的图像性质、k值的基础考查为主； · 反比例与一次函数的交点、面积问题仍为中档题高频考点，可能结合几何图形背景； · 含参数的反比例问题区分度增强，侧重考查分类讨论与代数推理能力； · 情境化试题占比提升，将更多结合江苏本地科技、生活背景，考查反比例函数的实际应用。 题型01 反比例函数图像与性质 解｜题｜策｜略 1 反比例函数的一般形式：（k≠0，x≠0），也可写成xy=k或y=kx−1的形式； ② 图像与性质速记： 表格 k的符号 图像所在象限 增减性 对称性 k>0 第一、三象限 在每个象限内，y随x的增大而减小 关于原点中心对称，关于直线y=x、y=−x轴对称 k<0 第二、四象限 在每个象限内，y随x的增大而增大 关于原点中心对称，关于直线y=x、y=−x轴对称 ③ 技巧： · 判断图像所在象限时，先看k的符号，再结合x的正负判断； · 比较函数值大小时，优先看点是否在同一象限，同一象限内利用增减性判断，不同象限内根据图像位置直接判断； · 利用反比例函数的对称性，可快速解决关于原点对称的点的问题。 ④ 易错点：忽略 “在每个象限内” 的前提条件，直接说k>0时y随x的增大而减小；或混淆k的符号与图像所在象限的对应关系。 例1（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数，则当时，的最小值是____________． 例2（2026·江苏南通·一模）如图，将反比例函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象．下列关于函数的说法中，正确的是（   ）． A．该函数图象交轴于点 B．该函数图象关于点对称 C．该函数图象关于直线对称 D．该函数图象上任取两点，若，则 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）反比例函数，若，则x的取值范围是______． 【变式2】（2025·江苏扬州·三模）已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为____． 题型02 k值几何意义、坐标特征 解｜题｜策｜略 ① k值的几何意义： · 过反比例函数图像上任意一点作 x 轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为∣k∣； · 过反比例函数图像上任意一点作 x 轴（或 y 轴）的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积为∣k∣。 ② 坐标特征： · 图像上任意一点的横、纵坐标的乘积等于k，即xy=k； · 关于原点对称的两点，坐标满足(x,y)和(−x,−y)，横、纵坐标乘积相等； · 若点(a,b)在反比例函数图像上，则点(b,a)、(−a,−b)、(−b,−a)也在图像上。 ③ 解题技巧： · 已知反比例函数图像上一点的坐标，可直接求出k的值； · 已知矩形或三角形的面积，可求出∣k∣的值，再结合图像所在象限确定k的符号； · 利用xy=k的特征，可快速判断点是否在反比例函数图像上。 ④ 易错点：计算面积时，忽略k的符号，直接用k代替∣k∣；或误将三角形的面积当作∣k∣，忘记乘以。 例1（2026·江苏徐州·一模）如图，点A在双曲线上，轴于B，点C是x轴上的任意点，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 例2（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图像上一点，点B在x轴上，，点C为的中点，若的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）如图，已知的顶点在函数的图象上，点、、在坐标轴上，连接交于点．若，，则的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．14 【变式2】（2026·江苏无锡·一模）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于两点，过点作轴，垂足为点，若，则的值为（   ） A． B． C．6 D．11 题型03 反比例与一次函数交点问题 解｜题｜策｜略 ① 通用解题步骤： · 联立反比例函数与一次函数的解析式，组成方程组； · 解方程组，得到交点的坐标； · 根据交点坐标，解决后续问题（如比较函数值大小、求线段长度等）。 ② 解题技巧： · 若已知一个交点坐标，可利用反比例函数的对称性，直接得到另一个交点的坐标（关于原点对称）； · 比较两个函数值的大小时，结合图像，根据交点的横坐标划分区间，判断图像的上下位置； · 求线段长度时，利用两点间距离公式，或利用坐标差求水平/竖直线段的长度。 ③ 易错点：联立方程组时，计算错误；或比较函数值大小时，未结合图像，导致区间划分错误。 例1（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，且与y轴交于点C． (1)求一次函数、反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 例2（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，． (1)求反比例函数、一次函数的表达式； (2)求的面积． 