重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系（重难专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“考向-题型-方法”三维架构系统整合圆的性质与位置关系，通过“通用思路+关键步骤”提炼解题模型，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的基础性质|2题型6典例|等角转化三步法、弦所对圆周角分类讨论|从圆心角/弧/弦关系到分类讨论，构建性质应用逻辑链| |垂径定理应用|2题型6典例|弦长问题“作弦心距+勾股定理”、弓形高计算模型|以垂径定理为核心，连接半径、弦心距与弦长的数量关系| |切线判定与性质|3题型9典例|切线判定双路径（连半径证垂直/作距离证半径）、切线长定理全等应用|从切线定义到性质计算，形成“判定-性质-计算”递进体系| |与圆有关的计算综合|2题型6典例|阴影面积割补法、隐圆最值“圆心距±半径”模型|整合面积公式与动态几何，强化模型意识与转化思想|

重难点04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 圆的基础性质（圆心角、弧、弦、圆周角） 考向02 垂径定理与勾股定理的应用（弦长问题） 考向03 直线与圆的位置关系（切线的判定与性质） 考向04 与圆有关的计算综合（阴影面积、最值） 三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 一、 2023、2024、2025年考法解读 综合分析近三年全国中考真题，圆这一板块的命题呈现“重基础模型、考位置关系、强调整合计算”的特点： 1. 基础考查：多以选择、填空形式出现，单题3-4分。主要考查圆周角定理、圆心角与弧的转化、垂径定理的直接应用。这类题目通常只涉及单一知识点，套用核心结论即可秒杀。 2. 综合考查：作为几何解答题的核心载体（常与三角形、四边形综合），重点考查切线的判定与性质、阴影部分面积计算。题目呈现“一题多点”的特征，前两问较基础，第三问往往需要添加复杂辅助线。 3. 命题偏好：命题人极度偏爱“知二推三”的方程组模型（知弦心距、半径、半弦长中的任意两个求第三个）；同时，“隐形圆”（满足特定角度条件的动点轨迹）逐渐成为压轴题的拉分利器。 二、 2026年考法预测 基于对近年命题演变的洞察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1. 命题趋势展望 (1) 从“单一圆”向“跨板块”过渡：预计2026年将更频繁地出现“圆＋相似/全等”、“圆＋二次函数”的综合压轴题，圆将作为提供“直角”或“等角”的背景板。 (2) 隐性条件显性化：题目将更少直接给出“圆心”或“半径”，转而要求学生通过“定角对定弦”自行发掘隐形圆模型。 (3) 探究性增强：可能出现结论开放的探究题，例如“给定若干条件，探究直线是否与圆相切并说明理由”。 2. 2026年备考策略建议 (1) 狠抓“知二推三”基本功：将“半径、半弦长、弦心距”构成的直角三角形奉为圭臬，训练学生见弦长问题先作弦心距。 (2) 固化“切线判定”双路径：明确区分“无交点连距离，有交点连半径证垂直”的适用场景。 (3) 提炼“面积和差”套路：面对阴影面积，严格落实“大图形减小图形”或“规则图形加减不规则图形”的代数化表达。 重●难●要●点●剖●析 考向01 圆的基础性质（圆心角、弧、弦、圆周角） 题型01 圆心角、弧、弦、圆周角的相互转化计算 通用思路：遇到弧相等、弦相等或角度相等，优先寻找它们所对的圆心角或圆周角，利用“同圆中，等弦对等圆心角”进行等量代换。 关键步骤： 1. 找同圆/等圆：确认已知条件中的弧、弦是否在同一个圆中。 2. 寻桥梁：如果条件分散，通过作辅助线（如连接圆心与弦端点）构造圆心角相等。 3. 算结果：利用“圆心角是圆周角的两倍”或“弧的度数等于圆心角度数”列出一元一次方程求解。 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，为的直径，点C，D在圆上，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等弦对等弧可得，利用圆周角定理求得的度数，进而求出的度数，再根据直径所对的圆周角是直角，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 为的直径， ， ． 2．（2026·陕西渭南·一模）如图，、、都是的半径，连接、．若，，则的度数为______°． 【答案】 80 【详解】解：， . ， ． 3．（2025·陕西西安·三模）如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【答案】/75度 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ． ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 连接， ∵点A、B、C是三等分点， ∴, ∴， ∴． 题型02 圆中的分类讨论（弦所对的圆周角） 通用思路：一条弦所对的圆周角有两个，且这两个角互补。 关键步骤： 1. 定弦：明确题目中给定的弦（如弦AB）。 2. 分情况：顶点在优弧上求得一个圆周角；顶点在劣弧上，其圆周角＝180°－优弧上的圆周角。 3. 避坑提示：若题目未明确指明圆周角的顶点位置，必须分两种情况讨论，否则极易漏解失分。 1．（2026·陕西咸阳·一模）如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】先利用直径所对圆周角为直角，结合已知求出；再由等腰得，结合等腰与，证得平分，算出；最后根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，求出． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，即平分， ∴， ∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ∴． 2．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为等边三角形，点D在上，点E在上，，连接、、，点G为外一点，连接、、、，，下列结论：①②平分③④若，则的最小值为3．其中正确的结论是_________． 【答案】①②③④ 【分析】证明得，利用是的外角等量代换可证①；由，得四点共圆，根据等弧对等角和等量代换可证②；在上取点M，使，证得，可证③；设，则，， 过点E作于点H，在和中根据勾股定理，可证④． 【详解】解：①∵为等边三角形，     ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴正确； ②∵， ∴四点共圆， 同弧所对圆周角： 同弧所对圆周角： ∴， ∴平分，正确； ③在上取点M，使， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； ④设，则，， 过点E作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为9， ∴的最小值为，正确． 3．（2026·江苏泰州·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，，与相切，切点分别为C，D．若，，则_______． 【答案】 【分析】连接，，，设与交于点Ｅ，利用线段垂直平分线的判定和性质，圆周角定理，正切函数的应用，求解即可； 【详解】解：连接，，，设与交于点Ｅ， ，与相切，切点分别为C，D． 则，，， 直线垂直平分线段， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考向02 垂径定理与勾股定理的应用（弦长问题） 题型03 求半径、弦长或弦心距中的未知量 通用思路：只要遇到弦长问题，第一反应就是“作弦心距”，将几何问题转化为代数方程。 关键步骤： 1. 作辅助线：过圆心作已知弦的垂线，垂足即为弦的中点（垂径定理）。 2. 设未知量：根据题目要求，设半径r、弦长的一半或弦心距d为未知数。 3. 列方程：代入勾股定理求解。 1．（2026·安徽宿州·一模）如图，已知的半径为10，弦，点C是上一点，且，则的长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理求线段长度，熟练掌握垂径定理是解题关键．过点O作于点D，连接．根据垂径定理可知，从而在中，运用勾股定理求出线段的长，再在中，运用勾股定理求出线段的长． 【详解】解：如图，过点O作于点D，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 在中，． 故选：B． 2．（2026·江苏无锡·一模）如图，为直径，C，D为上的两点，且是的切线，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）连接，利用切线的性质结合已知判定出，得出，由等弧对等角得，再利用角的等量代换即可解答； （2）作于点，证明四边形是矩形，求出，再利用垂径定理、勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：作于点，如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 3．（2026·浙江丽水·一模）如图，已知是半圆的直径，点，在半圆上，且平分，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，结合已知条件，证明即可得证； （2）要求，尝试把放到直角三角形中，连接，显然，进而可知，由垂径定理及可得的长，问题得解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ， ． 平分， ， ． ． ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：连接交于F， 是的直径， ， ， ， ，四边形为矩形， ， ． 在中，，由勾股定理，得 ． ． 【点睛】本题考查了圆的切线，垂径定理以及三角函数，掌握证明切线的常见方法“连半径证垂直”、求三角函数值时要尝试构造直角三角形等方法是解题的关键． 题型04 弓形高与弦长的计算 通用思路：弓形高＝半径±弦心距（弦远离圆心取加，靠近圆心取减）。 关键步骤： 1. 连半径：连接圆心到弦的端点，形成半径r。 2. 求弦心距：利用勾股定理求出圆心到弦的距离d。 3. 算弓高：h＝r－d（弓形小于半圆）或h＝r＋d（弓形大于半圆）。 1．（2026·广西·一模）如图，是的外接圆，已知的半径为，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，过点作于点，取优弧上任意一点，连接、，由垂径定理可求得的长，再由勾股定理可求得的长，根据与的数量关系，可得的度数，进而可得、的度数，然后根据圆周角定理可得的度数，最后根据圆内接四边形的性质即可得解． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，取优弧上任意一点，连接、， ， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 2．（2026·云南大理·一模）如图，是的弦，点是的中点，交于点．若，，则的半径为________． 【答案】5 【分析】连接，由题意可得，由垂径定理可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， ， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·上海静安·二模）如图，弓形弦长米，高米，有一内接矩形，边在上，顶点E、H在弓形弧上，边的长比的2倍多4米． (1)求该弓形所在圆的半径； (2)求的长． 【答案】(1)25m (2)13m 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理，找出圆心正确作出辅助线是解题关键． （1）取圆心，连接，，由垂径定理得，设半径为，在中利用勾股定理列方程即可； （2）连接，设，则，由垂径定理得，再由矩形性质得，，，最后在中利用勾股定理列方程即可． 【详解】（1）解：取圆心，连接，， ∵是弓形的高， ∴是的中点，且，圆心在直线上． ∴（米）， 设， 则， 在中， ， ∴， ∴， ∴该弓形所在圆的半径为25m． （2）解：连接， 由（1）得，， 设， 则， ∵是弓形的高， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ， （舍去），， ∴ ． 考向03 直线与圆的位置关系（切线的判定与性质） 题型05 切线的判定 通用思路：证明直线与圆只有一个公共点。 关键步骤： 1. 审图判断：观察直线与圆是否有明确的公共点。 2. 选路径： (1) 无公共点：作圆心到直线的垂线段，证明垂线段长度等于半径（d＝r）。 (2) 有公共点：连接圆心与该公共点，证明这条线段垂直于直线（连半径，证垂直）。 (3) 写结论：得出该直线是圆的切线。 答题模板：“判定切线”通法：①连半径；②证垂直（通过角度和为90°或全等三角形对应角相等）；③下结论 1．（2025·四川雅安·中考真题）如图，中，是角平分线，O是上一点，经过点A、点M的分别交于点E，点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得，再由即可得，从而得与的位置关系是相切； （2）连接，证明即可； （3）连接，在中，由，设，则，从而，求得a的值，则可得，再由正弦函数关系即可求得的值． 【详解】（1）解：与的位置关系是相切； 理由如下： 如图，连接， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵为圆的半径， ∴与的位置关系是相切． （2）证明：如图，连接， ∵是圆的直径， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（1）知， 在中，， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·江西宜春·一模）“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”．小明提出一种想法：如图，设点为上一点，先作射线交于点，再以上一点为圆心（点不与点，重合），以长为半径画圆弧，交射线于点，交射线于点，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由及、、共线，得为直径，故，即，结合为半径，证得为切线； （2）连结，由等腰三角形性质与直角三角形两锐角互余，得，再由及，求出，进而得半径为． 【详解】（1）解：∵，点B、A、C在同一条直线上， ∴为的直径， ∴，即． 而为的半径， ∴为的切线． （2）解：由题可知，则， ， 连接，由得， 又∵， ∴． ∴．即． ∵， ∴，即的半径为． 3．（2026·辽宁阜新·一模）如图，点，，，为上四个点，为直径，，，平分．过点作交的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的性质和平行线的性质得到，即可得证； （2）过点作的垂线，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，利用勾股定理得出，证明，即可得解； 【详解】（1）证明：平分， ， ； 连接，如图1， 为直径， ， 又， ． ， ， ， ， ， 为的切线； （2）解：过点作的垂线，交的延长线于点，如图2， ， ， ， 又， ， ， ， 为等腰直角三角形， 在中，， ， ，，， ， ， ， 在中，， ． 题型06 切线的性质计算（求线段长或角度） 通用思路：已知切线，则圆心与切点的连线必垂直于切线。 关键步骤： 1. 连半径：连接圆心和切点，得到直角（夹角90°）。 2. 找直角三角形：这个直角通常与题目给出的其他条件（如特殊角30°/45°、勾股定理、相似三角形）结合。 3. 算未知：利用三角函数或勾股定理列出方程求解半径或线段长。 1．（2026·四川南充·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点E，过A点作交延长线于点D，过点C作的切线，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用等角的余角相等证明，即可得到； （2）连接．利用圆周角定理结合等腰三角形的性质得到，在和中，解直角三角形求得，，设，利用勾股定理列式计算求得，再在中，利用正弦函数的定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴． ∴． ∴， ∴； （2）解：连接． ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，． 在中，． 2．（2026·辽宁大连·一模）如图，四边形内接于，且是的直径，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、切线的性质定理、圆周角定理： （1）证明后，即可得到； （2）利用切线性质和等边对等角得，再利用特殊角的三角函数值得到的半径，最后用弧长公式即可． 【详解】（1）证：是的直径， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：是的切线， ，即， ， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， 在中，， 的半径， 由（1）知，， ， 的长． 3．（2026·天津·一模）已知内接于，，，是的直径，连接． (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，过点作的切线，与交于点，若，求的长． 【答案】(1)，； (2)6． 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由直径所对圆周角是直角得，可得，得出； （2）连接，证明．．．可得四边形是矩形．又，四边形是正方形．可得．求出，可得． 【详解】（1）（1），， ． ． 是的直径， ． ； （2）解：连接． 切于点， ，即． 同理． 又，则． 四边形是矩形． 又， 四边形是正方形． ，． 则． 由（1）知，， 则． 由，可知 ． 则． 又 ． 题型07 切线长定理的应用 通用思路：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。 关键步骤： 1. 标相等：在圆外图形中，从同一点出发的两条切线长度直接标记为相等。 2. 证全等：利用HL证明由两条切线、圆心与圆外点连线构成的两个直角三角形全等。 3. 算周长/面积：通常通过设未知数，利用全等和勾股定理建立等式求解。 1．（2026·安徽淮南·一模）如图，是的内切圆，线段与相切，与、分别交于点D、点E，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与，，，分别相切于点G，H，D，F，证明四边形，是正方形，设的半径是r，，，推出，，证明出，得到，然后利用勾股定理表示出，根据锐角三角函数值求出即可． 【详解】解：如图，设与，，，分别相切于点G，H，D，F ∴，，，，， ∴四边形，是正方形 设的半径是r，，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得：， ∴ ∴． 2．（2026·河南周口·一模）如图，经过菱形的顶点，且分别与边相切于点．若，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】连接，利用菱形的性质求出相关角的度数，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后利用割补法求面积． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 由切线长定理可得，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 3．（2026·广东江门·一模）综合应用：已知正方形，以为直径作，点在射线上运动，连接． (1)如图1，当，时，与相切于，求． (2)如图2，当运动到右侧，连接，交于点， ①在运动过程中，求的最小值； ②与交于点，与相交于点，顺时针旋转使得点落在上的点上，得，当时，求． 【答案】(1)1 (2)①；② 【分析】本题考查切线长定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，点与圆的位置关系，全等三角形的性质和判定； （1）根据切线长定理可得，再根据正方形的性质求出即可； （2）①连接，先证明得出，再结合，可证明，得出,要求最小值，即求最小值，即求的最大值，连接并延长交于点，此时的最大值为，求出，即可求出的最小值； ②顺时针旋转到，可证明，得出，设，则，由，可得出，可得出，即，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，与相切于点， ∵与相切于， ∴． （2）解：①连接， ∵是上一点，为直径, ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵, ∴, ∴, 又∵， ∴， ∵, ∴, ∴, ∵要求最小值，即求最小值， 又∵为已知正方形的边长，为定值， ∴最小值，即求的最大值， 连接并延长交于点，此时的最大值为， , ∴． ②∵顺时针旋转到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴，即， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，解得：（舍去负根）或， ∴． 考向04 与圆有关的计算综合（阴影面积、最值） 题型08 不规则阴影部分面积计算 通用思路：将不规则阴影转化为规则图形（扇形、三角形、矩形）的面积和或差。 关键步骤： 1. 观察和差：若阴影由几块组成，尝试将其拼接到一起（割补法）；若阴影在某规则图形内部，用大图形减小图形。 2. 代公式：熟练运用扇形面积公式：（l为弧长）和三角形面积公式。 3. 求未知量：若公式中有未知量（如圆心角度数n、半径r），回到前序小题或利用全等/相似求出 避坑提示：计算圆周率π时，看清题目要求是“保留π”还是“代入3.14计算”，单位要统一。 1．（2026·山东青岛·一模）如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解直角三角形求出，，再用扇形的面积减去的面积即可得出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 2．（2026·河南商丘·一模）如图，在菱形中，，，分别以点和点为圆心，，的长为半径画弧，则图中两个扇形重合部分（阴影部分）的面积为__________． 【答案】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为，且半径为4的扇形的面积与菱形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ，为等边三角形， ， ， 在中，， ， ． 3．（2026·湖北襄阳·一模）如图，已知平行四边形的三个顶点，，在以为圆心的半圆上，过点作，分别交的延长线于点交半圆于点，连接． (1)判断直线与半圆的位置关系，并说明理由． (2)若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是半圆的切线，理由见详解 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及证明即可； （2）证明是等边三角形，求出，阴影部分的面积即可求解． 【详解】（1）解：结论：是半圆的切线． 理由：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ∵是半圆的半径， ∴是半圆的切线； （2）解：连接， ∵四边形是平行四边形， 又 ∵， ∴四边形是菱形， ， ∴都是等边三角形， ， ， 在中，半圆O的半径为12，， ∴， ， ． 题型09 圆中的线段最值问题（含隐圆） 通用思路：当题目中出现“动点到某定点距离始终保持为定值”时，该动点的轨迹是一个隐形圆。 关键步骤： 1. 找隐圆：通过“同弦所对的圆周角相等”或“到定点距离等于定长”确定隐形圆的半径和圆心。 2. 化折为直：将要求的线段最值问题（如圆上一点到直线上一点的距离）转化为“圆心到直线的距离 ±半径”。 3. 算最值：利用点到直线距离公式或三角形三边关系（两边之差＜第三边＜两边之和）求得最大值与最小值。 核心结论：圆外一点P到圆O上一点Q的距离最大值为PO＋r，最小值为PO－r。 1．（2025·吉林长春·二模）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，直接写出的最小值． 由于和都是定长，当点A，B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是最小的情形．按照霖霖的思路，请直接写出最小值． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程．以下是证明的部分过程 证明： ∴可判断点G的轨迹，即的最小值为_________． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，，，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是_________． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）连接和，，则当O、A、B三点共线时，则； （2）先证明，推导出，取中点O，连接和，根据勾股定理求得，由，得到当三点共线时，取得最小值，因此； （3）作的外接圆，连接，由圆周角定理得，可得，解直角三角形得到，，中，由勾股定理得：， 由，得，当点三点共线时，取得最大值， 故． 【详解】解：（1）如图，连接和， 则， ∴当O、A、B三点共线时，取得最小值， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴. ∵， ， 即， ∴， ， ， ， 如图，取中点O，连接和， 则， ， ∵， 即， 当三点共线时，取得最小值， ； （3）解：作的外接圆，连接， ∵， ∴，同理， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 同理可求在中，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， 即， 当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用三角形三边关系求最值，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（2023·江苏淮安·二模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点是一只探照灯，距离地面高度，照射角度，在地平线上的照射范围是线段，此灯的光照区域的面积最小值是多少？ (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设，，构造的外接圆，可得，即的最小值为4，又，故得的最小值为__________，通过计算可得的面积最小值为__________． (2)当时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程续写完整： 解：作的外接圆，作于H，设 (3)请你写出原题中的结论：光照区域的面积最小值是__________________________．（用含的式子表示） (4)如图3，探照灯A到地平线l距离米，到垂直于地面的墙壁n的距离米，探照灯的照射角度，且，光照区域为四边形，点M、N分别在射线上，设的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】(1)8，16 (2) (3) (4) 【分析】（1）当和点重合时，，此时最小为4，从而得出； （2）作的外接圆，作于，设，依次表示出，，，，根据列出，从而得出的最小值，进一步得出结果； （3）同（2）步骤相同：作的外接圆，作于，设圆的半径为，依次表示出，，，根据列出方程，从而得出的最小值，进一步得出结果； （4）作，交于，可证得，从而得出，可证得，从而得出由（3）结论知：的最小值，进而变形得出的最小值，可得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：， ， 当和点重合时，，此时最小为4， ， 最小， 故答案为：8，16； （2）解：如图1， 作的外接圆，作于，设， ， ， ，， ， ， ， 当点在上时，，此时最小， ； （3）解：如图2， 作的外接圆，作于，设， ， ，， ， ，， ， ， ， 当点在上时，，此时， ， 故答案为：； （4）解：如图3， 作，交于， ， ， ， ，， ， ， ， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等有关知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 3．（2025·陕西咸阳·二模）【问题提出】 （1）如图1，在中，点D、E分别在上，若，，则的长为______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点D在边上，且，点E是内距离点B为2的一个动点，求的最小值； 【问题解决】 （3）如图3，某植物园有一块矩形空地，E、F分别在边上，且，沿铺设一条观赏通道，再从A向铺设一条小路，要求，在点M处修一个观景台（大小忽略不计），点C处是游客休息中心，为方便游客去休息中心，需要沿铺设公路，要求尽可能的短，已知．请问是否存在最小值，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）的最小值为；（3）存在，的最小值为 【分析】（1）证明，利用相似三角形性质求出，再根据求解，即可解题； （2）根据题意可得以点为圆心，为半径作，则点在内部的上运动，连接交于点，当三点共线时，最小，的最小值为的长，利用勾股定理推出，结合求出，证明，利用相似三角形性质求出，再根据求解，即可解题； （3）延长交的延长线于点，连接，以为直径作，则点在上，连接，交于点，过点作于点，由易得点在矩形内部的上移动，当点与点重合时，取得最小值，最小为，证明，利用相似三角形性质求出，再结合三角形中位线性质和判定，以及勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2）以点为圆心，为半径作，则点在内部的上运动，连接交于点，当三点共线时，最小，的最小值为的长， ， ， ，， 解得， ， ， ， ，即， 解得， ， 的最小值为； （3）延长交的延长线于点，连接，以为直径作，则点在上，连接，交于点，过点作于点， 由易得点在矩形内部的上移动，当点与点重合时，取得最小值，最小为， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ，， ，则是的中点，， ， 点是的中点，， ， 点是的中点， 是的中位线， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形性质和判定，动点最值问题，勾股定理，垂径定理，三角形中位线性质和判定，解题的关键在于作辅助线找出最值情况求解． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2026·河南周口·一模）如图，为正八边形的外接圆，，为正八边形的边，P为优弧上一点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正多边形的性质得，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接、， 为正八边形的外接圆， ， ． 2．（2026·安徽池州·二模）如图，一个正多边形中心点O为正多边形的中心，，若，则这个正多边形的面积为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理，理解正多边形的边数与相应圆心角之间的关系是解题的关键． 根据圆周角定理得到正多边形的边所对的圆心角，再求出正多边形的边数，利用正多边形可以分割为个全等的，据此求解即可． 【详解】解：根据题意得：是正多边形的中心， 、都是正多边形外接圆的半径，A、B是正多边形的相邻顶点，C在外接圆上， ， ， ， 正多边形所有中心角和为， 正多边形的边数为， 即该正多边形为正十二边形， ， 正十二边形的面积为． 3．（2022·贵州铜仁·模拟预测）如图，中，若，过点A作的切线与的延长线交于点P，且，则的半径等于（　　） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再由切线的性质可得，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， 在中，， ∴， 即的半径等于2． 4．（2026·山西忻州·一模）将两个全等的、边长均为6的等边三角形按如图所示的方式重叠，重叠部分恰好为正六边形，观察图形，图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知六边形的性质可得，可得是等边三角形，同理是等边三角形，再说明四边形是菱形，进而得出，然后根据勾股定理求得，即可得，最后根据得出答案． 【详解】解：根据题意可知六边形是正六边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形，同理是等边三角形， ∴， ∴，同理可得， ∴四边形是菱形，且， ∴是等边三角形，， ∴，则， 根据勾股定理得，则， ∴． 5．（2026·山东淄博·一模）如图，在菱形中，，，E是延长线上一点，交于点F，连接并延长交于点G，则线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，证明，，得出，，证明，得出，证明，说明B、C、G、D四点共圆，求出外接圆的直径为2，即可得出答案． 【详解】解：延长，交于点M，连接，过点D作于点H，过点B作于点N，、交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴B、C、G、D四点共圆， ∵为等边三角形，，， ∴，， ∴， ∴外接圆的直径为2， ∴B、C、G、D四点所在圆的直径为2， ∴的最大值为2， ∵E是延长线上一点， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·安徽阜阳·二模）如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，下列不能判断四边形是菱形的是（    ） A．点是的中点， B．， C．， D．，点是的中点 【答案】D 【分析】A选项由已知可证明和是等边三角形，则，即可得出结论；B选项先由两组对边平行得四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；C选项可证明四边形的对角线互相垂直平分，即可得出结论；D选项两个条件得出的结论是一样的，不能证明四边形是菱形． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 故B选项不符合题意； C、∵，， ∴， 又∵， ∴垂直平分， 又∵，， ∴垂直平分， ∴四边形是菱形， 故C选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 两个条件得到的结论是一样的，不能证明四边形是菱形， 故D选项符合题意． 二、填空题 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，四边形内接于，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得． 【详解】解：∵四边形内接于， ， ∴． 8．（2026·湖南益阳·二模）如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米．旋转时，一木马某时刻在点处，80秒后旋转到点，则该木马旋转的路径长（即弧的长）为__________．（结果保留） 【答案】米 【详解】解：由题意可知，旋转木马旋转一周的时间为240秒，对应的圆心角为， 秒旋转的圆心角度数为， 根据弧长公式，其中，， 该木马旋转的路径长为（米）． 9．（2026·宁夏·一模）一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是，当重物上升时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为______． 【答案】/度 【分析】根据弧长公式，进行计算即可求解． 【详解】解： ， 解得：． 10．（2026·重庆大渡口·二模）如图，为的直径，点在上，的平分线交于点，连接．已知，则的长为___________，过点作，交的延长线于点，则的长为___________． 【答案】 6 【分析】连接，过点A作，先求出的长，利用勾股定理求出的长，最后再利用勾股定理求出的长；证，根据相似三角形的性质可求出的长． 【详解】解：如下图，连接，过点A作，得， ，为的直径， ， 平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ，， , ， ， ． 11．（2026·重庆·一模）如图，在中，，为的中点，以线段为直径的交于点，过点作，交于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则_______． 【答案】 【分析】连接，设，，，证明得出，进而证明，证明，得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴，则， ∵在中，，为的直径 ∴，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴，即 ∵， ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵是的直径， ∴ ∴ 12．（2026·重庆·模拟预测）如图所示，是的外接圆，是的直径，点M为劣弧上一点，作M点关于弦的对称点D，此时点D恰好为直径与边的交点，与相切，且与延长线交于点F．若，，则的长为_______，的长为_______． 【答案】 10 / 【分析】连接，，，，，根据题意，证明，得到，再证明，，根据勾股定理得到，得到，从而得到，，，证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，，， ， 设，则， 关于对称， 垂直平分， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 【点睛】解题核心是利用对称性得，通过两次三角形相似建立边的比例，结合勾股定理求；再利用切线性质证相似，用比例关系求． 三、解答题 13．（2026·陕西西安·一模）如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)7.5 【分析】本题主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，角平分线的证明，相似三角形的性质和判定， 对于（1），根据切线的性质说明，可得，再根据“等边对等角”得，进而得出，则答案可得； 对于（2），先证明，可得，即可求出，再根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）证明：∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：∵是的直径， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，根据勾股定理，得 ， 解得， 所以的半径是7.5． 14．（2026·河北邯郸·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为点． (1)当落在上时，的长为_；此时，四边形的面积为_； (2)当点运动到边的中点时，在图2中用尺规作出折痕和点的对应点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，连接，交于点．当点在边上从点运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长（结果保留）．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)图见解析 (3) 【分析】（1）结合矩形的性质和折叠的性质，容易证明四边形是矩形，则，进而求出四边形的面积； （2）作出的垂直平分线，与的交点即为中点，再分别以点、为圆心，、为半径作圆，两圆的另一个交点即为点； （3）由折叠的性质可得，因此点在以为直径的圆上．分析弧的起点和终点，当点在点处时，点与点重合；当点在点处时，点在上，作出此时的图，因此点的运动路径为．逆向利用三角函数可计算出，从而得到，，结合半径为，利用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，落在上， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ； （2）解：折痕和点如图所示： 根据尺规作图可得，，， 又∵， ∴， ∴点与点关于对称； （3）解：由折叠的性质可得，， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 当点在点处时，点与点重合； 当点在点处时，如图，取的中点，连接， 此时，点在上， ∴点的运动路径为， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长为， ∴点的运动路径长为． 15．（2026·湖南益阳·二模）如图，是的直径，是上的两点，连接，且平分．过点作的垂线交的延长线于点． (1)证明：是的切线； (2)过点作圆的切线交的延长线于点，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，则，再证明，据此可证明结论； （2）根据平行线的性质得到的度数，再由切线的性质得到的度数，再根据四边形的内角和为360度可得到答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）得，是的切线 ∵， ∴， 由切线的性质可得， ∴． 16．（2026·四川南充·一模）如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一点（不与，重合），交于点，，．    (1)若，求证：； (2)当点在边上运动时，求的最大值； (3)如图2，连接，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为2或4 【分析】（1）利用一线三垂直模型，证明，从而得出； （2）根据勾股定理和一元二次函数模型求的最大值； （3）利用三角函数定义以及相似三角形的性质构建分式方程求解线段的值． 【详解】（1）证明：点是的中点，，． ∴． ， ， ． 四边形是矩形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）解：设，则， 由（1）知：， ， ， ， ， 当时，． （3）解：如图，设的中点为点，过点作交于点，在上截取，连接，以点为圆心为半径作，交于点，连接，．   是的中点，, 是的垂直平分线， ， 在上． ． ，， ， ． 在中，， ． 即当时，点为交的交点． ， 四边形是矩形， ，． ， ， 又， ， ， ． 设，则． 由（2）知：． ， ． 整理得：， 解得或． 经检验：或都是原方程的根． 或． 或，即的长为或． 17．（2026·陕西·一模）【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行有效转化，从而使题目变得简单． (1)【问题提出】如图1，在等边中有一点，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形），在点处修建两个管理室，且两个管理室的距离为．根据设计要求，将休闲场所分为与两部分，其中在中，，用来作为游乐场，由管理室负责管理；在中，，将它作为开心农场，由管理室负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心农场（）的最大面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接，即，；易得是等边三角形，则，，再利用勾股定理逆定理可得，再根据角的和差即可解答； （2）如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接．利用旋转的性质以及勾股定理可得，再说明；如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M．则，进而得到；设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点 O 作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则．利用三角形的不等关系可得的最大值为．最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：将绕顶点A旋转到处，此时，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接，将绕点A顺时针旋转得，连接． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 如图2∶过点 B 作， 垂足为 N， 过点作， 交的延长线于点 M． 则， ∴． ∴，， ∴， ∵， ∴ 点B在以 为弦， 所含圆周角为的弧上． 设点 O 为所在圆的圆心， 连接．过点O作 ， 垂足为 F； 过点 B 作， 垂足为 E， 则． ∴． ∵， ∴， ∴的最大值为． ∵， ∴开心农场（）的最大面积为． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 重难点04圆的基本性质及直线与圆的位置关系 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读/考向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知★技巧点拨 ★类题夯基 考向01圆的基础性质（圆心角、弧、弦、圆周角） 考向02垂径定理与勾股定理的应用（弦长问题） 考向03直线与圆的位置关系（切线的判定与性质) 考向04与圆有关的计算综合（阴影面积、最值） 三部分重钳提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 ◆分的 重●难●考●向●解●读 一、2023、2024、2025年考法解读 综合分析近三年全国中考真题，圆这一板块的命题呈现“重基础模型、考位置关系、强调整合计算” 的特点： 1. 基础考查：多以选择、填空形式出现，单题3-4分。主要考查圆周角定理、圆心角与弧的转化、垂 径定理的直接应用。这类题目通常只涉及单一知识点，套用核心结论即可秒杀。 2. 综合考查：作为几何解答题的核心载体（常与三角形、四边形综合），重点考查切线的判定与性质、 阴影部分面积计算。题目呈现“一题多点”的特征，前两问较基础，第三问往往需要添加复杂辅助线。 3. 命题偏好：命题人极度偏爱“知二推三”的方程组模型（知弦心距、半径、半弦长中的任意两个求 第三个)；同时，“隐形圆”（满足特定角度条件的动点轨迹）逐渐成为压轴题的拉分利器。 二、2026年考法预测 基于对近年命题演变的洞察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1.命题趋势展望 (1)从“单一圆”向“跨板块”过渡：预计2026年将更频繁地出现“圆十相似/全等”、“圆十二次函数”的综合 压轴题，圆将作为提供“直角”或“等角”的背景板。 (2)隐性条件显性化：题目将更少直接给出“圆心”或“半径”，转而要求学生通过“定角对定弦”自行发掘 隐形圆模型。 (3)探究性增强：可能出现结论开放的探究题，例如“给定若干条件，探究直线是否与圆相切并说明理 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由”。 2. 2026年备考策略建议 ()狠抓“知二推三”基本功：将半径、半弦长、弦心距”构成的直角三角形奉为圭臬，训练学生见弦长 问题先作弦心距。 (2)固化“切线判定”双路径：明确区分“无交点连距离，有交点连半径证垂直”的适用场景。 (3)提炼“面积和差”套路：面对阴影面积，严格落实“大图形减小图形”或“规则图形加减不规则图形” 的代数化表达。 重●难●要●点●剖●析 考向01圆的基础性质（圆心角、弧、弦、圆周角) 。题型01圆心角、弧弦、圆周角的相互化计算 回棉豪妙计 通用思路：遇到弧相等、弦相等或角度相等，优先寻找它们所对的圆心角或圆周角，利用“同圆中，等 弦对等圆心角”进行等量代换。 关键步骤： 1.找同圆/等圆：确认已知条件中的弧、弦是否在同一个圆中。 2. 寻桥梁：如果条件分散，通过作辅助线（如连接圆心与弦端点）构造圆心角相等。 3.算结果：利用“圆心角是圆周角的两倍”或“弧的度数等于圆心角度数”列出一元一次方程求解。 1.(2026辽宁沈阳.一模)如图，AB为O0的直径，点C,D在圆上，且AC=CD.若∠ABC=32°，则 ∠DAB的度数为() ○ D A.16 B.26° C.32° D.58° 2.(2026陕西渭南·一模)如图，OA、OB、0C都是⊙O的半径，连接AB、AC.若∠BAC=20°， AB=2BC,则∠AOB的度数为°. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2025·陕西西安·三模)如图，⊙0半径长2cm,点A、B、C是⊙0的三等分点，点D为圆上一点，连 接AD,且AD=22cm,CD交AB于点E,则∠BED的度数为 D 。题型02圆中的分类论(G弦对的圆周角) 回棉豪妙计 通用思路：一条弦所对的圆周角有两个，且这两个角互补。 关键步骤： 1.定弦：明确题目中给定的弦（如弦AB)。 2.分情况：顶点在优弧上求得一个圆周角；顶点在劣弧上，其圆周角=180°一优弧上的圆周角。 3. 避坑提示：若题目未明确指明圆周角的顶点位置，必须分两种情况讨论，否则极易漏解失分。 1.(2026陕西咸阳一模)如图，ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，点D是AB下方⊙0上一点，连接 CD、OD,若∠ACD=∠ODC,∠ABC=40°，则∠AOD的度数为 B D 2.(2026黑龙江哈尔滨一模)如图，ABC为等边三角形，点D在BC上，点E在AB上，CD=BE,连 接CE、AD、DE,点G为ABC外一点，连接AG、CG、BG、DE,LBGC=60°，下列结论：① ∠AFE=60°②CG平分LAGB③GA+GB=GC④若AB=6,则DE的最小值为3.其中正确的结论是 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026江苏泰州一模)如图，AB为O0的直径，点P在AB的延长线上，PC,PD与O0相切，切点 分别为C,D.若AB=8,PC=6,则tan∠CAD= B 考向02垂径定理与勾股定理的应用（弦长问题） 。题型03求半径、弦长或弦心距中的未知量 回棉豪妙计 通用思路：只要遇到弦长问题，第一反应就是“作弦心距”，将几何问题转化为代数方程。 关键步骤： 1.作辅助线：过圆心作已知弦的垂线，垂足即为弦的中点（垂径定理）。 2. 设未知量：根据题目要求，设半径r、弦长的一半口或弦心距d为未知数。 3. 列方程：代入勾股定理2=dP+g 求解。 1.(2026安微宿州一模)如图，已知00的半径为10，弦AB=16,点C是AB上一点，且AC=4,则 0C的长为() A.8 B.213 C.215 D.45 2.(2026江苏无锡一模)如图，AB为O0直径，C,D为O0上的两点，且CE是O0的切线，CE⊥DB交 DB的延长线于点E. / 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E (I)若LA=25°，求∠ACD的度数； (2)若AB=6,BE=1,求CD的长 3.(2026浙江丽水一模)如图，已知AB是半圆0的直径，点C,D在半圆上，且AD平分∠BAC, DE⊥AC交AC的延长线于点E, (I)求证：DE是⊙0的切线； (2)若ED=4,AB=10,求c0 sLBAC的值. 。题型04三形高与弦长的计算 包棉豪妙计 通用思路：弓形高=半径士弦心距（弦远离圆心取加，靠近圆心取减）。 关键步骤： 1.连半径：连接圆心到弦的端点，形成半径。 2. 求弦心距：利用勾股定理求出圆心到弦的距离d。 3.算弓高：h=r一d(弓形小于半圆)或h=r十d(弓形大于半圆)。 1.(2026广西一模)如图，⊙0是ABC的外接圆，已知⊙0的半径为4，AC=4√3，则∠ABC的度数 是() B A.110° B.120° C.125° D.130 2.(2026云南大理一模)如图，AB是O0的弦，点C是AB的中点，0C交AB于点D.若AB=8cm, 0D=3cm,则o0的半径为 cm / 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C 3.(2026上海静安二模)如图，弓形弦长AB=48米，高CD=18米，有一内接矩形EFGH,边FG在AB上， 顶点E、H在弓形弧上，边EH的长比EF的2倍多4米， C D G (1)求该弓形所在圆的半径： (2)求EF的长. 考向03直线与圆的位置关系（切线的判定与性质) 。题型05切线的判定 包棉豪妙计 通用思路：证明直线与圆只有一个公共点。 关键步骤： 1. 审图判断：观察直线与圆是否有明确的公共点。 2. 选路径： (I)无公共点：作圆心到直线的垂线段，证明垂线段长度等于半径(d=r)。 (②)有公共点：连接圆心与该公共点，证明这条线段垂直于直线（连半径，证垂直）。 (3)写结论：得出该直线是圆的切线。 答题模板：“判定切线”通法：①连半径；②证垂直（通过角度和为90°或全等三角形对应角相等）；③ 下结论 1.(2025四川雅安.中考真题)如图，ABC中，∠B=90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、 点M的⊙O分别交AB,AC于点E,点F. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E (1)判断BC与O0的位置关系，并说明理由； (2)求证：CM2=CF.CA; ⑧若-，nC-子求4的长。 2.(2026江西宜春.一模)“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作己知圆的切线？”.小明提出一种想法：如图， 设点P为⊙0上一点，先作射线P0交00于点Q,再以O0上一点A为圆心（点A不与点P,Q重合）， 以AP长为半径画圆弧，交射线PO于点B,交射线BA于点C,连接PC. B (1)求证：PC为O0的切线： (2)若PB=10,PA=6,求⊙0的半径. 3.(2026辽宁阜新一模)如图，点A,B,C,D为O0上四个点，BD为直径，AD=6,AC=72, AC平分∠DAB.过点C作CE∥BD交AD的延长线于点E. (I)求证：CE为⊙0的切线： (2)求BD的长. 。题型06切线的性质计算（求线段长或角度） 回锦豪妙什 通用思路：已知切线，则圆心与切点的连线必垂直于切线。 关键步骤： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1. 连半径：连接圆心和切点，得到直角（夹角90°）。 2. 找直角三角形：这个直角通常与题目给出的其他条件（如特殊角30°45°、勾股定理、相似三角形） 结合。 3. 算未知：利用三角函数或勾股定理列出方程求解半径或线段长。 1.(2026四川南充一模)如图，在ABC中，AB=AC,以AC为直径作⊙0，交BC于点E,过A点作 AD⊥AB交BC延长线于点D,过点C作OO的切线CF,交AD于点F. B (I)求证：FC=FD; (2)若8C=8,tanD=2,求sin∠CAD的值. 2.(2026辽宁大连一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，且BD是O0的直径，AD=CD B A 图1 图2 (1)如图1，求证：AB=BC; (2)如图2，连接OC,过点C作⊙0的切线与BD的延长线相交于点E,若CE=CB=√3，求AB的长. 3.(2026天津.一模)已知ABC内接于O0,∠BAC=45°，∠ACB=75°，CD是⊙0的直径，连接AD. A A B B E 图① 图② (I)如图①，求∠ADC和∠DAB的大小： (2)如图②，过点B作⊙0的切线，与AC的延长线交于点E，,过点C作O0的切线，与BE交于点F,若 AC=6,求EF的长。 / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②题型07切线长启理的应用 回棉豪妙计 通用思路：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点到圆心的连线平分两切线的夹角。 关键步骤： 1.标相等：在圆外图形中，从同一点出发的两条切线长度直接标记为相等。 2.证全等：利用亚证明由两条切线、圆心与圆外点连线构成的两个直角三角形全等。 3. 算周长面积：通常通过设未知数，利用全等和勾股定理建立等式求解。 1.(2026安徽淮南一模)如图，⊙0是RtAABC(LC=90)的内切圆，线段DE与⊙0相切，与AB、AC分 别交于点D、点E,且DE⊥AB,若BC=2DE,则tan24的值为() 18 E A.3 C.② 3 B. 2 D.3 2.(2026河南周口一模)如图，⊙0经过菱形ABCD的顶点A,且分别与边BC,CD相切于点B,D.若 AB=3,则阴影部分的面积为 D B 3.(2026广东江门一模)综合应用：已知正方形ABCD,以BC为直径作O0,点E在射线DC上运动， 连接AE. B H D E 图1 图2 图3 (I)如图1，当BC=4,DE=3时，AE与O0相切于F,求EF. (2)如图2，当E运动到BC右侧，连接AE,BE交⊙O于点M, ①在E运动过程中，求E的最小值； AE / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②AE与BC交于点G,与CM相交于点K,顺时针旋转△GKC使得点C落在AG上的点H上，得 △GTH,当HT∥BC时，求tan∠BED. 考向04与圆有关的计算综合（阴影面积、最值) 。题型08不规则阻暖影焙部分面积计算 回棉豪妙计 通用思路：将不规则阴影转化为规则图形（扇形、三角形、矩形）的面积和或差。 关键步骤： 1.观察和差：若阴影由几块组成，尝试将其拼接到一起（割补法）；若阴影在某规则图形内部，用大图 形减小图形。 2. 代公式：熟练运用扇形面积公式：5=心(1为领长)和三角形面积公式。 3. 求未知量：若公式中有未知量（如圆心角度数、半径r),回到前序小题或利用全等/相似求出 避坑提示：计算圆周率π时，看清题目要求是“保留π”还是“代入3.14计算”，单位要统一。 1.(2026山东青岛一模)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=V6,BC=√2，以AB为半径画弧，交 BC延长线于点D,则阴影部分的面积为() A.-5 B.π-2V5 C.π-5 D. 2.(2026河南商丘一模)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=120°，分别以点B和点D为圆心， BA,DA的长为半径画弧，则图中两个扇形重合部分（阴影部分）的面积为 B 3.(2026湖北襄阳一模)如图，己知平行四边形OABC的三个顶点A,B,C在以O为圆心的半圆上，过 点C作CD⊥AB,分别交AB,AO的延长线于点D,E,AE交半圆O于点F,连接CF. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)判断直线DE与半圆0的位置关系，并说明理由. (2)若半圆O的半径为12，求阴影部分的面积。 。题型09圆中的线段最值问题（含隐圆） 回棉豪妙什 通用思路：当题目中出现“动点到某定点距离始终保持为定值”时，该动点的轨迹是一个隐形圆。 关键步骤： 1. 找隐圆：通过“同弦所对的圆周角相等”或“到定点距离等于定长”确定隐形圆的半径和圆心。 2. 化折为直：将要求的线段最值问题（如圆上一点到直线上一点的距离）转化为“圆心到直线的距离土 半径”。 3. 算最值：利用点到直线距离公式或三角形三边关系（两边之差<第三边<两边之和）求得最大值与 最小值。 核心结论：圆外一点P到圆O上一点Q的距离最大值为PO十r,最小值为PO一r。 1.(2025·吉林长春·二模)【问题初探】 (1)如图1，动点A在半径为2的⊙0上，若0B=3,直接写出AB的最小值. 由于OA和OB都是定长，当点A,B,O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由 此可知当点A在OB上时对应的就是AB最小的情形.按照霖霖的思路，请直接写出AB最小值. B B E B ▣ 图1 图2 图3 【类比分析】 (2)如图2，点E和F分别是边长为4的正方形ABCD边CD和AD上的两个动点，且CE=DF,连接 AE和BF交于点G,连接DG,求DG的最小值 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测∠AGB始终都是直角，于是联想到了“90°圆周角所对 的弦是直径”，也就是说“点G是正方形ABCD内以AB为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解，清按照霖霖的思路完成求DG最小值的解题过程，以下是证明∠AGB=90°的部分过程 证明： 证明过程缺失 LAGB=90° :可判断点G的轨迹，即DG的最小值为 请补全缺失的证明过程， 【学以致用】 (3)如图3，是两块等腰直角三角板，∠C=∠DEF=90°，CA=CB,ED=EF=4.当点D和E同时 在边AC和AB上滑动时，点F也随之移动，若连接AF,则AF的最大值是 2.(2023·江苏淮安：二模)某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点A是一只探照灯，距离地面 高度AB=m,照射角度∠MAN=α，在地平线l上的照射范围是线段MN,此灯的光照区域△AMN的面 积最小值是多少？ M M B N B 图1 图2 图3 (1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设u=90°，m=4,构造△AMN的外接 圆⊙0，可得0A≥AB,即OA的最小值为4，又MN=20A,故得MN的最小值为 ，通过计 算可得△AMN的面积最小值为 (2)当α=45，m=4时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过 程续写完整： 解：作△AMN的外接圆⊙0，作OH⊥MN于H,设MN=2x (3)请你写出原题中的结论：光照区域△AMN的面积最小值是 .(用含m,a 的式子表示) (④)如图3，探照灯A到地平线1距离AB=4米，到垂直于地面的墙壁n的距离AD=6米，探照灯的照射 角度∠MAN,且∠MAN=45°，光照区域为四边形AMCN,点M、N分别在射线CD、CB上，设 △ACM的面积为S,△ACN的面积为S2,求4S,+9S2的最大值. 3.(2025陕西咸阳二模)【问题提出】 (1)如图1，在ABC中，点D、E分别在AB、AC上，若DE∥BC,BC=2DE,AB=4,则BD的长 为； 【问题探究】 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，在R1aABC中，∠ABC=90,AB=8BC=6,点D在AC边上，且CD=9, AD16'点E是 ABC内距离点B为2的一个动点，求DE的最小值： 【问题解决】 (3)如图3，某植物园有一块矩形空地ABCD,E、F分别在AB、CD边上，且CF=2BE,沿EF铺设 一条观赏通道，再从A向EF铺设一条小路AM,要求AM⊥EF,在点M处修一个观景台（大小忽略 不计)，点C处是游客休息中心，为方便游客去休息中心，需要沿CM铺设公路，要求CM尽可能的短， 已知AB=I00m,BC=80m.请问CM是否存在最小值，若存在，求出CM的最小值，若不存在，请说明 理由. M 图1 图2 图3 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：60分钟) 一、单选题 1.(2026河南周口一模)如图，⊙0为正八边形的外接圆，AB,BC为正八边形的边，P为优弧AC上一 点，连接AP,CP,则∠P的度数为() A.30 B.40° C.45° D.60° 2.(2026安微池州二模)如图，一个正多边形中心点O为正多边形的中心，OA=1,若LACB=15°，则 这个正多边形的面积为() A.1 B.3 D.3π 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2022贵州铜仁模拟预测)如图，⊙0中，若∠ABC=30°，过点A作⊙0的切线与0C的延长线交于点 P,且PA=2V5,则⊙0的半径等于() A.5 B.3 C.3 D.2 2 4.(2026山西忻州一模)将两个全等的、边长均为6的等边三角形按如图所示的方式重叠，重叠部分恰好 为正六边形，观察图形，图中阴影部分的面积为() A.85-xB.85- C.185-6π D.18V3-3元 5.(2026山东淄博一模)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=√3，E是BC延长线上一点，AE 交CD于点F,连接BF并延长交DE于点G,则线段BG长度的取值范围是() D A.V5<BG≤2B.5<BGs2 C.1<BG≤2 <BG51 D. 2 6.(2026安微阜阳二模)如图，四边形ABCD是⊙0的内接四边形，连接OA,OB,OC,AC,下列不 能判断四边形ABCO是菱形的是() A.点B是AC的中点，∠D=60 B.OA∥BC,AB∥OC C.∠AOB=LD,LOAC=LBAC D.∠AOB=∠D,点B是AC的中点 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、填空题 7.(2026陕西榆林·二模)如图，四边形ABCD内接于O0,若LBAD=60°，则∠BCD的度数为 D 8.(2026湖南益阳·二模)如图，某游乐场的旋转木马旋转一周需240秒，旋转半径是6米.旋转时，一木 马某时刻在点A处，80秒后旋转到点B,则该木马旋转的路径长（即弧AB的长）为 .(结果 保留刀) 9.(2026宁夏一模)一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm,当重物上升6πcm时滑轮的一条半 径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为 10.(2026重庆大渡口·二模)如图，AB为⊙0的直径，点C在O0上，∠ACB的平分线CD交⊙0于点D, 连接AD,己知AC=8,CD=7√2，则BC的长为 ,过点D作DE∥AB,交CB的延长线于 点E,则DE的长为 C B D 11.(2026重庆一模)如图，在ABC中，AB=AC,E为BC的中点，以线段AC为直径的⊙O交AB于 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点D,过点D作DG∥BC,交AC于点G,连接EG并延长，交⊙O于点F,连接OF,CF,若 OF∥BC,CG=1,则CF2= D G B 12.(2026重庆模拟预测)如图所示，⊙0是ABC的外接圆，AE是00的直径，点M为劣弧AB上一点， 作M点关于弦AB的对称点D,此时点D恰好为直径AE与边BC的交点，BF与OO相切，且与AE延 长线交于点F.若BD:CD=2:3,AB=47,AC=6√2，则BC的长为，EF的长为· 三、解答题 13.(2026陕西西安一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB边上，⊙0与BC相切于点D, 与AB相交于A,E两点，连接AD,DE, E D (I)求证：AD平分∠BAC; (2若BE=5,1am∠BD=?,求00的半径. 14.（2026河北邯郸二模)综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活 动.如图1，矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,点E是BC边上的一个动点，将△ABE沿AE折叠， 点B的对应点为点B. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B E 图1 图2 图3 (I)当B落在AD上时，BE的长为_；此时，四边形ABEB的面积为； (2)当点E运动到BC边的中点时，在图2中用尺规作出折痕AE和点B的对应点B(保留作图痕迹，不 写作法)； (3)如图3，连接BB',交AE于点F,当点E在BC边上从点B运动到点C时，点F也随之运动，求点 F的运动路径长（结果保留n).(参考数据：tan37°≈二） 15.(2026湖南益阳二模)如图，AB是00的直径，C,D是O0上的两点，连接AC,AD,且AC平分 ∠DAB.过点C作AD的垂线交AD的延长线于点E: (I)证明：EC是⊙0的切线； (2)过点B作圆的切线交EC的延长线于点F,且∠DAB=70°，求∠BFC的度数. 16.(2026四川南充一模)如图1，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P为AB边上一点（不与A, B重合)，PQ⊥PE交AD于点Q,AB=6,BC=8. P B E C B ◇ 图1 图2 ()若BP=写AB,求证：PQ=PE; (2)当点P在AB边上运动时，求AQ的最大值： (③)如图2，连接C0,当tan∠CQE=时，求BP的值， 2 17.(2026陕西.一模)【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 有效转化，从而使题目变得简单， C D 图1 图2 (1)【问题提出】如图1，在等边ABC中有一点P,AP=3,BP=5,CP=4,求∠APC的度数； (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形ABCD),在点A,C处修建两个 管理室，且两个管理室A,C的距离为600m,根据设计要求，将休闲场所分为△ABD与△BCD两部分， 其中在△ABD中，∠A=90°，AB=AD,用来作为游乐场，由管理室A负责管理；在△BCD中， ∠BCD=45°，将它作为开心农场，由管理室C负责，为了容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能 大，请你利用所学知识求出开心农场（△BCD)的最大面积.