第9章 统计（举一反三单元自测·培优卷）高二数学苏教版选择性必修第二册

第9章 统计（举一反三单元自测·培优卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·四川成都·期中）下列两个量之间的关系是相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量 2．（5分）（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 3．（5分）（24-25高二下·吉林·月考）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 4．（5分）（24-25高二下·天津西青·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二下·甘肃白银·期末）假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为和，其列联表为 合计 合计 以下各组数据中，对于同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二下·广东深圳·期末）某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（    ） 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 m A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 7．（5分）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）某产品在去年6月至10月的销量（单位：万件）如下表所示： 月份 6 7 8 9 10 销量 1.1 1.3 1.9 2.2 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） A．样本的相关系数为负数 B． C． D．当时，销量为3.28万件 8．（5分）（24-25高二下·福建厦门·期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·河北·期中）观察下列散点图，则（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高二下·广东东莞·期末）根据分类变量x与y的成对样本数据，提出零假设，并计算得到，则下列说法正确的是（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附： A．零假设为：分类变量x与y独立 B．根据小概率值的独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 D．若所有样本数据都扩大为原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 11．（6分）（24-25高二下·辽宁·期末）为了解某种药物的疗效，患者服用该药物，短时间内血液中药物浓度达到峰值，研究员统计了血液中药物浓度（单位：）与代谢时间（单位：）的数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 150 143 132 123 114 104 95 根据表中数据可得回归方程为，则下列说法正确的是（    ） 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数． A． B．当时，对应样本点的残差为0.32 C．若再增加一组数据，则关于的回归直线的斜率变大 D．若删去数据，则与的相关系数不变 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是___________．    13．（5分）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某饮料店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为_________百元. 14．（5分）（24-25高二下·辽宁大连·期中）某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为_________.附， 0.05 0.01 3.841 6.635 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二·全国·课后作业）为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下： 父母吸烟 父母不吸烟 总计 子女吸烟 237 83 320 子女不吸烟 678 522 1 200 总计 915 605 1 520 利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？ 16．（15分）（24-25高二下·全国·课后作业）2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 17．（15分）（24-25高二下·天津静海·月考）已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 18．（17分）（25-26高三上·贵州·开学考试）某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 喜爱古典音乐情况 合计 喜爱 不喜爱 女 90 20 110 男 60 30 90 合计 150 50 200 (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？ (2)现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 ，其中. 19．（17分）（24-25高二下·江苏南京·期末）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望. 附：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9章 统计（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·四川成都·期中）下列两个量之间的关系是相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．儿童的年龄与体重 D．物体的体积和质量 【答案】C 【解题思路】根据相关关系和函数关系的概念即可判断 【解答过程】A、D是函数关系；B是不相关关系；C是相关关系， 故选：C. 2．（5分）（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）在线性回归模型中，能说明模型的拟合效果越好的是（   ） A．残差图带状区域越宽 B．残差和越小 C．决定系数越大 D．相关系数r越大 【答案】C 【解题思路】根据各个变量的意义作出判断，得到答案. 【解答过程】A选项，残差图带状区域越宽，说明误差大，模型的拟合效果越差，A错误； B选项，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，B错误； C选项，决定系数越大，模型的拟合效果越好，C正确； D选项，相关系数越大，说明两个变量线性相关性越强，与模型的拟合效果无关，D错误. 故选：C. 3．