重难点06 几何最值问题（重难专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“模型本质-轨迹探究-代数融合”为主线，构建“考向拆解-要点精析-靶向精练”三阶训练体系，通过几何直观与推理意识培养，实现最值问题系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |轴对称求最短路径|2题型+5典例|将军饮马“三部曲”（辨奇偶-作对称-连线段）、造桥选址平移转化|从两定一动到两定两动，由简单对称到复杂平移，逐步提升空间观念| |旋转求线段最值|2题型+6典例|费马点“旋转造等边”、手拉手“共顶点等线段旋转”|以旋转不变性为核心，连接静态模型与动态轨迹，强化推理能力| |隐圆背景最值|2题型+6典例|定弦定角构圆、瓜豆原理“主从轨迹同形”|从显性圆到隐性轨迹，结合圆的性质与几何变换，培养模型意识| |函数背景最值|2题型+7典例|二次函数顶点式求极值、反比例K值几何意义+基本不等式|代数法与几何法双轨并行，体现数形结合思想，提升应用意识|

重难点06 几何最值问题 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 利用轴对称求最短路径（直线同侧/异侧问题） 考向02 利用旋转求线段最值（费马点与旋转缩放） 考向03 隐圆（动点轨迹）背景的最值问题 考向04 函数背景下的代数几何最值 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 一、 2023、2024、2025年考法解读 纵观近三年全国中考数学压轴题，几何最值问题的命题呈现“重模型本质、重轨迹探究、重代数几何双轨并驱”的鲜明特点： 1. 基础模型常态化：传统的“将军饮马”（轴对称求折线最短）和“垂线段最短”几乎成为每年必考的基础送分题，通常设置在选填题的第9-15题位置。 2. 轨迹问题核心化：单动点的最值考查逐渐淡化，取而代之的是“联动双动点”。通过“主从联动（瓜豆原理）”生成圆或直线轨迹，再结合“隐形圆”求最值，这是近三年命题人最偏爱的压轴题切入点。 3. 跨板块融合加剧：2024、2025年真题显示，最值问题不再孤立存在，而是与二次函数顶点运动、反比例函数K的几何意义、特殊四边形动态探究深度捆绑，计算量显著增大。 二、 2026年考法预测 基于对近年命题演变的洞察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1. 命题趋势展望 (1) 从“显性地”向“隐性”转变：题目将越来越少的直接给出对称点或平行线，更多需要学生通过“定弦对定角”自行发掘隐形圆，或通过“共起点等线段”确定旋转不变性。 (2) 费马点与胡不归的适度下放：预计2026年在部分教育发达地区（如江浙、珠三角）的压轴题中，会出现加权线段和的最小值问题（胡不归）或三点共线极值问题（费马点），但这些难题都会有非常巧妙的几何构造简化解法。 (3) 代数法（建系）破局成为主流：对于推导极其复杂的几何最值，命题将宽容使用坐标系和二次函数顶点公式求解，考察学生的降维打击能力。 2. 2026年备考策略建议 (1) 狠抓“轨迹”预判能力：让学生形成条件反射——见到“两个定点＋一个动点”，先判断动点轨迹是直线（饮马）还是圆（瓜豆）；见到“平方和”想勾股定理建系。 (2) 固化“三部曲”破题法：第一步：化折为直（对称）；第二步：异侧共线（两点之间线段最短）；第三步：外展内收（三角形三边关系）。 (3) 强化“代数兜底”训练：对于优等生，遇到极其复杂的几何图形，直接教授“设坐标-写函数-求顶点”的万能暴力解法，确保压轴题拿到步骤分。 重●难●要●点●剖●析 考向01 利用轴对称求最短路径（直线同侧/异侧问题） 题型01 经典的“将军饮马”模型（两定一动） 通用思路：要使PA＋PB最小，若A、B在直线同侧，则作其中一点关于直线的对称点，转化到异侧后连接。 关键步骤： 1. 辨奇偶：确定直线同侧有几个定点（通常是2个）。 2. 作对称：作其中一个定点关于直线的对称点（如作A的对称点A′）。 3. 连线段：连接A′、B，与直线的交点即为所求的P点，此时PA＋PB＝A′B最小。 避坑提示：若两个定点在直线异侧，则直接连接两点，与直线交点即为所求。 1．（2026·安徽淮南·一模）如图，在中，，，，点在边上，点在的延长线上，且，为的中点，则下列结论错误的是（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】由直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，设点到的距离为，由等面积法求出，由题意求出，则当取最小值时，则取最小值，即可判断A；当取最大值时，取最大值．当与重合时，取最大值，即可判断B；过点作，过点作，与相交于点，作点关于的对称点，分别连接，，，与交于点，则，，，再由得出当，，三点共线时，的最小值为，即可判断C；作点关于的对称点，连接交于点，求出的值即可判断D． 【详解】解：，，， ∴，， 设点到的距离为，则， 点到的距离． ， ∴， ， 当取最小值时，则取最小值． 又∵由垂线段最短可得：的最小值为, 的最小值为，故A正确； 当取最大值时，取最大值．当与重合时，取最大值，如图1，作于点． 则，， ∴， ∴在直角三角形中，， 的最大值为，故B正确； 如图2，过点作，过点作，与相交于点，作点关于的对称点，分别连接，，，与交于点，则，，， ，，， 当，，三点共线时，的最小值为，故C错误； 如图3，作点关于的对称点，连接交于点， 此时，即取最小值． 在直角三角形中，，故D正确． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形、轴对称的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，在矩形中，分别为边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，下列说法错误的是（   ） A．线段最小值为 B．的最小值 C．四边形面积的最小值为6 D．线段长度的最大值为 【答案】C 【分析】作点D关于的对称点R，连接，则，当点R，E，C三点共线时，最小，最小值为的值，可判断A选项；连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，易得四边形为矩形，，推出和的长，根据，得到当O，H，D共线时，最小，可判断B选项；设，则，，再由四边形的面积为，可得四边形的面积随t的增大而减小，当点P，A重合时，t取得最大值，此时，则，可判断C选项；过点P作于点K，则，，可得，可判断D选项． 【详解】解：∵矩形，，E，F分别为，边的中点， ∴，，，，， 如图，作点D关于的对称点R，连接，则， ∴， ∴当点R，E，C三点共线时，最小，最小值为的值， 在中，， 即线段最小值为，故A选项正确，不符合题意； 连接交于M，连接，取的中点O，连接，过点O作于N，连接，则， ∴四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由于M和B点都是定点， 所以其中点O也是定点，当O，H，D共线时，此时最小， ∴的最小值为，故B选项正确，不符合题意； 设，则， ∴， ∴四边形的面积为， ∴四边形的面积随t的增大而减小， 当t最大时，四边形的面积取得最大值， 当点P，A重合时，t取得最大值，此时，则， ∴四边形的面积的最小值为，故C选项错误，符合题意； 如图，过点P作于点K，则，， ∴，， ∴， 当t最大时，取得最大值， ∴的最大值为，故D选项正确，不符合题意． 3．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（    ）． A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．周长的最小值为 D．的最小值为3 【答案】B 【分析】A、如图，延长交于点P，过点F作直线，可证四边形是矩形，直线是的中位线，且点在直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接，由“将军饮马”模型可求； B、设，，进而即可判断． C、由四边形是矩形，结合的最小值为3，可求周长的最小值； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，，故本选项不符合题意； 【详解】解：A、如图，延长交于点P，过点F作直线． 和分别是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形． 是的中点， 是的中点． 直线， 直线是的中位线，且点在直线上运动．作点A关于直线的对称点，连接，则．当，，三点共线时，最小． ，， ． 在中，，故本选项不符合题意； B、设，则． ， ．当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴四边形面积的最小值为，故本选项符合题意． C、四边形是矩形， ， 的周长为． 的最小值为3，， 的周长的最小值为，故本选项不符合题意； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形， ，故本选项不符合题意； 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出的运动轨迹是直线． 题型02 造桥选址模型（两定两动） 通用思路：已知两条平行直线（河岸），要在其间修一条垂直于河岸的桥，使AM＋MN＋NB最短。 关键步骤： 1. 平移定点：将其中一个定点（如B）沿垂直于河岸的方向，向直线l1平移一个河宽（即MN），得到点B′。 2. 连线段：连接AB′，交直线l1于点M。 3. 定桥位：过M作河岸的垂线交l2于N，则MN即为桥的位置。 核心原理：平移后NB＝MB′，将折线AM＋MN＋NB转化为线段AB′的长度。 1．（2025·山东淄博·二模）如图，护城河在处直角转弯，宽度保持4米，从往处，经过两座桥：，．设护城河是东西—南北方向，，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可使，，的路程最短．则这个最短距离是_____米． 【答案】108 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，可证明四边形和四边形都是平行四边形，得到，则当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示， 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短， ∵，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，且河宽为4米， ∴点G与点F的东西距离为米，南北距离为米， ∴点G与点F的距离为米， ∴这个最短距离是米， 故答案为：108． 2．（2025·江苏南京·模拟预测）架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A，B两地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本． (1)如图①，河l的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在l上画出表示桥的位置的点P，使从A地经过桥到B地的路程最短． (2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出表示桥的位置的线段，使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短． (3)如图③，河岸m和n，p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段和，使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经过2座桥到B地的路程最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，线段的性质：两点之间线段最短． （1）连接交直线l于点P，点P即为所求； （2）作直线m，使得河宽，连接交直线n于点C，作直线m于点D，连接，线段即为所求； （3）作直线m，使得河宽，直线p，使得河宽，连接交直线n于点C，交直线q于点E，作直线m于点D，作直线p于点F，连接，，线段，即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，点P即为所求； （2）解：如图②中，线段即为所求； （3）解：如图③中，线段，即为所求． 3．（2023·陕西渭南·二模）【问题提出】 （1）如图①，为半圆的直径，点为半圆的上一点，切半圆于点，若，，则的最小值为_； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，，点为矩形内一点，连接、，若矩形的面积是面积的3倍，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图③，平面图形为某校园内的一片空地，经测量，米，，，，米，劣弧所对的圆心角为，所在圆的圆心在的延长线上，米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在上选取一点，在弧上选取一点，并在点和点处各插上一面小旗，从点出发，先到点处拔下小旗，再到点处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程应最短，问是否存在最小值？若存在，请你求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）8；（2）；（3）存在最小值，最小值为． 【分析】（1）连接交于点，则是的最小值，求出的长即可， （2）过点作于点，作，连接，的最小值，即为的长度，求出即可， （3）连接，作点关于的对称点，连接，，，过作，分别交、的延长线于点、，分别延长，交于点，连接，，当取得最小值时，的值最小，即的长，求出即可． 【详解】解：（1）如图，连接交于点，连接， 点为半圆的上一点， 当点与点不重合时，， 当点与点重合时，， ， 的最小值， 切半圆于点， ， ，， ， 的最小值， 故答案为：8． （2）过作，如图， 矩形的面积是面积的3倍，，， ， ， 过点作，分别交、于点、，则点在线段上， 作点关于的对称点，连接，则， ， 连接交于点，由三角形三边关系可知，当点与点重合时，的值最小，即为的长度， ， ， 又， ， 即的最小值为． （3）连接，作点关于的对称点，连接，，，交于H，过作，分别交、的延长线于点、，分别延长，交于点，连接，，交于点，如图： ，， 是等边三角形， ， ，，， ， 和都是直角三角形，四边形、四边形都是矩形， ， 点为所在圆的圆心，则， 点与点关于对称， ，即， 当取得最小值时，的值最小， ， 的最小值为的长， 为等边三角形，点与点关于对称，， 点为的中点，，， 则， △和△都是直角三角形，四边形、四边形都是矩形， ，，，， ， ， 即存在最小值，最小值为． 【点睛】本题综合考查线段的最值问题，主要涉及了圆的切线的性质，矩形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形三边的关系等知识，综合性较强，准确作出辅助线是解题关键． 考向02 利用旋转求线段最值（费马点与旋转缩放） 题型03 当动点对三定点的张角均为60°时（费马点模型） 通用思路：求PA＋PB＋PC的最小值，若∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则P为费马点。 关键步骤： 1. 选定点：任选一个定点（如C），向外作等边三角形△BCD。 2. 连线段：连接AD，则AD的长即为PA＋PB＋PC的最小值。 3. 证三线共点：AD连线必然经过原图中的点P（即∠APB＝120°处）。 1．（2023·安徽·中考真题）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论错误的是（   ）    A．的最小值为 B．的最小值为 C．周长的最小值为6 D．四边形面积的最小值为 【答案】A 【分析】延长，则是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当点与重合时，则三点共线，各项都取得最小值，得出B，C，D选项正确，即可求解． 【详解】解：如图所示，    延长， 依题意 ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， 则为的中点 如图所示，    设的中点分别为， 则 ∴当点在上运动时，在上运动， 当点与重合时，即， 则三点共线，取得最小值，此时， 则， ∴到的距离相等， 则， 此时 此时和的边长都为2，则最小， ∴， ∴ ∴， 或者如图所示，作点关于对称点，则，则当三点共线时，    此时 故A选项错误， 根据题意可得三点共线时，最小，此时，则，故B选项正确； 周长等于， 即当最小时，周长最小， 如图所示，作平行四边形，连接，    ∵，则 如图，延长,，交于点， 则， ∴是等边三角形， ∴， 在与中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，则， ∴是直角三角形，    在中， ∴当时，最短， ∵ ∴周长的最小值为，故C选项正确； ∵ ∴四边形面积等于    ∴当的面积为0时，取得最小值，此时，重合，重合 ∴四边形面积的最小值为，故D选项正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当点与重合时得出最小值是解题的关键． 2．（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是_； 周长的最小值是_． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）米 【分析】根据对称的性质可知：，，所以可知，，从而可得：； 根据对称性质可知，，所以可知是等边三角形，从而可知，线段的长度就是周长的最小值； 过点作于点，延长到点，使，连接，则点与点关于直线对称，连接交于点，则，线段的长度就是的最小值，利用勾股定理求出线段的长度即可； 过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，根据直角三角形的性质可知米，利用可证，根据全等三角形的性质可知，米，利用勾股定理求出米，可得：的最小值是米． 【详解】解：点与点关于对称， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， ， 故答案是：； 解：点与点关于对称， ，， 点与点关于对称， ，， ， 由可知， 是等边三角形， ， 的周长是， 周长的最小值是， 故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称， 连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点是的中点， ， ， 的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形， ， ，米， 米， 米， ， 点是矩形的中心， ， ， ， ， 在中， ，， ， 在和中，， ， ，米， 米， 米， 的最小值是米， 米， 的最小值是米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质构造全等三角形和直角三角形，利用勾股定理求出边的长度． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值． （2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，的最小值为300，的长为米 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性质，特殊角三角函数，相似三角形的判定及性质． （1）连接，由旋转的性质得到，，，再由勾股定理得即可解答． （2）连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，，，当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，过点作于点H，交于点M，证得为等边三角形，再由特殊角的三角函数得到，米，则，再根据勾股定理得的值，设交于点N，过点B作于点Q，易证，即可解答． 【详解】解：（1）如图①，连接． 根据小明的思路可知，，，则． ∵，， 在中，， 当C，P，，E四点共线时取得最小值，的最小值为． （2）存在．∵点A，关于对称， 米， 点在以点E为圆心，50米为半径的圆弧上． 如图②，连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧． 由（1）同理可得，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，， 为等边三角形， ， ∵， 米． 当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，最小值为，此时点为与弧的交点． 过点作于点H，交于点M． ∵， 为等边三角形， 米． ∵，， ， （米）， 在中，（米）． 易得米，米， 则（米），（米）， 在中，（米）， （米）， 的最小值为300． 设交于点N，过点B作于点Q． ， ， ，即， 米，米， 米， ， ， ， ， 米， 易知当取得最小值时，， 在中，（米）． 答：的最小值为300，此时的长为米． 题型04 共顶点等线段的旋转最值（手拉手最值） 通用思路：图形在运动变化中，若有两条线段始终从一个顶点发出且相等（如 AB＝AC），通常将其作为旋转的基准边。 关键步骤： 1. 找不变：确定共顶点的等线段（如OA＝OB）。 2. 定轨迹：另一动点P的轨迹通常是由旋转中心发出的射线或圆。 3. 求极值：当目标线段（如OP）与轨迹圆相切，或O,P与旋转中心三点共线时，取得最大/最小值。 1．（2025·安徽·模拟预测）如图，平行四边形ABCD中，，，，连接，将绕点B旋转，当（即）与交于一点E，（即）同时与交于一点F时，下列结论正确的是（　　） ①，②，③，④的周长的最小值是 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意可证，可判断①②③，由的周长，则当最小时的周长最小，根据垂线最短，可得时，最小，即最小，即可求此时周长最小值． 【详解】解：，， ，为等边三角形， ， 将绕点旋转到位置， ，，， ， ，，， ， 故①正确，③错误； ，， ， 故②正确， 的周长 ， 当最小时，的周长最小． ，， 是等边三角形， ， 当时，长度最小，即长度最小， ，，， ， ，， ， 的周长最小值为， 故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题和全等三角形的判定和性质，关键是灵活运用这些性质解决问题． 2．（2023·江苏苏州·一模）如图，是边长为6的等边三角形，是边长为3的等边三角形，直线与直线交于点F，若点D在内，，则______；现将绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段长度的最小值是______． 【答案】 75 【分析】第一个问题证明，推出，可得．第二个问题，如图1中，设交于点T．证明，推出点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时，求出可得结论． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 如图1中，设交于点T． 同法可证， ∴， ∵， ∴， ∴点F在的外接圆上运动，当最小时，的值最小，此时， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值， 故答案为：75，． 【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，轨迹，解直角三角形，等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 3．（24-25九年级下·广西桂林·月考）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图①，在等边三角形内部有一点，求的度数．爱动脑筋的小明发现：将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，然后利用和形状的特殊性求出的度数，就可以解答这道题． 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即． （1）请你补全余下的解答过程． 【类比迁移】 （2）如图②，在正方形内有一点，且，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，连接，若正方形的边长为，则线段的最小值为________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证是等边三角形，，运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，，由，即可求解； （2）如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，可证是等腰直角三角形，，，再证，，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，，由即可求解； （3）如图所示，以为斜边在下方作等腰直角，则，以点为圆心，为半径画圆，记为，在下方，上取一点，连接，则四边形是圆内接四边形，可得作图符合（2）的条件，连接，根据两点之间线段最短，当点在上运动时，点在上时有最小值，作延长线与点，由是等腰直角三角形，正方形的边长为，即，可得，，，由勾股定理得到，根据即可求解． 【详解】解：（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ，即，且， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （2）如图所示，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴，即，且， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； （3）如图所示，以为斜边在下方作等腰直角，则，以点为圆心，为半径画圆，记为，在下方，上取一点，连接，则四边形是圆内接四边形， ∵， ∴， ∴，符合（2）的条件， 连接，根据两点之间线段最短，当点在上运动时，点在上时有最小值，作延长线与点， ∵是等腰直角三角形，正方形的边长为，即， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的基础知识，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 考向03 隐圆（动点轨迹）背景的最值问题 题型05 “定弦对定角”构造隐圆 通用思路：若线段AB长度固定，且动点P满足∠APB＝θ（定值），则P点的轨迹是以AB为弦，圆周角为θ的两段圆弧。 关键步骤： 1. 定弦：确定长度不变的线段AB。 2. 造圆：利用尺规作图，构造使得∠AOB＝2θ的圆心O。 3. 求最值：将所求最值（如PA＋PB或PC）转化为圆心O到定点C的距离±半径r。 避坑提示：当θ＝90°时，圆心为弦AB的中点，轨迹为以AB为直径的圆。 1．（2024·安徽淮北·二模）已知正方形的边长为4，点是平面内的一动点，连接，且，点是上一点，，连接，下列结论错误的是（    ） A．的最小值是3 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最小值是5 【答案】C 【分析】由题意得到点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动，在上取点M，使得，连接，根据动点的运动轨迹，结合点到圆上的最值距离，利用勾股定理逐一求值判断即可． 【详解】解：如图，由题意可得：点P在以点B为圆心，的长为半径的圆上运动，点Q在以点B为圆心，长为1半径的圆上运动， 在上取点M，使得，连接， A、当点三点共线时，即点M与点Q重合，有最小值， ， ， 的最小值为3，正确，不符合题意； B、当点三点共线时，即点P与点N重合，有最小值， ， ， 最小值为，正确，不符合题意； C、为定值， 有最大值时，有最大值， 如图，当点三点共线，且点B在点D与点P中间时，有最大值， ， ，此时， 的最大值是，错误，符合题意； D、， ， ， 当点三点共线时，即点P与点G重合，有最小值，最小值为的长， ， ， 的最小值为5，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了点到圆上距离的最值问题，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，正确作出辅助线找到动点轨迹是解题的关键． 2．（2024·辽宁辽阳·三模）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值． 由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）连接和，，则当O、A、B三点共线时，则； （2）先证明，推导出，取中点O，连接和，根据勾股定理求得，由，得到当三点共线时，取得最小值，因此； （3）作的外接圆，连接，由圆周角定理得，可得，解直角三角形得到，，中，由勾股定理得：， 由，得，当点三点共线时，取得最大值， 故． 【详解】解：（1）如图，连接和， 则， ∴当O、A、B三点共线时，取得最小值， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴. ∵， ， 即， ∴， ， ， ， 如图，取中点O，连接和， 则， ， ∵， 即， 当三点共线时，取得最小值， ； （3）解：作的外接圆，连接， ∵， ∴，同理， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 同理可求在中，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， 即， 当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用三角形三角形三边关系求最值，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 3．（2025·湖南·模拟预测）我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题： 下面让我们一起尝试去解决： (1)如图1，中，，P是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为________； (2)如图2，在正方形中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边上移动，连接和交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若，则线段的最小值是_______； (3)如图3，矩形中，，点E，F分别为边上的点，且，点G为的中点，点P为上一动点，则的最小值为多少？ 【答案】(1)2 (2) (3)4 【分析】（1）证明，得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，连接，易得，进行求解即可； （2）先证明，推出为，取的中点O，连接，斜边上的中线求出的长，根据两点之间线段最短得C，P，O三点共线时线段的值最小，勾股定理求出的长，再利用线段之间的和差关系进行求解即可； （3）易得G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于的对称点，连接，交于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于点G，此时的值最小，最小值为的长，勾股定理求出的长，再利用线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点P，此时长度最小， 在中， ∵， ∴==5， ∴． ∴最小值为2． 故答案为：2； （2）如图， ∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边上移动， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点O，连接，则， 根据两点之间线段最短得C，P，O三点共线时线段的值最小， 在中，根据勾股定理得，CO===， ∴． 故答案为：； （3）如图， ∵，点G为的中点， ∴， ∴G是以D为圆心，以1为半径的圆弧上的点， 作A关于的对称点，连接，交于P，交以D为圆心，以1为半径的圆于点G，此时的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为4． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，斜边上的中点等知识点，解题的关键是确定动点的轨迹，根据轴对称和两点之间线段最短进行求解． 题型06 “主从联动”瓜豆原理（双动点轨迹） 通用思路：存在一个主动点P在已知直线/圆上运动，从动点Q满足与P的某种几何约束（如AQ⊥AP且AQ=AP），求Q点的最值。 关键步骤： 1. 析关系：明确主动点P和从动点Q之间的相对运动关系（平移、旋转还是缩放）。 2. 定轨迹：若P的轨迹是直线，则Q的轨迹也是直线；若P的轨迹是圆，则Q的轨迹也是圆（轨迹圆）。 3. 算极值：求出从动轨迹（直线或圆）上的临界点，代入计算目标线段的长度。 核心口诀：主动点走直线，从动点走直线；主动点走圆，从动点走圆。 1．（2026·山东淄博·一模）如图，在中，，，，，线段绕点旋转，点为的中点，则的最大值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轨迹圆问题、中位线性质、三角形三边关系，熟练掌握这些性质是解此题的关键．由且绕点旋转，知点的轨迹为以为圆心、为半径的圆；取的中点，连接，利用三角形中位线定理得，再由勾股定理得，根据三角形三边关系，即可求出的最大值． 【详解】解：取的中点，连接， ，线段绕点旋转， 点的运动轨迹是以点为圆心、为半径的圆， 点是的中点， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 即点的运动轨迹是以为圆心、为半径的圆， 在中，，，， 由勾股定理得：， 根据三角形三边关系：， 当且仅当三点共线，且点在的延长线上时，取得最大值， ． 2．（2026·重庆南岸·模拟预测）如图，在中，． (1)如图，若，点在边上（不与，点重合）．连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．求的度数； (2)如图，若，点，分别在，上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接．请用等式表示线段，，的数量关系并证明； (3)如图，若，点在上，且，点在直线上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是的中点，连接，．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，连接，当取最大值时，请直接写出的值． 【答案】(1)，见详解 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）观察图形，结合已知条件证即可； （2）通过取特殊点，先猜想出三条线段应满足的数量关系：，然后结合已知条件，过点F作，交于点G，连接，通过全等把转化为一条线段的长，最后利用等腰直角三角形的性质即可得证； （3）首先通过取特殊点猜想点E的运动轨迹，进而确定出取得最小值时的位置以及对应的线段、角度等；然后再探究点Q的运动轨迹，进而确定取得最大值时的位置即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，． 由旋转，得，， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：，证明： 如图1，过点F作，交于点G，连接， ∴． ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，． ∴为等腰直角三角形． ∵点是的中点， ∴，， ∴，即． 在四边形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，为等腰直角三角形， ∴． （3）解：，思路提示： 第一步，确定取得最小值时的位置 如图2，在直线上再取一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接分别交，于H，I，则易知，为等腰直角三角形． ∴，， ∴，即， ∴，∴． ∵在和中，， ∴， ∴． 由条件易知， ∴． 由条件可知当D和A重合时，点E恰好和点H重合，此时． ∴点E在与边垂直、且经过点H的直线上运动． 根据垂线段最短，当时取得最小值，如图3所示． 连接，设，则由条件易知 ． 在等腰直角三角形，和中，，，， ∴，． 第二步，确定取得最大值的位置 ∵点是的中点， ∴． ∵是由沿所在直线翻折得到的， ∴， ∴点Q的运动轨迹为以E为圆心，为半径的圆上（如图4）． ∴当Q在的延长线上时，最大（如图5），此时有． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形、等腰直角三角形、全等、相似、圆等知识，掌握解决动态问题的一般方法；熟悉常见的最值模型，如瓜豆问题、圆外一点到圆上一点的最值问题等；如何根据已知条件构造恰当的辅助线是解决问题的关键． 3．（2026·陕西西安·一模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. （2）解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 考向04 函数背景下的代数几何最值 题型07 利用二次函数顶点式求几何极值 通用思路：当动点在二次函数图象上运动时，求某条线段（如竖直线段、水平线段）的最大值。 关键步骤： 1. 设坐标：设动点坐标为。 2. 表线段：根据题意，用含x的代数式表示出目标线段的长度L（通常表示为两点纵坐标之差的绝对值，或横坐标之差的绝对值）。 3. 求极值：整理成二次函数标准形式，利用公式求出最值，或利用配方法求顶点纵坐标。 1．（2026·山东聊城·一模）小亮运用AI模型和几何画板研究了动点最值问题．以下为研究笔记的部分内容：AI模型梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读材料并完成下列问题． 分类 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基本原理 两点之间，线段最短 直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短 点到的距离为，则有 基本图形 【直接应用】 (1)已知在Rt中，，点为边上一动点． ①线段的最小值为__________； ②若点为的中点，则线段绕点顺时针旋转，的最小值为__________； 【迁移运用】 (2)如下图，一次函数和二次函数，一次函数的图象与坐标轴分别交于点，点．若为二次函数图象上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，求最小值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由垂线段最短求解即可；②过点作于点，则由①可得，根据求解 即可； （2）过点P作轴，交直线于点G，可得为等腰直角三角形，则为等腰直角三角形，那么设P的横坐标为t，则，则，再利用二次函数的性质求解的最小值，即可求解的最小值． 【详解】（1）解：①由题意得，， 由垂线段最短可得，时，取得最小值， ∵， ∴； ②过点作于点，则由①可得， 由题意得，， ∵， ∴ ∴当点三点共线，且点与点重合时，取得最小值为； （2）解：过点P作轴，交直线于点G，如图1 ∵一次函数的图象与坐标轴分别交于点B，点C， 当时，得，解得 当时，得， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴ 设P的横坐标为t，则， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值为， ∴此时取得最小值为． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴上的一个动点，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，过点作于点，作轴交于点，当的周长最大时，求的最小值及此时点的坐标： (3)在（2）中取得最小值的条件下，将抛物线沿射线平移，使得平移后的点与点重合，得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，将点向下平移个单位得到，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1)； (2)最小值为，； (3)，求解过程见详解． 【分析】（1）根据题意得抛物线的顶点式为，将代入计算出a，即可解答； （2）证为等腰直角三角形，得，当最大时， ​最大，设，则，根据最值求出P点坐标，点P关于直线l的对称点为，求出直线的解析式，再结合抛物线的对称轴即可解答； （3）根据题意确定的解析式和的坐标，再由分类讨论即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为， ∴抛物线的顶点式为，将代入得，即， 解得， ∴； （2）解：由题意可知，当时，即， 解得， ∴， 当时，，即， ∴，， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时， ​最大， 设，则， ∴， ∵，开口向下，且， ∴当时，最大，此时​最大 ∴， ∴点关于直线l的对称点为， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 设直线则 解得 ∴，当时， ​， ∴； （3）解： ∵，， ∴抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到， ， 向下平移个单位为， ∴， ∴， 作，交x轴于E，交于G， 当即， ∴为等腰三角形， 作于F， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，解得， ∴， 则，解得或（舍去） 当时，代入得， ∴， 过点作轴，则满足， 解得 (舍) ∴， 综上，点的坐标为． 3．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，抛物线与x轴交于，与y轴交于点，点在抛物线上，如图1，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当，求n的最大值与最小值的差； (3)如图2，点E是y轴上一动点，点F为抛物线对称轴上一动点，点M为直线上一动点，连接，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出当时，y有最大值，然后根据求解即可； （3）首先求出，作P关于y轴的对称点，连接，求出，作M关于抛物线对称轴的对称点，求出，得出在直线上，过作的垂线交于H，得到即为的最小值，过作x轴的垂线交于N，然后求出，进而得到线解析式为，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）将代入得                           ； （2）∵ ∴对称轴 ∴开口向下 ∴当时，y有最大值            当时，m随n的增大而增大 ∴当时，此时n有最小值6 当时，m随n的增大而减小 ∴当时，此时n有最小值 ∴当时，n有最小值            的最大值与最小值的差为 （3）当时， 如图所示，与抛物线对称轴交于点G，连接 作P关于y轴的对称点，连接 作M关于抛物线对称轴的对称点 关于抛物线对称轴对称 关于抛物线对称轴对称的直线是 在直线上 过作的垂线交于H 即为的最小值                过作x轴的垂线交于N 当时， 代入， 可得直线解析式为 当时，    由题可知： ． 即的最小值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，线段最值问题，轴对称性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型08 反比例函数图象中的几何最值（K的几何意义） 通用思路：利用反比例函数上点的横纵坐标之积为常数∣k∣，结合基本不等式或几何图形特征求最值。 关键步骤： 表坐标：设反比例函数图象上的点为。 建关系：将目标几何量（如矩形的面积、周长，或两点间距离）用m和k表示出来。 求边界：利用基本不等式（当且仅当a=b时取等号），求出代数式的极小值或极大值。 核心公式：若点(x,y)在双曲线xy＝k上，则（x,y＞0时取得最小值）。 1．（2024·广东中山·三模）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务． 用均值不等式求最值 若实数，则有，当且仅当时，取等号，我们称不等式为均值不等式． 证明： 由上可知，①当为定值的时候，有最大值； ②当为定值的时候，有最小值． 所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值． 例：已知，求函数的最小值． 解： ，当且仅当，即时，等号成立 当即时，函数取最小值，最小值为2． 任务： (1)若，则当_____时，代数式取最小值，最小值为______； (2)已知若，函数，试说明当取何值时，取得最小值，并求出的最小值； (3)如图，已知点是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为______． 【答案】(1)2，12 (2)当时，函数取最小值，最小值为8 (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，，再利用均值不等式计算即可得出答案； （2）由题意得出，将式子变形为，再利用均值不等式计算即可得出答案； （3）作轴于，轴于，设，表示出，再利用均值不等式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即，即（负值舍去）时，等号成立， ∴当时，代数式取最小值，最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立， ∴当时，函数取最小值，最小值为8； （3）解：如图，作轴于，轴于， ∵， ∴，， ∵点是反比例函数图象上一动点， ∴设， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立， ∴的面积的最小值为． 2．（2025·山东济南·二模）【阅读理解】对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【获得结论】在（、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： （1）若，有最小值是______； （2）已知，则的最小值是______． （3）已知，若，求的最大值． （4）已知点是双曲线上点，过作轴于点，作轴于点，是双曲线上任意一点，连接，，求四边形的面积的最小值．    【答案】（1）4；（2）4；（3）；（4）160 【分析】本题考查了不等式的性质、算术平方根、反比例函数的应用等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． （1）根据当时，，则，由此即可得； （2）先参照（1）求出的最小值，再根据即可得； （3）先求出，再求出的最小值，由此即可得； （4）连接，先利用待定系数法求出，再设点的坐标为，根据四边形的面积为，求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为4， 故答案为：4． （2）， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2， ∴的最小值是， 故答案为：4． （3） ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2， ∴有最大值． （4）如图，连接，    将点代入双曲线得：， ∴， ∵，轴于点，作轴于点， ∴， 设点的坐标为， ∴四边形的面积为 ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为16， ∴四边形的面积的最小值为． 3．（2025·四川达州·二模）知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 (1)已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值为6； (2)当时，w有最低成本，最低成本为元．． 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，当时，有最小值，即可求解； （2）设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得，根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴当时，有最小值， ∴时，有最小值，最小值为； （2）解：设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得： ， ∵ ， ∴， ∴当时，w有最小值， ∴或（舍去）时，w有最低成本，最低成本为元． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2025·浙江衢州·三模）已知反比例函数，当时，函数的最小值为，则当时，函数有（   ） A．最小值 B．最大值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵当时，函数的最小值为， ∴当时，的值为， ∴， ∴当时，最小值为，最大值为； 故选：B． 2．（2025·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（   ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意求得该函数图象的对称轴为，求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点、在这个二次函数的图象上，且， ∴该函数图象的对称轴为， ∴， ∴， ∴该函数解析式为， ∵， ∴该函数图象的开口向上， ∴当时，该二次函数有最小值， 故选：A． 3．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，，且，点在轴的负半轴上，，将线段绕点逆时针旋转变为线段，以，为邻边作，射线交轴于点，是点到轴的垂线段．则下列结论中：①；②四边形是正方形；③；④存在最小值，且其最小值是；⑤若连接，则值从小变大时，的值先增大再减小，错误的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据四边形是平行四边形，，即可判断①正确；设，由，易知，通过四边形是平行四边形，，，由平移坐标规律，易得，则轴，且四边形是正方形，进而得，，，，故②③正确；点在直线上，最小值是点到直线的距离，即，故④正确；当值从小变大时，一直变小，故⑤是错误的． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故①正确； 设，其中， 由，且， 易知，点在第二象限角平分线上， 又四边形是平行四边形，，， 由平移坐标规律，易得， 则轴，且四边形是正方形， 是点到轴的垂线段 ， ，， ， 故②③正确； 点在直线上，四边形是平行四边形， ， 最小值是点到直线的距离，即， 故④正确； 当值从小变大时，，一直变大，则一直变小， 故⑤是错误的； 综上所述，只有⑤是错误的，结论中，错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的性质，旋转的性质，直角坐标系中坐标平移、旋转变换的规律等，灵活运用以上知识点、设关键点的坐标是解题的关键． 4．（2025·河北·一模）如图，已知在矩形中，，，点在边上，且，点为射线上一动点，连接，过点作于，交直线于．则有下列结论： 的正切值为时，的长为； 在点运动过程中，的最小值为； 当点在射线上运动时，的最小值为； 其中，正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，由矩形的性质得，所以，由的正切值为，，求得，证明四边形为矩形得，，再结合，所以，然后根据，解出，即可判断；因为于，所以点在以的中点为圆心，以为半径的半圆上，过点作于，交于，由得，，再结合得，当最大时，有最小值，由题意可得的最大值为半圆的半径长为，代入即可判断；连接，当点在上时，有最小值，最小值为，由勾股定理得，，所以的最小值为，由此可判断． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，， ， 的正切值为，， ， ， ， ， ， 又∵， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 解得，故正确； 于， 点在以的中点为圆心，以为半径的半圆上， 如图（在矩形的内部）， 过点作于，交于， ， ， ， ， ， 当最大时，有最小值，由题意可得的最大值为半圆的半径长为， 的最小值为，故正确； 连接，当点在上时，有最小值，最小值为， 由题意可得， ， ，， 的最小值为，故正确； 综上所述，正确的有个， 故选：D． 5．（2026·安徽安庆·一模）已知如图，在中，，，，点为边上一点，连接，将沿翻折，得到，其中点为边中点，点为边中点，连接、、，下列说法错误的是（    ） A．最小值为 B．最小值为2 C．的最大值为3 D．最小值为 【答案】C 【分析】当时，有最小值，利用等积法求解即可判断选项A；当B、E、C三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项B；根据三角形中位线定理，推出当A、B、E三点共线时，的值最小，据此计算即可判断选项C；作点B关于的对称点，当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为，据此计算即可判断选项D． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，有最小值， ∵， ∴， ∴最小值为， 选项A正确，不符合题意； ∵点E在以B为圆心，为半径的圆上运动， ∴当B、E、C三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项B正确，不符合题意； 连接， ∵点为边中点，点为边中点， ∴根据三角形中位线定理，， ∴当A、B、E三点共线时，的值最小， ∴的值最小值为，选项C错误，符合题意； 作点B关于的对称点，连接，,，， ∵，∴， ∴当O、P、三点共线时，的值最小，即的最小值为， 记交于点，作交的延长线于点， 由对称的性质和选项A的结论，得，，， 设，则， ∵， ∴， 解得，即， ∴，， ∴， ∴最小值为，选项D正确，不符合题意． 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图，在正方形中，，点，分别是，上的点且，与交于点，过点作于点，点是上一动点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】选项A结合直角三角形斜边中线定理，将转化为两线段和的最小值问题，通过两点之间线段最短及勾股定理计算验证； 选项B先通过全等三角形转化线段，再利用勾股定理和完全平方公式推导线段和的最大值； 选项C、D则通过作对称点构造将军饮马模型，将折线段和转化为直线段，结合勾股定理求最小值，以此判断各选项的正误． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，； 对于选项A，如图，取的中点，连接， ∵， ∴， ∴是斜边的中线， ∴，则， 当点，，共线时，有最小值，由勾股定理得，故选项A错误； 对于选项B，∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最大值为，故选项B正确； 对于选项C，如图，取的中点，以为对称轴作点，的对称点，，则，， ∵， ∴，， 当点，，，共线时，最小， 由勾股定理得，故选项C正确； 对于选项D，以为对称轴作点的对称点，则， ∴，当点，，共线时，和最小， 由勾股定理得，即的最小值为，故选项D正确； 综上，结论错误的是选项A． 二、填空题 7．（2022·河南安阳·模拟预测）如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，F是射线上的动点，以为边在右侧作等边，连接，则线段长的最小值为_____．    【答案】/ 【分析】由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，以为边作等边三角形，连接，   ，， ， ，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值， 此时，， ， ， 的最小值为． 8．（2026·山东枣庄·一模）如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 【答案】 【分析】连接，过点D作于G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，在菱形中，得到，则，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 9．（2026·江苏南通·一模）若时，二次函数的最小值为，则________________． 【答案】5 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果. 【详解】解：∵ 二次函数的二次项系数为， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ， 解得， ∵ ，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件. 10．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ________．    【答案】 【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，， ∴有最小值， 作轴于点P，      则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，，解得， 即； 过点D作轴于点G，    直线与x轴的交点为，则， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 11．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，点是正方形的内部一个动点（含边界），且，点在上，，则以下结论：①的最小值为；②的最小值为；③；④的最小值为；正确的是______．    【答案】①②④ 【分析】由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确；由“”可证≌，可得，则当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长，由勾股定理可求的长，可判断④正确；即可求解． 【详解】解：在上截取，连接，，，如图所示：   四边形是正方形，， ，， ， ， ，， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，为半径的圆上运动， 当点在上时，有最小值为，当点在上时，有最小值为，故①②正确； 在和中， ， ≌， ， 当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ， 故DE的最小值为，故④正确； 当点在上时，有最小值为，此时， 与不一定相等，故③不一定正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆上点距离最值问题等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 12．（2024·四川成都·一模）对于平面直角坐标系中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知三个顶点的坐标分别为，，，将三角形绕点逆时针旋转得到，若上任意点都在半径为4的内部或圆上，则与的“捷径距离”的最小值是____，最大值是_____． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，新定义的运算，根据旋转可得中在直线上移动，点在直线上移动，然后画出图形进行计算即可． 【详解】解：由题可知，点在直线上移动，中在直线上移动，点在直线上移动， 如图，当点在点的下方时，距离最小，这时最小值为2； 如图，当点在上时，距离最小的是线段， 连接，过点作轴于点E，过点作轴交的延长线于点F， 则， ∴，， ∴， ∴与的“捷径距离”的最小值是，最大值是． 故答案为：，． 三、解答题 13．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用． （1）当时，按照公式（当且仅当时取等号）来计算即可；当时，，，则也可以按公式（当且仅当时取等号）来计算； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，则，可得，推出篱笆长，利用题中结论解决问题即可 （3）设，已知，，则由等高三角形可知：，用含的式子表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． 14．（2026·陕西西安·三模）问题探究 (1)如图①，已知中，，，平分．若为上一动点，连接，则的最小值为_____； (2)如图②，已知中，，，为中点，作，分别交边、于、两点，四边形的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生变化，请求出四边形的面积的最小值； 问题解决 (3)如图③，某公园中有一块四边形空地，经测量米，，．现计划对该空地进行重新规划，分别在边上选取点、，并沿，修两条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形的面积为平方米，该区域将用于种植观赏花卉．为保障施工的安全，需在四边形的四周修建护栏．为了节约修建成本，四边形的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积不会变化，面积的最小值为平方米 (3)存在，四边形的周长的最小值为米 【分析】（1）根据三线合一得到，，当时，的值最小，由等面积法即可求解； （2）根据题意，是等腰直角三角形，证明，得到，结合图形，面积的计算及等量代换即可求解； （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，可算出（平方米），如图所示，过点E作于点K，设米，米，得到，则最小即可，点重合，点重合，此时的值最小，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，平分， ∴，， ∴在中，， 为上一动点，连接， ∴当时，的值最小， ∵， ∴； （2）解：四边形的面积不会变化，面积为16平方米，理由如下， 如图所示，连接， ∵已知中，，，为中点， ∴是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不会发生变化， ∵， ∴四边形的面积为； （3）解：存在，四边形的周长的最小值为米，理由如下， ∵米，，， ∴四边形是等腰梯形，， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则米， 在中，米，， ∴米，米， ∵米， 同理，米，米 ∴米， ∴（平方米）， ∵四边形的面积为平方米， ∴（平方米）， 如图所示，过点E作于点K，设米，米， ∴，则， ∴米，米， ∴（平方米），（平方米）， ∴， 化简得，， ∴米，则米， ∴当值最小时，四边形的周长存在最小值， 把绕点逆时针旋转，得到，作点关于射线的对称点，交于点，连接，如图所示， 由旋转可得，， ∵， ∴共线，米， ∵米， ∴米， ∵， 当共线时，取得最小值，最小值为的长，即米， ∴四边形的周长的最小值为（米）． 15．（2026·山东青岛·一模）问题：某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持上端到屋顶和下端到墙角的距离相等，钢丝绳长度的最小值为多少米？              小明收集了该简易房屋的相关数据，将该问题转化为数学问题：如图②，屋顶是等腰三角形，墙是矩形，其中米，，点M在上，点N在上，钢丝绳始终保持．求的最小值． (1)小明决定从简单情形出发试试看：如图③，在等边三角形中，，点M，N分别在边，上，且，求的最小值．请你在下面小明思路的基础上完成． 解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线， ∵四边形是平行四边形， ∴，； 经证明当时，最小，此时最小． 请你求出的最小值，写出求解过程． 解决： (2)请你借助小明的探究解决问题，直接写出图②中钢丝绳的最小值． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）先证明，得出点P在射线上，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据直角三角形性质得出； （2）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，得出点H总是射线上，说明当时，最小，此时最小，作于点R，根据直角三角形的性质和勾股定理，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C，M分别作，的平行线，并交于点P，作射线， ∵四边形是平行四边形， ∴，； ， ∴， ∴， 在等边中，， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵在中，， ， 线段长度的最小值为； （2）解：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， 四边形是矩形， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴点H总是射线上， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中，米，， （米）， （米）， 米， 在中，， ∴为等腰直角三角形， （米）， 线段长度的最小值为米． 16．（2024·湖南·模拟预测）已知二次函数（a，b，c是常数）． (1)若二次函数图象的对称轴为直线且二次函数图象经过，两点，求该二次函数的表达式； (2)若该二次函数的顶点式可以写成的形式，其中常数h满足，且的最小值为，求a的值； (3)若该二次函数的表达式可以写成的形式，当时，函数的最小值记为T，请问T是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值为． 【分析】（1）利用抛物线对称轴公式和待定系数法求解即可； （2）根据不等式求出，再由化成一般式得，从而可得，把看作是关于的二次函数．当时．该二次函数有最小值， 分两种情况①当时，函数图象开口向上，时，二次函数取最小值，②当时，函数图象开口向下，当时，二次函数取最小值. （3）由题意得，函数图象与轴的交点坐标为和，可得对称轴为直线，根据对称轴的取值范围确定函数的最小值T的解析式求出T的最小值即可. 【详解】（1）解：由题意得， 解得 该二次函数的表达式为． （2），， ，． 把化成一般式得， ，， ． 记， 把看作是关于的二次函数．当时．该二次函数有最小值， ①当时，函数图象开口向上，对称轴为直线． ，当时，， ． ②当时，函数图象开口向下， 当时，， ． 综上，或． （3））由题意得，函数图象与轴的交点坐标为和， 对称轴为直线． ①当，即时， 由图象可知，当时，． ②当，即时，． ③当，即时， 由图象可知，当时，． 综上所述， 由上述函数画出图象（如图）可知，的最小值为． 17．（2025·湖南长沙·二模）定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数： (1)根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内： ①函数；（　　） ②函数；（　　） ③函数（为全体实数）；（　　） (2)若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于、两点，且，求该函数的峰值； (3)若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值． 【答案】(1)、、． (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据定义，结合反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象，分析判断，即可求解； （2）根据定义，可得，根据经过点和点，，建立方程组，解方程组求得的值，得出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解； （3）根据定义，可得，根据经过点，得出，根据题意可得，设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，根据方程有实数根，得出的最小值为，，根据要使得的最小值．则同号，则，即可求解． 【详解】（1）解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（） ②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（） ③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（） 故答案为：、、． （2）解：∵函数在实数范围内为峰函数， ∴， ∵经过点和点， ∴ ∴， 函数的图象与轴交于、两点，设 ∴是方程的两个实数根， ∴ 又∵， ∴ ∴ 即 ∴ ∵，， ∴ 解得：（，正值舍去） ∴ ∴ ∵ ∴顶点坐标为，即该函数的峰值为； （3）∵函数（）在实数范围内为谷函数， ∴， ∵函数的图象经过点 ∴ ∴ 又∵ ∴ 设中，是最大的数，设是方程的两个实数根， ∴， ∴ ∵方程有实数根， ∴ 设， 如图 ∴当时， ∵，即的最小值为 ∴当取得最小值时， ∵要使得的最小值．则同号， ∴ ∴的最小值为． 18．（2025·陕西咸阳·一模）（1）如图①，中，，．点P为上动点，则长度的最小值为___________． （2）如图②，中，，，，点P为平面内一点，，于点．求长度最小值． （3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形中，米，米，．种植方案是：将四边形分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点在上，，于点P，交于点．现决定先对区域进行种植实验，请你确定的面积是否有最小值，若有最小值，求出的面积最小值；若没有最小值，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积有最小值，平方米 【分析】（1）当时，的长最小，此时，根据直角三角形斜边中线的性质即可解答； （2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在上运动，过点C作于D，交于M，先根据面积法可得，由垂线段最短可得，即可解答； （3）如图③，作辅助线构建矩形和相似三角形，证明，则，根据直角三角形斜边中线的性质得：，则点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动，结合（2）中的结论即可解答． 【详解】解：（1），， ， ∵点P为上动点， ∴当时，的长最小，此时， ； 即长度的最小值是； 故答案为：； （2）如图②，以C为圆心，以1为半径画圆，则点P在上运动，过点C作于D，交于M， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； （3）的面积有最小值， 如图③，延长，交于点N，连接，取的中点为O，过点O作于H，交于M，连接，过点P作于T， ，， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 是的中点， ， 点P在以O为圆心，以25为半径的圆上运动， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是的中位线， ， ， 由（2）同理得：的最小值为， 的面积有最小值，最小值（平方米）． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了垂线段最短，平行四边形和矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，熟练掌握垂线段最短和勾股定理是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点06几何最值问题 ◆》父的◆ 内容导航 第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块★重难考向★考法解读/考向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理★典例验知★技巧点拨★类题夯基 考向01利用轴对称求最短路径（直线同侧/异侧问题) 考向02利用旋转求线段最值（费马点与旋转缩放） 考向03隐圆（动点轨迹）背景的最值问题 考向04函数背景下的代数几何最值 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 …◆》的◆ 重●难●考●向●解●读 一、2023、2024、2025年考法解读 纵观近三年全国中考数学压轴题，几何最值问题的命题呈现“重模型本质、重轨迹探究、重代数 几何双轨并驱”的鲜明特点： 1.基础模型常态化：传统的“将军饮马”（轴对称求折线最短）和“垂线段最短”几乎成为每年必 考的基础送分题，通常设置在选填题的第9-15题位置。 2.轨迹问题核心化：单动点的最值考查逐渐淡化，取而代之的是“联动双动点”。通过“主从联动 (瓜豆原理)”生成圆或直线轨迹，再结合“隐形圆”求最值，这是近三年命题人最偏爱的压轴题切 入点。 3. 跨板块融合加剧：2024、2025年真题显示，最值问题不再孤立存在，而是与二次函数顶点运动、 反比例函数K的几何意义、特殊四边形动态探究深度捆绑，计算量显著增大。 二、2026年考法预测 基于对近年命题演变的洞察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1.命题趋势展望 ()从“显性地”向“隐性”转变：题目将越来越少的直接给出对称点或平行线，更多需要学生通过 “定弦对定角”自行发掘隐形圆，或通过“共起点等线段”确定旋转不变性。 (2)费马点与胡不归的适度下放：预计2026年在部分教育发达地区（如江浙、珠三角）的压轴题中， 会出现加权线段和的最小值问题（胡不归）或三点共线极值问题（费马点），但这些难题都会有非常 巧妙的几何构造简化解法。 (3)代数法（建系)破局成为主流：对于推导极其复杂的几何最值，命题将宽容使用坐标系和二次函 1/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数顶点公式求解，考察学生的降维打击能力。 2.2026年备考策略建议 ()狠抓“轨迹”预判能力：让学生形成条件反射一一见到“两个定点十一个动点”，先判断动点轨 迹是直线（饮马）还是圆（瓜豆）；见到“平方和”想勾股定理建系。 (2)固化“三部曲”破题法：第一步：化折为直（对称）；第二步：异侧共线（两点之间线段最短）； 第三步：外展内收（三角形三边关系）。 (3)强化“代数兜底”训练：对于优等生，遇到极其复杂的几何图形，直接教授“设坐标写函数-求 顶点”的万能暴力解法，确保压轴题拿到步骤分。 重●难●要●点●剖●析 考向01利用轴对称求最短路径（直线同侧/异侧问题） 《◆题型01经典的“将军饮马”模型（两定一动） 回棉素妙计 通用思路：要使PA十PB最小，若A、B在直线同侧，则作其中一点关于直线的对称点，转化到异侧后 连接。 关键步骤： 1.辨奇偶：确定直线同侧有几个定点（通常是2个）。 2.作对称：作其中一个定点关于直线的对称点（如作A的对称点A)。 3.连线段：连接A'、B,与直线的交点即为所求的P点，此时PA十PB=AB最小。 避坑提示：若两个定点在直线异侧，则直接连接两点，与直线交点即为所求。 1.(2026安徽淮南一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1,点D在边AB上，点 E在AB的延长线上，且AD=BE,M为AC的中点，则下列结论错误的是（) B ACD+pE的最小值为5 +2 2 B.CE-DE的最大值为万-2 2 C.CD+CE的最小值为5 D.CD+DM的装小值为 2.(2026安徽蚌埠一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E,F分别为AB,CD边的中点.动点P 从点E出发沿EA向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿FC向点C运动，连接PQ,过点B作 BH⊥PO于点H,连接DH.若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中， 下列说法错误的是() 2/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A P E A.线段PC+PD最小值为2V3 B.DH的最小值3-V反 C.四边形APQD面积的最小值为6 D.线段PO长度的最大值为3√2 3.(2024·安徽淮南·模拟预测)如图，E是线段AB上一点，在线段AB的同侧分别以AE,BE为斜边作等 腰RtAADE和等腰RIABCE,F,M分别是CD,AB的中点.若AB=6,则下列结论错误的是(). F D E M B 9 A.FA+FB的最小值为3√5 B.四边形ABCD面积的最小值为 C.△CDE周长的最小值为3V2+3 D.FE+FM的最小值为3 ◆题型02造桥选址模型（两定两动） 回棉素妙计 通用思路：已知两条平行直线（河岸），要在其间修一条垂直于河岸的桥，使AM十MN十NB最短。 关键步骤： L.平移定点：将其中一个定点（如B)沿垂直于河岸的方向，向直线，平移一个河宽（即MN)，得 到点B。 2. 连线段：连接AB',交直线l,于点M。 3.定桥位：过M作河岸的垂线交2于N,则MN即为桥的位置。 核心原理：平移后NB=MB',将折线AM十MN+NB转化为线段AB的长度。 1.(2025山东淄博·二模)如图，护城河在C℃处直角转弯，宽度保持4米，从A往B处，经过两座桥： DD,EE.设护城河是东西一南北方向，A,B在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地 架桥可使AD,DE,EB的路程最短.则这个最短距离是米. 3/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4 C D E B 2.(2025江苏南京·模拟预测)架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，确保桥两边A,B两 地间的路程尽量短，以减少通行时间和成本 -n m 222222: B B B p q ① ② ③ (1I)如图①，河1的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在1上画出表示桥的位置的点P,使从A 地经过桥到B地的路程最短. (2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之间画出 表示桥的位置的线段CD,使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短. (3)如图③，河岸m和n,p和q之间的宽度不可忽略不计，即桥的宽度不可忽略不计，请你在m和n之 间、p和q之间分别画出表示桥的位置的线段CD和EF,使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经 过2座桥到B地的路程最短. 3.(2023陕西渭南二模)【问题提出】 (1)如图①，AB为半圆O的直径，点P为半圆O的AB上一点，BC切半圆O于点B,若AB=I0, BC=12,则CP的最小值为_； 【问题探究】 (2)如图②，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,点P为矩形ABCD内一点，连接PB、PC,若矩形 ABCD的面积是△PBC面积的3倍，求PB+PC的最小值； 【问题解决】 (3)如图③，平面图形ABCDEF为某校园内的一片空地，经测量，AB=BC=20W3米，∠B=60°， ∠BAF=∠BCD=150°，DE1DC,CD=20米，劣弧F所对的圆心角为90°，F所在圆的圆心在AE 的延长线上，AF=10米.某天活动课上，九(1)班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游 戏开始前，在BC上选取一点P,在弧F上选取一点Q,并在点P和点Q处各插上一面小旗，从点A 出发，先到点P处拔下小旗，再到点Q处拔下小旗，用时最短者获胜.已知晓雯和晓静的跑步速度相 同，要使用时最短，则所跑的总路程(AP+PQ)应最短，问AP+PQ是否存在最小值？若存在，请你求 4/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 出AP+PQ的最小值；若不存在，请说明理由. d 图① 图② 图③ 考向02利用旋转求线段最值（费马点与旋转缩放） 《。题型03当动点对三定点的张角均为60°时（费马点模型） 回棉素妙计 通用思路：求PA+PB十PC的最小值，若∠APB=∠BPC=∠CPA=I20°，则P为费马点。 关键步骤： 1.选定点：任选一个定点（如C),向外作等边三角形△BCD。 2.连线段：连接AD,则AD的长即为PA十PB十PC的最小值。 3.证三线共点：AD连线必然经过原图中的点P(即∠APB=120°处)。 L.(2023·安徽·中考真题)如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三 角形，点P,F分别是CD,AB的中点.若AB=4,则下列结论错误的是() B A.PA+PB的最小值为3V3 B.PE+PF的最小值为2V3 C.aCDE周长的最小值为6 D.四边形ABCD面积的最小值为3V3 2.(2025河南周口·二模)利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简 单的对称问题.具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的 然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题。 请据此解答下面的问题. 问题提出 (1)如图1，已知∠AOB=30°，P是∠AOB内一点，OP=6,点M,N分别是OA,OB边上的动点 (不与点O重合)，求△PMN周长的最小值.我们可以分别作点P关于OA,OB的对称点R,P,然 后连接P,乃，B与OA,OB有两个交点，当M、N分别与这两个交点重合时，如图2，△PMN周 长最小 5/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①∠POP的度数是_； ②△PMN周长的最小值是_· 问题探究 (2)如图3，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2,点D是AC的中点.在AB上取点P,连接 DP,CP,试求DP+CP的最小值. 问题解决 (3)如图4，四边形ACBD为一个矩形绿地，点O为矩形ACBD的中心，通过测量得∠BAC=30°， BC=20米，在绿地边AC上存在一点P,使得PO+BP+OB的值最小.请直接写出这个最小值. A D B 图1 图2 图3 图4 3.(2024陕西咸阳·模拟预测)(1)如图①，在△ABC中，AB=AC=4,∠CAB=30°，P为△ABC内 一点，求PA+PB+PC的最小值.为了求PA+PB+PC的最小值，小明是这样做的：将△PAB绕点A 顺时针旋转60°得到△PAB,则PE=PB,连接PP.此时小明发现∠PAP'=60°，且AP=AP,则 △PAP为等边三角形，于是PA=PP',试着根据小明的思路，求出PA+PB+PC的最小值. (2)如图②，某牧场有一块矩形空地ABCD,其中AD=200米，AB=100N3米，点E在AD边上且 AE=50米，F为AB边上任意一点，点A关于EF的对称点为A'.牧场主欲在四边形AEAF的四条边 上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形ABCD内一点P处打 一口井，并修建地下管道PA,PB,PC.请问：是否存在一点P,使PA+PB+PC的值最小？如果存 在，请求出PA'+PB+PC的最小值及此时BP的长；如果不存在，请说明理由. 图① 图② ◇题型04共顶点等线段的旋转最值（手拉手最值） 包锦豪妙计 通用思路：图形在运动变化中，若有两条线段始终从一个顶点发出且相等（如AB=AC),通常将其作 6/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为旋转的基准边。 关键步骤： 1.找不变：确定共顶点的等线段（如OA=OB)。 2.定轨迹：另一动点P的轨迹通常是由旋转中心发出的射线或圆。 3.求极值：当目标线段（如OP)与轨迹圆相切，或O,P与旋转中心三点共线时，取得最大/最小值。 1.(2025·安徽模拟预测)如图，平行四边形ABCD中，AD∥BC,AB=BC=CD=AD=4, ∠A=∠C=60°，连接BD,将△BCD绕点B旋转，当BD(即BD')与AD交于一点E,BC(即BC )同时与CD交于一点F时，下列结论正确的是() ①AE=DF,②∠EBF=60°，③∠DEB=∠DFB,④ADEF的周长的最小值是4+2V3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2023江苏苏州一模)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直 线BD与直线AE交于点F,若点D在△ABC内，∠DBC=15°，则∠BAF=°；现将△DCE绕点 C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 3.(24-25九年级下·广西桂林·月考)旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条 件相对集中，以达到解决问题的目的. ① ② ③ 【探究发现】如图①，在等边三角形ABC内部有一点P,PA=2,PB=√3，PC=1,求∠BPC的度数.爱 动脑筋的小明发现：将线段BP绕点B逆时针旋转60°得到线段BP,连接AP',PP',则 △BPC≌△BP'A,然后利用。BPP和△APP形状的特殊性求出∠BPA的度数，就可以解答这道题. 7/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 下面是小明的部分解答过程： 解：将线段BP绕点B逆时针旋转6O°得到线段BP',连接AP,PP」 :BP=BP',∠P'BP=60° △PBP是等边三角形， ∠BP'P=60°，PP'=PB=√5， :△ABC是等边三角形， ∠ABC=60°，BC=BA, .∠ABC-∠ABP=∠P'BP-∠ABP,即∠PBC=∠P'BA. (1)请你补全余下的解答过程. 【类比迁移】 (2)如图②，在正方形ABCD内有一点P,且PA=V17,PB=2W2,PC=1,求∠BPC的度数， 【拓展延伸】 (3)如图③，在(2)的条件下，连接DP,若正方形ABCD的边长为2，则线段PD的最小值为 考向03隐圆（动点轨迹）背景的最值问题 题型05“定弦对定角”构造隐圆 包棉豪妙社 通用思路：若线段AB长度固定，且动点P满足∠APB=O(定值)，则P点的轨迹是以AB为弦，圆周 角为0的两段圆弧。 关键步骤： 1.定弦：确定长度不变的线段AB。 2.造圆：利用尺规作图，构造使得∠AOB=20的圆心O。 3.求最值：将所求最值（如PA+PB或PC)转化为圆心O到定点C的距离±半径r。 避坑提示：当0=90°时，圆心为弦AB的中点，轨迹为以AB为直径的圆。 1.(2024安徽淮北二模)已知正方形ABCD的边长为4，点P是平面内的一动点，连接BP,且BP=AB, 点Q是BP上一点，BQ=1,连接DP,CP,AQ,下列结论错误的是() A.AQ的最小值是3 B.DP的最小值是4V2-4 C.PD+PB的最大值是8+2√2 D.AQ+DP的最小值是5 2.(2024辽宁辽阳·三模)【问题初探】 8/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E E B G ■ D C 图1 图2 图3 (1)如图1，动点A在半径为2的⊙0上，若OB=3,求AB的最小值 由于OA和OB都是定长，当点A、B,O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”， 由此可知当点A在OB上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求AB最小值的解题过程. 【类比分析】 (2)如图2，点E和F分别是边长为4的正方形ABCD边CD和AD上的两个动点，且CE=DF,连接 AE和BF交于点G,连接DG,求DG的最小值， 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测∠AGB始终都是直角，于是联想到了“90°圆周角所 对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形ABCD内以AB为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比 图1获解，清按照霖霖的思路完成求DG最小值的解题过程。 【学以致用】 (3)如图3，是两块等腰直角三角板，∠C=∠DEF=90°，CA=CB,ED=EF=4.当点D和E同时 在边AC和AB上滑动时，点F也随之移动，若连接AF,则AF的最大值是 B E C 图3 3.(2025湖南·模拟预测)我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到， 这就是所谓的“隐圆”问题： 图1 图2 图3 9/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 下面让我们一起尝试去解决： (①)如图1，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点，且满足 ∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为 (2)如图2，在正方形ABCD中，动点E,F分别从D,C两点同时出发，以相同的速度在边DC,CB上移 动，连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动，使得点P也随之运动.若AD=2,则线段CP的最 小值是 (3)如图3，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2,点G为EF 的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为多少？ 。题型06“主从联动”瓜豆原理（双动点轨迹） 回棉豪妙计 通用思路：存在一个主动点P在已知直线/圆上运动，从动点Q满足与P的某种几何约束（如AQ⊥AP 且AQ=AP),求Q点的最值。 关键步骤： 1.析关系：明确主动点P和从动点Q之间的相对运动关系（平移、旋转还是缩放）。 2.定轨迹：若P的轨迹是直线，则Q的轨迹也是直线：若P的轨迹是圆，则Q的轨迹也是圆（轨迹 圆)。 3. 算极值：求出从动轨迹（直线或圆）上的临界点，代入计算目标线段的长度。 核心口诀：主动点走直线，从动点走直线：主动点走圆，从动点走圆。 1.(2026山东淄博一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=3,AD=2,线段AD绕 点A旋转，点E为DB的中点，则CE的最大值是 2. (2026·重庆南岸模拟预测)如图，在△ABC中，AB=AC. 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠BAC=60°，点D在AC边上（不与A,C点重合）.连接BD,将BD绕点D逆时针旋转 60°得到DE,连接BE,CE.求∠BCE的度数； 10/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，若∠BAC=90°，点D,P分别在AC，AB上，连接PD,将PD绕点D逆时针旋转0°得 到DE,连接PE,点F是PE的中点，连接AF.请用等式表示线段AF,AD,AP的数量关系并证明： (3)如图3，若∠BAC=90°，点P在AB上，且AP=2BP,点D在直线AC上，连接PD,将PD绕点D 逆时针旋转9O°得到DE,连接PE,点F是PE的中点，连接AF,AE.当AE取最小值时，在直线 BC上取一点M,连接ME,将△FEM沿EM所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得到△OEM,连 CM 接PO,当PO取最大值时，请直接写出BM的值. 3. (2026陕西西安·一模)问题提出 】 图① 图② 图③ (I)如图①，在△ABC中，∠A=30°，BC=4,求△ABC面积的最大值 问题探究 (2)如图②，点A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB=2,BC=4,△ACD是等边三角形，求 △BCD的面积最大值： 问题解决 (3)如图③，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=40,BC=20,点P是⊙O上一动点， 连接CP,以CP为斜边在PC上方作Rt△PCD,使∠DCP=6O°，连接AD,求△ACD的面积最大值， 考向04函数背景下的代数几何最值 《。题型07利用二次函数顶点式求几何极值 回棉素妙竹 通用思路：当动点在二次函数图象上运动时，求某条线段（如竖直线段、水平线段）的最大值。 关键步骤： 1. 设坐标：设动点坐标为x,ar+br+c 2.表线段：根据题意，用含x的代数式表示出目标线段的长度L(通常表示为两点纵坐标之差的绝对 值，或横坐标之差的绝对值)。 B 3. 求极值：整理成二次函数标准形式L=r2+Br+C,利用公式2A求出最值，或利用配方法求 顶点纵坐标。 (2026山东聊城一模)小亮运用AI模型和几何画板研究了动点最值问题.以下为研究笔记的部分内 11/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 容：A模型梳理了初中常见的动点最值问题，从“距离”这一核心概念出发整理出下列表格，请阅读 材料并完成下列问题。 类 点到点的距离 点到直线的距离 点到圆的距离 基 本 直线外一点到直线上各 点P到⊙O的距离为1，则 原 两点之间，线段最短 点的所有连线中，垂线 有PO-r≤I≤PO+r 理 段最短 P C 基 本 A 图 P.s--- A 形 A C C2 C3 C 【直接应用】 (I)已知在Rt△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,点P为边BC上一动点. ①线段AP的最小值为 ②若点F为AC的中点，则线段AF绕点A顺时针旋转，PF的最小值为 【迁移运用】 (2)如下图，一次函数y=x-3和二次函数y2=X2+2X,一次函数的图象与坐标轴分别交于点B,点 C.若P为二次函数图象上的一个动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为点A,求PA最小值. 2.(2026重庆模拟预测)已知抛物线y=r+br+ca≠0)与x轴交于点A-2,0)和点B，与y轴交于点 9 c’其顶点为D-2: 12/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，点K是抛物线对称轴上的一个动点，过点D作直 线I⊥y轴，点T是直线1上的一个动点，过点P作PH⊥BC于点H,作PQ⊥x轴交BC于点Q,当 △PHQ的周长最大时，求PT+TK+KB的最小值及此时点K的坐标： (3)在(2)中PT+TK+KB取得最小值的条件下，将抛物线沿射线AC平移，使得平移后的点A与点C 9 重合，得到新抛物线y,点G为新抛物线上的一个动点，将点K向下平移4个单位得到K,当 ∠GK'B=∠ABK'时，直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出其中一个的求解过程 3.(2025内蒙古鄂尔多斯·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B(4,0),与y轴交于点 C(O,4),点P(m,n)在抛物线上，如图1，连接BC、PC、PB. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)当1≤m≤5，求n的最大值与最小值的差； (3)如图2，点E是y轴上一动点，点F为抛物线对称轴上一动点，点M为直线y=-x-1上一动点，连 接PE,EF,FM,当m=2时，求PE+EF+FM的最小值， 《。题型08反比例函数图象中的几何最值(K的几何意义) 13/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 回棉囊妙社 通用思路：利用反比例函数上点的横纵坐标之积为常数|，结合基本不等式或几何图形特征求最值。 关键步骤： k m, 表坐标：设反比例函数图象上的点为m) 建关系：将目标几何量（如矩形的面积、周长，或两点间距离）用m和k表示出来。 求边界：利用基本不等式a+b≥2b(当且仅当a=b时取等号），求出代数式的极小值或极大值。 核心公式：若点在双曲线y=k上，则+y之2可xy>0时取得最小值)。 1.(2024广东中山·三模)下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务。 用均值不等式求最值 若实数。06>0：则有”历，当且仅当。=6时，取等号，我们路不等式 a+b≥Nab(a>0,b>0)为均值不等式. 证明：：a>0,b>0 :Va-b≥0 a-2Wab+b≥0 .a+b≥2Wab :a+b≥a6 2 由上可知，①当a+b为定值的时候，√ab有最大值： ②当Vab为定值的时候，有a+b最小值. 所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值. 例：已知x>0'求函数y=x+的最小值。 解：x>0 0 yx少2上2，当组仅当x即时，等男成粒 x=1 :当即x=1时，函数y=x+文取最小值，最小值为2. 任务： 14/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0若0则当三一时.代数式3+是以敏小值，最小值为 ②已知若>2函数少=x+9 +x一2，试说明当，取何值时，y取得最小值，并求出y的最小值： (8)如图。已知点p是反比例函数y-三x>0图象上一动点，点4-，则。4Op的面积的最小值为 2.(2025山东济南二模)【闵读理解】对于任意正实数a、6,(Na-6°≥0，：4-2b+h≥0， .a+b≥2Wab(只有当a=b时，a+b=2√ab). 【获得结论】在a+b≥2√ab(a、b均为正实数)中，若ab为定值p,则a+b≥2√p,当且仅当 a=b时，a+b有最小值2Vp. 例如：在之0的条件下，+之2 1 x V x x+上≥2，当且仅当x=,即，时，x+上有最小值。 最小值为2. 【探索应用】根据上述内容，回答下列问题： 4 (1)若m>0'm+m有最小值是一； 2)已知>2则x+ +x-2的最小值是一 8)已知1若=21+2 1-1，求y的最大值. (④）已知点0-8-10是双自线y-兰上点，过0作041：销于点4作08上y维于点gp是双自 线y=x>0)上任意一点，连接PA'PB求四边形AQ8P的面积的最小值 15/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025四川达州二模)知识背景 且时，因为-后≥0，所以-2石+≥0，从面+≥2石（当=石时取等号）· 当> x>0 设函数y=x+(a>0,x>0),由上述结论可知：当x=后时，该函数有最小值为2瓜 应用举例 已知函数=>0与函数兰>0，则当x=v4=2时，月+=+是有最小首为2=4 解决问题 D尼知函数=x+3>3)与函数3c>3),当x取何值时，+必，有最小值？最小值是多少 (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元：二是设备的租赁 使用费用，每天200元：三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001.若设 该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 重·难·提·分·必●刷 (建议用时：60分钟) 一、单选题 1(2025浙江药州三模)已知反比例函数=k<0,当2≤x<3时，函数，的最小值为a则当 -2≤x≤-1时，函数y有() A.最小值-2a B.最大值-2a C.最大值-a D.最小值号 2.(2025陕西宝鸡·二模)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-mx+m-m+2(m为常数)的图象经 过点(0,2)，点A0,、B1,b)在这个二次函数的图象上，且a=b,则该二次函数有() 入 A.最小值4 B.最小值-4 C.最小值2 D.最小值2 3.(2025河北石家庄模拟预测)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,4),P(1,),且 16/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0<t<4,点Q在x轴的负半轴上，OQ>OA,将线段QP绕点Q逆时针旋转90°变为线段QB，以PA, PQ为邻边作PACO,射线BC交x轴于点D,BE是点B到y轴的垂线段.则下列结论中：① AC⊥BQ:②四边形ODBE是正方形：③AE+CD=OQ:④CQ存在最小值，且其最小值是2√2：⑤ 若连接OP,，则t值从小变大时，∠AC9+∠OP№的值先增大再减小，错误的有() y D O A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.(2025河北一模)如图，已知在矩形ABCD中，AB=6,BC=3,点H在AB边上，且BH=2,点 E为射线DC上一动点，连接AE,过点H作HF⊥AE于G,交直线CD于F.则有下列结论： 9 ①∠BME的正切值为4时，EF的长为4 ②在点E运动过程中，EF的最小值为2； ③当点E在射线DC上运动时，GC的最小值为3： 其中，正确的有() B G E A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.(2026安徽安庆·一模)已知如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,BC=4,点P为边AC上 一点，连接BP,将△ABP沿BP翻折，得到△EBP,其中点O为边AB中点，点D为边BE中点，连接 OD、OP、CE,下列说法错误的是() A.Bp最小值为4 B.CE最小值为2 17/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.OD的最大值为3 P+B即最小值为 D. 5 6.(2026安徽阜阳·二模)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E,F分别是BC,CD上的点且 BE=CF,AE与BF交于点H,过点D作DG⊥AE于点G,点T是BC上一动点，连接DT,DE, HT,BG,下列结论错误的是() D A.BG+号B的最小值为4 B. BH+DG的最大值为4N2 C.DT+HT的最小值为23-2 D.AE+DE的最小值为4V5 二、填空题 7.(2022河南安阳·模拟预测)如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，E是BC边上一点，且 BE=I,F是射线BA上的动点，以EF为边在右侧作等边△EFP,连接CP,则线段CP长的最小值为 D B E 8.(2026山东枣庄·一模)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=12,E是AB边上任意一点，F为 BC边上一动点，连接DE、EF,M、N分别为DE,EF的中点，则MN的最小值是」 D E B 9.(2026江苏南通一模)若1≤x≤3时，二次函数y=2x2-3ax+4的最小值为-23，则a= 0(2023-四川自页中考真题)如图，直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，点D是线里 18/22 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 AB上一动点，点H是直线y= x+2上的一动点，动点E(m0,F(m+3.0,连接BE,DP,HD 当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 D H 0 11.(2023·福建泉州模拟预测)如图，点E是正方形ABCD的内部一个动点（含边界），且AD=EB=8, 点F在BE上，BF=2,则以下结论：①CF的最小值为6；②DE的最小值为8V2-8:③CE=CF: ④DE+CF的最小值为l0;正确的是 D 12.(2024四川成都一模)对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形N,给出如下定义：P为图形M 上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P,Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形 M,N间的“捷径距离”，记为d(图形M,图形N).已知△ABC三个顶点的坐标分别为A-2,l, B(-3,2),C(-l,2),将三角形ABC绕点D(a,a逆时针旋转90°得到△A'B'C,若△AB'C上任意点都 在半径为4的⊙0内部或圆上，则△ABC与△ABC'的“捷径距离”d(△ABC,aAB'C)的最小值是一， 最大值是 x 三、解答题 13.(2024广东肇庆·一模)【发现问题】 由(a-b)2≥0得，a2+b2≥2ab;如果两个正数a,b,即a>0,b>0,则有下面的不等式： 19/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+b≥2Wab,当且仅当a=b时取到等号， 【提出问题】若a>0,b>0,利用配方能否求出a+b的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知x>0:求式子x+手的最小值。 职令。头则曲46e2西得+4，当且假省时.即=2式有 4 x=2 最小值，最小值为4. 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： (1)2+3 2W2×3(用“。”“≥”“<”填空)：当x>0式子x+的最小值为 【能力提升】 (2)用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问 这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (3)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB、△COD的面积分别是8和14， 求四边形ABCD面积的最小值. D 墙 y 花园 14.(2026陕西西安·三模)问题探究 M B D D 图① 图② 图③ (1)如图①，已知△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD平分∠BAC.若P为AB上一动点，连接 PD,则PD的最小值为： (2)如图②，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=8,D为BC中点，作∠MDN=90°，分别交 边AB、AC于M、N两点，四边形AMDW的面积是否发生变化？若不变化请求出这个面积；若发生 变化，请求出四边形AMDN的面积的最小值； 问题解决 (3)如图③，某公园中有一块四边形空地ABCD,经测量AB=DC=AD=40米，∠A=120°， 20/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD∥BC.现计划对该空地进行重新规划，分别在边AB、BC上选取点E、F，并沿DE,DF修两 条休闲通道（通道的宽度忽略不计），设计要求四边形DEBF的面积为50OW3平方米，该区域将用于 种植观赏花卉.为保障施工的安全，需在四边形DEBF的四周修建护栏.为了节约修建成本，四边形 DEBF的周长是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由 15.(2026山东青岛·一模)问题：某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，在调整钢丝绳 端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持上端到屋顶和下端到墙角的距离相等，钢丝绳长度的 最小值为多少米？ 钢丝绳 B 图① 图② 图③ 图④ 小明收集了该简易房屋的相关数据，将该问题转化为数学问题：如图②，屋顶是等腰三角形，墙是矩 形，其中AB=AC=CD=2米，∠ACB=30°，点M在AC上，点N在DE上，钢丝绳MN始终保持 AM=DN.求MN的最小值. (I)小明决定从简单情形出发试试看：如图③，在等边三角形中，AB=3，,点M,N分别在边AC,BC 上，且AM=CW,求MW的最小值.请你在下面小明思路的基础上完成. 解：过点C,M分别作MN,BC的平行线，并交于点P,作射线AP, .四边形MNCP是平行四边形， ∴.PM=NC,MW=PC: 经证明当CP⊥AP时，CP最小，此时MW最小. 请你求出MN的最小值，写出求解过程 解决： (2)请你借助小明的探究解决问题，直接写出图②中钢丝绳MN的最小值， 16. (2024湖南·模拟预测)已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数). 3 (I)若二次函数图象的对称轴为直线=2且二次函数图象经过A1,0,B(0,4)两点，求该二次函数的 表达式： 2)若该二次函数的顶点武可以写成v三x-一2的形式，其中常数h满足2在21，且b+的显 小值为-3，求a的值： (3)若该二次函数的表达式可以写成y=2(x-m(x-m-2)的形式，当3≤x≤5时，函数的最小值记为 T,请问T是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由 17.(2025·湖南长沙二模)定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷 21/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数，这个最小值叫做谷值：若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰 函数.这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰 谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小 值，我们称这个函数为非峰非谷函数： (I)根据条件判断下列函数的类型，将代码(A谷函数：B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数)写 在后面的括号内： ①函数y=2025x≠0)：（) ②函数y=x+2025(-2025≤x≤2025)；() ®函数y=?+2025x+石(，为全体实数)：( ) (2)若函数y=ax2+br+C(a≠0)在实数范围内为峰函数，且经过点(1,4)和点(-l,-4),其图象与x轴交 于A、B两点，且AB=2V5,求该函数的峰值： (3)若函数y=ax2+bx+c(a≠0)在实数范围内为谷函数，函数图象经过点1,2)，且满足abc=4, 求a+b+C的最小值. 18.(2025陕西咸阳一模)(1)如图①，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=6.点P为AB上动点， 则CP长度的最小值为 (2)如图②，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4,BC=3,点P为平面内一点，CP=1,PQ⊥AB 于点.求PQ长度最小值， (3)如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形ABCD中， AB=CD=40米，AD=BC=30米，∠ABC=90°.种植方案是：将四边形ABCD分成一些区域种植 不同的观赏作物，其中点E、F在AB、DC上，AE=2DF,CQ⊥EF于点P,交AD于点Q.现决定 先对△ABP区域进行种植实验，请你确定△ABP的面积是否有最小值，若有最小值，求出△ABP的面积 最小值；若没有最小值，请说明理由. 图① 图② 图③ 22/22