9.2.4总体离散程度的估计（培优教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.2用样本估计总体 9.2.4总体离散程度的估计 学 习 目 标 1 2 3 理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差，掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法. 从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理解释，能估计总体的离散程度. 通过总体集中趋势估计的学习，提升学生的数学运算、数据分析素养. 新课引入 (2)中位数： (1)众数： (3)平均数： 一组数据中出现次数最多的数． 一组数据按大小依次排列后处在最中间位置的数(或最中间两个数据的平均数). 一组数据的算术平均数，即： 新课引入 平均数 中位数 众数 在频率分布直方图中的含义 特点 优点 缺点 每个小矩形面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 与每一个数据有关，任何一个数的改变都会引起它的改变 把频率分布直方图划分为左右两个相等的面积 只利用了样本数据中间位置的一个或两个值 最高矩形底边中点的横坐标 只利用了出现次数最多的那个值的信息 受极端数据的影响较大. 代表了样本数据更多的信息. 只能表达样本数据中的少量信息. 容易计算，不受少数几个极端值的影响. 平均数、中位数、众数的含义、特点及优缺点 新知探究 问题1:有两名射击队员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下: 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？ 追问1:两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数各为多少？ 甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数、众数都是7.从这个角度看，两名运动员之间没有差别。 新知探究 追问2:观察下图中两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在哪里吗？ 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲成绩比较分散乙成绩相对集中 环数 频率 0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 O （甲） 环数 频率 0.4 0.3 0.2 0.1 4 5 6 7 8 9 10 O （乙） 新知探究 追问3:那么，如何度量成绩的这种差异呢? 离散程度：极差 甲命中环数的极差，乙命中环数的极差 甲的成绩波动范围比乙的大 追问4:极差在分析估计时有何优缺点？ 极差在一定程度上刻画了数据的离散程度.但因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及，所以极差所含的信息量很少. 新知探究 思考:你还能想出其他刻画数据离散程度的办法吗？ 若射击成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 若射击成绩波动幅度很大，那么大多数射击成绩离平均成绩会比较远. 因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度. 新知探究 追问1:为什么用“平均距离”刻画离散程度，用总距离可以吗？ 总距离和样本量有关 例如，从一个总体中抽取两组样本，但两组的样本量不同，一个为100，另一个为1000，如果用总距离，两者之间会相差很大，但“平均距离”相差不大！ 所以用“平均距离”刻画离散程度比较合理. 新知探究 追问2:如何对一组数据与平均值的平均距离进行量化呢？ 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 假设一组数据是，用表示这组数据的平均数.我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即作为到的“距离”. 𝒙𝒊到 的距离 新知探究 每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”,即作为到的“距离”. 平均距离为 含有绝对值,运算不太方便，改用平方代替 方差： 新知探究 方差 追问2:如何对一组数据与平均值的平均距离进行量化呢？ 甲 4 4 5 7 7 7 8 9 9 10 乙 5 6 6 7 7 7 7 8 8 9 新知探究 . 有时为了计算方差的方便，也用上述表达式计算方差。 新知探究 追问2:问题1中，方差的单位是什么？ 由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。为了使二者单位一致，我们对方差开方，取它的算数平方根，即 追问3:问题1中，标准差是？ ∵ ，1.2 ∴ ，≈1.095 新知探究 方差、标准差 方差：给定一组数据，用表示这组数据平均数，则： 标准差：方差的算术平方根，即 注：方差、标准差可用于刻画数据离散程度 新知探究 问题2:标准差的取值范围是什么？标准差为0的一组数据有什么特点？ 标准差.表示这组数据中的每一个数据到平均数的距离都是0，即这组数据的每个数据是相等的. 追问:在实际问题中，如何求总体平均数和总体标准差，样本的标准差与方差和总体的标准差与方差有什么关系？ 用样本标准差估计总体标准差 新知探究 总体方差、标准差： 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为， 则称：为总体方差，为总体标准差 ． 如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为其中出现的频数为则总体方差为 加权形式 即时训练 1、甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为检验质量,从中随机抽取6件测量直径数据如下: 甲　 乙　 (1)分别计算两组数据的极差、平均数及方差; (2)根据计算结果说明哪台机床加工零件的质量更稳定. 【分析】标准差（或方差）越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差（或方差）越小，数据的离散程度越小，越稳定 即时训练 1、 甲　 乙　 解：(1)甲的极差为,乙的极差为. , , (2)，所以乙机床加工零件的质量更稳定。 典例分析 例6 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？ 【分析】总体方差： 典例分析 例6 抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？ 解：把男生样本记为，，…，，其平均数记为，方差记为； 把女生样本记为，…，，其平均数记为，方差记为； 把总样本数据的平均数记为，方差记为. 典例分析 例6 抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和. 解：根据方差的定义，总样本方差为 ① 由，， 所以，总样本平均数为 把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入①，可得 典例分析 例6 在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和.你能由这些数据计算出总样本的方差，并对高一年级全体学生的身高方差做出估计吗？ 解：因此，总样本的平均数为165.2，方差约为51.49，据此估计高一年级全体学生的身高方差约为51.49。 样本标准差刻画了数据离平均数波动的幅度大小，平均数和标准差一起能反映数据取值的信息.例如，根据9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数，样本标准差. 新知探究 问题3:一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的方差呢？ 设样本容量为，平均数为，其中两层的个体数量分别为，， 两层的平均数分别为，，方差分别为，， 则这个样本的方差为： . 即时训练 1、某高校新增设的“人工智能”专业，共招收了两个班，其中甲班30人，乙班40人，在2023年高考中，甲班学生的平均分为665分，方差为131，乙班学生的平均分为658分，方差为208.则该专业所有学生在2023年高考中的方差为___________. 【答案】： 2、已知某省二、三、四线城市数量之比为，年月份调查得知该省所有城市房产均价为万元/平方米，方差为,二、三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为，，则二线城市的房价的方差为_____. 【答案】： 即时训练 3、甲、乙两支田径队体检结果为：甲队的体重的平均数为，方差为，乙队体重的平均数为，方差为，又已知甲、乙两队的队员人数之比为，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？ 解：由题意可知甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为则 甲、乙两队全部队员的平均体重为， 甲乙两队全部队员的体重的方差为 课堂总结 方差、标准差： 方差：给定一组数据，用表示这组数据的平均数，则： 标准差：方差的算术平方根，即 总体方差、标准差： 总体方差：， 总体标准差： 感谢聆听! $