（5分）（24-25高二下·吉林·月考）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（    ） A．是否倾向选择生育二胎与户籍无关 B．是否倾向选择生育二胎与性别有关 C．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同 D．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】D 【解题思路】结合所给比例图，依次分析判断4个选项即可. 【解答过程】对于A，城镇户籍中选择生育二胎，农村户籍中选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A错误； 对于B，男性和女性中均有选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B错误； 对于C，由于男性和女性中均有选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C错误； 对于D，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有人，城镇户籍有人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D正确. 故选：D. 4．（5分）（24-25高二下·天津西青·期末）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由散点图的特征，结合相关系数的定义即可得到答案． 【解答过程】由散点图的趋势可知，，，， 又图一的散点图比图三的散点图更为集中，则，所以， 又图二的散点图比图四的散点图更为集中，则，所以， 所以． 故选：D． 5．（5分）（24-25高二下·甘肃白银·期末）假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为和，其列联表为 合计 合计 以下各组数据中，对于同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】计算各选项中的值，比较大小，即可得答案. 【解答过程】计算各选项中的值，值越大，说明相应的两个分类变量有关系的可能性越大； 对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 由于， 故选：C. 6．（5分）（24-25高二下·广东深圳·期末）某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（    ） 第x年 1 2 3 4 5 6 7 利润y/亿元 m A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】A 【解题思路】计算出，根据回归方程，得到，从而得到方程，求出，再计算出当时，，求出残差. 【解答过程】由题意，，关于的回归直线方程为， 所以，故，解得， 所以当时，，则． 故选：A. 7．（5分）（24-25高二下·广西桂林·开学考试）某产品在去年6月至10月的销量（单位：万件）如下表所示： 月份 6 7 8 9 10 销量 1.1 1.3 1.9 2.2 2.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则（    ） A．样本的相关系数为负数 B． C． D．当时，销量为3.28万件 【答案】B 【解题思路】根据表格数据的关系，可判断两变量呈正相关，从而判断A项；根据回归直线经过数据样本中心点，可判断BC项；将代入回归直线方程，可求得销量预测值，可判断D项. 【解答过程】对于A，根据表格数据知，销量随月份的增大而增大，所以两个变量呈正相关，相关系数为正数，故A错误； 对于B，C，根据题表数据，可得，， 所以样本中心为，将样本中心代入线性回归方程得，解得， 所以线性回归方程为，故B正确，C错误； 对于D，当时，得，所以预测销量约为3.28万件，所得数据为销量的预测值，并非实际销量，故D错误. 故选：B. 8．（5分）（24-25高二下·福建厦门·期末）校数学兴趣社团对“学生性别和选学生物学是否有关”作了尝试性调查.其中被调查的男女生人数相同.男生选学生物学的人数占男生人数的，女生选学生物学的人数占女生人数的.若依据小概率值的独立性检验认为选学生物学和性别有关，则调查人数中男生不可能有（   ）人. 附表： 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 其中，，. A．20 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【解题思路】设总人数为，根据给定条件，求出的观测值并建立不等式，进而求出的最小整数值得解. 【解答过程】设总人数为，则男生选学生物学的人数为，女生选学生物学的人数为， 则列联表为： 男生 女生 合计 选生物学 不选生物学 合计 m m 2m 因此， 即，又为的倍数，所以男生最少有人. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·河北·期中）观察下列散点图，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解题思路】根据散点图及相关系数的概念判断即可. 【解答过程】散点图①，②中y与x呈负相关，，散点图②中y与x的线性相关性更强， 即，因此； 散点图③，④中y与x呈正相关，，散点图④中y与x的线性相关性更强， 即，因此， 所以． 故选：BD. 10．（6分）（24-25高二下·广东东莞·期末）根据分类变量x与y的成对样本数据，提出零假设，并计算得到，则下列说法正确的是（    ） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附： A．零假设为：分类变量x与y独立 B．根据小概率值的独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 D．若所有样本数据都扩大为原来的10倍，根据小概率值的独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01 【答案】ABD 【解题思路】根据独立性检验的相关理论，可以判断ABC的真假，计算新数据的，判断D的真假. 【解答过程】对A：零假设：分类变量x与y独立.是正确的，故A正确； 对B：因为，所以根据小概率值的独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1，故B正确； 对C：因为，根据小概率值的独立性检验，我们不能拒绝零假设，即可以认为x与y独立.故C错误； 对D：根据，当所有样本数据都扩大为原来的10倍，的值夜变成原来的10倍，且，所以根据小概率值的独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01，故D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（24-25高二下·辽宁·期末）为了解某种药物的疗效，患者服用该药物，短时间内血液中药物浓度达到峰值，研究员统计了血液中药物浓度（单位：）与代谢时间（单位：）的数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 150 143 132 123 114 104 95 根据表中数据可得回归方程为，则下列说法正确的是（    ） 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，相关系数． A． B．当时，对应样本点的残差为0.32 C．若再增加一组数据，则关于的回归直线的斜率变大 D．若删去数据，则与的相关系数不变 【答案】ABD 【解题思路】求出的平均值，即可求出，判断A；根据残差的计算判断B；根据最小二乘估计公式以及相关系数公式可判断CD. 【解答过程】由题意知， ， 所以，A项正确； 由上可知，当时，， 则残差为，B项正确； 再增加一组数据后，，，所以的值不变， 的值也不变，故关于的回归直线的斜率不变，C项错误； 删去数据后，，，所以的值不变， 的值也不变，因此与的相关系数不变，D项正确． 故选:ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·全国·课后作业）观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是___________．    【答案】①③② 【解题思路】由图象分析即可得到答案. 【解答过程】第一个图大体趋势从左向右上升，故是正相关， 第二个图不相关， 第三个图大体趋势从左向右下降，故是负相关． 故答案为：①③②． 13．（5分）（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）某饮料店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为_________百元. 【答案】 【解题思路】求出样本中心点，代入得到值，再令即得. 【解答过程】由已知数据 因为，则，代入，则， 则， 令，则. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·辽宁大连·期中）某校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为_________.附， 0.05 0.01 3.841 6.635 【答案】20 【解题思路】根据题意先列出列联表计算值，再根据计算出的最小值. 【解答过程】根据题意，列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 3m 3m 6m 女 4m 2m 6m 合计 7m 5m 12m ， 有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即， ，解得，又， 所以的最小值为. 故答案为：20. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二·全国·课后作业）为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下： 父母吸烟 父母不吸烟 总计 子女吸烟 237 83 320 子女不吸烟 678 522 1 200 总计 915 605 1 520 利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？ 【答案】等高条形图见详解，有影响 【解题思路】由表格中的数据画出等高条形图，根据等高条形图的定义和性质判断即可 【解答过程】等高条形图如下： 由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”. 16．（15分）（24-25高二下·全国·课后作业）2019年11月份，全国工业生产者出厂价格同比下降，环比下降．某企业在了解市场动态之后，决定根据市场动态及时做出相应调整，并结合企业自身的情况制定相应的出厂价格．该企业统计了2019年1－10月份产品的生产数量与销售总额之间的关系，如下表所示． 万件 2.08 2.12 2.19 2.28 2.36 2.48 2.59 2.68 2.80 2.87 万元 42.5 43.7 44.0 45.5 46.4 47.5 49.2 50.3 51.4 52.6 (1)计算的值； (2)计算样本相关系数的值，并通过的值的大小说明与之间的相关程度． 【答案】(1) (2)，与之间具有很强的相关性 【解题思路】（1）由平均数的计算公式得到和； （2）由相关系数的计算公式计算，再由判断相关性. 【解答过程】（1）依题意， （2）依题意，，，， 所以， 因为，所以与之间具有很强的相关性． 17．（15分）（24-25高二下·天津静海·月考）已知某产品近5年的市场销售单价（单位：元）如下表： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份编号 1 2 3 4 5 市场销售单价 2.0 2.2 2.4 3.6 4.8 (1)已知和线性相关，用最小二乘法求出关于的经验回归方程； (2)试预测该产品2026年的市场销售单价． 附：经验回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1) (2)元 【解题思路】（1）根据表中数据计算出，再结合参考数据利用公式即可计算出，进而得出线性回归方程； （2）将代入即可预测. 【解答过程】（1）由题意得，. 因为， . 所以，. 故经验回归方程为. （2）由已知2026年对应的年份编号为7，令，则. 故预测该产品2026年的市场销售单价为元. 18．（17分）（25-26高三上·贵州·开学考试）某组织对男、女青年是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查组随机调查了200名青年，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 喜爱古典音乐情况 合计 喜爱 不喜爱 女 90 20 110 男 60 30 90 合计 150 50 200 (1)依据小概率值的独立性检验，判断能否认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关？ (2)现从样本喜爱古典音乐的青年中利用分层（按性别分层）随机抽样的方法抽取5名青年进行合影留念，并从这被抽取的5名青年中随机邀请3名青年参加某古典艺术歌曲音乐会，记被邀请参加某古典艺术歌曲音乐会的女青年人数为，求的分布列和数学期望. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 ，其中. 【答案】(1)不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关 (2)分布列见解析；数学期望为. 【解题思路】（1）利用数表中数据求出，再与临界值比对得解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【解答过程】（1）零假设：喜爱古典音乐与青年的性别无关， 由数表中数据经计算得， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据拒绝零假设， 即不能认为是否喜爱古典音乐与青年的性别有关. （2）抽取的5人中，喜爱古典音乐的男青年有人，喜爱古典音乐的女青年有人， 故的所有可能值为， ， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望. 19．（17分）（24-25高二下·江苏南京·期末）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望. 附：. 【答案】(1)，186 (2)分布列见解析，600 【解题思路】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【解答过程】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望（元）. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $