重难点08 中考数学选择填空压轴题练习（重难专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦中考数学小题压轴四大核心考向，以考向解读为引领，通过要点剖析构建“通用思路+关键步骤+避坑提示”的方法体系，知识逻辑呈“考向-题型-方法”递进结构，培养数学抽象、几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何变换综合|2题型6题|折叠轴对称性质+勾股定理；旋转轨迹圆/弧长计算|从变换本质到动态轨迹，结合特殊值法突破隐形圆问题| |函数图象与动点|2题型6题|拐点分段分析；双动点面积代数式表示|从单一到双动点，建立动态过程与函数图象的对应关系| |代数推理与规律|2题型6题|数字规律通项拟合；坐标周期余数定位|从具体到抽象，培养归纳推理与数学建模能力| |新定义与学习型|2题型6题|关键词代数化；特值法验证新定义|从概念理解到即时应用，提升数学语言表达与创新意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点08中考数学小题压轴题练习 ◆》)◆ 内容导航 第部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点 ★核心模块 ★重难考向 ★考法解读考向预测 第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧 ★要点梳理 ★典例验知★技巧点拨 ★类题夯基 考向01几何变换综合（折叠、旋转、平移） 考向02函数图象与动点过程分析 考向O3代数推理与规律探究 考向04新定义与学习型问题 第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶 ◆分的的◆ 重●难●考●向●解●读 一、 2023、2024、2025年考法解读 纵观近三年全国中考数学选填压轴题，命题呈现“重几何直观、重过程分析、重即时学习”的鲜明特 点： 1.几何变换常态化：折叠（轴对称）与旋转依然是高频载体，命题人偏爱在这两类变换中掺杂“隐形 圆”或“轨迹最值”的考查，单题分值通常为3-4分，区分度极高。 2.函数图象分析泛化：由单一的行程问题，演变为涵盖“面积变化”、“图形覆盖率”等多元动态过程的 图象辨析，要求学生具备极强的“抽丝剥茧”能力。 3. 新定义与规律探究升温：2024、2025年各省市（如北京、浙江、广东）密集出现“学习型问题”， 即现场给出一个全新概念（如“闭包”、“等幂和”），要求学生现场消化吸收并解题。 二、2026年考法预测 基于对近年命题演变的洞察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1.命题趋势展望 ()从“显性计算”向“隐性判读”转变：直接套用模型就能出答案的题目将减少，更多题目需要结合特殊 值法、排除法进行选项辨析。 (2)跨学科情境可能渗透：物理中的“折射定律”、化学中的“溶液配比”可能会成为函数图象题的新背景。 (3)网格与无刻度直尺作图下移：原本属于解答题的“限定工具作图”可能会以多选或填空压轴的形式 出现，考查基本几何作图原理。 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.2026年备考策略建议 (1)狠抓“特殊值/极端值”法：教导学生遇到抽象函数或复杂动点，直接代入0或=终点时间，瞬间 排除错误选项。 (2)固化“动手操作”习惯：遇到折叠、旋转，强制要求学生动手剪纸片模拟，培养空间想象力，切忌“空 想推导”。 (3)强化“现场学习”能力：专门抽取一节课让学生阅读全新的数学概念，训练他们提取关键词（如“对 于任意…都存在”)并将其转化为数学语言的的能力。 重●难●要●点●剖●析 考向01几何变换综合（折叠、旋转、平移) 。题型01图形折叠（轴对称）_问题 回锦豪妙计 通用思路：折叠的本质是轴对称，折痕是对称轴，折叠前后对应的线段和角度完全相等。 关键步骤： 1.标相等：在图中直接标出折叠产生的相等线段和相等角度。 2. 设未知量：通常设所求线段为x,并用x的代数式表示出其他相关线段（特别是直角三角形的三边）。 3. 列方程：在折叠新构成的直角三角形中，利用勾股定理 4. 列出关于x的一元一次方程并求解。 避坑提示：折叠常伴随“角平分线”和“平行线”模型，注意导角带来的特殊角度。 1.(2026重庆铜梁.一模)如图，将边长为4的正方形纸片ABCD沿着BE折叠，使得点A落在点G处，再 将aDEF沿着EF折叠，使得点D也落在点G处，过点E作CF的平行线与BG交于点H,则FH的长为 () A.2 B￥ c D. 2.(2024广东·模拟预测)如图，在矩形ABCD中，点E在CD上，将ADE沿AE折叠，点D恰好落在边 BC上点F处；点G在BF上，将△ABG沿AG折叠，点B恰好落在线段AF上点H处.若 BC=2GF=10,则AB=() 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D H B G F C A.4 B.5 C.6 D.8 3.(2025河北沧州一模)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，它是由3 个正方形和1个直角三角形ABC构成，其中∠ACB=90°，己知D,E分别为两个较小的正方形边的中 点，将它们分别沿CD,CE折叠，若折叠得到的CP,CQ恰好有一条与斜边AB平行，则直角三角形 ABC的直角边长可能是() B A.3,4 B.5,12 C.7,24 D.8,15 。题型02图形旋问题（轨迹长或线段张） 回棉豪妙什 通用思路：旋转的核心是“共顶点、等线段”，动点的轨迹通常是圆或圆弧。 关键步骤： 1. 找定点：确定旋转中心O和旋转角a。 2. 定半径：找出到旋转中心距离不变的动点，其轨迹是以O为圆心、该距离为半径的圆。 3. 算路径：根据旋转角a计算对应扇形的弧长1=nr 180 核心公式：弧长公式1-：点到直线距离不变则点轨迹为直线。 1. （2025湖北武汉模拟预测)抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a>0)经过0，-3，(m,-3)两 点，且1<m<2,下列四个结论： ①b<0; ②若a=1,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4没有实数解； ③点(x1,y1),(x2,y2在抛物线上y=axr2+a+b)x+b上，若x+x2>1,x>x2,总有<2： / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ④若抛物线的顶点的轨迹上有两点(p,k),（9,k-1),则关于x的方程px2-qx+k=0的两根之和大于1. 其中正确的是 (填写序号). 2.(2024辽宁盘锦·三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A,B两点（点A 在点B左侧)，与y轴交于C点.动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动.过 点P作PQ⊥直线BC,垂足为Q,再将△PBQ绕点P旋转90°，设点P的运动时间为t秒.若旋转后的 点Q落在该抛物线上，则t的值为 AOP B右 3.(2025河南驻马店一模)如图，ABC中，LACB=90°，AC=BC=10cm,△CDE中，∠DCE=90°， DC=EC=6cm,直线BD与直线AE交于点F.现将△DCE绕点C旋转1周，在旋转过程中，∠F= °，线段AF长度的最大值是cm. B 考向02函数图象与动点过程分析 。题型03单一动点的函数图象逝 回棉豪妙什 通用思路：将动态过程按“拐点”切片，分析每一段图象的升降趋势和自变量、因变量的取值范围。 关键步骤： 1. 找分界：令动点到达拐点或图形边界，解出对应的时间、与。 2.判走势：分析在各时间段内，因变量随自变量是增大还是减小（看斜率正负）。 3. 验端点：将特殊时刻代入，检验图象是否经过原点或特定点。 避坑提示：特别注意动点折返时，图象会出现“非单调”变化（如先增后减）。 1.(2024山东济南中考真题)如图1，ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2,动点P以每秒1 个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC-CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP,设点P的运动时 间为(s),DP2为y.当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与1的函数图象如图2所示.有以下四个结 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 论： ①AB=3: ②当t=5时，y=1; ③当4≤t≤6时，1≤y≤3； ④动点P沿BC-CA匀速运动时，两个时刻，<t2)分别对应乃和，若(+t2=6,则y>y2·其 中正确结论的序号是() D B P 图1 图2 A.①②③ B.①② C.③④ D.①②④ 2.(2025河南信阳模拟预测)如图(1)，△ABC中，∠A=90°，AB<AC,G为BC边的中点，GH⊥BC 交AC于点H.动点D从点B出发，沿折线BGH运动，当点D不与点B,H重合时，过点D分别作 DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.设动点D运动的路程为x,四边形AEDF的周长为y,已知y与x之 间的函数关系图象如图(2)所示，则下列说法不正确的是() E D G A.CG=5 ac号 C.当x≤5时，点E,F之间距离的最小值为4.8D.a=8.5 3.(2025浙江·中考真题)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如 图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x (单位：km)(0≤x≤n),PQ为y(单位：km)·如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低 点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两点.下列选项正确的是() / 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 珠 225 D 81-- m 图1 图2 A.m=12 B.n=24 C.点C的纵坐标为240 D.点(15,85)在该函数图象上 。题型04双动点或形覆盖率的图像问题 回棉豪妙计 通用思路：当图象辨析无法直接看出时，直接用含时间t的代数式表示出因变量（如重合部分面积）。 关键步骤： 1.设时间：设运动时间为t。 2. 表线段：用1表示出图象中关键线段的长度。 3. 求面积：根据几何图形（常为三角形或梯形），写出面积S关于t的函数关系式，从而确定图象的开 口方向、对称轴等特征。 核心结论：若S是t的二次函数且无最大值（开口朝上），则图象后半段必为抛物线上升支。 1.(2026陕西渭南一模)如图，在口ABCD中，AD=10,连接AC,点E、F分别为AB、AC的中点，点 M为边BC上的动点，点N为射线MB上的动点，且MN=BC,连接MF、EF、NE、AM,当AM将 四边形MNEF的面积分为1：3的两部分时，BM的长为 2.(2025山东潍坊一模)如图，在矩形ABCD中，AD=2,CD=4,P是AB边上一个动点，连接DP, E是DP上的一个动点，连接AE,CE,且LDCE=∠ADP,则线段AE的最小值为 E A P 3.(2025辽宁沈阳模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,动点P在ABC内， 且使得△ACP的面积为3，点Q为AB动点，则PB+PQ的最小值为 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考向03代数推理与规律探究 。题型05数字与整式规律探索 回棉豪妙计 通用思路：将图形或数字的序号n作为自变量，寻找其与结果之间的函数关系。 关键步骤： 1.标序号：将已知给出的图形或数字依次编号为n=1,2,3…。 2. 找关系：观察结果与n的对应关系。若为等差等比，直接用an+b或ar- 3. 拟合；若为递推，找相邻项差倍关系。 4.验通项：将n=1,n=2代入通项式，验证是否与已知吻合。 核心公式： 1. 等差数列第n项：an=a,+(n-1)d(d为公差)； 2. 等比数列第n项：an=ag-(q为公比)。 1. (2026山西运城一模)科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的 光线与平面镜所夹的角相等.如图，两个平面镜的夹角∠B0C=30°，一束平行于0C的光线从点A出发， 射向平面镜OB,经过几次反射后，光线回到点A,则反射的次数为() ←—A A.2次 B.3次 C.4次 D.5次 2.（2025山东聊城模拟预测)定义一种对正整数的“F”运算：①当n为奇数时，F()=3n+1;②当n为 偶数时，F0=是 (其中k是使F()为奇数的正整数)，两种运算交替进行，例如，取n=12,则 F② F① F② 12 10 5·,按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是() 第1次 第2次 第3次 A.1 B.3 C.4 D.5 3. （2026安徽合肥一模)在平面直角坐标系中，将点A,(0,5)沿箭头方向按如图所示规律移动，当点A,首 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 次位于x轴上时，停止移动.甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点A的坐标为4,1； 乙：若在直线y=c两侧的点（点A,A,,A,)的个数相等，则k的取值范围为1<k<名 丙：直线y=x与折线A,一4，一A,相交于点P,P从A到A的运动中k的值先减小后增大. 则下列判断正确的是() A.甲、乙正确B.甲、丙正确 C.乙、丙正确 D.甲、乙、丙都正确 ◆题型06坐标系中的还规律（周期问购 包绵豪妙种 通用思路：在平面直角坐标系中，按特定规则移动的点，其坐标变化往往呈现周期性。 关键步骤： 1.算几步：手动推算前3到5步的坐标变化，寻找重复出现的周期T。 2. 求余数：用目标步数n除以周期T,得到余数r。 3. 定坐标：第步的坐标与第r步的坐标完全相同（若整除，则与第T步相同）。 答题模板：初始坐标(x,y)一→计算单周期位移（△x,△y)一乘以周期数→加上余下步数的位移。 (2025黑龙江齐齐哈尔二模)如图，在平面直角坐标系中，0A=0B,∠4OB=120°，将△4OB绕点 0顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为120°的等腰三角形.第一次变化 后得到等腰三角形△40B,点A1,0)的对应点为A,-1,-V5；第二次变化后得到等腰三角形△A,OB, 33V3 点A的对应点为A 2 02 第三次变化后得到等腰三角形△A,OB4,点A的对应点为A,(4,0), 依此规律，则第2025个等腰三角形中，点B225的坐标是 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A3 A4 B3 2.(2023浙江台州二模)观察规律，1=1-1,1-11,111 1×2 2'2x32亏3×434，…，运用你观察到的规律解 决以下问题： 如图，分别过点Pnn,0)(n=1,2,…）作x轴的垂线，交y=x2(a>0)的图像于点An,交直线y=-x于点Bn 1 一的值为一· y A P B. B 3.(2026黑龙江佳木斯一模)如图，正方形ABCD的顶点A(0,1,B(1,0),延长DC交x轴于点B,作 正方形DB,CD,延长D,C交x轴于点B,作正方形DB,C2D2按照这样的规律，则点Do2o的坐标 为 y D D C D D S OB BB, 考向04新定义与学习型问题 ②题型07基于新运算回或新概念的求值/判断 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 回棉豪妙竹 通用思路：将题干中生僻的新定义（如a*b=2ab)当作特殊的运算法则或自定义函数。 关键步骤： 1.划关键词：圈出定义中的核心限制条件。 2. 转代数化：将文字语言精准翻译成数学符号语言。 3. 代数值：严格按照新定义的运算顺序代入具体数值或字母进行计算推理。 避坑提示：注意新定义中的隐藏条件（如分母不为零、二次根式被开方数非负），这往往是选项设置的 陷阱。 1. （2025湖北武汉·模拟预测)定义：平面内任意两点P(x,),(x2,y2,则de=x1-x+y1-y称为 这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼闵可夫斯基所创立的词汇.在此定义下， 下列选项错误的是() A.若P(1,2),Q(3,-4),则do=8 B.若P(-1,2),Q在直线y=x上，则do最小值是3 C.若O(0,0),满足dow=1的所有点M组成的图形面积是2 D.若P(-1,0)，,Q1,0),且dw-dw=2,则点M横坐标是1 220测肩核预)我们定义：仁日ad-c,若 x2 x =+l,2y-1x+ =x,则y-x=() yy+1 A.-1或0 B.-1或1 C.0或1 D.1 3.(2025·黑龙江大庆三模)定义：如果a=N(a>0,a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作 x=10g。V.例如：因为72=49，所以10g,49=2;因为53=125，所以1og,125=3.则下列说法中：① 10g61=0;②若1og,14+a)=4,则a=-6;③1ogs27=l0g23;④1og,X=log2x-log2y(x>0,y>0). 1 正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 ◆题型08学习型几何新概念 包锦豪妙计 通用思路：对于抽象的几何新定义，通过画最简单的图形（如点在线段端点、特殊直角三角形）来直观 理解。 关键步骤： 1. 取极端：将动点放置在起点、中点或终点，代入新定义公式看是否成立。 2 画图解：如果是轨迹类新定义，画出满足条件的几个点，连成线推测其轨迹形状（直线、圆或圆弧） 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.排错项：通常新定义题目的选项会有非常明显的违背特例的错误，用特值法快速排错。 核心策略：特值法（取0、取1、取端点）是解决抽象新定义小题的万能钥匙。 1. （2026河南南阳.一模)定义：如果三角形的两个内角与B满足α+2β=90°，那么我们称这样的三角 形为“类直角三角形”.如图，在Rt△ABC中.∠C=90°，BC=3,AB=5,点D在AC边上，使得 △ABD是“类直角三角形”，则CD= D A B 2.(2026河南南阳模拟预测)定义：有一个内角的度数为135°的三角形叫做“折矩三角形”.如图， Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=3,点P是直线BC上任意一点，连接AP.若△APC为折矩 三角形”，则BP的长为 3.(2026江苏无锡一模)定义：若a,b,C是ABC的三边，且a2+b2=2c2,则称ABC为“方倍三角 形”，则对于①等边三角形，②直角三角形，一定是“方倍三角形”是 (填①或②或①②).如 图，ABC中，LABC=I20°，∠ACB=45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落 在点D处，连接CD,AD,若△ABD为“方倍三角形”，且AP=2,则△PDC的面积为 重●难●提●分●必●刷 (建议用时：60分钟) 一、单选题 1.(2026湖北十堰模拟预测)如图1，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点P,Q都以每秒2个单位 长度的速度同时从点A出发，分别沿A→B→C和A→D→C的路线向终点C运动，其中点P先于点 Q到达点C,且到达后两点同时停止运动.记点P的运动时间为s,△APQ的面积为S,S关于t的函数 图象如图2所示，则下列结论错误的是() 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 SA n 7.5 2.5 4.55 图1 图2 A.AB=5 B.n=15 C.当2.5<1≤4.5时，S=31 D.当4.5<t≤5时，S=-22+10t+9 2.(2026·天津东丽一模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，AB=4cm,AD=8cm, BC=10cm,点P从点D出发，以lcm/s的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以2cm/s的速度 沿边AB、边BC向终点C运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.设运动 14 时间为s.当1=s时，点P、Q的位置如图所示.有下列结论：①当t=。时，CD=PQ;②当 3 0≤t≤2时，△APQ的最大面积为16cm2;③t有两个不同的值满足△APQ的面积为10cm,其中正确结 论的个数是() P D A.0 B.1 C.2 D.3 3.(2026安微芜湖·二模)如图，抛物线y=ax2+br+c(a≠0)的顶点为(1，n,与x轴的一个交点B(3,0), 与y轴的交点在(0，-3)和(0，-2)之间.下列结论中，正确的是() B (1,n) A.b<0 B.-2<b<-5 C.(a+c)2-b2>0 D.2c-ax 2n 4.(2026天津.一模)如图，在ABC中，LABC=45°，AB=3V2cm,AC=5cm.动点P从点B出发， 以lcm/s的速度沿BC边向终点C匀速运动，运动到终点停止运动，当点P出发后，以BP为边做正方形 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BPDE,使点D,A始终在BC边同侧，设点P运动时间为s(t>O),正方形BPDE与ABC重叠部分图 形的面积为ycm2.有下列结论： ①BC长为7cm; ②当3<1≤7时，y关于的函数关系式为y=!-7+到 ③当正方形PDEB的对称中心与点A重合时，y=10. 其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 5.（2026四川南充一模)己知点P(x,1)、Q(x2,y2分别在抛物线y=mx2+2mxm≠0)、y=2x2-3x（且 0)上.若=3，至是一个与写无关的定值灰时，则k的值为《) A.-3 B.3 D. 6.(2026河北邯郸·二模)在平面直角坐标系中，点P从(1,0)出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右 1、下4、右1”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下 移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图)，若第次移动后，点P恰好落在直线 y=-2x+8上，则满足条件的所有n的和（) VA 2 -2-10P1 2345x -。 A.5 B.8 C.13 D.21 7.(2026河北邯郸二模)如图，菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，点P是BC边上的动点 (BP>1),连接AP,将△ABP沿AP翻折得△AB'P,射线PB与射线AD交于点E,给出下列结论： ①当AB⊥AB时，B'A=B'E. ②当点B落在AD上时，四边形ABPB'是菱形 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2. ④连接BB,则△ABB的面积等于AP-BB 其中正确的结论个数是() D B P A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8。(2026重庆一模)如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上且BE=3BA,连接CE,点F为BC边上 一点，过点F作GF⊥CE于点H,交AD于点G,点K在AB边上，连接DH,KG,KH,若 AB=DH,∠KGF=45,则H 的值为() CH G D E H B F A.34 B.34 C.34 D.V34 4 5 6 10 9.(2026安徽芜湖.一模)如图1所示，将一个等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，其中直角 边AC在x轴上，点B在第二象限，将直线：y=x一3沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移.设 平移过程中该直线被ABC的边截得的线段长度为m,平移时间为t,m与t的函数图像如图2所示，下 列结论错误的是() b C OA/M 6 10t 图1 图2 A.点A的坐标为1,0 B.ABC的面积为8 C.边AB所在直线的表达式为y=-x+1D.D点坐标为(6,4) 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 二、填空题 10.(2026安徽池州·二模)如图，点A,C分别在x轴和y轴上，BC‖OA,AB‖OC,D(1,3)在反比例 函数y=《(r>0)上，交AB于E,且CD=BD,F点在y轴上，若BCFEBD,点F的坐标为 0 A 11.（2026辽宁沈阳一模)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，其对称轴为：x=-2,图象与x 轴的一个交点为1,0.将下列正确的结论填在横线上（填序号） ①办+c>0:②分=-系：@方程ar+br+c+4=0有两个不相等的实数解，④当am+bm>a+6肘， m的取值范围为m<-5或m>1. 12.(2026四川成都二模)如图，在等边ABC中，D,E分别为边AC,BC上一点，且BE=2CD=4,连 接DE，以DE为边在DE上方作等边△EFD,G为DF中点，连接BG交AF的延长线于点H,若 研号则战段的长为 D B4 E 13.(2026山东临沂一模)如图，在平面直角坐标系中，正方形A,B,C,D的位置如图所示，点B的坐标为 (0,2,点G的坐标为(1,0)，延长AD交x轴于点C2,作正方形D,C,D2A2,延长A,D2交x轴于点C, 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 作正方形D,C,D,A按这样的规律进行下去，则点A到x轴的距离是 D 14.(2026山西太原二模)如图，已知正方形ABCD,点G为AB的中点，连接DG交对角线AC于点E, 延长DG,在延长线上取点F,使BF⊥BE,若AB=4,则BF的长为· 15.(25-26九年级下广东深圳月考)如图，经过原点0的直线与反比例函数y=口(a>0)的图象交于A, B两点（点A在第一象限），过点A作4C∥x轴，与反比例函数y=b(b<0,x<0)图象交于点C, 连接BC与x轴交于点D.若△OBD的面积为3，则a-b的值为 y B 16.(2026江苏苏州一模)已知二次函数y=ax2+4ax(a是常数，a<0)的图象上有Am,y,和 B(2m,y2两点.若点A,B都在直线y=-3a的上方，且》>y2,则m的取值范围是 17.(2026四川南充一模)如图，在正方形ABCD中，点E在AB的延长线上，BE=AB=10,DE与BC 交于点F,点P是对角线BD上一动点（不与端点B,D重合），过点P作GP‖AB,与AD交于点G, 点Q为BG的中点.下列结论： ①CF=BF; ②当BG平分∠ABD时，PQ⊥BG; ③tan∠BDE=y 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ④P⑨的最小值为√5. 其中正确的结论是·（填写序号） D 18.(2026河南洛阳一模)如图，在锐角三角形ABC中，以AC为边作等边三角形AEC,，以AB为边作等 腰三角形AFB,其中AF=BF,∠AFB=120°，D为BC的中点，分别连接FD和ED,若FD的长为6， 则DE的长为· D 重难点08 中考数学小题压轴题练习 内容导航 第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点 核心模块 重难考向 考法解读/考向预测 第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧 要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基 考向01 几何变换综合（折叠、旋转、平移） 考向02 函数图象与动点过程分析 考向03 代数推理与规律探究 考向04 新定义与学习型问题 第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶 重●难●考●向●解●读 一、 2023、2024、2025年考法解读 纵观近三年全国中考数学选填压轴题，命题呈现“重几何直观、重过程分析、重即时学习”的鲜明特点： 1. 几何变换常态化：折叠（轴对称）与旋转依然是高频载体，命题人偏爱在这两类变换中掺杂“隐形圆”或“轨迹最值”的考查，单题分值通常为3-4分，区分度极高。 2. 函数图象分析泛化：由单一的行程问题，演变为涵盖“面积变化”、“图形覆盖率”等多元动态过程的图象辨析，要求学生具备极强的“抽丝剥茧”能力。 3. 新定义与规律探究升温：2024、2025年各省市（如北京、浙江、广东）密集出现“学习型问题”，即现场给出一个全新概念（如“闭包”、“等幂和”），要求学生现场消化吸收并解题。 二、 2026年考法预测 基于对近年命题演变的洞察，对2026年中考命题趋势及备考策略作出如下预测： 1. 命题趋势展望 (1) 从“显性计算”向“隐性判读”转变：直接套用模型就能出答案的题目将减少，更多题目需要结合特殊值法、排除法进行选项辨析。 (2) 跨学科情境可能渗透：物理中的“折射定律”、化学中的“溶液配比”可能会成为函数图象题的新背景。 (3) 网格与无刻度直尺作图下移：原本属于解答题的“限定工具作图”可能会以多选或填空压轴的形式出现，考查基本几何作图原理。 2. 2026年备考策略建议 (1) 狠抓“特殊值/极端值”法：教导学生遇到抽象函数或复杂动点，直接代入 t=0或 t=终点时间，瞬间排除错误选项。 (2) 固化“动手操作”习惯：遇到折叠、旋转，强制要求学生动手剪纸片模拟，培养空间想象力，切忌“空想推导”。 (3) 强化“现场学习”能力：专门抽取一节课让学生阅读全新的数学概念，训练他们提取关键词（如“对于任意……都存在……”）并将其转化为数学语言的的能力。 重●难●要●点●剖●析 考向01 几何变换综合（折叠、旋转、平移） 题型01 图形折叠（轴对称）问题 通用思路：折叠的本质是轴对称，折痕是对称轴，折叠前后对应的线段和角度完全相等。 关键步骤： 1. 标相等：在图中直接标出折叠产生的相等线段和相等角度。 2. 设未知量：通常设所求线段为x，并用x的代数式表示出其他相关线段（特别是直角三角形的三边）。 3. 列方程：在折叠新构成的直角三角形中，利用勾股定理 4. 列出关于x的一元一次方程并求解。 避坑提示：折叠常伴随“角平分线”和“平行线”模型，注意导角带来的特殊角度。 1．（2026·重庆铜梁·一模）如图，将边长为的正方形纸片沿着折叠，使得点落在点处，再将沿着折叠，使得点也落在点处，过点作的平行线与交于点，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由翻折的性质，得，根据，可得，证明，可求出的长度，最终可求出的长． 【详解】解：由翻折的性质， 可得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．（2024·广东·模拟预测）如图，在矩形中，点E在上，将沿折叠，点D恰好落在边上点F处；点G在上，将沿折叠，点B恰好落在线段上点H处．若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是证明出． 先证明，则由可得，设，则，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 设，则，， ∴在中，由勾股定理得， 解得：或（舍）， ∴， 故选：C． 3．（2025·河北沧州·一模）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，它是由3个正方形和1个直角三角形构成，其中．已知D，E分别为两个较小的正方形边的中点，将它们分别沿折叠，若折叠得到的，恰好有一条与斜边平行，则直角三角形的直角边长可能是（   ） A．3，4 B．5，12 C．7，24 D．8，15 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的性质和判定及等腰三角形的性质和判定，熟知相关性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 假设，如图，取中点，过点作交于，连接，设正方形的边长为，设，根据勾股定理求出，，证明，即可求解． 【详解】解：假设，如图，取中点，过点作交于，连接， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 折叠， ， ， ， ， ， ， 设正方形的边长为， 是中点， ， 设， 在中，，，， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 的两直角边的比值是，满足比值是， 其余选项均不满足比值是， 故答案为：A． 题型02 图形旋转问题（求轨迹长或线段长） 通用思路：旋转的核心是“共顶点、等线段”，动点的轨迹通常是圆或圆弧。 关键步骤： 1. 找定点：确定旋转中心O和旋转角α。 2. 定半径：找出到旋转中心距离不变的动点，其轨迹是以O为圆心、该距离为半径的圆。 3. 算路径：根据旋转角α计算对应扇形的弧长。 核心公式：弧长公式；点到直线距离不变则点轨迹为直线。 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且，下列四个结论： ①； ②若，则关于x的一元二次方程没有实数解； ③点，在抛物线上上，若，，总有； ④若抛物线的顶点的轨迹上有两点，，则关于x的方程的两根之和大于1． 其中正确的是______（填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，得出抛物线的对称轴为直线：，根据，得出即可判断①根据抛物线（a，b，c是常数，）经过，得出，根据，，得出，求出，得出，说明关于x的一元二次方程没有实数解，可判断②，根据抛物线的对称轴为：直线，设抛物线的对称轴为直线，得出，根据点，在抛物线上上，，，，分三种情况：当点，都在对称轴右侧时，当点，在对称轴两侧时，点在对称轴的左侧，即可判断③；先求出抛物线的顶点坐标在函数的图象上，根据，得出，根据抛物线的开口向下，对称轴为直线，得出在对称轴的右侧y随x的增大而减小，根据根与系数的关系即可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ∴，即， ∵， ∴，故①正确； ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，一元二次方程为， 整理得：， ∵， ∴关于x的一元二次方程没有实数解，故②正确； 抛物线的对称轴为： 直线， ∵， ∴， 设抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵点，在抛物线上上，，，， ∴当点，都在对称轴右侧时，， 当点，在对称轴两侧时，点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴点不可能都在对称轴的左侧， 综上分析可知：点，在抛物线上上，，时，，故③错误； ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点， ∴顶点坐标的横坐标为，， 顶点坐标的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴顶点坐标的横坐标， 把代入顶点坐标的纵坐标， ∵顶点坐标的横坐标为， ∴， 把代入得：， ∴抛物线的顶点坐标在函数的图象上， ∵， ∴， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵抛物线的顶点的轨迹上有两点，， ∴，，， ∴， ∴关于x的方程的两根之和，故④正确． 综上所述，①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 2．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动．过点P作直线，垂足为Q，再将绕点P旋转，设点P的运动时间为t秒．若旋转后的点Q落在该抛物线上，则t的值为______． 【答案】或5 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点坐标的特点得、，，，由和得是等腰直角三角形，根据动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动，得出，再进行分类讨论，然后根据等腰三角形的判定与性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，，当时，解得：， ， ， 当时，， 解得：，， ，， ，， ，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ∴， ∵动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动． ∴运动t秒后，， 则点的坐标为， 当将绕点P按逆时针方向旋转后，记点的对应点为， ∴， ∵旋转后的点Q落在该抛物线上， ∴点在抛物线上 过点作轴，垂足为W，过点作轴，垂足为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∵点的坐标为， ∴， 则， 把代入， 得， 整理得 解得或（此时与点重合，不符合题意，舍去）； 当将绕点P按顺时针方向旋转后，记点的对应点为， 同理得，，是等腰三角形， 则， 即平分， 连接，与轴交于点 故，（等腰三角形的三线合一） 即点与点关于轴对称 ∵ ∴ 把代入， 得， 整理得 解得或（此时与点重合，不符合题意，舍去）； 综上：或5． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，旋转性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（2025·河南驻马店·一模）如图，中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转1周，在旋转过程中， _____°，线段长度的最大值是______cm． 【答案】 90 14 【分析】因为和都是等腰直角三角形，可证，所以，又因为，根据三角形内角和定理可得．点F在以为直径的圆上运动，且弦位于下方；D、E在以C为圆心，长为半径的运动，当与相切时，最大；易得四边形是正方形，从而由勾股定理可求得，则由可求得的长度． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 设交于点O， ∵，， ∴． ∴点F在以为直径的圆上运动； ∵， ∴； ∵， ∴弦在直径的下方，如图； ∵D、E在以C为圆心，长为半径的运动， 当与相切时，最大； 则， ∴， ∴四边形是矩形； ∵， ∴四边形是正方形， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； 故答案为：90；． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的切线的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 考向02 函数图象与动点过程分析 题型03 单一动点的函数图象辨析 通用思路：将动态过程按“拐点”切片，分析每一段图象的升降趋势和自变量、因变量的取值范围。 关键步骤： 1. 找分界：令动点到达拐点或图形边界，解出对应的时间、。 2. 判走势：分析在各时间段内，因变量随自变量是增大还是减小（看斜率正负）。 3. 验端点：将特殊时刻代入，检验图象是否经过原点或特定点。 避坑提示：特别注意动点折返时，图象会出现“非单调”变化（如先增后减）。 1．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 2．（2025·河南信阳·模拟预测）如图（1），中，，为边的中点，交于点．动点从点出发，沿折线运动，当点不与点重合时，过点分别作于点于点．设动点运动的路程为，四边形的周长为，已知与之间的函数关系图象如图（2）所示，则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．当时，点之间距离的最小值为 D． 【答案】D 【分析】根据函数图形可得，可判定A选项；如图所示，过点作于点，作于点，可得，，，同理，，则，设，则，运用勾股定理得到，则，可判定B选项；如图所示，连接，当时，的值最小，即的值最小，运用等面积法可判定C选项；根据题意，，可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：∵动点从点出发，沿折线运动，设动点运动的路程为， ∴点从，的值逐渐增大，由图（2）， ∵点为边的中点， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 如图所示，过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，且点为边的中点，， ∴，， ∴， ∴， 同理，， ∴， 设，则， ∴，即，整理得，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当时，的值最小，即的值最小， ∵， ∴， 此时， ∴当时，点之间距离的最小值为，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴设， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵动点运动的路程为，动点从点出发，沿折线运动，点不与点重合， ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查了动点与函数图象，相似三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，解直角三角形的计算，勾股定理的运用，理解动点与函数图形的性质，掌握解直角三角形的计算是关键． 3．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 题型04 双动点或图形覆盖率的图象问题 通用思路：当图象辨析无法直接看出时，直接用含时间 t的代数式表示出因变量（如重合部分面积）。 关键步骤： 1. 设时间：设运动时间为t。 2. 表线段：用t表示出图象中关键线段的长度。 3. 求面积：根据几何图形（常为三角形或梯形），写出面积S关于t的函数关系式，从而确定图象的开口方向、对称轴等特征。 核心结论：若S是t的二次函数且无最大值（开口朝上），则图象后半段必为抛物线上升支。 1．（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，，连接，点E、F分别为的中点，点M为边上的动点，点N为射线上的动点，且，连接，当将四边形的面积分为的两部分时，的长为________．    【答案】5 【分析】三角形的中位线定理，得到，进而推出四边形为平行四边形，连接，根据平行四边形的性质，易得，根据将四边形的面积分为的两部分，得到，进而得到，推出，证明，推出，即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点E、F分别为的中点， ∴， ∵点M为边上的动点，点N为射线上的动点，且， ∴， ∴四边形为平行四边形， 连接，设交于点，则， 当将四边形的面积分为时， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．    2．（2025·山东潍坊·一模）如图，在矩形中，，，是边上一个动点，连接，是上的一个动点，连接，，且，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理，由矩形的性质可得，证明得出，即点在以为直径的上，连接交于，此时最短，为，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上，如图所示，连接交于，此时最短，为， ， 则，， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，，动点P在内，且使得的面积为3，点Q为动点，则的最小值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，作于D，先由三角形面积公式得出，作，距离为1，则点P在直线l上运动且在内，点B到直线l的距离为5，作B关于直线l的对称点E，则，作于，交l于，连接，当点E、P、Q在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为，再由等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】解：如图，作于D， ， ∵的面积为3， ∴， ∴， 作直线，距离为1，则点P在直线l上运动且在内，点B到直线l的距离为5，作B关于直线l的对称点E， ∴，， ∴， 作于，交l于，连接， 当点E、P、Q在同一直线上，且垂直于时，的值最小，为， ∵在中，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 考向03 代数推理与规律探究 题型05 数字与整式规律探索 通用思路：将图形或数字的序号 n作为自变量，寻找其与结果之间的函数关系。 关键步骤： 1. 标序号：将已知给出的图形或数字依次编号为。 2. 找关系：观察结果与n的对应关系。若为等差/等比，直接用或 3. 拟合；若为递推，找相邻项差/倍关系。 4. 验通项：将代入通项式，验证是否与已知吻合。 核心公式： 1. 等差数列第n项：（d为公差）； 2. 等比数列第n项：（q为公比）。 1．（2026·山西运城·一模）科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图，两个平面镜的夹角，一束平行于的光线从点A出发，射向平面镜，经过几次反射后，光线回到点A，则反射的次数为（　　） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【答案】D 【分析】设第一次，第二次，第三次反射点分别为D、E、F，根据平行线的性质得到，则可得到，进而可求出，证明，可确定第四次的反射点为点E，则第五次的反射点为点F，且反射光线为射线，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设第一次，第二次，第三次反射点分别为D、E、F， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第四次的反射点为点E， ∴第五次的反射点为点F，且反射光线为射线， ∴反射的次数为五次． 2．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第1，2，3，4，5，6，7次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“”运算的结果是： ， 第2次“”运算的结果是： ， 第3次“”运算的结果是： ， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是，， 第6次“”运算的结果是，， 第7次“”运算的结果是，， … 以此类推可知，从第5次“”运算开始，每两次“”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“”运算的结果是1， 故选：A． 3．（2026·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于轴上时，停止移动．甲、乙、丙三位同学的结论如下， 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，则的取值范围为； 丙：直线与折线相交于点，从到的运动中的值先减小后增大． 则下列判断正确的是（   ） A．甲、乙正确 B．甲、丙正确 C．乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】A 【分析】根据题意可推出（k为正整数），，据此求出点的坐标为，则可判断甲；求出点的坐标为，则一共有10个点；再分别求出直线经过时k的值，则可判断乙；当点P在上时，逐渐变小，不变，则k逐渐变小，当点P在上时，逐渐变大，不变，则k逐渐变小，据此可判断丙． 【详解】解：由题意得，当n为奇数时，第n次移动为向下移动1个单位长度，当n为偶数时，第n次移动为向右移动一个单位长度， ∵， ∴，即（k为正整数）， ∴， ∵，， ∴点的坐标为，故甲说法正确； ∴点的坐标为， ∴一共有10个点； 同理可得， 当直线经过时，，解得 当直线经过时，，解得， ∴当时，在直线两侧的点（点，，，）的个数相等，故乙说法正确； ∵， ∴， 当点P在上时，逐渐变小，不变，则k逐渐变小， 当点P在上时，逐渐变大，不变，则k逐渐变小， 综上所述，从到的运动中的值逐渐变小，故丙说法错误． 题型06 坐标系中的循环规律（周期问题） 通用思路：在平面直角坐标系中，按特定规则移动的点，其坐标变化往往呈现周期性。 关键步骤： 1. 算几步：手动推算前3到5步的坐标变化，寻找重复出现的周期T。 2. 求余数：用目标步数n除以周期T，得到余数r。 3. 定坐标：第n步的坐标与第r步的坐标完全相同（若整除，则与第T步相同）。 答题模板：初始坐标→计算单周期位移(Δx,Δy)→乘以周期数 →加上余下步数的位移。 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，将绕点顺时针旋转并且按一定规律放大，每次变化后得到的图形仍是顶角为的等腰三角形．第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为；第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为，依此规律，则第个等腰三角形中，点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，由题意可得旋转三次完成一周，点在第三象限，每变化一次腰长增加，且，，，进而得到点在第三象限，，又由得，利用三角函数求出点到的距离和到的距离即可求解，由已知找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：第一次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第二次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； 第三次变化后得到等腰三角形，点的对应点为， ∴； ， ∵绕点每次顺时针旋转， ∴旋转三次完成一周， ∴点在第三象限， ∵每变化一次腰长增加， ∴，，， ∵， ∴点在第三象限，且， ∵， ∴， ∴点到的距离为，到的距离为， ∴点的坐标是， 故答案为：． 2．（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题： 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为______．    【答案】 【分析】先求出的坐标，然后求出的长.运用观察到的规律求出的值，即可求出的值. 【详解】由，得      故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数表达式求点的坐标，根据一次函数表达式求点的坐标，及平行于y轴的直线上的两点间的距离.观察规律，理解规律，并会正确应用是解题的关键. 3．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图， 正方形 的顶点，延长交x轴于点，作正方形 ，延长交x轴于点，作正方形…按照这样的规律， 则点的坐标为_________________ 【答案】/ 【分析】连接，，，，根据已知可得，即可得，然后根据正方形的性质可得，，从而求出点的坐标，同理可求得点，，的纵坐标，通过数字规律得到的纵坐标，结合直线的解析式求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， 同理可得：， ∴点、、、的纵坐标分别是：、、、， 以此类推， ∴点的纵坐标为， 又，，则直线的解析式为， 当时，即，解得， 故点的坐标为． 考向04 新定义与学习型问题 题型07 基于新运算或新概念的求值/判断 通用思路：将题干中生僻的新定义（如 a∗b=2a−b）当作特殊的运算法则或自定义函数。 关键步骤： 1. 划关键词：圈出定义中的核心限制条件。 2. 转代数化：将文字语言精准翻译成数学符号语言。 3. 代数值：严格按照新定义的运算顺序代入具体数值或字母进行计算推理。 避坑提示：注意新定义中的隐藏条件（如分母不为零、二次根式被开方数非负），这往往是选项设置的陷阱。 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）定义：平面内任意两点，，则称为这两点之间的曼哈顿距离，“曼哈顿距离”是十九世纪数学家赫曼·闵可夫斯基所创立的词汇．在此定义下，下列选项错误的是（    ） A．若，，则 B．若，Q在直线上，则最小值是3 C．若，满足的所有点M组成的图形面积是2 D．若，，且，则点M横坐标是1 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质等知识，直接根据“曼哈顿距离”的定义判断选项A；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，，三种情况讨论即可判断选项B；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分，；，；，；，；；讨论，判断出符合题意的点M围成的图形，即可判断选项C；设，根据“曼哈顿距离”定义求出，然后分；；三种情况讨论，即可判断选项D． 【详解】解：∵，， ∴， 故选项A正确，但不符合题意； ∵Q在直线上， ∴设， ∵， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，， ∴最小值是3， 故选项B正确，但不符合题意； 设， ∵，， ∴， 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 当，时，， ∴； 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合题意的点M组成的图形如图， ∴所有点M组成的图形的面积为， 故选项C正确，但不符合题意； 设， ∵，，且， ∴， ∴， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，解得； 当时，，恒成立， 综上，当时，， 故选项D，符合题意； 故选：D． 2．（2026·湖南·模拟预测）我们定义：．若，，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，一元二次方程解法，代数式求值，由题意得，，从而有，然后求出，的值，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，则， 由题意得，则， ∴ ， ∴，，， 代入得：，，， ∴或， 故选：． 3．（2025·黑龙江大庆·三模）定义：如果（，），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中：①；②若，则；③；④（，）．正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了数的乘方的计算能力，解题的关键是理解定义． 根据定义理解，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确即可． 【详解】解：①∵， ∴，该选项正确，符合题意； ②∵， ∴， 解得，该选项错误，不符合题意； ③由得，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； ④令，则， ∵， ∴，该选项正确，符合题意； ∴正确的选项有：①③④， 故选：C． 题型08 学习型几何新概念 通用思路：对于抽象的几何新定义，通过画最简单的图形（如点在线段端点、特殊直角三角形）来直观理解。 关键步骤： 1. 取极端：将动点放置在起点、中点或终点，代入新定义公式看是否成立。 2. 画图解：如果是轨迹类新定义，画出满足条件的几个点，连成线推测其轨迹形状（直线、圆或圆弧）。 3. 排错项：通常新定义题目的选项会有非常明显的违背特例的错误，用特值法快速排错。 核心策略：特值法（取0、取1、取端点）是解决抽象新定义小题的万能钥匙。 1．（2026·河南南阳·一模）定义：如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“类直角三角形”．如图，在中．，，，点在边上，使得是“类直角三角形”，则______． 【答案】或 【分析】先求出，然后分当时，当时两种情况，通过相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线性质即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ∵， ∴， 过点作于点，如图， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 设，则， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 综上所述，或． 2．（2026·河南南阳·模拟预测）定义：有一个内角的度数为的三角形叫做“折矩三角形”．如图，中，，，，点是直线上任意一点，连接．若为“折矩三角形”，则的长为________． 【答案】3 或 6+3 【分析】根据“折矩三角形”的定义可知为“折矩三角形”有两种情形，①当时，此时点在边上；②当时，此时点在的延长线上，讨论求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∵为“折矩三角形”， ∴必有一个角为，分两种情况讨论： ①当时，此时点在边上，如图， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②当时，此时点在的延长线上，如图， ∴， 在上取一点，使得， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为3或． 3．（2026·江苏无锡·一模）定义：若，，是的三边，且，则称为“方倍三角形”，则对于①等边三角形，②直角三角形，一定是“方倍三角形”是_________（填①或②或①②）．如图，中，，，为边上一点，将沿直线进行折叠，点落在点处，连接，．若为“方倍三角形”，且，则的面积为_________． 【答案】 【分析】对于等边三角形：由等边三角形的性质可得，则，符合定义；对于直角三角形：可以进行举例，如边长为、、的直角三角形，无论如何组合都得不到，因此不符合要求．延长交于点，结合折叠的性质和“方倍三角形”的定义可判断是等边三角形，则．容易证明是等腰直角三角形，利用三角函数可计算出，，．容易证明，则，代入数值计算即可． 【详解】解：在等边三角形中，， ∴，符合题意， ∴等边三角形一定是“方倍三角形”， 对于直角三角形，举例边长为、、的直角三角形， ∵，，，不符合题意， ∴直角三角形不一定是“方倍三角形”； 由折叠的性质可知，，，， ∵为“方倍三角形”， ∴或或， 当时，则， ∴， 当时，则， ∴， 同理，当时，则， 综上，是等边三角形， 如图，延长交于点， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∴， 在直角中，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 重●难●提●分●必●刷 （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图1，在四边形中，，点，都以每秒个单位长度的速度同时从点出发，分别沿和的路线向终点运动，其中点先于点到达点，且到达后两点同时停止运动．记点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图所示，则下列结论错误的是（） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据函数图象的转折点确定点、的位置，结合速度计算线段长度，利用三角形面积公式分段求解函数解析式，逐一判断选项，即可求解． 【详解】解：由图象可知，时，发生转折，说明点到达点， ，故A正确； 此时点运动路程为，即， 设到的距离为，则， 当时， ， ， 解得 过点作于，则，即梯形的高为 时，再次转折，此时点到达点（因到达需s，后到）， ． 此时点在上，的底为，高为， ，故B错误； 当时，点在上，点在上 ，故C正确； 当时，点在上，点在上， ，，，， ，故D正确． 综上所述，结论错误的是B． 2．（2026·天津东丽·一模）如图，在四边形中，，，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动；同时点Q从点A出发，以的速度沿边、边向终点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为．当时，点P、Q的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为，其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】判断点Q在上，求得，得到四边形是平行四边形，即可判断①正确；利用三角形面积公式得到关于的二次函数，利用二次函数的性质可判断②错误；分两种情况讨论，可判断③正确． 【详解】解：①当时，点Q运动的距离为，则点Q在上， 此时，，如图， ， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，①正确； ②当时，点Q在上， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的最大面积为，不符合题意，②错误； ③当点Q在上时，的面积为时， 则， 解得（不符合题意，舍去）或； 当点Q在上时， ∵，， ∴， 解得（不符合题意，舍去）， ∴③正确； 综上，正确的只有①③，共2个． 3．（2026·安徽芜湖·二模）如图，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，与轴的交点在和之间．下列结论中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数图象开口方向，对称轴可求得a，b符号和关系，与y轴交点判断c的取值范围，可判断A错误；利用抛物线与x轴的交点得出①，②，整理得出可判断B错误；由可判断C错误；分别求出，，可判断D正确． 【详解】解：A．∵抛物线的开口向上， ∴， ∵抛物线的顶点坐标为， ∴对称轴直线为， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在和之间 ∴， ∴0；故A错误； B．∵抛物线与x轴的一个交点， ∴①，抛物线x轴的一个交点， ∴②， ，得， 把代入①得，， ∴， ∴，故B错误； C．∵， ∴，故C错误； D．∵， ∴． ∵， ∴． ∵顶点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故D正确． 4．（2026·天津·一模）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，当点出发后，以为边做正方形，使点，始终在边同侧，设点运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为．有下列结论： ①长为； ②当时，关于的函数关系式为； ③当正方形的对称中心与点重合时，． 其中，正确结论的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点作于点，根据等角对等边得，根据勾股定理求出，，可判断①；分两种情况：当点在线段上运动时；当点在线段的延长线上运动时，分别求解，可判断②；根据条件及正方形的性质得，根据等角对等边，根据勾股定理得，，可判断③． 【详解】解：如图，过点作于点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； 当点在线段上运动时， ∵动点从点出发，以的速度沿边向终点匀速运动，运动到终点停止运动，点运动时间为，四边形是正方形， ∴，，， 当点与点重合时，点与点重合， 此时， ∴； 当点在线段的延长线上运动时，如图，设交于点 此时点在线段上运动，则， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ， ∴当时，关于的函数关系式为，，故结论②正确； 当正方形的对称中心与点重合时，如图， 此时点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论③不正确； 综上所述，正确结论的个数是． 5．（2026·四川南充·一模）已知点、分别在抛物线、（且）上．若，是一个与无关的定值k时，则k的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，易得，，代入整理可得，从而，再根据定值k与无关，可得，即可求出和． 【详解】解：∵点在抛物线上，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴，则， ，则， ∴， ∴， ∵k与无关的定值， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·河北邯郸·二模）在平面直角坐标系中，点P从出发，按“上1、右1、下2、右1、上3、右1、下4、右1……”的规律移动（即：第1次向上移动1个单位，第2次向右移动1个单位，第3次向下移动2个单位，第4次向右移动1个单位，以此类推，如图），若第n次移动后，点P恰好落在直线上，则满足条件的所有n的和（   ） A．5 B．8 C．13 D．21 【答案】C 【分析】根据已知条件和图形可以发现：对于点P，在移动方向上“每移动4次为一个周期”，同时两个相邻周期内同一个位置上两点的坐标有关联．然后结合坐标系表示出这些点的坐标，再代入直线即可确定满足条件的点． 【详解】解：点P第n次移动后记为，结合图形可以发现，点P“每移动4次为一个周期”，按着“上、右、下、右……”的规律移动，这四个位置的点分别用表示，其中k取自然数． 如图，观察的坐标可以发现，后一个点的横坐标总比前一个点的横坐标多2，纵坐标多1，因为，所以的坐标为．若点在直线，则有，解得，此时． 根据同一个周期内四个点的坐标关系，易知的坐标为、的坐标为，的坐标为． 若，，点在直线，则有 ①，解得，此时不是整数，不满足题意； ②，解得，此时不是整数，不满足题意； ③，解得，此时； 综上可知，满足条件的n的值为5和8， 所以满足条件的所有n的和为． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标规律、一次函数．掌握图形规律题的常见类型，如差不变、比不变、周期等；能够结合图形，最终把几何问题转化为代数问题是解题的关键． 7．（2026·河北邯郸·二模）如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论： ①当时，． ②当点落在上时，四边形是菱形． ③在点运动的过程中，线段的最小值为． ④连接，则的面积等于 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，由菱形的性质可得，则，由折叠的性质可得， 进而得到，因此，故①正确；对于②，容易判断当点落在上时，四边形与菱形重合，故②正确；对于③，由可知，，仅当点、、三点重合时取等号，因此的最小值为2，故③正确；对于④，设与的交点为，由可得，故④错误． 【详解】解：对于①：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，故①正确； 对于②：由折叠的性质可得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴当点落在上时，点与点重合， 又∵菱形关于直线对称， ∴此时点与点重合， ∴四边形即菱形，故②正确； 对于③：由①可知，， ∴为钝角， ∴，仅当点、、三点重合时取等号， ∴的最小值为2，故③正确； 对于④：如图，设与的交点为， 由折叠的性质可得，， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有3个． 8．（2026·重庆·一模）如图，在正方形中，点在边上且，连接．点为边上一点，过点作于点，交于点，点在边上，连接，，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设出正方形边长，过点作交于点K，通过正方形中的内十字模型，平行四边形的性质得出，再用相似三角形的性质求出的长度，由等腰三角形的三线合一求出的长，进而求出、的长，从而得到点是三等分点；过点作于点，过点作，连接交的延长线于点，由一线三垂直得出，的长，再由勾股定理即可求出的长，从而得出比值； 【详解】解：设正方形的边长为， ， ， 在中，， 四边形是正方形， ，， 过点作交于点K， ，，， ，四边形是平行四边形， ，，， ， （） ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 过点作于点，过点作，连接交的延长线于点， ，，， 四边形是矩形， ， ，， 四边形是矩形， ，， ，， ，， （） ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，几何法的核心是通过模型转化（正方形中的内十字模型、一线三垂直模型、等腰直角三角形等）将分散的条件集中到可计算的直角三角形中． 9．（2026·安徽芜湖·一模）如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在x轴上，点B在第二象限，将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（   ） A．点A的坐标为 B．的面积为8 C．边所在直线的表达式为 D．D点坐标为 【答案】D 【分析】先求得点M的坐标，进而求得的长，由函数图像可知，当时，直线l经过点A，得，可得，可判断选项A；由函数图像可知：当时，直线l经过点C，，，得的面积：，可判断选项B；由，可得直线的解析式为，可判断选项C；由，得当l经过点C时，由，得，得，可判断选项D． 【详解】解：A、令直线，解得：， ∴点M的坐标为， ∴， 由函数图像可知：当时，直线l经过点A， ∴， ∴ ∴点A的坐标为，故选项A正确； B、由函数图像可知：当时，直线l经过点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， ∴， ∴的面积：，即选项B正确； C、∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴，即选项C正确； D、∵，， ∴，直线l和x轴正方向的夹角为， ∴， ∵， ∴当l经过点C时， ， ∴， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题 10．（2026·安徽池州·二模）如图，点，分别在轴和轴上，，，在反比例函数（）上，交于，且，点在轴上，若，点的坐标为______． 【答案】 【分析】先求得反比例函数的解析式为，进而根据题意得出的长，设点的坐标为，则，根据相似三角形的性质得出，解方程，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过的中点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 把代入得，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设点的坐标为，则， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴点的坐标为． 11．（2026·辽宁沈阳·一模）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为：，图象与x轴的一个交点为．将下列正确的结论填在横线上______（填序号） ①；②；③方程有两个不相等的实数解；④当时，m的取值范围为或． 【答案】②③ 【分析】由对称轴得，，当时，，可判断结论①；由时，，得，可判断结论②；由方程转换为，转换为判断函数与函数的交点个数，可判断结论③；由函数图象和性质，判断结论④． 【详解】解：∵其对称轴为：， 即，得， ∴当时，， 即，故结论①错误； ∵当时，， ∴， ∴，故结论②正确； 方程转换为， 则方程解的个数即为函数与函数的交点个数， 由图判断函数与函数必有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数解，故结论③正确； 若， 即， 故当时，函数值大于时的函数值， 根据对称轴为， ∴的对称点为， 要求时，函数值大于时的函数值， 即，故结论④错误； 综上，正确的结论为②③． 12．（2026·四川成都·二模）如图，在等边中，D，E分别为边上一点，且，连接，以为边在上方作等边为中点，连接交的延长线于点，若，则线段的长为______． 【答案】 【分析】过点作，交于点，交于点，证明为等边三角形，一线三等角证明，得到，同理得到，进而推出，等边对等角结合三角形的外角的性质，求出，作于点，延长交于点，取的中点，连接，根据三线合一，结合30度角的直角三角形的性质，求出的长，中位线定理得到，，进而推出三点共线，证明，得到，进而得到，根据线段的和差关系，求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的角平分线， 作于点，延长交于点，取的中点，连接， 则， ∴，，，，即， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是______． 【答案】 【分析】根据勾股定理可得正方形的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第三个正方形和第四个正方形的边长，进一步得到点到轴的距离． 【详解】解：在中，，， 正方形的边长为， ，， ， ， ∴， ， 过作轴于， ∵， ∴， ∴， 依此可得，， ， 同理可得：点到轴的距离是． 14．（2026·山西太原·二模）如图，已知正方形，点G为的中点，连接交对角线于点E，延长，在延长线上取点F，使，若，则的长为______． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，证明，求出，，证明，得出，，根据余角的性质得出，根据平行线的性质得出，则，根据等角对等边得出，在中，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形，， ∴，，，， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 15．（25-26九年级下·广东深圳·月考）如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴，与反比例函数图象交于点C，连接与x轴交于点D．若的面积为3，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数性质可得，通过证明求出的面积，连接，再根据反比例函数的几何意义求解． 【详解】解：经过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ， 轴， ，， ， 连接， ， ， 则， 即， ． 16．（2026·江苏苏州·一模）已知二次函数（是常数，）的图象上有和两点．若点，都在直线的上方，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征写出和的表达式，结合题目条件列出不等式组，分别解不等式后取交集即可得到的取值范围． 【详解】解：点和在二次函数的图象上， ， ． 由题意得，， ， 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得， 因式分解得 ， 解得； 解不等式 ： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 因式分解得 ， 解得； 解不等式： ， 两边同除以，不等号方向改变，得 ， 整理得 ，因式分解得 ， 解得或． 取三个不等式解集的交集，得． 17．（2026·四川南充·一模）如图，在正方形中，点在的延长线上，，与交于点，点是对角线上一动点（不与端点，重合），过点作，与交于点，点为的中点．下列结论： ①； ②当平分时，； ③； ④的最小值为． 其中正确的结论是_____．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质可证，根据全等三角形的性质可证；根据角平分线的性质和平行线的性质可证是等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证；作于点，可得，根据相似三角形的性质可以求出，，根据正切的定义可以求出；延长交于，连接，可证为的中位线，根据中位线定理可知，根据垂线段最短可知当时，有最小值，求出的最小值即可得到的最小值． 【详解】解：①在正方形中，，，， 又， ， 在和中， ， ， ， 故①正确； ②平分时， ， ， ， ， ， 又点为的中点， ， 故②正确； ③由①可知， 又， ∴， 作于点， ， 又， ， ， ， ，， ， ， 故③错误； ④如下图所示，延长交于，连接， ， ，， ，， ∴， 又， ， 为的中点， 为的中位线， ， 当时，有最小值， 由③可知， ， 故④正确； 综上可知，正确结论有①②④． 18．（2026·河南洛阳·一模）如图，在锐角三角形中，以为边作等边三角形，以为边作等腰三角形，其中，，为的中点，分别连接和，若的长为6，则的长为______． 【答案】 【分析】取的中点G，的中点H，连接、、，根据三角形中位线的性质可知，，，，然后由等腰三角形的和等边三角形的性质可求得，再利用两直线平行同位角相等，结合角度的和差可推出，从而根据两对边成比例且夹角相等证得，进而相似三角形对应边成比例，即可解答． 【详解】解：如图，取的中点G，的中点H，连接、、， 则，， ∵D为的中点， ∴， ∴，，，， ∵，是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $