重难点07 动态问题（重难专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“化动为静—分类讨论—代数验证”三阶方法论为核心，系统构建动态问题解题体系，覆盖中考四大考向28道典例，强化空间观念与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点与动线段|6题|含参代数式表达+二次函数/几何轨迹求最值|从单动点到双动点，渗透函数思想与存在性分类| |图形变换|6题|折叠找全等+平移算周期+旋转定中心|以轴对称/平移/旋转性质为基础，构建动态几何直观| |二次函数综合|6题|铅锤高面积法+中点坐标公式判特殊四边形|代数表达与几何性质融合，强化数形结合| |临界分析|10题|分段函数建模型+圆心距判圆与直线位置|从运动临界点切入，培养分类讨论与逻辑推理能力|

重难点07 动态问题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 动点与动线段的最值/存在性问题 考向02 图形的平移、旋转与折叠（动图问题） 考向03 二次函数与几何综合中的点动问题 考向04 动态变化的临界分析与分类讨论 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 一、 2023、2024、2025年考法解读 纵观近三年全国中考数学压轴题，动态问题的命题呈现“重情境创设、重过程探究、重多思少算”的鲜明特点： 1. 题型分布：选择题、填空题侧重考查单一动点引起的函数图象分析（如面积、线段长度随时间的变化图象）；解答题则全面覆盖动点、动图（平移/旋转/折叠）以及函数中的点动探究，单题分值高达10-12分。 2. 核心考点：不再局限于传统的“两点距离”或“三角形存在性”，而是向“主从联动（瓜豆原理）”、“几何图形与反比例函数综合的动态分析”等高阶思维过渡。 3. 命题偏好：命题人极度偏爱在“图形运动的临界位置”和“函数关系式的定义域边界”设置陷阱，全面考查学生的数形结合与分类讨论能力。 二、 2026年考法预测 基于对近年命题演变的洞察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1. 命题趋势展望 (1) 从“单一运动”向“复合运动”过渡：预计2026年会出现更多“平移+旋转”或“动点+动直线”的复合型动态题，对学生的空间想象能力要求更高。 (2) 代数验证几何的倾向加剧：单纯的几何直观推导得分空间将被压缩，更多题目需要学生通过建立直角坐标系，用代数坐标和方程去精确验证动态猜想。 (3) 新定义与动态规则结合：预计将出现结合“闭包”、“等幂和”等新定义背景的动态操作题，实质上考查学生在未知规则下的即时建模能力。 2. 2026年备考策略建议 (1) 狠抓“化动为静”基本功：教导学生面对动态问题，第一反应是“画出特殊位置（起点、终点、临界点）的静态图解”，以静制动。 (2) 强化“用字母表示数”的肌肉记忆：无论是动点坐标还是动图产生的线段，强制学生用含参代数式（vt＋s）精准表达，将几何等量关系翻译为代数方程。 (3) 固化“分类讨论”触发机制：遇中点想两侧，遇直角想双解，遇等腰三角形想顶/底角。建立严密的分类逻辑树，杜绝漏解。 重●难●要●点●剖●析 考向01 动点与动线段的最值/存在性问题 题型01 单动点引起的线段长度最值 通用思路：将动态线段的长度表示为时间的二次函数，或寻找其在运动过程中的恒定不变关系（如隐形圆）。 关键步骤： 1. 设时间：设运动时间为t（确保t在定义域内）。 2. 表线段：用含t的代数式精准表示出目标动线段的长度。 3. 求最值： (1) 若为二次函数型，配方或利用顶点公式求最值； (2) 若为几何轨迹型（如点到直线距离），则当垂直时取得最小值。 避坑提示：求得的t值必须代回检验，确保点在实际存在的线段或图形内部。 1．（2025·河南周口·一模） 综合与实践 “几何画板”是一种常用的几何画图软件，利用“几何画板”可以非常直观、快捷、准确地探究图形的性质． (1)操作发现，尝试探究 如图1，小颖在“几何画板”上先画了两条互相垂直的直线a，b（交点为O），接着画了等边三角形 ，其中点A，B 分别在直线a，b上，点C 在右侧，连接．固定点A， 使，让点B在直线 b 上运动，发现线段 存在最小值．为了求出线段的最小值，小颖又画了等边三角形（点D在下方），并连接， 如图2，得到与 的数量关系为_，线段的最小值为_． (2)变换条件，再次探究 如图3，小颖改变了直线a，b的位置关系，使两直线所夹锐角为，其他条件不变，当点B在直线b上运动时，求线段的最小值． (3)拓展变化，深度探究 如图4，小颖将（1）中的条件“等边三角形”改为“以为直角边的等腰直角三角形”，其他条件不变，当点B在直线b上运动时，请直接写出线段的最小值． 【答案】(1)，2 (2) (3) 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明，推出，过点D作于点E，由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，即线段最小值； （2）同（1）可证，推出，过点D作于点E，由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值，即线段最小值； （3）分和两种情况，时，在下方作等腰直角三角形，使，连接，过点D作于点E，仿照（1）可证，；时，在下方作等腰直角三角形，使，证明，可得，即 【详解】（1）解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 如图，过点D作于点E，由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值， ， ， 在中，， 的最小值为， 线段的最小值为， 故答案为：，2； （2）解：如图，过点D作于点E， 同（1）可证， ， 由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值， ，， ， 在中，， 的最小值为， 线段的最小值为； （3）解：分两种情况： 当时，如图，在下方作等腰直角三角形，使，连接，过点D作于点E， 和是等腰直角三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值， ，， 四边形是正方形， ， 的最小值为， 线段的最小值为； 当时，如图，在下方作等腰直角三角形，使，连接，过点D作于点E， 和是等腰直角三角形， ，，， ，即， 又， ， ，即， 由垂线段最短，可知当点B与点E重合时，取最小值， ， 的最小值为， 的最小值为， 综上可知，的最小值为． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂线段的性质，解直角三角形等，解题的关键是通过添加辅助线构造全等（相似）三角形，第三问注意分情况讨论． 2．（2024·江苏盐城·三模）【提出问题】 如图1，在中，，，求的最小值． 【分析问题】 下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识 小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接 【解决问题】 求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路) 【深入探究】 如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是_． 【拓展提升】 如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值． 【答案】【解决问题】的最小值为2；【深入探究】；【拓展提升】线段的最小值为1 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； [解决问题] 小明：根据勾股定理表示出，根据二次函数的性质求最值，即可求解； 小红：延长至点，使得，则点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而求得的最小值； [深入探究] 设，则，勾股定理表示出，进而根据二次函数的性质求得的最小值，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出的最小值； [拓展提升] 延长至点，使得，由题意得，证明，设，则，，延长至点，使得，得出点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而即可求解． 【详解】[解决问题]小明：设，则，在中，， ， 当时，有最小值， 的最小值为； 小红：如图1，延长至点，使得， 此时，且为等腰直角三角形， ， 点在过点且与的夹角为的直线上运动， 当于点时，最小， 此时， 的最小值为        [深入探究]； 设，则， ∵， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵是的中点， ∴ ∴的最小值为 [拓展提升]如图2，延长至点，使得，由题意得， ， ，， 又， ， ， 设，则，， 如图3，延长至点，使得， ， ， ， ， 点在过点且与的夹角为的直线上运动， 当于点时，最小，此时， ， 线段的最小值为． 3．（2025·吉林松原·三模）【问题出示】 （1）如图①，在等腰三角形中，，，点M是直线上的动点，线段的最小值是__________； 【问题探究】 （2）如图②，线段最短时，在（1）的条件下，线段是的角平分线，点P、Q分别在边、上运动，连接、，的最小值是__________； 【问题拓展】 （3）如图③，线段最㛒时，在（1）的条件下，点E在边上运动，连接，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接，求线段的最小值． 【答案】（1）8（2）（3）4 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，的直角三角形的性质，最短路径问题，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据垂线段最短得到点M的位置，然后根据的直角三角形的性质解题即可； （2）在边上截取，连接，则有，即可得到，当P、D、M三点共线，过点M作于点D时，最小，最小值为长，然后利用勾股定理解题即可； （3）在上截取，连接，则有，则，当时，长最小，即长最小，根据的直角三角形的性质解题即可； 【详解】解：（1）当点M运动到时，线段值最小， ∵，， ∴， 故答案为：8； （2）在边上截取，连接，如图②， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 即当P、D、M三点共线，而且时，最小，最小值为长， ∵， 又∵， ∴， 故的最小值为； （3）在上截取，连接，如图3， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得， ∴， ∴， 当时，长最小，即长最小， 这时， ∴， ∴线段的最小值为4； 题型02 双动点引发的几何图形存在性（等腰/直角/相似） 通用思路：由于动点多，情况复杂，必须先明确哪个点是“定点”，哪个是“动点”，并按顶点进行分类讨论。 关键步骤： 1. 定分类：明确要构成的图形，确定谁作为顶点，分情况讨论。 2. 列方程：利用两点间距离公式，将几何等量关系转化为代数方程。 3. 求检验：解方程，并将解代回原图，剔除共线或退化的无效解。 4. 核心公式：两点间距离公式；等腰三角形的两腰相等；勾股定理逆定理。 1．（2026·山东济南·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，；与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点P在y轴上，且满足，求点P的坐标； (3)我们将有一个内角为的三角形称为“半直角三角形”，这个角所对的边为“半直角边”．反比例函数在第四象限的图象上是否存在点Q，使得是不以为“半直角边”的“半直角三角形”？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为或； (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）设，根据，结合，列出方程进行求解即可； （3）分和两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，； ∴，， ∴，， ∴，， ∴，解得：， ∴； （2）解：设直线交轴于点， ∵， ∴当时，，时，， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在； ①当时，将绕点旋转90度得到，连接，交的延长线于点，如图，则：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为：，则：， ∴， ∴， 联立，解得：或（舍去）； ∴； ②当时，将绕点旋转90度得到，连接交于点，则，， ∴， ∴， 同法可得：的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）， ∴； 综上：点Q的坐标为或． 2．（2024·湖南·一模）如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． (1)求线段的长； (2)求证：四边形为菱形； (3)如图2，分别是线段上的动点（与端点不重合），且，设．是否存在这样的点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由矩形的性质得，，，由折叠得，，则，，根据勾股定理得，即可求得线段的长； （2）连接，则垂直平分，由，证明，得，所以，，则，所以四边形是菱形； （3）当时，先证明，则，再证明，得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长是． （2）证明：如图1，连接， ∵点F与点D关于直线对称， ∴垂直平分， ∵， ∴, ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：存在这样的点N，使是以为斜边的直角三角形． 当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上所述，x的值为． 【点睛】本题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合思想的运用等知识与方法． 3．（2025·湖北恩施·一模）已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过点和两点，且抛物线与x轴交另一点B． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，在抛物线上有点P，过点A过的平行线交y轴与点M，若是以为底的等腰三角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q，使得中有一个角是的2倍，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【分析】（1）先根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点，再利用待定系数法求解即可； （2）设点M的坐标为，求出直线的解析式为，再求出直线的解析式，令，求出点，根据，建立方程求解即可； （3）设点，由易证是等腰直角三角形，得到，分和两种情况讨论，利用正切的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵物线的对称轴为直线，且经过点和，则B点坐标为， 则抛物线 将代入上式中， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点M的坐标为，直线的解析式为 ∵代入上式得： 再将点代入上式得： ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 ∵ ∴直线的解析式为 令 解得：， ∴ ∵是以为底的等腰三角形， ∴ 则 解得 ∴P的坐标为或； （3）设点， ∵ ∴ ∴ ∴使得中有一个角是的2倍 则为直角三角形 当时，如图，过点Q作轴于点D， ∵ ∴ ∴ ∵，，，， ∴， ∴，即， ∴，则， ∴； 当时，如图，过点Q作轴于点F， 同理： ∵，， ∴， ∴，则， ∴； 当时，该情况不存在 ∴Q点的坐标为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及等腰三角形的判定、二次函数的最值，解直角三角形等知识，考查了用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，考查了分类讨论的思想，综合性比较强． 考向02 图形的平移、旋转与折叠（动图问题） 题型03 图形的平移与滚动（如正多边形在直线上滚动） 通用思路：图形平移的本质是“所有点发生相同的位移”；滚动问题的核心在于找到“旋转中心”和“旋转角”。 关键步骤： 1. 找周期：分析图形完成一次完整运动（如滚动一周）所需的路程或次数。 2. 定余数：用总路程除以周期，确定最终停留的位置处于当前周期的哪个阶段。 3. 算坐标：针对该阶段，计算关键顶点相对于起始位置的横向/纵向总位移量，叠加初始坐标。 答题模板：初始坐标→计算单次位移(Δx,Δy)→乘以周期倍数→加上余下位移。 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“可余点”．将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“可余点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下． 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则点的坐标为________． 【答案】或 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，先分别计算余0，1，2的点的平移规律，然后分两种情况进行反方向平移求解即可． 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为： ①若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ②若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； ③若“可余点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，则按照向左、向上，向左、向上不断重复的规律平移； 若“可余点”按上述规则连续平移20次后，到达点，则按照“可余点”反向运动次即可，可以分为两种情况： 若按照②或③方式：则向右平移次，向下平移次即为“可余点”，则，即； 若按照①方式：则需要向下平移10次，向右平移9次，再向左平移1次，则，即， 综上：点的坐标为或 故答案为：或． 2．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为或 (3) 【分析】（1）根据平移的规律求出平移后点的坐标，再根据距离公式求解即可； （2）先确定平移方向，再结合平移距离求出平移的单位长度，最后根据直线平移规律求函数表达式； （3）设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位，确定平移后抛物线的顶点，进而得到平移后抛物线的解析式，最后利用抛物线上的点到轴的距离都小于列不等式求解． 【详解】（1）解：∵点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴， ∴； （2）解：∵直线平行于第二、四象限的角平分线， ∴点沿直线的方向平移， ∴设点沿轴平移个单位，沿轴平移个单位， ∵， ∴， ∴直线沿直线方向平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位，或向右平移个单位，向下平移个单位， ∴直线的函数表达式：或， 即：直线的函数表达式为或； （3）解：∵ ∴平移前顶点 设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位， ∴， 解得：， ∴平移后顶点为， ∴平移后解析式：， 当时，， 当时，， 当时，抛物线上的点到轴的距离都小于， ∴ 由解得； 由解得或； 由解得； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴综上：． 3．（2025·江苏苏州·一模）（1）如图①，，，．线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，则线段可看作线段沿______方向平移得到，平移的距离为______． （2）如图②，，线段经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段经过一次平移得到（点的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由． （3）如图③，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段经过一次旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心（要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角． 【答案】（1）；；（2）线段可看作线段沿方向，平移得到；（3） 【分析】（1）根据平移的性质进行求解即可； （2）连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，从而证明，，即可得出结论； （3）连接，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点，即为所求作的点；根据旋转的性质可得，，进而可得，根据得出，则，即可得出，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可知：线段可看作线段沿方向平移得到，平移的距离为p． （2）连接，，如图所示： 根据中心对称可知：为，的中点，为，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴线段可看作线段沿方向，平移得到． （3）如图，点O即为所求作的旋转中心； 如图，延长，交于点，设直线交于M，交于N ∵线段绕旋转得到线段， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即与的夹角为， ∵线段绕点O旋转得到，同理即可得与的夹角为， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平移的性质，旋转的性质，画旋转图形，中位线的性质，四边形内角和，熟练掌握平移与旋转的性质是解题的关键； 题型04 几何图形的折叠（轴对称）问题 通用思路：折叠的本质是轴对称，折叠前后对应的线段和角度完全相等，通常能构造出特殊的直角三角形。 关键步骤： 1. 标相等：在图中直接标出折叠产生的相等线段和相等角度。 2. 设未知量：通常设所求线段为x，并用x的代数式表示出其他相关线段（特别是直角三角形的三边）。 3. 列方程：在折叠新构成的直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的一元一次方程并求解。 4. 核心结论：折叠必产生全等三角形；折叠角与原有角叠加常能得到90°或60°等特殊角。 1．（2025·江苏盐城·三模）综合与实践 综合与实践 背景 打印纸中的数学：我们生活中常见的A4纸是由国际标准化组织的定义的，规格，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准，我们通过计算发现纸的长、宽之比约为，猜想纸的长、宽之比为，我们取一张纸，记为矩形，并通过以下几种折纸操作证明这一结论． 操 作 一 折叠一：如图1，是纸边上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，另一张纸的长边恰好与重合． 操 作 二 折 叠 二 ：如图2，分别是纸边上一点，先将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，再继续沿折叠，使点的对应点落在边上，点的对应点为点，发现此时点与点重合． 操 作 三 折叠三：如图3，是纸边上的点，将矩形沿折叠，使点的对应点落在边上，然后将矩形展开，再将矩形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，然后将矩形展开，折痕与交于点．如图4，将如图3的纸片沿折叠，发现与重合，与重合 ……． 问题解决 任务 1 根据折叠一中的图1，求图1中的值为_ ； 任务 2 根据折叠二中的图2，若矩形边长，则长度为_； 任 务 3 根据折叠三中的图4，连接并延长交于F，求   【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题主要考查矩形的折叠问题、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质是解题的关键． 任务1：结合矩形的性质、折叠的性质，可知是等腰直角三角形，即可得出；设，则，设，则，利用勾股定理解，用含a的式子表示出x，即可求解； 任务2：由折叠的性质得出是等腰直角三角形，进而可得； 任务3：证明是等腰直角三角形，同理可得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，设，则，，，分别求得的长，证明，等面积法求得，进而求比值，即可． 【详解】解：任务1：四边形是矩形， ，， 由折叠知， ， ，即是等腰直角三角形， ， ； 故答案为：． 任务2：同方法一可得， ∵，则，， 由折叠知， ， ， ， 设，则， 由折叠知， 在中，， ， 解得， 故答案为：． 任务3：解：纸片沿折叠，发现与重合，与重合， ，，， 又矩形中，， ，， 是等腰直角三角形， ， ． 同理可得是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， 设，则，， ∴， ∴ ∴， ∴ 在中， ∵是等腰直角三角形， ∴ ∵折叠， ∴ ∵，， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 2．（2025·广东珠海·三模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，真智学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且相邻边的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形？ 【分析并解决问题】 （1）真智学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，求证：四边形是类矩形； （2）真智学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点，，，分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上，再沿折叠，使得点的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或 【分析】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和判定，新定义类矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． （1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示，的长，即可解答； （3）设与交于点，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论． 【详解】（1）证明：设，则， 由折叠得，， ，四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是矩形， 四边形是类矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：，， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， 如图3，设，， 由正方形的性质可得，，， 由折叠的性质可得，， ∴， 是等腰直角三角形， ∴， ， ∵ ， 在图2中，，， ， ， 四边形是类矩形； （3）设与交于点， 垂直平分， ， 四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上， ， 同理得：，， 四边形是类矩形， 或， ①如图4，当时，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ； ②如图5，当时，， 由①同理得：，， ，即， ， ， ，即， ， ， ， ， ； 综上，的长为或． 3．（2026·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，为原点，是一个平行四边形纸片，顶点，，点在第二象限． (1)如图，填空：的长是________，点的坐标是________，的长是________； (2)若为边上一动点，过点作直线平行于轴，交边于点，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点为点．设． 如图，当点落在平行四边形纸片上时．试用含有的式子表示折叠后重叠部分的面积，并直接写出的取值范围； 当直线与轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，， (2)； ． 【分析】（1）作于点，作于点，则，根据勾股定理可得的长，由平行四边形的性质，可得，，证明，，可得，，，可得点的坐标，根据勾股定理，可得的长； （2）由折叠可得，，证明，可得，可得折叠后重叠部分的面积，当点在线段上时，连接，交于点，由线段垂直平分线的判定，可得，，由同角的正切值相等，可得，可得，可得，由同角的余弦值相等，可得的最大值，即可得的取值范围；当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合，与的交点记为点，作于点，由折叠的性质，结合平行四边形的性质，可得，，证明，可得，由等腰三角形的性质，可得，由同角的正切值相等，可得，即可得折叠后重叠部分的面积． 【详解】（1）解：作于点，作于点，则， ∵， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：由折叠可得，， ∵，， ∴， ∵轴，在轴上， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积， 当点在线段上时，连接，交于点， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在平行四边形纸片上， ∴， ∴； 当直线与轴重合时，点与点重合，点与点重合， 与的交点记为点，作于点， 由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积． 考向03 二次函数与几何综合中的点动问题 题型05 抛物线上的动点构成的图形面积最值 通用思路：求坐标系中不规则三角形的面积，一律采用“铅锤高×水平宽÷2”的割补法。 关键步骤： 1. 设点坐标：设动点为P（若在抛物线上）或Q（若在直线上）。 2. 作垂线：过动点作x轴的垂线（或平行于y轴的直线），将原三角形分割为两个共顶点的小三角形。 3. 表面积：面积，整理成关于t的二次函数，求顶点极值。 1．（2025·广东中山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，，的面积为． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上的一点，在线段上有一动点，以每秒个单位长度的速度从向运动，（不与点重合），过点作，交轴于点，设点的运动时间为秒，试把的面积表示成的函数，当为何值时，有最大值，并求出最大值； (3)设点是抛物线上异于点的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，以为直径画，则在点的运动过程中，是否存在与轴相切的？若存在；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为：； (2)，当时，有最大值，最大值为； (3)存在，点的坐标为或或或，理由见详解 【分析】（1）设，则，，由几何图形面积计算即可得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到是等腰直角三角形，，如图所示，过点作轴于点，作轴于点，则，，，，由代入计算，再结合二次函数求最值的方法计算即可求解； （3）根据图得到点到对称轴的距离为，，由此分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设，则， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线的对称轴直线为，， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， ∴，， ∴，，， ∴ ， ∵点在线段上以每秒个单位长度的速度从向运动，（不与点重合）， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， ∴设，且对称轴直线为， ∴点到对称轴的距离为， 如图所示， ∴， ①当时，即， ∴，整理得，， 解得，（舍去，不符合题意）， ∴； ②当时，即， ∴，整理得，， 解得，（舍去，不符合题意）； ∴； ③当时，即， ∴，整理得，， 解得，（舍去，不符合题意）； ∴； ④当时，即， ∴，整理得，， 解得，（舍去，不符合题意）； ∴； 综上所述，存在，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，二次函数的最值问题，三角形的面积，以及二次函数的对称性，点到直线的距离的表示，绝对值方程的讨论求解，掌握待定系数法求解析式，二次函数图形面积的计算，二次函数与圆的综合，圆与直线相切的理解等知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． 2．（2026·甘肃白银·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在轴上，且，动点在过三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为，面积的最大值为8 【分析】（1）根据点的坐标为，即可求出，，再求出点，，利用待定系数法即可求出函数的解析式； （2）过点作轴，交于点，先求出的函数解析式为，然后设，则，即可得到，根据三角形的面积公式即可得出，根据二次函数的性质可得到当时，有最大值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 设抛物线的函数解析式为， 将，，代入， 得 ，解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：存在， 如图，过点作轴，交于点， 由，，易得直线的函数解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为8，此时， ∴点的坐标为，面积的最大值为8． 3．（2025·江苏常州·三模）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为． (1)求抛物线与直线l的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接、，求当面积最大值时点P的坐标及该面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线l的函数表达式为 (2)的面积最大值为， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线的解析式即可； （2），过点作轴交于，设，则，表示出，从而可得，再由二次函数的性质即可得解； （3），将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于，则为等腰直角三角形，证明，得出，，求得，待定系数法求出直线的解析式为，当时，，即；作点关于直线的对称点，连接交轴于，由轴对称的性质可得，，证明出点为的中点，即可得出，同理可得，直线的解析式为，当时，，即，由此即可得解． 【详解】（1）解：将、、代入二次函数的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 设直线l的函数表达式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线l的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴交于， ∵点P是抛物线上的点且在直线l上方， ∴设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，为，此时； （3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交轴于，作轴于，轴于， 则为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵轴于，轴于，、， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，即； 作点关于直线的对称点，连接交轴于， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵，即， ∴，即点为的中点， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 当时，，即， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式，二次函数综合—面积问题，等腰直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 题型06 抛物线与特殊四边形（平四/菱形/矩形）的探究 通用思路：利用平行四边形对角线互相平分的通性，先求出第四点坐标，再根据特殊四边形的附加条件进行筛选。 关键步骤： 1. 设未知：设已知三点A、B、C，动点D。 2. 用中点：分别以AB、AC、BC为对角线，利用中点坐标公式求出D点坐标。 3. 验定型：若求菱形，验证此时邻边是否相等（AB=AD）；若求矩形，验证此时对角线是否相等（AC=BD）。 答题模板：先定形（求平四） →添条件（加距离公式） →下结论。 1．（2025·江苏苏州·二模）如图①，在平面直角坐标系中，若菱形满足轴，则称该菱形为“标准可放缩菱形”．抛物线与x轴交于点A，B，顶点为点，与y轴交于点交． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若菱形的顶点G与点A重合，点I恰好落在抛物线上，求点I的坐标以及此时菱形的面积； (3)如图②，已知抛物线的顶点为点D，其中，直线与抛物线对称轴右侧的曲线分别交于点P，Q，且P，Q两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点G，I重合． ①求m的值； ②线段的长为______． 【答案】(1) (2)，菱形的面积为或，菱形的面积为 (3)①② 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，解直角三角形，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分点在上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）①设直线与轴分别交于点，求出点坐标，作交的延长线于点，求出，平行线的性质推出，求出点坐标，待定系数法求出的值；②根据的值，得到直线和抛物线的解析式，进而求出的坐标，求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A，B，顶点为点，与y轴交于点交， ∴，把，代入，得：， 解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，解得：， ∴， ∴， ∵菱形，轴， ∴，轴， 当菱形的顶点G与点A重合，点I恰好落在抛物线上时，分两种情况： ①当点在上方时，如图，作轴， 则：， ∴设， ∴，， ∴， ∴，即：， ∵点I恰好落在抛物线上， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴菱形的面积为：； ②当点在下方时，如图， 同理可得：， ∴，解得：或（舍去）， ∴， ∴菱形的面积为：； 综上：，菱形的面积为或，菱形的面积为； （3）①设直线与轴分别交于点， 当时，， ∴， ∴， ∵P，Q两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点G，I重合，如图，作交的延长线于点， ∴轴，， ∴， ∴， ∴设，，则：， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； ②由①可知：直线的解析式为：，抛物线的解析式为：， 联立，解得：或（舍去）， ∴； 联立，解得：或（舍去）， ∴， ∴． 2．（2024·天津河东·一模）在平面直角坐标系中，为原点，直角三角形的顶点，，菱形的顶点．    (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)将菱形沿水平方向向右平移，得到菱形，点的对应点分别为，设，菱形与直角三角形重叠部分的面积为． （ⅰ）如图②，当边分别与相交于点，边与相交于点，边与相交于点，且菱形与直角三角形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； （ⅱ）当时，求的值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2)（ⅰ）；；（ⅱ）； 【分析】（1）根据，根据三角函数求值，设，根据中点坐标公式求出，求出； （2）（ⅰ）分别求出，，，，根据求出结果即可，根据边界点求出t的取值范围即可； （ⅱ）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，画出图形，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 设， ∵，四边形为菱形， ∴， 解得：， ∴． （2）解：（ⅰ）连接，    由点，点，得， ∵点，点，点， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， 菱形中， ， ∴， ， 根据平移可知，，， ∴， ， ， 在中，由，得， ， 同理，得：，， ， ， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴当点恰好在上时，点的横坐标为， 根据平移可知：此时， 当点恰好在y轴上时，， ∴当重叠部分为五边形时，． 的取值范围是； （ⅱ）当时，重叠部分为三角形，如图所示：    过点作轴，则， 根据解析（ⅰ）可知，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 解得：，负值舍去； 当时，重叠部分为五边形，且面积为： ， ∵， ∴当时，取最大值， 当时，， ∴当时，， ∴此时不可能等于； 当时，重叠部分为平行四边形，如图所示：    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上分析可知，当时，的值为；． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，中点坐标公式，解直角三角形，求一次函数解析，等边三角形的判定和性质，二次函数的最值，解题的关键数形结合，注意进行分类讨论． 3．（2025·天津·一模）已知矩形在平面直角坐标系中，点，点，点，把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．交y轴于点M． (1)如图①，求的大小及的长； (2)将矩形沿y轴向上平移，得到矩形，点O，D，E，F的对应点分别为．设． ①如图②，直线与x轴交于点N，若，求t的值； ②若矩形与矩形重叠部分面积为S，当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并写出t的取值范围（直接写出答案即可）． 【答案】(1)，； (2)①1；②（）． 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角函数的有关计算． （1）根据矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，， ，在 中， 即可得出结论； （2）①①由四边形 是矩形，又因为，所以四边形 是平行四边形， ， 即可求解； ②先确定的取值范围，再利用梯形面积减去三角形面积可得： （），即可得出结论． 【详解】（1）解：∵把矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，记交y轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当与重合时， 当过点时，如图， 同理可得： 设 则 由 可得： 经检验：是原方程的根且符合题意， 当重叠部分为五边形时， t的取值范围为 如图，同理可得： 过作，则同理可得 即（）． 考向04 动态变化的临界分析与分类讨论 题型07 线段覆盖率或函数图象分段分析 通用思路：动态过程如果不是匀速或匀变速，必须找出速度或方向发生改变的“临界点（分界点）”。 关键步骤： 1. 求分界：令动点到达拐点或图形边界，解出对应的时间、。 2. 分段建式：在时间区间0~、~、~终点内，分别建立目标量关于时间t的函数关系式。 3. 统结果：将各段函数合并，写成类似于分段函数的形式，并注意各段取值范围是否取端点。 避坑提示：在求总面积最值时，需分别求出各分段区间内的最值，最后进行全局比较，不能想当然认为顶点就是全局最大/最小。 1．（2026·甘肃天水·一模）如图（1），在等腰三角形中，，动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动，连接，当其中一动点到达终点时，两动点同时停止运动．设动点运动的时间为的面积为，图（2）是与的函数关系的图象，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象可知，当点 运动到点 时， 的面积取得最大值 ，过点作垂足为， ，先利用面积求出，再结合等腰三角形性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当点 运动到点 时， 的面积取得最大值 ， 此时如下图，过点作垂足为， ∴， ∵动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动， ∴， ∴的面积为，即， 在直角三角形中，， ∴． 2．（2026·天津西青·一模）在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边、边向终点C运动；动点N同时从点B出发，以的速度沿边向终点C运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： （1）当时，； （2）的最大面积为； （3）t只有一个值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由题意易得，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：，当时，点M在边上，则，当时，点M在边上，则， 当时，此时点M在边上， ∴， ∴，故（1）正确； 当时，过点M作于点E，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为； 当时，过点M作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，的面积为最大，最大值为；故（2）错误； 当时，解得：（负根舍去），符合， 当时，解得：（负根舍去）， ∵， ∴，符合题意； ∴t有两个值满足的面积为，故（3）错误； 综上所述：正确的结论只有一个． 3．（2024·江西赣州·二模）如图1，在矩形中，已知，点是的中点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动，当一个点到达点时，另一点也随之停止运动．连接，，设动点运动的时间为秒，的面积为，图2中的曲线是动点在线段上时与的函数图象． (1)填空： ①__________； ②当时，直接写出S与t的函数解析式为__________． (2)经探究，发现当点在线段上运动时，是关于的二次函数．请求出此时与的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． (3)在整个运动过程中，若存在某3个时刻，，，使得S的值相等． ①求出S的取值范围； ②当时，求S的值． 【答案】(1)①6；②； (2)，自变量t的取值范围为； (3)①；② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，从函数图象获取信息，矩形的性质以及求一次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）①由图2可得时，点在点处，从而可得，即可得解；②由中点得，进而求得当点在上运动时，点在上运动，由，的高为8，利用三角形的面积公式即可得解； （2）根据三角形形的面积公式可得是关于的二次函数； （3）由（1）（2）得，10①对于，当时，，当时，，从而可得；②得，从而根据时刻，，，使得的值相等构造方程求解即可得，进而代入求解即可． 【详解】（1）解：①由图2可得时，点在点处， ， 故答案为：6， ②点是的中点， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向点运动，同时动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线运动， ， 当点在上运动时，点在上运动， ，的高为8， 当时，， 故答案为：； （2）解：如图，当点在线段上运动时， ，， 此时， ， 自变量的取值范围为； （3）解：由（1）（2）得， ①如图，， 对于，当时，， ， 当时， ； ②， ， ， 解得：或（舍去）， 把，代入得： ． 题型08 直线与圆的动态位置关系（相切/相交/相离的临界态） 通用思路：直线或圆在运动过程中，位置关系的改变只发生在“恰好相切”的瞬间。 关键步骤： 1. 画草图：画出初始状态和相切临界状态的示意图，标出已知量和变量。 2. 表距离：用含有变量的代数式表示出“圆心到切线的距离”或“圆心到动点的距离”。 3. 解方程：令该距离等于圆的半径r，解出的变量值即为临界值，最后根据不等式确定所求的范围。 1．（2023·河北沧州·模拟预测）如图1，为的直径，点在线段的延长线上，，动点在上方的上运动（含两点），连接，设．有以下结论： 结论Ⅰ：当线段与只有一个公共点时，的范围是； 结论Ⅱ：当线段与有两个公共点时，如图2，若，则． 下列判断正确的是（    ）    A．Ⅰ和Ⅱ都正确 B．Ⅰ和Ⅱ都错误 C．Ⅰ错误Ⅱ正确 D．Ⅰ正确Ⅱ错误 【答案】A 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系得到故结论Ⅰ正确，根据相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质可得到结论Ⅱ正确． 【详解】解：①∵当点与点重合时， 线段与圆只有一个公共点，此时； ②当线段所在的直线与圆相切时，如图所示， 线段与圆只有一个公共点， ∵，，， ∴， ∴， ∴当线段与只有一个公共点时，的范围是； 故结论Ⅰ正确；    连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， 故结论Ⅱ正确； 故选．    【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角所对的圆周角是直角，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关 2．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为_________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合，如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得． 【详解】如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最小，即此时最小， ∵， ∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小， ∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（2022·广东广州·三模）已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，m）（m＞0），B点坐标为（2，0），以A点为圆心OA为半径作⊙A，将△AOB绕B点顺时针旋转α角（）至处． (1)如图1，m=4，α=，求点的坐标及AB扫过的面积； (2)如图2，当旋转到三点在同一直线上时，求证：是⊙O的切线； (3)如图3，m=2，在旋转过程中，当直线与⊙A相交时，直接写出α的范围． 【答案】(1)（2，2），AB扫过的面积为5π (2)见解析 (3)当直线与⊙A相交时，α的范围为：或 【分析】（1）先判断出旋转后O'B⊥x轴，从而得出点O'的坐标，进而判断出是AB扫过的面积是以AB为半径，圆心角为的扇形的面积， （2）先判断出．即可得出，进而得出即可得出结论； （3）找出与⊙A相切时旋转角的度数即可确定出范围． 【详解】（1）当α=时，⊥x轴， 由旋转知，， ∴（2，2）， 在Rt△AOB中，OB=2，OA=m=4， ∴AB=2 由旋转知，BA绕点B旋转到， ∴AB扫过的面积==5π； （2）由旋转知，AB=A'B， ∴， ∵三点在同一直线上， ∴， 在△AO'B和△A'O'B中， ， ∴， 由旋转知，， ∴， ∴是⊙O的切线； （3）∵m=2， ∴A（0，2）， ∵B（0，2）， ∴OA=OB=2， 当顺时针旋转时，与⊙A相切时，四边形刚好是正方形， ∴，与⊙A相交， 同理：时，与⊙A相交， 即：当直线与⊙A相交时，α的范围为：或． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，切线的判定，勾股定理，解本题的关键判断出，，是一道中等难度的中考常考题． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在直角三角形中，，，．动点以每秒1个单位从点出发沿运动；动点以每秒1个单位从点出发沿运动．若点、同时出发，当其中一动点运动到点时另一点停止运动，则的面积S与运动时间之间的函数图形大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点Q在线段上和当点Q在线段上时，然后分别表示出，，然后根据三角形面积公式表示出S，然后根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】∵在直角三角形中，，，， ∴， 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 当点Q在线段上时，即时，如图所示，过点Q作交于点P， ∵根据题意得，，， ∴，即， ∴， ∴的面积； 综上所述，， 故选：A． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，二次函数动点问题，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2026·安徽合肥·一模）如图，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿着向点运动，同时动点从点出发以的速度沿向点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也同时停止．将四边形以直线为轴进行翻折，得到四边形 ，则下列结论错误的是（   ） A．若交对角线于点，则 B．若点 在边上时， C．若射线经过点，则线段、互相平分 D．若， ，点、两点间距离最小为 【答案】D 【分析】根据点、的运动速度可知，根据矩形的性质可以判断，根据相似三角形的性质可得；若点在边上时，四边形 为矩形，根据点、的运动速度可知；若射线经过点，可知，，，可证，根据全等三角形对应边相等可证、互相平分；连接交于点，连接，作于点，可得点 在以为圆心，以为半径的圆弧上，当垂直平分时，点、两点间距离最小为． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知， 又， ， ， 故A选项正确； 如下图所示，若点在边上时，四边形 为矩形， ， ， 故B选项正确； 如下图所示， 若射线经过点， 则， ， 设 ，则， ，   ， 又， ， ，    ， ，， 、互相平分， 故C选项正确； 如下图所示，连接交于点，连接，作于点， ，， ，，， ， ， ， ， 点 在以为圆心，以为半径的圆弧上， ， ， 垂直平分， 即， 点、两点间距离最小为， 故D选项错误． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理． 根据图象可得，当点P在上，点Q在上运动时，过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离．通过“”证明，得到，从而当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时，根据勾股定理求出的长，即可得到，从而解答． 【详解】解：由图可知，当点P从点O向点A，点Q从点O向点C运动时，间距离y逐渐增大， 当点P运动到点A，点Q运动到点C时，由图象可知， ∴， ∵四边形四边形是平行四边形， ∴， 此时它们运动了， 当点P在上，点Q在上运动时， 过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离 ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P，Q的运动速度相同， ∴当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时， 根据图象可知点P从点A运动至点E，需要， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：B 4．（2025·山东日照·三模）如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，证明，推出，则点在以为直径的圆上运动，设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点，此时有最小值，等于的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ，， 又， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点， 此时有最小值，等于的长， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 5．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形中，，动点N从A出发，沿边向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边向点C匀速运动，连接．动点N，M同时出发，点N运动速度为，点M的运动速度为，且．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形沿翻折，得到四边形．若在某一时刻，点B的对应点恰好与的中点重合，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设交于点，设，利用勾股定理求出（用表示），再利用相似三角形的性质求出（用表示），可得结论． 【详解】解：如图，设交于点，设， ， 可以假设，， 四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 由翻折的性质可知，，，，， 在中，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．（2026·天津河东·一模）平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题中的点，运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函数图象与性质讨论求解． 【详解】解：当时，， ， ， 则，且， 四边形是平行四边形， 在平行四边形中，， 则，故①正确； ，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动， 走完用时（秒）， 过点作，如图所示： 在中，，则， ，则由勾股定理可得， 当时，，则， 当时，的最大面积为； 当时，过点作，过点作，如图所示： ，， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， ， 在平行四边形中，，则， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 则， ， 由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小， 当时，有最大值，为； 综上所述，当时，的最大面积为，故②正确； 由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达， 点，总共运动时间为秒， 由②的判定过程可知，当时，的最大面积为， ， 解得； 当时，， 解得或； 综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误； 则题中正确结论是①②，共2个． 二、填空题 7．（2025·陕西西安·一模）如图，在矩形中，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离. 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动，作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得到答案. 【详解】解：在矩形中，，，， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， 如图，连接 点在以为圆心，以为半径的圆在与矩形重合的弧上运动， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， 此时的值最小， ，， ， 的最小值为， 故答案为：. 8．（2025·黑龙江牡丹江·一模）如图，在菱形中，，点是边的中点，点是平面内一个动点，且，点是上的一个动点，连接，则的最大值为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，线段垂直平分线的性质，难度较大，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作的垂线，交延长线于点，交于点，连接，证明出垂直平分，则，则问题化为，然后解直角三角形进行求解即可． 【详解】解：过点作的垂线，交延长线于点，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 当点四点共线时，取得最小值，即为， ∵，为中点， ∴， ∴， 即最小值为8， 故答案为：8． 9．（2025·广西防城港·模拟预测）如图，在梯形中，，点为上方一动点，连接、，以点为圆心作的半径为2，点为上一动点，连接、，则的最大值为_________ 【答案】14 【分析】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，等边三角形的性质与判定，连接，再作的外接圆，可证明为等边三角形，得到，则D为的外接圆圆心，当点D在线段上时，有最大长度，当点E在线段上时，有最大值，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接，再作的外接圆， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴D为的外接圆圆心， ∴当点D在线段上时，有最大长度，最大值为， ∴当点E在线段上时，最大为． 故答案为：14． 10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在菱形中，，，为上一动点，为上一动点，且，连接，，，是的中点，则点从点到点的运动过程中，点运动轨迹的长为________． 【答案】 【分析】考虑点和点重合以及点和点重合这两种特殊情况，分析得点的运动轨迹为一条线段，连接、交于点，则得点的运动轨迹为的中位线，结合菱形的性质和解直角三角形计算即可 ． 【详解】解：当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 当点和点重合时，，点和点重合，点为的中点，如下图所示， 因此点的运动轨迹为一条线段，如下图所示， 连接、交于点，如下图所示，则点的运动轨迹为的中位线， 四边形是菱形， ，、互相平分， ， 是等边三角形， ， ， ， 点运动轨迹的长为． 11．（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．P为第三象限内抛物线上一动点，作轴于点D，交于点E，点G为y轴上一动点，过点E作，设点P的横坐标为m，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】作轴于点H，利用可得，则转化为，求出点A，C的坐标，进而求出直线的解析式，用含m的式子表示出，转化为顶点式，即可求出最值． 【详解】解：如图，作轴于点H， 令， 解得，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线的解析式为； 点P的横坐标为m， 点P的坐标为，点E的坐标为， ，，， ， ， ， 的最大值为4． 12．（2022·江苏无锡·二模）如图，矩形中，，，，分别是，上的动点，，是的中点，为上的动点，连接，．则的最小值等于________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了最短距离问题、矩形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，灵活运用轴对称的性质解决最值问题是解题的关键． 如图：作点A关于的对称点，连接，则，当在同一直线上时，的最小值等于的长，求得的长，即可得到的最小值． 【详解】解：如图：作点A关于的对称点，连接，则，， ∴， ∴当在同一直线上时，的最小值等于的长， 在中， ， ∴， ∴的最小值等于4． 故答案为4． 三、解答题 13．（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点． (1)填空：的长是______，的长是______； (2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S． ①当时，求S的值； ②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)10，6 (2)①；② (3)或8或 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题； （2）①如图中， 作轴于，连接，当时，点与重合，求的面积； ②如图中， 当时，点在线段上，，作于， 于，则，由， 推出 即，可得，由此即可解决问题； （3）分三种情形①当点在边长上，点在上时；②如图中，当、在线段上相遇之前，作于， 则，列出方程即可解决问题；③同法当、在线段上相遇之后，列出方程即可； 【详解】（1）解：在中， ， ， ∴， 故答案为： ， ； （2）①解：如图， 作轴于，连接， ， ， 在中，， 当时，点与重合，， ，即， ②如图中，设点的纵坐标为，当点在线段上，，作于， 于，则， ， ， ∵， ， ， ∵点在线段上， ， ； （3）解：①当点在边上， 点在上时， ， 解得(负根已经舍弃)； ②如图3中，当、在线段上，相遇之前， 作于E， 则， 由题意得， 解得 同法当、在线段上，相遇之后， 由题意得， 解得 ， 综上所述，若，此时的值或或 【点睛】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题. 14．（24-25九年级下·重庆万州·月考）在平面直角坐标系中，抛物线（）的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是直线上方抛物线上的一个动点，连接、；点为轴上的一个动点，点为轴上的一个动点，连接、、．当的面积取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿射线的方向平移得到新抛物线，使得新抛物线经过点，且与直线相交于另一点，点为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有点的坐标． 【答案】(1) (2)，周长的最小值 (3)或 【分析】（1）将、、的坐标代入解析式，即可求解； （2）过点作轴于，交直线于，由待定系数法得直线的解析式为，设，由得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； 过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小，即可求解； （3）由正切函数得，由勾股定理得，设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线，可得原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位，平移后的二次函数，将代入可求的值，联立此抛物线和直线的解析式可求，①当在直线的上方，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于，由可判定，由三角形的性质得，，由正切函数及勾股定理得 ，可求 ，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标； ②当在直线的下方，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于，同理可求直线的解析式为，设，由勾股定理得，可求出的值，从而可求 ，同理可求直线的解析式为，联立此直线与的解析式即可求出的坐标． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， ； （2）解：过点作轴于，交直线于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 故的最大值，； 如图，过点分别作轴、轴的对称点、，连接交轴于点交轴于点，则此时周长最小， 周长为 （3）解：，， ，， ， ， 设将抛物线沿射线的方向平移（）个单位得到新抛物线， 原抛物线水平向右平移个单位，向下平移个单位， ， 经过， ， 整理得：， 解得：，， ， 联立， 解得：或， ， ①当在直线的上方， 如图，连接，过点作轴交于，作轴交的延长线于，过作轴于， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； ②当在直线的下方， 如图，过点作轴交于，作轴交于，过作轴于， 由①同理可求：， ， 同理可求直线的解析式为， 设， ， ， ， ， 解得：，， 当时， ， 不合题意舍去， 当时， ， ， 同理可求直线的解析式为， 联立， 解得：或， ； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________； (3)如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值； (4)如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________． 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，最大，最大面积为； (4)． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设，由是以为底边的等腰三角形，得，进而得，，解得，从而代入得，，即可得解； （3）利用待定系数法求得直线为，过作轴交直线于点，设，则，，进而利用铅锤法构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （4）连接，，过作轴于点，在射线上取，连接，证明（）得，从而得当点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， ∵当是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴ 解得， ∵在上， ∴ 解得， 当时，， 当时，， ∴或； （3）解：设直线为， ∵，， ∴ 解得， ∴直线为， 如图，过作轴交直线于点， 设，则， ， ∵，， ∴， ∴当时，最大，最大面积为； （4）解：连接，，过作轴于点，在射线上取，连接， ∵，， ∴轴， ∴， ∵轴 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴（） ∴， ∴当点、、三点共线时，的值最小， 最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短是解题的关键． 16．（2026·重庆·模拟预测）如图，在矩形中，点是中点，连接，过作交于点．动点以每秒2个单位长度的速度沿的方向匀速运动，同时动点从出发以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动，当有一个动点到达点时两个动点同时停止运动．点为射线上一点且满足．已知，连接．记为，线段的长度为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图像，并写出的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了矩形的性质、函数表达式和函数图像及性质，根据题意能分段表示出是解题的关键． （1）根据矩形的性质求出、、、、的长度，并分段表示出、、时，则的函数解析式即可求出；过点Q作，利用相似的性质求出，并表示出，化简即可求出的函数解析式； （2）利用描点法分段画出的图像即可，利用描点、连线法也可画出的图像，根据图像可看出的性质，如最值、增减性等； （3）根据与的图像交点位置，看看出时的取值范围． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点是中点， ∴，， ∴， ∴，点Q最长的运动时间为秒， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即为的中位线， ∴，， ∴点P最长的运动时间为秒， ∵当有一个动点到达C点时两个动点同时停止运动， ∴点P，Q最长的运动时间为13秒， 当点P在线段上，即时，如图1，点P在上，， 则； 当点P在线段上，即时，如图2，点P在上，过点C作，则， ∵， ∴， ∴； 当点P在线段上，即时，如图3，点P在上，过点O作， ，， ∴； ∴； 如图4，过点Q作，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即； （2）解：的图像如图所示，结合图像可知的最大值为60（答案不唯一）； （3）解：根据图像，可知当时的取值范围是或， 故答案为：或． 17．（2025·重庆·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于，两点，点D为x轴负半轴上一点，且，直线与抛物线交于另一点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作轴交于点F，过点P作轴交y轴于点G，点M，N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且，点H为直线上的一个动点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； (3)如图2，在（2）的条件下，连接，将抛物线沿着的方向平移个单位得，点Q是新抛物线的对称轴上的一个动点，当时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中一个Q点坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)的最小值为：． (3)的坐标为：或 【分析】（1）把，代入，再建立方程组求解即可； （2）如图，求解直线为：，可得，设，则，其中，，利用二次函数的性质可得，如图，过作交于，而轴，可得，作关于轴的对称点，则，，当于时，与轴交于点，可得，此时最小，再进一步求解即可； （3）求解，可得，可得将抛物线沿着的方向平移个单位得，即把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，可得平移后抛物线为，如图，，，可得，过作，交原抛物线于，而轴，证明，取，连接，证明，结合，证明，过作于，求解，取的中点，作直线，同理可得：的解析式为，在上取点，使，可得，，以为圆心，为半径画圆，则，设，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， 设，则，其中， ∴， 当时，最大， ∴， 如图，过作交于，而轴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 作关于轴的对称点，则，， 当于时，与轴交于点， ∴，此时最小， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∴，， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴把代入得：， 解得：， ∴直线为， ∴，解得：， ∴， ∴， 即：的最小值为：． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴将抛物线沿着的方向平移个单位得，即把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后抛物线为，对称轴为直线， 如图，矩形中，，，分别在上，且，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而，， 如图，，， 由原理得：， 过作，交原抛物线于，而轴， ∴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 取，连接， ∴， ∴，而轴， ∴， ∵直线为， ∴， ∴， ∴， 过作于， 由勾股定理可得：，， ∴， ∴，， ∴， 取的中点，作直线，同理可得：的解析式为， ∴，， 在上取点，使， ∴，， 以为圆心，为半径画圆，则 ， 设， ∴， 解得：，， ∴，， 设，而， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 同理可得：， 综上：的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与线段周长问题，轴对称的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 18．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，其中，． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点为直线下方抛物线上一动点，过作轴交于点，点是轴上一动点，点是上一动点．请求出当取最大值时点的坐标，及此时的最小值； (3)如图2，在（2）条件下，将该抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使新抛物线经过点．点为新抛物线对称轴上的一个动点，对称轴与轴交于点，过作交轴的正半轴于点，连接，．当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 【答案】(1) (2)；此时的最小值 (3)，，，见解析 【分析】（1）根据题意得到点、的坐标，然后利用待定系数法即可求得答案； （2）先利用待定系数法求得直线的表达式，作轴于点，可推出，设，则，表示出和，然后把用表示出来，根据二次函数的性质推出最大值时的值，得到点的坐标；然后利用轴对称作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，可知当、、、共线时，取得最小值，即可得到答案； （3）根据题意可推出原抛物线水平方向上向右平移了3个单位，即新抛物线的对称轴为直线，设，直线的表达式为，根据求得的表达式，得到点，结合和平行线的性质可证，从而得到，然后分点在轴的上方和下方，代入比例式求得值即可． 【详解】（1）解：，， ，， 将，代入，得， ， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：由（1）可知，抛物线的表达式为，且交轴于点， 当时，， ， 设直线的表达式为， 则， 解得， 直线的表达式为； 延长交x轴于点，如图所示，则， ，， ， ，即， ，即， 设，则， ，， ， ，点为直线下方抛物线上的一动点，即， 当时，最大，此时， ； 作点关于轴的对称点，连接，作点关于直线的对称点，连接，，，如图所示， 则，，，， ， ，即轴， ， ， 当、、、共线时，取得最小值， 最小值为． （3）解：由（1）可知，抛物线的表达式为， 原抛物线的对称轴为直线； 由（2）可知，点的横坐标为3，， 将该抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使新抛物线经过点， 原抛物线水平方向上向右平移了3个单位，即新抛物线的对称轴为直线； 点为新抛物线对称轴上的一个动点，对称轴与轴交于点， ， 设，直线的表达式为，直线的表达式为， ， ，即， ， ， 将代入，得，即， 直线的表达式为， 点在轴的正半轴， ； ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ①当点在轴的上方时，此时， 则，整理得， 解得， ， ； ②当点在轴的下方时，此时， 则，整理得， 解得， 符合条件的点坐标为，，． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的图像的平移，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，两点之间线段最短，灵活应用以上知识点是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点07动态问题 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/考向预测 第二部分重难要点賠剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知★技巧点拨 ★类题夯基 考向01动点与动线段的最值/存在性问题 考向02图形的平移、旋转与折叠（动图问题） 考向03二次函数与几何综合中的点动问题 考向04动态变化的临界分析与分类讨论 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 --◆分分)◆ 重●难●考●向●解●读 一、2023、2024、2025年考法解读 纵观近三年全国中考数学压轴题，动态问题的命题呈现“重情境创设、重过程探究、重多思少算” 的鲜明特点： 1.题型分布：选择题、填空题侧重考查单一动点引起的函数图象分析（如面积、线段长度随时间的 变化图象)；解答题则全面覆盖动点、动图（平移/旋转/折叠）以及函数中的点动探究，单题分值高达 10-12分。 2.核心考点：不再局限于传统的“两点距离”或“三角形存在性”，而是向“主从联动（瓜豆原理）”、 “几何图形与反比例函数综合的动态分析”等高阶思维过渡。 3.命题偏好：命题人极度偏爱在“图形运动的临界位置”和“函数关系式的定义域边界”设置陷阱， 全面考查学生的数形结合与分类讨论能力。 二、2026年考法预测 基于对近年命题演变的洞察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1. 命题趋势展望 (1)从“单一运动”向“复合运动”过渡：预计2026年会出现更多“平移+旋转”或“动点+动直线” 的复合型动态题，对学生的空间想象能力要求更高。 (2)代数验证几何的倾向加剧：单纯的几何直观推导得分空间将被压缩，更多题目需要学生通过建立 直角坐标系，用代数坐标和方程去精确验证动态猜想。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)新定义与动态规则结合：预计将出现结合“闭包”、“等幂和”等新定义背景的动态操作题，实 质上考查学生在未知规则下的即时建模能力。 2.2026年备考策略建议 (1)狠抓“化动为静”基本功：教导学生面对动态问题，第一反应是“画出特殊位置（起点、终点、 临界点)的静态图解”，以静制动。 (2)强化“用字母表示数”的肌肉记忆：无论是动点坐标还是动图产生的线段，强制学生用含参代数 式(vt什s)精准表达，将几何等量关系翻译为代数方程。 (3)固化“分类讨论”触发机制：遇中点想两侧，遇直角想双解，遇等腰三角形想顶/底角。建立严密 的分类逻辑树，杜绝漏解。 重●难●要●点●剖●析 考向01动点与动线段的最值/存在性问题 。题型01单动点起的线段长度最值 回棉豪妙计 通用思路：将动态线段的长度表示为时间的二次函数，或寻找其在运动过程中的恒定不变关系（如隐形 圆)。 关键步骤： 1. 设时间：设运动时间为t(确保t在定义域内)。 2. 表线段：用含t的代数式精准表示出目标动线段的长度。 3. 求最值： (1)若为二次函数型，配方或利用顶点公式求最值； (2)若为几何轨迹型（如点到直线距离），则当垂直时取得最小值。 避坑提示：求得的t值必须代回检验，确保点在实际存在的线段或图形内部。 1. (2025·河南周口一模)综合与实践 “几何画板”是一种常用的几何画图软件，利用“几何画板”可以非常直观、快捷、准确地探究图形的性质. 6 图1 图3 图4 (1)操作发现，尝试探究 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图1，小颖在“几何画板”上先画了两条互相垂直的直线，b(交点为O),接着画了等边三角形ABC ,其中点A,B分别在直线a,b上，点C在BA右侧，连接OC.固定点A,使OA=4cm,让点B在 直线b上运动，发现线段0C存在最小值.为了求出线段0C的最小值，小颖又画了等边三角形OAD(点 D在OA下方)，并连接DB,如图2，得到DB与0OC的数量关系为，线段OC的最小值为Cm. (2)变换条件，再次探究 如图3，小颖改变了直线α，b的位置关系，使两直线所夹锐角为60°，其他条件不变，当点B在直线b 上运动时，求线段OC的最小值. (3)拓展变化，深度探究 如图4，小颖将(1)中的条件“等边三角形ABC”改为“以AB为直角边的等腰直角三角形”，其他条件不 变，当点B在直线b上运动时，请直接写出线段0C的最小值. 2.(2024江苏盐城三模)【提出问题】 如图1，在Rt△ABC中，LB=90°，AB+BC=4,求AC的最小值. 图1 图2 图3 【分析问题】 下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设AB=x,表 示出AC或者AC2,利用函数知识 小红：从几何角度看，延长CB到点D,使得BD=AB,则CD=4,连接DA 【解决问题】 求AC的最小值.（可参考小明与小红的思路） 【深入探究】 如图2，∠ABC=90°，AB=2,点P从点A出发沿线段AB向点B匀速运动，同时点Q从点B出发沿射 线BC匀速运动，点Q的速度是点P的两倍，连接PQ,取PQ的中点D,连接BD,在P、Q运动过程中， 线段BD的最小值是· 【拓展提升】 如图3，∠ABC=120°，AB=3,，点M从点A出发沿线段AB向点B运动，同时点N从点B出发沿射线 BC匀速运动，点N的速度是点M的两倍，当点M到达点B时，点N停止运动，连接MN,点T是线 段MN上一点，且NT=2MT,连接BT,在M、N运动过程中，求线段BT的最小值. 3.(2025·吉林松原·三模)【问题出示】 (1)如图①，在等腰三角形ABC中，∠BAC=30°，BC=BA=16,点M是直线AC上的动点，线段 BM的最小值是 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题探究】 (2)如图②，线段BM最短时，在(1)的条件下，线段BN是△ABM的角平分线，点P、Q分别在边 BN、BM上运动，连接MP、OP,MP+OP的最小值是 ； 【问题拓展】 (3)如图③，线段BM最短时，在(1)的条件下，点E在边CM上运动，连接BE,将线段BE绕点B 顺时针旋转60°，得到线段BF,连接MF,求线段MF的最小值. B B B M M ME 图① 图② 图③ 题型02双动点发的几何图形在性（等腰直角相似） 回棉豪妙计 通用思路：由于动点多，情况复杂，必须先明确哪个点是“定点”，哪个是“动点”，并按顶点进行分 类讨论。 关键步骤： 1. 定分类：明确要构成的图形，确定谁作为顶点，分情况讨论。 2. 列方程：利用两点间距离公式d=V《x2-x)+(y,-),将几何等量关系转化为代数方程。 3. 求检验：解方程，并将解代回原图，剔除共线或退化的无效解。 核心公式：两点间距离公式；等腰三角形的两腰相等；勾股定理逆定理。 (2026山东济南一模)已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=上的图象交于点A-3,m), B(1,-3);与x轴交于点C. 备用图 (1)求一次函数和反比例函数的表达式： / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若点P在y轴上，且满足SA4oB 2SAsc,求点P的坐标： (3)我们将有一个内角为45°的三角形称为“半直角三角形”，这个45°角所对的边为“半直角边”.反比例函 数y=上在第四象限的图象上是否存在点Q,使得△0BQ是不以OB为半直角边”的“半直角三角形”？ 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 2.(2024湖南一模)如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E是CD边上一点，连接AE,将矩形 ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G. E 图1 图2 (I)求线段CE的长： (2)求证：四边形AFGD为菱形； (3)如图2，M,N分别是线段AG,DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DAM,设DN=x.是 否存在这样的点N,使aDMW是以MN为斜边的直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说 明理由， 3.(2025湖北恩施一模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,且抛物线经过点 A(-1,0)和C(0,-3)两点，且抛物线与x轴交另一点B 图1 备用图 (1)求抛物线解析式： (2)如图1，在抛物线上有点P,过点A过PC的平行线交y轴与点M,若△PCM是以MC为底的等腰三 角形，求点P的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点Q,使得△CAQ中有一个角是LOBC的2倍，若存在，求出点P的坐标，若 不存在，请说明理由. 考向02图形的平移、旋转与折叠（动图问题） 。题型03图形的平移与滚动（如正多边形在直线上滚动） 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 回佛豪妙什 通用思路：图形平移的本质是“所有点发生相同的位移”；滚动问题的核心在于找到“旋转中心”和“旋 转角”。 关键步骤： 1. 找周期：分析图形完成一次完整运动（如滚动一周）所需的路程或次数。 2. 定余数：用总路程除以周期，确定最终停留的位置处于当前周期的哪个阶段。 3. 算坐标：针对该阶段，计算关键顶点相对于起始位置的横向/纵向总位移量，叠加初始坐标。 答题模板：初始坐标(xy)一计算单次位移（△x,△y)一乘以周期倍数一加上余下位移。 1. (2026江苏连云港模拟预测)在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和 大于0的点称为“可余点”.将某“可余点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得 的余数（当余数为0时，向右平移：当余数为1时，向上平移：当余数为2时，向左平移），每次平移 1个单位长度 例：“可余点”P(2,1按上述规则连续平移3次后，到达点P(2,2),其平移过程如下. P(2,1(3,B3,2(2,2刘 1 若“可余点”0按上述规则连续平移20次后，到达点Q2（-5,16),则点0的坐标为 2.(2026浙江金华.一模)我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形 的平移距离.已知点A(m,n)为平面直角坐标系内一点. (1)若将点A(m,)先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A,求点A的平移距离AA'的长度； (2)将直线：y=x+1平移得直线1'，设直线1上任意一点A(m,m)平移后的对应点为A.若直线1的平移距 离AA'=3√2，且直线AA'平行于第二、四象限的角平分线，求直线I的函数表达式： (3)将抛物线y=x2-4x沿着射线y=2x(x≥0)方向平移得到抛物线⅓，=x2+x+c,当0≤x≤4时，抛物线 ,=x+bx+c上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线的平移距离d的取值范围. 3.(2025江苏苏州一模)(1)如图①，CD=m,DE=n,CE=p,线段AB沿CD方向平移，平移的 距离为m,得到线段AB,线段A,B沿DE方向平移，平移的距离为n,得到线段A,B2,则线段A,B,可 看作线段AB沿 方向平移得到，平移的距离为 D n E A B B B B 图① 图② 图③ 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图②，O,O2=q,线段AB经过关于点O的中心对称，得到线段AB,线段AB经过关于点Q的 中心对称，得到线段A,B2,则线段AB,可看作线段AB经过一次平移得到（点A的对应点为点A,点B 的对应点为点B),试写出平移的方向和距离（平移距离用含9的代数式表示），并说明理由， (3)如图③，线段AB绕点O按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段AB,线段AB,绕点Q按逆 时针方向旋转，旋转角为B,得到线段A,B,(α+B<180).试判断线段A,B2能否看作线段AB经过一次 旋转得到（点A的对应点为点A,点B的对应点为点B),如果能，请用尺规作图确定旋转中心0（要 求：保留作图痕迹，不写作法)，并求出旋转角， 题型04几何图形的折叠（轴对称）问题 回锦豪妙计 通用思路：折叠的本质是轴对称，折叠前后对应的线段和角度完全相等，通常能构造出特殊的直角三角 形。 关键步骤： 1. 标相等：在图中直接标出折叠产生的相等线段和相等角度。 2. 设未知量：通常设所求线段为x,并用x的代数式表示出其他相关线段（特别是直角三角形的三边） 3. 列方程：在折叠新构成的直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的一元一次方程并求解。 4. 核心结论：折叠必产生全等三角形；折叠角与原有角叠加常能得到90°或60°等特殊角。 (2025江苏盐城三模)综合与实践 综合与实践 打印纸中的数学：我们生活中常见的A4纸是由国际标准化组织的IS0216定义的， 规格21cm×29.7cm,世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准， 背景 我们通过计算发现A4纸的长、宽之比约为1.414：1，猜想A4纸的长、宽之比为 √2：1，我们取一张A4纸，记为矩形ABCD,并通过以下几种折纸操作证明这一结 论. 操 折叠一：如图1，E是A4纸AD边上一点，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A的对 作 应点恰好落在BC边上，另一张A4纸BEFG的长边恰好与BE重合。 操 折叠二：如图2，E,N分别是A4纸AD,CD边上一点，先将矩形ABCD沿BE 作 折叠，使点A的对应点恰好落在BC边上，再继续沿BN折叠，使点E的对应点 E·落在BC边上，点D的对应点为点D,发现此时点E与点C重合。 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A'C(E 图1 图2 图3 图4 折叠三：如图3，E,G是A4纸AD边上的点，将矩形ABCD沿BE折叠，使点A的 对应点A落在BC边上，然后将矩形ABCD展开，再将矩形ABCD沿CG折叠，使 操 点D的对应点D恰好落在BC边上，然后将矩形ABCD展开，折痕BE与CG交于 作 点O.如图4，将如图3的纸片沿BG,CE折叠，发现AB与OB重合，CD与CO重 三 合 问题解决 任务 根据折叠一中的图1，求图1中BE 的值为； AB 任务 根据折叠二中的图2，若矩形ABCD边长AB=2,则DN长度为； 2 任 务 根据折叠三中的图4，连接D0并延长交BG于不，求O5 OD 2. (2025·广东珠海三模)综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，真智学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为√2 的矩形. 【定义】若一个四边形为矩形，且相邻边的比为√2，则这个四边形为类A4矩形. 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？ 【分析并解决问题】 (1)真智学习小组利用一张A4纸ABCD(BC>AB)对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示， 求证：四边形CDMN是类A4矩形； M D 折叠 B B 图1 (2)真智学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD,DE,再将其沿FG折叠， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示.求证：四边形CDFG是类A4矩形； 图2 【拓展】 (3)如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分BD,AC=2,BD=2,点E,F,G,H分别是 边AB,BC,CD,DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，再沿 FG,GH折叠，使得点C,D的对应点分别落在AC,BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写 出EF的值. (备用图) 图3 3.(2026天津河西.一模)在平面直角坐标系中，0为原点，0ABC是一个平行四边形纸片，顶点 4号引，90，点C在第二象限 图① 图② (I)如图①，填空：OA的长是 ,点C的坐标是 ,AB的长是 (2)若P为BC边上一动点，过点P作直线PQ平行于y轴，交CO边于点Q,沿直线PQ折叠该纸片，折叠 后点C的对应点为点D.设CP=t. ①如图②，当点D落在平行四边形OABC纸片上时.试用含有t的式子表示折叠后重叠部分的面积S, 并直接写出t的取值范围； ②当直线PQ与y轴重合时，求折叠后重叠部分的面积（直接写出结果即可）· 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考向03二次函数与几何综合中的点动问题 《题型05抛物线上的动点构成的形面积最值 回棉豪妙竹 通用思路：求坐标系中不规则三角形的面积，一律采用“铅锤高×水平宽÷2”的割补法。 关键步骤： 1. 设点坐标：设动点为Pt,at2+bt+c（若在抛物线上)或Q(1,b1+c（若在直线上)。 2. 作垂线：过动点作x轴的垂线（或平行于y轴的直线），将原三角形分割为两个共顶点的小三角形。 3. 表面积：面积S=k-小以，-。小整理成关于1的二次函数，求顶点极信。 (2025广东中山一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点， OA:OB=1:5,OB=OC,△ABC的面积为15. B (备用图) (1)求此抛物线的函数表达式： (2)点P(2,-3)是抛物线对称轴上的一点，在线段0C上有一动点M,以每秒2个单位长度的速度从0向 C运动，（不与点O,C重合），过点M作MH‖BC,交x轴于点H,设点M的运动时间为t秒，试把 △PMH的面积S表示成t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值： (3)设点E是抛物线上异于点A,B的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,以EF为直 径画⊙Q,则在点E的运动过程中，是否存在与x轴相切的⊙Q?若存在；若不存在，请说明理由， 2.(2026甘肃白银模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，已知点C的坐标为(0,4)，点A,B在x轴上， 且0A=0C=40B,动点P在过A,B,C三点的抛物线上. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的函数解析式. (2)在直线AC上方的抛物线上是否存在点P,使得△PAC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及 △PAC面积的最大值；若不存在，请说明理由. 3.（2025江苏常州三模)如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点 C.直线1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点E,点D的坐标为4,3. B (备用图) (1)求抛物线与直线1的函数表达式； (2)若点P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA、PD,求当△PAD面积最大值时点P的坐标及该 面积的最大值； (3)若点Q是y轴上的点，且∠AD0=45°，求点Q的坐标. 。题型06抛物线与特殊四边形（平四菱形矩购的探究 回棉豪妙计 通用思路：利用平行四边形对角线互相平分的通性，先求出第四点坐标，再根据特殊四边形的附加条件 进行筛选。 关键步骤： 1.设未知：设已知三点A(x,y)、B(x2,y2)、C(x,),动点D(x,y)。 2. 用中点：分别以AB、AC、BC为对角线，利用中点坐标公式求出D点坐标。 3. 验定型：若求菱形，验证此时邻边是否相等(AB=AD):若求矩形，验证此时对角线是否相等(AC=BD) 答题模板：先定形（求平四）→添条件（加距离公式）→下结论。 1. (2025-江苏苏州：二模)如图①，在平面直角坐标系中，若菱形FGH满足anG= ,GH∥x轴，则称该 菱形为“标准可放缩菱形”.抛物线y,=ax2+bx+c与x轴交于点A,B,顶点为点C(1,-4),与y轴交于 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点交E(0,-3). G 图① 图② (1)求二次函数y=ax2+bx+c的函数表达式； (2)若菱形FGHⅢ的顶点G与点A重合，点I恰好落在抛物线y,=ax2+bx+c上，求点I的坐标以及此时 菱形FGHl的面积； (3)如图②，已知抛物线乃=a(x-1-m+)m-4的顶点为点D,其中m>0,直线y=m-8m与抛物线 3 y,2对称轴右侧的曲线分别交于点P,Q,且P,Q两点分别与“标准可放缩菱形”的顶点G,I重合. ①求m的值； ②线段PQ的长为· 2.(2024天津河东一模)在平面直角坐标系中，0为原点，直角三角形0AB的顶点A2√3,0)， ∠BA0=30°，菱形CDEF的顶点C(0,1,E(-2V5,,F(-V5,0): B M D 0 A 图① 图② (1)填空：如图①，点B的坐标为，点D的坐标为 (2)将菱形CDEF沿水平方向向右平移，得到菱形CD'E'F',点C,D,E,F的对应点分别为C',D',E,F', 设FF'=t,菱形CD'E'F'与直角三角形OAB重叠部分的面积为S. (i)如图②，当边DE'分别与AB、OB相交于点M、N,边E'F'与OB相交于点P,边F'C与AB相 交于点Q,且菱形CD'E'F'与直角三角形OAB重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S,并直接 写出t的取值范围： ()当5-5时，求的值（直接写出结果即可）， 3.(2025·天津.一模)己知矩形0ABC在平面直角坐标系中，点41,0)，点C(0,2),点0(0,0)，把矩形 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OABC绕点O顺时针旋转135°，得到矩形ODEF,点A,B,C的对应点分别为D,E,F.DE交y轴 于点M. 图① 图② (I)如图①，求∠FOM的大小及OM的长； (2)将矩形ODEF沿y轴向上平移，得到矩形O'D'E'F',点O,D,E,F的对应点分别为0'，D',E',F'.设 00'=t(0<t≤2). ①如图②，直线DE与x轴交于点N,若CN∥B0,求t的值； ②若矩形O'D'E'F'与矩形OABC重叠部分面积为S,当重叠部分为五边形时，试用含有t的式子表示S, 并写出t的取值范围（直接写出答案即可）. 考向04动态变化的临界分析与分类讨论 ◆题型07线段覆盖率回或函数图像分段分板 回棉豪妙计 通用思路：动态过程如果不是匀速或匀变速，必须找出速度或方向发生改变的“临界点（分界点）”。 关键步骤： 1.求分界：令动点到达拐点或图形边界，解出对应的时间、2。 2. 分段建式：在时间区间0-、一2、62~终点内，分别建立目标量关于时间t的函数关系式。 3. 统结果：将各段函数合并，写成类似于分段函数的形式，并注意各段取值范围是否取端点。 避坑提示：在求总面积最值时，需分别求出各分段区间内的最值，最后进行全局比较，不能想当然认为 顶点就是全局最大最小。 1.(2026甘肃天水·一模)如图(1)，在等腰三角形ABC中，CA=CB,动点D以1cm/s的速度从点A沿 AB向点B运动，同时动点E以2cm/s的速度从点A沿折线ACB向点B运动，连接DE,当其中一动点 到达终点时，两动点同时停止运动.设动点运动的时间为xs),△ADE的面积为y(cm),图(2)是y与 x的函数关系的图象，则AB的长为() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图(1) 图(2) A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm 2.(2026天津西青.一模)在ABC中，AB=AC=6cm,∠B=30°.动点M从点B出发，以2cm/s的速 度沿边BA、边AC向终点C运动；动点N同时从点B出发，以Icm/s的速度沿边BC向终点C运动.规 定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时间为s.当t=2s时，点M,N 的位置如图所示.有下列结论： (1)当t=4s时，BN=CM; (2)△BMN的最大面积为4cm2; (3)1只有一个值满足△BMN的面积为8。 其中，正确结论的个数是() A M B N A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2024江西赣州二模)如图1，在矩形ABCD中，己知AB=8,点E是AD的中点.动点P从点A出发， 以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线 B-C-D运动，当一个点到达点D时，另一点也随之停止运动.连接P?,EQ,设动点P运动的时间 为t秒，△EPQ的面积为S,图2中的曲线是动点Q在线段CD上时S与t的函数图象. 本S 12 AP E 图1 图2 (1)填空： / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①AD= ②当0≤1≤3时，直接写出S与t的函数解析式为 (2)经探究，发现当点Q在线段CD上运动时，S是关于t的二次函数.请求出此时S与t的函数解析式， 并直接写出自变量t的取值范围. (3)在整个运动过程中，若存在某3个时刻，t,44<<1),使得S的值相等. ①求出S的取值范围； ②当t+4=8时，求S的值. 《②题型08直线与圆的动态位置关系（相切/相交/相离的临界态） 回佛豪炒什 通用思路：直线或圆在运动过程中，位置关系的改变只发生在“恰好相切”的瞬间。 关键步骤： 1. 画草图：画出初始状态和相切临界状态的示意图，标出己知量和变量。 2. 表距离：用含有变量的代数式表示出“圆心到切线的距离”或“圆心到动点的距离”。 3. 解方程：令该距离等于圆的半径，解出的变量值即为临界值，最后根据不等式确定所求的范围。 1. (2023河北沧州模拟预测)如图1，PQ为O0的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQ=QB=1,动 点A在PQ上方的O0上运动（含P,Q两点），连接AB,设LAOB=,有以下结论： 结论I:当线段AB与⊙0只有一个公共点A时，0的范围是0°≤a≤60°： 结论I:当线段AB与O0有两个公共点M时，如图2，若401PM,则an∠MP0=- 15 下列判断正确的是() M B 图1 图2 A.I和Ⅱ都正确B.I和Ⅱ都错误C.I错误Ⅱ正确 D.I正确Ⅱ错误 2.(2024浙江杭州一模)在直角坐标系x0y中，对于直线1：y=x+b,给出如下定义：若直线1与某个圆 相交，则两个交点之间的距离称为直线1关于该圆的“圆截距”.如图，点M的坐标为-1,0)，若⊙M的 半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线1关于⊙M的“圆截距的最小值为22，则b的值为 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 3 2 M -4-3-2-10 234 3 -4 3.(2022广东广州三模)已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为(0，m)(m>0),B点坐标为(2， 0),以A点为圆心OA为半径作⊙A,将△AOB绕B点顺时针旋转a角(0°<a<360°)至△A'0'B处. y个 A OB 图1 图2 A OB OB 图3 备用图 (1)如图1，=4，a=90°，求O点的坐标及AB扫过的面积： (2)如图2，当旋转到A、0'、A'三点在同一直线上时，求证：O'B是⊙O的切线： (3)如图3，m=2,在旋转过程中，当直线B0'与⊙A相交时，直接写出a的范围. 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：60分钟) 一、单选题 1.(2025贵州铜仁二模)如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6,CB=8,动点P以每秒1 个单位从点A出发沿A-B运动；动点Q以每秒1个单位从点A出发沿A-C-B运动.若点P、Q同时 出发，当其中一动点运动到点B时另一点停止运动，则△APQ的面积S与运动时间t之间的函数图形大 致是() 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 SA SA 14.4 14.4 A 12 B 12 6 10 6 10 S S 144 14.4 D 610 0 610 2.(2026安微合肥一模)如图，在矩形ABCD中，动点P从D点出发，以1cm/s的速度沿着DA向A点运 动，同时动点Q从B点出发以2Cm/s的速度沿BC向C点运动，若其中一个动点到达终点，另一动点也 同时停止.将四边形PDCQ以直线PQ为轴进行翻折，得到四边形PD'CQ,则下列结论错误的是() D D B A.若PQ交对角线BD于点E,则QE=2PE B.若点D'在AD边上时，BQ=2CQ C.若射线QC经过点A,则线段AP、CD'互相平分 D.若AB=3cm,BC=3√2cm,点A、C两点间距离最小为V5-lcm 3.(2024广东深圳模拟预测)如图，动点P、Q在平行四边形ABCD的边和对角线上运动，动点P的运 动轨迹为折线0-A-D-0,动点Q的运动轨迹为折线0-C-B-0,两动点同时开始运动，且运动速 度均为lcm/s.设动点运动时间为x秒，两动点间距离为cm,x与y的函数关系式如图所示.当点P在 平行四边形4BCD的边上运动时，两动点间的最短距离为m,此时运动时间为(+3)秒，则m的值 为(). / 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23 乃+号 A.3 B.5 C.33 2 2 D.2 4.(2025山东日照.三模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点M、N分别是边AB、BC上的动点，且 AM=BN,连接AN、DM交于点E,点F是线段AB上的一个动点，连接FC、FE,则FC+EF的最 小值为() E B A.2W13-2 B.210-2 C.5 D. 62024溯北武汉模拟预测D如图，在知形BCD中，花=子，动点N从4出发，沿边D向点D囹 速运动，动点M从B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN.动点N,M同时出发，点N运动速度 为y,点M的运动速度为2，且y<2,当点M到达C时，M,N两点同时停止运动.在运动过程中， 将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形NA'B'M.若在某一时刻，点B的对应点B恰好与CD的中点 重合，则上的值是() D B M A B B D.3 6.(2026天津河东·一模)平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6,AD=4.动点P从点A出发，以每 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 秒2个单位长度的速度沿边AB、边BC向终点C运动；动点Q从点C同时出发，以每秒1个单位长度的 速度沿边CD向终点D运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动的时 间为t秒.当t=1时，点P,Q的位置如图所示. 有下列结论： ①当t=2时，P0=4; ②当0≤t≤4时，△AP9的最大面积为6V3; ③存在两个t的值，使得△APQ的面积为5√3， 其中，正确结论的个数是() A B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二、填空题 7.(2025陕西西安一模)如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=8,点E,F分别是AB,BC边上的两动 点，且EF=2,点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH,GH,则GH+CH的最小值为 B 8.(2025·黑龙江牡丹江一模)如图，在菱形ABCD中，∠BCD=120,BC=6,点E是AB边的中点，点 F是平面内一个动点，且EF=1,点G是AD上的一个动点，连接FG,CG,则FG+CG的最大值为 9.(2025广西防城港模拟预测)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,∠D=120°，BC=CD=6,点E为BC 上方一动点，连接BE、CE,∠BEC=30°，以点E为圆心作OE,⊙E的半径为2，点P为OE上一动点， 连接CP、EP,则CP的最大值为 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 10.(2026陕西咸阳·二模)如图，在菱形ABCD中，AB=10,∠ABC=60°，E为BC上一动点，F为 CD上一动点，且BE=CF,连接AE,AF,EF,G是EF的中点，则点E从点B到点C的运动过程 中，点G运动轨迹的长为 A D G E C 11.（2026新疆.一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3的图象如图所示.P为第三象限内抛物 线上一动点，作PD⊥x轴于点D,交AC于点E,点G为y轴上一动点，过点E作LEGC=30°，设点 P的板坐标为m,则PE+号BG的最大植为 A 12.(2022江苏无锡·二模)如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E,F分别是AD,CD上的动点， EF=2,Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP,PO.则AP+PQ的最小值等于 三、解答题 13.(2025天津河西一模)在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形0ABC,顶点 A(6,0),B(0,8),C-2V5,4. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (I)填空：AB的长是，BC的长是： (2)点M,N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线 0→A→B向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线 0→C→B→A向终点A匀速运动，点M,N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随 之停止运动.设动点运动的时间为t秒(t>0),AOMN的面积为S. ①当t=3时，求S的值： ②当点M在线段OA上，且点N在线段BC上时，试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围： (③)者S=智，诗直接写出此时：的氧。（直接写出结果即可） 14.(24-25九年级下·重庆万州月考)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,2). M 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PC、PB;点M为x轴上的一个动点，点 N为y轴上的一个动点，连接PM、PN、MN.当△PBC的面积取得最大值时，求点P的坐标及 △PMN周长的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，连接OP,将抛物线沿射线CB的方向平移得到新抛物线y,使得新抛物 线y经过点B,且与直线BC相交于另一点H,点Q为抛物线y上的一个动点，当∠HBQ=∠POB时， 直接写出符合条件的所有Q点的坐标. 15.(2025黑龙江齐齐哈尔二模)综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,3),B(1,0),C(4,3)三点，连接BC. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 图① 图② (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线上的一个动点，连接BE,CE,当△BCE是以BC为底边的等腰三角形时，点E的坐标 为 (3)如图①，D是直线BC下方抛物线上的一个动点，连接BD,CD,求△BCD面积的最大值； (4)如图②，G是线段BC上的一个动点，F是点B右侧x轴上的一个动点，且始终保持CG=BF,连接 AG,CF,则AG+CF的最小值为· 16.(2026重庆模拟预测)如图，在矩形ABCD中，点O是AC中点，连接OD,过O作OE⊥BC交BC于 点E.动点P以每秒2个单位长度的速度沿E→O→D→C的方向匀速运动，同时动点？从A出发以 每秒2个单位长度的速度沿A→C方向匀速运动，当有一个动点到达C点时两个动点同时停止运动.点 F为射线AB上一点且满足SA4e=12.已知DC=10,BC=24,连接CP,OP,FP.记SoP为片，线段 AF的长度为· 60 50 40 30 20 10 B O1234567891011121314x (1)请直接写出y,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，y2的图像，并写出y的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当y,≤y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）· 17.(2025重庆三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2与y轴交于点C,与x轴交于 A1,O),B(3,0)两点，点D为x轴负半轴上一点，且oD=OC,直线CD与抛物线交于另一点E. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F G 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (②)如图1，点P是直线CE下方抛物线上的一动点，过点P作PFy轴交CE于点F,过点P作PG∥x 轴交y轴于点G,点M,N为x轴上的两个动点，点M在N的左侧，且MN=1,点H为直线CE上的 一个动点，连接PN,MH.当PF+PG取得最大值时，求PN+MN+MH的最小值； (3)如图2，在(2)的条件下，连接PC,将抛物线沿着PC的方向平移√10个单位得y,点Q是新抛 物线y的对称轴上的一个动点，当∠CQD+∠OCA=∠ECP时，请写出所有符合条件的点Q的坐标，并 写出其中一个Q点坐标的求解过程， 18.(2025重庆模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4a≠0)交x轴于点A、C, 交y轴于点B,其中0C=4,0A=1. 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一动点，过P作PD∥y轴交BC于点D,点M是x轴上一动点， 点N是BC上一动点，请求出当PD-√2CD取最大值时点P的坐标，及此时PM+MN+AN的最小值； (3)如图2，在(2)条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移得到新抛物线y,使新抛物线y经过点D.点 Q为新抛物线对称轴上的一个动点，对称轴与x轴交于点H,过Q作EQ‖OP交y轴的正半轴于点E, 连接AE,AQ.当∠AEQ-∠BOP=∠QAH时，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出其中 一个点的坐标的求解过程. 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课