【变式1】（2026·江苏泰州·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数的图象交于点，过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．连接，则的面积为___________． 【变式2】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)分别求一次函数及反比例函数的表达式； (2)在第三象限内的B点右侧的反比例函数图象上取一点P，连接，，且满足，求点P的坐标． 【变式3】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数（）的图象交于、两点，点的横坐标为． (1)求的值及点的坐标． (2)点是线段上一点，点在直线上运动，当，求的最小值． 题型04 反比例专项面积题型 解｜题｜策｜略 ① 常见面积模型： · 基础模型：过图像上一点作坐标轴的垂线，矩形/三角形面积； · 双曲线上两点模型：两点分别在同一分支或不同分支上，结合坐标轴围成的图形面积； · 与一次函数结合模型：一次函数与反比例函数图像围成的三角形/四边形面积。 ② 解题方法： · 直接法：利用k的几何意义，直接计算基础矩形/三角形的面积； · 和差法：将复杂图形的面积转化为几个规则图形的面积和或差； · 坐标法：求出关键点的坐标，利用坐标计算图形的底和高，再用面积公式计算。 ③ 解题技巧： · 优先利用k的几何意义，简化面积计算； · 遇到复杂图形，可通过作辅助线，将图形分割为多个基础矩形/三角形； · 若两点在同一分支上，可利用梯形面积公式计算围成的图形面积。 ④ 易错点：无法正确利用k的几何意义，导致面积计算错误；或分割图形时，遗漏部分面积。 例1（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 例2（2025·江苏镇江·二模）如图，直线与双曲线交于点和点． (1)求k、b的值； (2)写出点的坐标_____； (3)点是轴正半轴上一动点，当的面积为3时，直接写出点的坐标_____． 例3（2025·江苏镇江·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，将点B先向左平移4个单位，再向上平移个单位得到点A，点A恰好落在反比例函数的图象上，过A，B两点的直线与x轴交于点C． (1)求k，m的值及点C的坐标； (2)在x轴上有一点，连接、，求的面积． 【变式1】（2025·江苏镇江·二模）如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求与一次函数的函数表达式； (2)连接、，点在双曲线上，若的面积是面积的一半，求点的坐标． 【变式2】（2025·江苏常州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积． 【变式3】（2025·江苏泰州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数）的图像交于，． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)延长交反比例函数图像于点C，点D在x轴正半轴上，，求的面积． 题型05 反比例实际应用 解｜题｜策｜略 ① 通用解题步骤： · 分析实际问题中的变量关系，确定两个变量成反比例关系（乘积为定值）； · 设反比例函数解析式，根据已知条件求出k的值； · 结合解析式解决实际问题，如求特定值、求取值范围等； · 检验结果是否符合实际意义（如变量为正数）。 ② 高频应用场景： · 工程问题：工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例； · 行程问题：路程一定，速度与时间成反比例； · 物理问题：压力一定，压强与受力面积成反比例；电压一定，电流与电阻成反比例。 ③ 解题关键：找到变量之间的乘积关系，确定反比例函数的解析式，再结合实际问题求解。 ④ 易错点：忽略实际问题中变量的取值范围，导致结果不符合题意；或误将变量关系判断为正比例关系。 例1（2025·江苏宿迁·二模）根据物理学知识，作用于物体上的压力所产生的压强与物体受力面积三者之间满足．若压力为时，压强要大于，则此时关于的说法正确的是（    ） A．小于 B．大于 C．小于 D．大于 例2（2025·江苏南京·模拟预测）欢欢同学通过学习数学和物理句识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，如表是它们的部分对应值．若，则电磁波的波长______． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 例3（2026·江苏无锡·一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质杆秤、一个秤盘（重量）、一个秤砣（重量）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力动力臂阻力阻力臂）．如图，设所称物体重量为，则秤盘及物体的总质量为，秤盘到提纽的水平距离，秤砣到提纽的距离．当秤杆平衡时，得． (1)若取，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时的长． 【数学建模】 (2)在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 (3)杆秤可用的长度，为了保证杆秤的最大刻度不小于，请计算说明a的取值范围． 【变式1】（2025·江苏盐城·二模）一定质量的二氧化碳，它的体积与它的密度之间成反比例函数关系，其图像如图所示． (1)试确定V与之间的函数表达式； (2)要使密度不高于，求的取值范围． 【变式2】（2025·江苏盐城·二模）学科实践 “科学减重，健康生活”，携手共建健康中国．国家卫生健康委员会提出“体重管理年”3年行动的号召、合理膳食、加强运动已成为人们对健康生活的共识．跳绳是常见的有氧减肥的方法．“博约”学习小组对跳绳运动的心率与时间关系展开了研究．（图1数据来自于初三某班级男生平均值）    【初步思考】 通过运动心率与时间散点图，研究小组准备建立某种函数模型（函数拟合）加以研究： 甲：心率不会随时间的增加而不断增加，也不会明显下降，一次函数不太合理； 乙：运动一段时间后，心率应该趋于相对稳定； 丙：所以二次函数也不能很好地预测长时间运动后的心率情况； 丁：我们可以建立将反比例函数图像经过适当平移后的函数模型． 设拟合函数为： 【问题解决】 (1)如图，若选取，，进行拟合，经计算，请求出拟合函数表达式． (2)从健康角度考虑，中学生运动中的心率不宜超过200次/分钟，在（1）的条件下，请问：跳绳运动几分钟后就应该休息一下？ (3)①根据图像变换，（1）中图像可由的图像向左平移___________个单位，再向上平移___________个单位得到； ②点在（1）中图像上运动，且位于直线左侧，当点到直线距离最大时，达到最佳运动心率，请直接写出达到最佳运动心率的时间． 题型06 反比例含参数小题（江苏高频） 解｜题｜策｜略 ① 常见参数问题类型： · 已知函数图像经过某点，求参数的值； · 已知函数图像所在象限，求参数的取值范围； · 已知函数的增减性，求参数的取值范围； · 已知函数与一次函数有交点，求参数的取值范围。 ② 解题技巧： · 已知点在图像上，直接将点的坐标代入解析式，列方程求解参数； · 已知图像所在象限或增减性，根据k的符号列不等式，求解参数的取值范围； · 有交点问题，联立两个函数的解析式，转化为一元二次方程，利用判别式Δ≥0求解参数的取值范围； · 注意参数的隐含条件，如反比例函数中k≠0，一次函数中一次项系数不为0。 ③ 易错点：忽略反比例函数中k≠0的条件，或有交点问题中，未考虑一元二次方程的判别式，导致参数范围错误。 例1（2026·江苏南京·一模）反比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则_______ ． 例2（2025·江苏南京·三模）已知函数与反比例函数．当时，则k的取值范围是__________． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【变式2】（2026·江苏盐城·一模）已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是______． 【变式3】（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系中，∵抛物线：，双曲线：，过点P作x轴的垂线，交于点M，交于点N，q为点M与点N纵坐标中的较大值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点组成的图形记为图形T．若直线y=n与图形T恰好有3个公共点，则n的取值范围是_________． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏苏州·模拟预测）已知点在反比例函数图象上，则的值为（   ） A．5 B．7 C．6 D．9 2．（2025·江苏南京·三模）在压力不变的情况下，某物体所受到的压强与它的受力面积之间成反比例函数关系，其图象如图所示．当时，物体所受到的压强是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·江苏泰州·三模）已知：下列函数①②③④， 则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 4．（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（ ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形是平行四边形，对角线相交于O，延长交x轴于点E，若，的面积为16，则k的值为（   ） A．3 B． C． D．6 6．（2026·江苏泰州·模拟预测）已知点在反比例函数的图像上，则与的大小关系是___________． 7．（2025·江苏扬州·三模）已知反比例函数的图象过点，若，则m的取值范围为____． 8．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，矩形的顶点B、C在x轴上，E是的中点，反比例函数的图像经过点A、E．若，，则k的值为______． 9．（2025·江苏苏州·三模）如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标． 10．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点重合），过点作轴，交射线于，若，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $