9.2.4 总体离散程度的估计-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

满足题意； 当m=69时，在区间(P0,P0)内的数据有x43,x44,…,x55,共13个数， 满足题意； 当m=70时，在区间(P60,P0)内的数据有x43,x4,…,x6,共14个数， 不满足题意； 当m=71时，在区间(P0,P0)内的数据有x44,x45,·,x56,共13个数， 满足题意： 当m=72时，在区间(P0,P0)内的数据有x45,x6,…,x7,共13个数， 满足题意； 当m=73时，在区间(P0,P0)内的数据有x45,x46,·,x58,共14个数， 不满足题意； 当m=74时，在区间(P60,P0)内的数据有x46,7,…,x59,共14个数， 不满足题意. 故m的可能取值有65,68,69,71,72,65+68+69+71+72=345. 9.2.3总体集中趋势的估计 白题 基础过关 1.C解析：将数据86,82,78,93,86,84,81,90,85,79,86,85,88,81,87 从小到大排序可得78,79,81,81,82,84,85,85,86,86,86,87,88,90， 93,所以该组数据的众数为86，中位数为85. 2.D解析：由题意可得{2 (2+x-3,nx=4,则=1+2+4+9=4故洗D门 4 y=36, y=9,1 3.3.5解析：易得众数为2，则中位数为2× =3,所以将该组数据按 照从小到大排列得1,2,2，5,7，则2牛“=3，解得x=4,则平均数为 6×(1+2+2+4+5+7)=35. 4.解：(1)甲组市民年龄的平均数为 13+13+14+15+15+15+15+16+17+17-15(岁)， 10 中位数为15岁，众数为15岁 平均数、中位数和众数相等，.它们都能较好地反映甲组市民的年 龄特征 (2)乙组市民年龄的平均数为 54+3+4+4+5+6+6+6+6+56-15(岁)， 10 中位数为6岁，众数为6岁. :乙组市民大多数是儿童，，中位数和众数能较好地反映乙组市民 的年龄特征，而平均数的可靠性较差 5.C解析：根据题中频率分布表可知，频率最大的分组为[30,50)，众 数为40设中位数为，则1+00x06=05,解得x=3号，即中 位数为43号放选 6.AB解析：对于A,(0.015+a+0.04+0.015+0.005)×10=1,解得a= 0.025,故A正确： 对于B,平均数为35×0.015×10+45×0.025×10+55×0.04×10+65× 0.015×10+75×0.005×10=52,B正确； 对于C,众数为频率最大的一组的中间值50+60=55，故C错误； 对于D,由于(0.015+0.025)×10=0.4<0.5，(0.015+0.025+0.04)× 10=0.8>0.5,设中位数为m,则0.4+(m-50)×0.04=0.5,解得m= 52.5,故D错误 四方法总结 频率分布直方图中的众数是最高小矩形底边中点的横坐标；中位数 是平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横 坐标：平均数是频率分布直方图中每个小矩形的面积乘对应小矩形 中点的横坐标的和 7.6.65解析：平均费用为50×2%+20×8%+10×15%+5×35%+2× (1-2%-8%-15%-35%)=6.65(元). 必修第二册·RJ 黑题应用提优 1.A解析：对于频率分布直方图，如果直方图在右边拖尾，则平均数大 于中位数，所以a为中位数，b为平均数：如果直方图在左边拖尾，则 平均数小于中位数，所以c为平均数，d为中位数 2.D解析：不妨设x≤y, 当x=1,y=3时，1,1,2,3,3,3,4,5,6,1x-y1=2; 当x=2,y=3时，1,2,2,3,3,3,4,5,6，lx-y1=1 当x=3,y=3时，1,2,3,3,3,3,4,5,6,1x-y1=0: 当x=3,y=4时，1,2,3,3,3,4,4,5,6，lx-y1=1 当x=3,y=5时，1,2,3,3,3,4,5,5,6,1x-y1=2; 当x=3,y=6时，1,2,3,3,3,4,5,6,6,1x-y1=3. 3.C解析：对于A,由题中折线图可知，小组A打分的分值（单位：分） 为42,47,45,46,50,47,55,50,47，则小组A打分的分值的众数为 47分，故选项A错误；对于B,小组B打分的分值（单位：分）为55， 36,70,66,75,68,68,62,58,按照从小到大排列为36,55,58,62,66， 68,68,70,75,中间数为66分，故中位数为66分，故选项B错误；对 于C,小组A的打分成绩比较均匀，波动更小，故小组A意见相对 致，故选项C正确；对于D,小组A的打分分值的均值为 42+47+45+46+50+47+5+50+7=4.7(分)，而小组B的打分分值的均 0 值为5+36+70+66+75+63+68+62+58=62（分），所以小组B打分分 9 值的均值大于小组A打分分值的均值，故选项D错误故选C, 4.C解析：令样本数据总个数为20n,n∈N* 1×5n+2×5n+3×5n+4x5n5 ,m=2,A不符合题意； 5 对于A,x= 20n 对于B,x=1x2n+2×8n+3x8n+4x2n5 5 20n 2,m=之，B不符合题意； 对于C,x=1×2n+2X8n+3x6n+4×4n_13 20n 2,C符合题意； 对于D,x=1X4n+2x6n+3x8n+4x2n_12 20n =名D不符合题意 5.6解析：数据x1,x2,…,xn的平均数为1，则数据5x1+1,5x2+1,…, 5x,+1的平均数为5×1+1=6. 6.解：(1)在题中所给的80个数据中，2000出现了22次，出现的次数 最多，因此这组数据的众数是2000. 把这80个数据按从小到大的顺序排列后，位于中间的数是2000， 2500,因此这组数据的中位数是2000+2500 2 =2250. 这组数据的平均数为元=1800+12000x2+8000x3++1200x6 80 249200=3115. 80 (2)由于大多数员工的月工资达不到平均数3115，显然用平均数作 为该公司员工月工资的代表值并不合适；众数2000及中位数2250 在一定程度上代表了大多数人的工资水平，较能反映该公司的月工 资水平的实际情况 (3)公司总经理最关心的是月工资的总额，所以他关注的是平均数； 普通员工关注的是自己的收人在本公司职工群体中的位置，中位数 能帮助职工了解自己的工资收人处于什么样的水平：应聘者最想知 道公司发给大多数员工的工资数额，这也是一般应聘者将会拿到的 工资，因此应聘者关注的是该公司月工资的众数.（合理即可） 9.2.4总体离散程度的估计 白题 基础过关 1.D解析：.s2=2.1,s3=3.5,s=9,s1=0.7,∴.s3>s>s>s,∴.丁同学 成绩的方差最小，∴.丁同学的成绩最稳定 2.A解析：去除参数以外的五个数从小到大排序：5,7,8,9,11，此时极 差为11-5=6，所以a的取值范围是5≤a≤11. 3.B解析：设原来4个数据依次为a,b,c,d,则a+b+c+d=24,由方差 黑白题074 为3，所以×[(a-6)2+(6-6)2+(c-6)2+(d-6)2]=3,即(a-6)2+ (b-6)2+(c-6)2+(d-6)2=12,所以(a2+b2+c2+d2)-12(a+b+c+d)+ 36×4=12,则a2+b2+c2+d2=12+12×24-36×4=156, 现加入数据8和10，则其平均数为。×(ab+ed8+10)=石×(24+ 18)=7,则这6个数据的方差为二×[(a-7)2+(b-7)2+(c-7)2+ 6 (d-7)24(8-7y24(10-7)2]=石×[(a2+8+2++82+10) 14(a+6+cd+8+10)+49x6]=6×[(156+64+100)-14(24+8+10)+ 49x6]-号 4.2解析：由题意知元=4，x子+行+…+。=200，所以s= √后T6…+w时 √培场1m)- 200-160-2 10 5.D解析：由题图可得，D地区销量最稳定，所以D地区销量的方差 最小 6.110.解析：由频率分布直方图得抽取产品的质量指标值的样本平均 值为(100×0.010+110×0.020+120×0.035+130×0.030+140×0.005)× 10=120,.样本方差s2=[(100-120)2×0.010+(110-120)2×0.020+ (120-120)2×0.035+(130-120)2×0.030+(140-120)2×0.005]× 10=110. 重难聚焦 7.C解析：该班全体同学每周运动时间的平均数为1=了× 5 8×5.2+8× 4.4=47,方差为52=8×[5.65+(52-47)21+ -×[5.01+ 8 (4.4-4.7)2]=5.4. 8.3解析：由题意可得，1.966=800 5000×[1+(2.7-3)21+2000×[2+ 600 (3.1-3)2]+2000×[号+(3.3-3)2]，解得号=3. 黑题应用提优 1.C解析：平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数 有可能改变：中位数是按照顺序排列的一组数据中居于中间位置的 数，故中位数也可能改变：极差表示一组数据中最大值与最小值之 差，将x3,x,重复记录在数据中，最大值与最小值并未改变，所以极 差一定不变：众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变. 2.C解析：A项，平均数为0×0.2+1×0.3+2×0.3+3×0.2=1.5，标准差为 √(0-1.5)2×0.2+(1-1.5)2×0.3+(2-1.5)2×0.3+(3-1.5)2×0.2= √1.05；同理B项，平均数为1.5，标准差为√1.85；C项，平均数为 1.5,标准差为√0.65；D项，平均数为1.5，标准差为√1.45. 3.B解析：由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为x1= 50,s好=50，所占权重为w(w>0.5),男员工的平均体重和方差分别为 x2=70,好=30，则所占权重为1-ω.则样本中全部员工的平均体重为 x=wx1+(1-0)x2=70-20w,依题意，方差为s2=w[s子+(x-1)2]+ (1-w）[+(x-x2)2]=w[50+(20-20w)2]+(1-w)[30+ (-20w)2]=-400w2+420w+30=120.化简得40w2-42w+9=0,解得 ù三0,75或w=03(舍).所以样本中女员工的人数为75为 0.75=63. 4,150解析：由题意可知，这10个数据的平均数a=43,力 0 解得a+a++o%=三0=150.故答案为150 参考答案 5.(6,6)(其他答案：(5,7)，（7,5)，(4,8)，（8,4))解析：设甲、乙两 组数据的平均数分别为元1,2，方差分别为s,子，，甲、乙两组数据 的平均数相等，.1+2+4+7+11=1+2+a+b+10,.a+b=12,x1=花2=5. :=x灯1-5)2+(2-5)2+(4-5)2+(7-5P+(-5)21= 5对(1-5)2+(2-5)2+(a-5)2+(6-5)2+(10-5)2],又>好， (a-5)2+(b-5)2<16.又a,beN*,满足条件的(a,b)可以是 (6,6),(5,7),(7,5),(4,8),(8,4),故答案可为(6,6)（其他答案 (5,7),(7,5),(4,8),(8,4)). 6.解：(1)由题意得x=10×(45×0.010+55×0.015+65×0.015+75×0.030+ 85×0.025+95×0.005)=71,所以样本的方差为s1=10×[(45-71)2× 0.010+(55-71)2×0.015+(65-71)2×0.015+(75-71)2×0.030+(85 71)2×0.025+(95-71)2×0.005]=194. +号。94+78.√<6，所以 (2)由题得x-y=71-65=6,√12=√12 5所+ ≥12 ，所以有体验区的参观时长均值比没有体验区的参观时 长均值有显著提高. (3)从(2)中可知展区应该设置互动体验展区，这样可以吸引更多的 参观者进行观看与体验，使他们能更多地了解产品，并能更大程度地 激发中小学生的兴趣爱好.（合理即可） 9.2阶段综合 9.3统计案例公司员工的肥胖情况 调查分析（略） 黑题 阶段强化 1.C解析：由题意，平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋 势，由极差的定义可知，极差是用来反映最大值与最小值之间的差 距，刻画一组数据的离散程度。 2.D解析：由题设得20+21+22+23+24+25_a+23+24+25+26+27 3. 6 6 解得a=28,甲组数据中6×70%=4.2，故第70百分位数为24，A 错误； 甲组数据的极差为25-20=5，乙组数据的极差为28-23=5，所以甲、 乙两组数据的极差相同，故B错误； 乙组数据从小到大为23,24,25,26,27,28，故其中位数为25+26 2 25.5,C错误； 甲组数据的平均数为20+21+2+23+24+25=2.5，乙组数据的平均 6 数为28+23+2425+26+7-25.5，所以甲组数据的方差为石× 6 35 1 (2.52+1.52+0.2+0.52+1.52+2.5)=2,乙组数据的方差为 (2.52+1.52+0.52+0.52+1.52+2.52)= 2,故两组数据的方差相同， 3 D正确： 3.AB解析：根据表格有s2<子，所以甲厂生产的零件质量稳定性优于 乙厂，故A正确； 根据平均数，中位数和众数不能判断极差，而2<子，所以甲厂生产零 件质量的极差可能小于乙厂，故B正确： 根据众数的定义可知，众数是出现次数最多的，不能判断甲、乙两厂 生产的零件中61克出现的次数相同，故C错误： 由于甲、乙两厂生产的零件的平均质量为63克，不能判断甲厂生产 的零件中质量大于63克的数量多于乙厂，故D错误 4.D解析：由题可得，该单位抽取的10位职工三次作答的得分分别为 1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号 职工职工职工职工职工职工职工职工职工职工 黑白题0759.2.4总体离 白题 基础过关 题组1极差、方差、标准差 1.*(2025·陕西咸阳高一月考)甲、乙、丙 丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的 平均数相同，方差分别为s2=2.1,s子=3.5，s= 9,s=0.7,则成绩最稳定的是 () A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 2.*（2025·河北石家庄高一月考)已知一组 样本数据8,11,9,7，a,5的极差为6，则a的 取值范围是 () A.[5,11]B.{5,11}C.{5} D.[6,17] 3.*(2025·山东烟台高一月考)已知某4个 数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和 10,则这6个数据的方差为 A.2 B19 c D.3 4.现有10个数，其平均数是4，且这10个 数的平方和是200，那么这组数的标准 差是 题组2根据统计图表求数字特征 5.·某商品3-5月份在A,B,C,D四个地区的 销量如图所示，则在这四个地区中该商品3 5月份销量方差最小的为 ( ) 销量/千个 销量/千个 50 50H 46 40 37 40 30 29 25 30 30 25 20 20 10 0 0 3 4 5月份 345月份 A B 销量/千个 5 0销量/千个 40 40 40 38 40 30 35 0 2 18 20 0 10 0 3 4 5月份 3 45月份 C D 第九章 散程度的估计 电子错题本 限时：25min 6.从某企业生产的某种产品中抽取500件， 测量这些产品的一项质量指标值，由测量结 果得如下频率分布直方图，则这500件产品质 量指标值的样本方差2是 频率/组距 0.035--------- 0.030 0.020 0.010 0.005 095105115125135145质量指标值 重难聚焦 题组3分层抽样的方差 7.*某班男生、女生人数之比为 视 3:5,对该班同学每周运动时间 （单位：时)进行调查，得知男生每周运动时 间的平均数为x=5.2,方差为2=5.65，女生 每周运动时间的平均数为y=4.4,方差 为s子=5.01，则该班全体同学每周运动时间 的方差2为 ( A.5.2B.5.3C.5.4 D.5.5 8.*某学校共有学生2000人，其中高 800人，高二、高三各600人，学校对学生在 暑假期间每天的读书时间做了调查统计， 全体学生每天的读书时间（单位：小时）的 平均数为x=3,方差为s2=1.966,其中高 一、高二和高三学生每天读书时间的平均 数分别为元1=2.7，x2=3.1,x3=3.3,又已知 高一、高二年级学生每天读书时间的方差 分别为s=1,s子=2，则高三年级学生每天读 书时间的方差s子= 黑白题117 黑题 应用提优 1.*(2025·安徽安庆高一期中)某公司对员 工的工作绩效进行评估，得到一组数据x1,x2, x,…,xg,后来复查数据时，又将x,)重复记 录在数据中，则这组新的数据和原来的数据 相比，一定不会改变的是 A.平均数B.中位数C.极差D.众数 2.（2025·安徽合肥高一期末)在一组样本 数据中，0,1,2,3出现的频数分别为f,f2,f3, 4,则下面四种情形中，对应样本的标准差最 小的一组是 A.f=f4=22=f3=3B.f=f4=4,2=f3=1 C.f=f4=12=f3=4D.f=f4=32=f3=2 3.**(2025·黑龙江大庆高二月考)某公司为 了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工 远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分 层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所 有员工的体重的方差为120，其中女员工的平 均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为 70,方差为30.若样本中有21名男员工，则样 本中女员工的人数为 ) A.68 B.63 C.35 D.48 4.**(2024·福建泉州高一期中)若一组10个 数据a1,a2,…,ao的平均数为3，方差为6，则a+ a+…tao= 5.接甲、乙两组数据如下表所示，其中a,b∈N, 若甲、乙两组数据的平均数相等，要使乙组数 据的方差小于甲组数据的方差，则(a,b) 为 ,(只需填一组) 甲 2 4 7 11 乙 2 a 10 6.整首届中国航协航空大会的一个鲜明的特 色是在各个展区中设置了多项互动体验活 动，吸引了很多的中小学生，其中模拟飞行体 验区是让这些中小学生戴上VR眼镜模拟从 必修第二册·RJ黑 限时：30min 起飞到降落，大大激发了他们的兴趣爱好.现 从某个有互动体验的展区中随机抽取60名中 小学生，统计他们的参观时间（从进入该展区 到离开该展区的时长，单位：分钟，时间取整 数)，将时间分成[40,50)，[50,60)，…，[90， 100)六组，并绘制成如图所示的频率分布直 方图. ↑频率/组距 0.030 0.025 0.015 0.010 0.005 0405060708090100时间/分钟 (1)由频率分布直方图，估计样本的平均数x 和方差s；(每组数据以区间的中点值为 代表) (2)为对比展区是否有体验区对中小学生的 吸引程度，某工作人员给出了一份该展区 中没有体验区的参观时间的随机数据，经 计算得到该组数据参观时长平均值为y= 65分钟，方差为s2=178,试判断有体验区 的参观时长均值比没有体验区的参观时 长均值是否有显著提高？如果x-y≥ 5S+号 N12 ,则认为有显著提高，否则不认为 有显著提高)】 (3)利用(2)中的结果，你认为展区是否应该 设置互动体验展区？请说明理由. 白题118