数学终极押题猜想（江苏无锡专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以高频考点为纲，构建“考情分析-方法提炼-分层精练”体系，融合几何直观与代数推理，强化数学建模与创新意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何计算|6个专题<br>30+例题|圆锥展开公式法、圆性质转化法、翻折全等思想|从基础公式到综合变换，形成“性质-模型-应用”递进链| |函数应用|4个专题<br>20+例题|k几何意义构造法、新定义迁移法、最值建模法|以函数性质为核心，联动方程与不等式，构建数形结合体系| |综合压轴|5个专题<br>25+例题|动态问题分类讨论、存在性问题转化策略|整合相似、四边形与函数，培养逻辑推理与综合运算能力|

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 圆锥的有关计算 1 押题猜想二 圆小题 3 押题猜想三 反比例函数k的几何意义 8 押题猜想四 解直角三角形小题 15 押题猜想五 特殊四边形的判定与性质小题 21 押题猜想六 函数新定义问题 26 押题猜想七 翻折变换小题 35 押题猜想八 复杂的尺规作图 44 押题猜想九 圆综合题 51 押题猜想十 一次函数的应用 58 押题猜想十一 二次函数的应用 63 押题猜想十三 相似或解直角三角形的实际应用 69 押题猜想十四 二次函数综合题 79 押题猜想十五 四边形与相似综合题 90 押题猜想一 圆锥的有关计算 试题前瞻·能力先查 限时：1min 1．一个圆锥的母线为4cm，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A．4π cm2 B．6π cm2 C．8π cm2 D．12π cm2 【答案】C 【详解】解：圆锥的侧面积为：2π×2×4＝8π（cm2）． 故选：C． 2．用半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　　． 【答案】3 【详解】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×6÷2＝6π， ∴圆锥的底面半径为6π÷2π＝3． 故答案为：3． 分析有理·押题有据 本考点考查频次高，常以选择、填空题呈现，难度偏低．2025年无锡中考及各类模考均有涉及，且衔接高中知识．解题需掌握圆锥侧面展开相关公式，侧重考查几何思维与计算能力，需夯实基础、熟练运用公式． 终极猜想·精练通关 1．（2026·梁溪区·一模）小红测量了某款冰激凌蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为4cm，纸套的侧面长度（即母线长）为8cm，把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（　　） A．8cm2 B．8π cm2 C．16cm2 D．16π cm2 【答案】D 【详解】解：∵圆锥的底面圆的直径为4cm， ∴圆锥的底面圆的半径为4cm． ∵圆锥的母线长为8cm， ∴这个圆锥侧面展开图面积为：π×2×8＝16π（cm）． 故选：D． 2．（2026·锡山区·一模）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　） A．27π cm2 B．24π cm2 C．20π cm2 D．16π cm2 【答案】B 【详解】解：由图可知：底面直径为6cm，母线长为8cm， ∴底面周长为6π cm， ∴蛋筒圆锥部分包装纸的面积是6π×8＝24π（cm2）． 故选：B． 3．（2025·惠山区·三模）劳动课上，小明用一张半径为9cm，圆心角是120°的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的侧面积是（　　） A．6π cm2 B．18π cm2 C．27π cm2 D．36π cm2 【答案】C 【详解】解：这个圆锥形帽子的侧面积27π（cm2）． 故选：C． 4．（2025·锡山区·一模）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则它的侧面展开图的面积为（　　） A．24πcm2 B．12πcm2 C．6πcm2 D．4πcm2 【答案】B 【详解】解：圆锥的侧面展开图的面积为：2π×3×4＝12π（cm2）． 故选：B． 5．（2025·梁溪区·一模）小红用彩色纸制作了一个圆锥型的生日帽，其底面半径为9cm，母线长为20cm，不考虑接缝，这个生日帽的侧面积为（　　） A．180π cm2 B．180cm2 C．360π cm2 D．360cm2 【答案】A 【详解】解：20×（2π×9）＝180π（cm2）， ∴这个生日帽的侧面积为180π cm2． 故选：A． 6．（2026·惠山区·一模）将一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径为　　cm． 【答案】3 【详解】解：扇形的弧长公式为（其中n为圆心角度数，R为扇形半径）， 代入n＝120，R＝9cm，得弧长为（cm）， 设底面半径为r，则底面周长为2πr， 由2πr＝6π，解得：r＝3， ∴该圆锥底面圆的半径为3cm． 故答案为：3． 押题猜想二 圆小题 试题前瞻·能力先查 限时：1min 1．如图，BD是⊙O的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若∠COD＝126°，AB＝AD，则∠AGB的度数为（　　） A．108° B．103° C．98° D．139° 【答案】A 【详解】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠DAB＝90°， ∵AD＝AB， ∴∠ADB＝∠ABD＝45°， ∵∠COD＝126°， ∴∠DAC∠COD＝63°， ∵∠AGB是△ADG的一个外角， ∴∠AGB＝∠ADB+∠DAC＝108°． 故选：A． 分析有理·押题有据 圆的有关小题是无锡中考固定高频考点，多以选择、填空题形式考查．命题涵盖圆周角、圆心角、垂径定理、切线性质及正多边形与圆等基础内容，常结合勾股定理、特殊三角形进行简单计算，侧重考查圆基础性质识记、几何直观与快速运算求解能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026•锡山区•一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在圆上且在AB的两侧，若∠ACD＝25°，则∠BAD＝（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 【答案】C 【详解】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∵∠ACD＝25°，∠BCD+∠ACD＝∠BCA， ∴∠BCD＝∠BCA﹣∠ACD＝65°， ∵， ∴∠BAD＝∠BCD＝65°． 故选：C． 2．（2026•惠山区•一模）如图，AB是⊙O的直径．C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝68°，则∠BAC的度数为（　　） A．68° B．56° C．32° D．22° 【答案】D 【详解】解：如图，连接BC， 则∠ABC＝∠ADC， ∵∠ADC＝68°， ∴∠ABC＝68°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝22°． 故选：D． 3．（2025•滨湖区•二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【答案】C 【详解】解：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠ADE与∠ACE是同弧所对的圆周角， ∴∠ADE＝∠ACE， ∴∠ACE+∠BDE＝∠ADB＝90°． 故选：C． 4．（2025•锡山区•一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD＝2，CD＝4，则DF的最大值为（　　） A．2 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【详解】解：如图，连接OC，OF， ∵点F是CE的中点， ∴OF⊥CE， ∴∠OFC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ODC＝90°， ∴∠ODC+∠OFC＝180°， ∴点O，D，C，F在以OC为直径的圆上， ∴DF最大值＝OC， 在Rt△ODC中，OD＝OC﹣AD＝OC﹣2，CD＝4， 由勾股定理可得：OD2+CD2＝OC2， ∴（OC﹣2）2+42＝OC2， ∴OC＝5， ∴DF的最大值为5． 故选：C． 5．（2025•无锡•一模）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在同一半圆上，∠CBD＝27°，则∠A的度数为　　． 【答案】117° 【详解】解：∵BD的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠CBD＝27°， ∴∠D＝90°﹣27°＝63°， ∵∠A+∠D＝180°， ∴∠A＝180°﹣63°＝117°． 故答案为：117°． 6．（2026•锡山区•一模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝56°，则∠BAO的度数为　　． 【答案】34° 【详解】解：∵点A，B，C均在⊙O上， ∴∠ACB∠AOB， ∵∠ACB＝56°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝112°， ∵OA＝OB， ∴∠ABO＝∠BAO， ∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°， ∴2∠BAO+112°＝180°， ∴∠BAO＝34°． 故答案为：34°． 押题猜想三 反比例函数k的几何意义 试题前瞻·能力先查 限时：3min 1．如图，点A、B分别在x轴、y轴上，点C是AO的中点，将△ABO沿AC的垂直平分线翻折，得到△CDE，反比例函数的图象经过点D，且S△AFC＝1，则k的值是（　　） A．﹣48 B．﹣24 C．﹣16 D．﹣12 【答案】B 【详解】解：如图， 设A（m，0），B（0，n）， ∵点C是AO的中点， ∴ACOA，C（，0）， ∵将△ABO沿AC的中垂线翻折，得到△CDE， ∴FG⊥AC，FG平分AC， ∴AG， ∴AGOA， ∵FG∥y轴， ∴△AFG∽△ABO， ∴， ∴FGOBn， ∵A（m，0），C（，0）， ∴OC＝ACm， ∵S△AFC＝1， ∴AC·FG＝1，即·（）·n＝1， ∴mn＝﹣16， ∵EC＝OA＝﹣m，OC，DE＝OB＝n， ∴OEm， ∴D（m，n）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴km·n（﹣16）＝﹣24． 故选：B． 分析有理·押题有据 本考点为高频内容，多以选择、填空考查，难度适中．2025无锡中考及多地模考卷均重点涉及。该知识点衔接高中内容，呈螺旋上升排布．解题核心是构造坐标轴垂线，活用k的面积结论，考查数形结合与运算能力，需强化模型识别与公式灵活运用． 终极猜想·精练通关 1．（2026·江阴市·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，AO＝AB，点C为OA的中点，若△ABC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣6 D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D， ∵点C为OA的中点，若△ABC的面积为4， ∴△ABO的面积为8， ∵AB＝AO，AD⊥OB， ∴BD＝DO， ∴△ADO的面积＝4|k|， 又∵反比例函数的图象位于第二象限，k＜0， ∴k＝﹣8． 故选：B． 2．（2025·锡山区·校级四模）如图，A，B是双曲线图象上的两点，过A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若D为OB的中点，则△ODC的面积为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】解：如图，过点B作BE⊥x轴于E， ∵B是双曲线图象上的点， ∴S△OBE＝2， ∵AC⊥x轴， ∴AC平行于BE， ∴△OCD∽△OEB， ∴， 又∵D是OB的中点， ∴， ∴S△OCD． 故选：A． 3．（2025·梁溪区·校级二模）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线y上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线y（x＞0）上任意一点，连接PA，PB，则四边形AQBP的面积的最小值为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】D 【详解】解：如图，连接PQ， ∵点Q（﹣4，﹣5）是双曲线y上点， ∴k＝﹣4×（﹣5）＝20， ∴y， 设P（x，）， ∴S四边形AQBP＝S△APQ+S△BPQ5（x+4）4（5）x20≥220＝40（当且仅当x时，取等号）， ∴四边形AQBP的面积最小值为40． 故选：D． 4．（2026·滨湖区·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长OA至点B，使AB＝2OA，过点B作BC∥x轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作AD∥OC，交BC于点D．若四边形OADC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．﹣3 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 5．（2026·锡山区·一模）如图，点A、B分别在x轴、y轴上，点C是AO的中点，将△ABO沿AC的垂直平分线翻折，得到△CDE，反比例函数的图象经过点D，且S△AFC＝1，则k的值是（　　） A．﹣48 B．﹣24 C．﹣16 D．﹣12 【答案】B 【详解】解：如图， 设A（m，0），B（0，n）， ∵点C是AO的中点， ∴ACOA，C（，0）， ∵将△ABO沿AC的中垂线翻折，得到△CDE， ∴FG⊥AC，FG平分AC， ∴AG， ∴AGOA， ∵FG∥y轴， ∴△AFG∽△ABO， ∴， ∴FGOBn， ∵A（m，0），C（，0）， ∴OC＝ACm， ∵S△AFC＝1， ∴AC·FG＝1，即·（）·n＝1， ∴mn＝﹣16， ∵EC＝OA＝﹣m，OC，DE＝OB＝n， ∴OEm， ∴D（m，n）， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴km·n（﹣16）＝﹣24． 故选：B． 6．（2026·宜兴市·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于O，延长AD交x轴于点E，若AD＝2DE，▱ABCD的面积为16，则k的值为（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：如图，分别过点A，D作x轴的垂线，垂足分别为F，H， ∵对角线AC、BD相交于点O，▱ABCD的面积为16， ∴△OAD的面积是4， ∵点O到AE的距离是△OAD与△OAE△ODE共同的高， ∵AD＝2DE， ∴△OAD的面积是△ODE面积的2倍， ∴△ODE的面积是2， ∴△OAE的面积是6， ∵AD＝2DE， ∴DE：AE＝1：3， ∵∠AFE＝∠DHE＝90°，∴DH∥AF， ∴△EDH∽△EAF， ∴， 设D（d，），则A（d，）， ∴FH＝ddd， ∴EHd， ∴OEd， ∴6， ∴k＝3． 故选：A． 押题猜想四 解直角三角形小题 试题前瞻·能力先查 限时：3min 1．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，连接AF，点G为AF的中点，连接GE，若，则tan∠GEF的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过A点作AH⊥BC于点H，GM⊥BF于点M， ∵∠ACB＝120°， ∴∠ACH＝60°， 在Rt△ACH中， ∵∠CAH＝90°﹣∠ACH＝30°， ∴CHAC4＝2， ∴AHCH＝2， ∵点G为AF的中点， ∴FGFA， ∵GM∥AH， ∴， ∴GMAH，FM＝HM， 设BE＝x，则FC＝2x， ∴CE＝4﹣x，MH＝FMx﹣1， ∴ME＝MH+CH+CE＝x﹣1+2+4﹣x＝5， 在Rt△GEM中，tan∠GEM． 故选：A． 分析有理·押题有据 解直角三角形小题是无锡中考高频考点，多以选择题、填空题形式呈现．命题不涉及实际应用场景，常与圆、特殊四边形、翻折、相似综合，依托几何图形构造隐含直角三角形，借助锐角三角函数、特殊角的边角关系进行求解．整体难度中等，具备一定区分度，重点考查几何构图转化、三角函数灵活运用与几何运算推理能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026•锡山区•一模）如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝2，则点C的坐标为（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣3，6） C．（，） D．（，） 【答案】A 【详解】解：∵∠C＝∠C， ∵OC2＝BC•AC， ∴， ∴△OBC∽△OAC， ∴∠A＝∠COB， ∵α+∠COB＝90°，∠A+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝α， ∵tanα＝2， ∴tan∠ABO， ∴OA＝2OB， ∵AB＝3， 由勾股定理可得：OA2+OB2＝AB2， ∴，解得：OB＝3， ∴OA＝6． ∴tan∠A． 如图，过点C作CD⊥x轴于点D， ∵tanα＝2， ∴设C（﹣m，2m），m＞0， ∴AD＝6+m， ∵tan∠A， ∴， ∴，解得：m＝2， 经检验，m＝2是原方程的解， ∴点C坐标为：（﹣2，4）． 故选：A． 2．（2025•无锡•一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【详解】解：如图，连接BF， ∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB， ∴EF是AB的垂直平分线， ∴S△AFE＝S△BFE＝25，∠FBA＝∠A， ∴S△AFB＝50AF•BC． ∵CE＝AE＝BEAB， ∴∠A＝∠FBA＝∠ACE， 又∵∠BCA＝90°＝∠BEF， ∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A， ∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A， ∴∠CEF＝∠FBC， ∴sin∠CEF＝sin∠FBC． 设BF＝AF＝x，则CFx, ∵BC•AF＝50， ∴BC， 又∵BC2+CF2＝BF2， ∴（）2+（x）2＝x2，解得：x＝5， ∴BC4． 故选：B． 3．（2026•锡山区•一模）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝1，BC＝2，则sin∠AFE＝　　． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∴∠DAC＝∠BCA，△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，AB＝1，BC＝2， ∴tan∠BCA， ∴tan∠DAC＝tan∠BCA， ∵四边形EFGH是正方形， ∴设EH＝GH＝GF＝a，∠EHG＝∠FGH＝90°，HG∥EF， ∴顶点G、H都在边AD上， ∴△AEH和△AFG都是直角三角形，AD∥EF， 在Rt△AEH中，tan∠DAC， ∴， ∴AH＝2a， ∴AG＝AH+HG＝3a， 在Rt△AFG中，由勾股定理可得：AF， ∴sin∠GAF， ∵AD∥EF， ∴∠AFE＝∠GAF， ∴sin∠AFE＝sin∠GAF． 故答案为：． 4．（2025•江阴市•二模）如图，利用无人机测量雕像BF的高度，在点C处测得雕像底部点B的俯角为45°，水平前行9米到达点D，在点D处测得雕像顶部点F和底部点B的俯角分别为37°和68°，若点C、D与雕像BF均在同一平面内，则雕像BF的高约为　　米． （参考数据：） 【答案】 【详解】解：如图，CD的延长线与BF延长线交于点E， ∠CEB＝90°，∠EDF＝37°，∠EDB＝68°， 由题意可得：， ∴BE＝CE， 设DE＝a（米）， ∵， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴（米）， ∵BE＝CE， ∴， ∴a＝6， ∴（米）． 故答案为：． 押题猜想五 特殊四边形的判定与性质小题 试题前瞻·能力先查 限时：4min 1．如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE＝45°时，则DE＝　　． 【答案】 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB＝BC＝DC＝2，∠DAM＝90°，AB∥DC， ∵M为AB边的中点， ∴AM＝BM＝1， ∴DM， ∵F为DM的中点， ∴DF＝MF， ∵AB∥CD， ∴∠CDP＝∠PMA，∠DCP＝∠MAP， ∴△DCP∽△MAP， ∴2， ∴， ∵四边形ABCD是正方形，∠DFE＝45°， ∴∠DCP＝∠DFE＝45°， ∵∠CDP＝∠FDE， ∴△DCP∽△DFE， ∴， ∴． 故答案为：． 分析有理·押题有据 特殊四边形的判定与性质是无锡中考高频基础小题，以选择、填空为主．命题聚焦矩形、菱形、正方形的边、角、对角线核心性质与判定，常结合折叠、旋转、动点等几何变换，融合勾股定理、全等三角形、中位线等知识，侧重考查图形辨析、性质精准应用与几何计算推理能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026•锡山区•一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接AF， ∵G、H分别为AE、EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴AF＝2GH， ∴当AF⊥BC时，AF有最小值，即GH有最小值， ∵GH的最小值为3， ∴AF的最小值为6， ∵∠B＝60°，AF⊥BC， ∴∠BAF＝30°， ∴AFBF，AB＝2BF， ∴BF＝2，AB＝2BF＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB， ∴BC长为4． 故选：C． 2．（2026•惠山区•一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DA，AB上，且DE＝AF，作AG⊥EF于点H，交BC于点G，若AB＝12，EF：AG＝2：3，则BG的长为　　． 【答案】6 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝12，∠DAB＝∠ABG＝90°， ∴∠EAH+∠GAB＝90°， ∵AG⊥EF， ∴∠AHE＝90°， ∴∠EAH+∠AEH＝90°， ∴∠AEF＝∠GAB， ∴Rt△EAF∽Rt△ABG， ∴， ∵AB＝12， ∴AE＝8， ∴AF＝DE＝AD﹣AE＝4， ∵， ∴BG＝6． 故答案为：6． 3．（2026•江阴市•一模）如图，▱ABCD中，AB＝6，BC＝12，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O．过点B作AC的平行线，交DC的延长线于点E，连接OE，则OE的长为　　． 【答案】3 【详解】解：如图，连接AE交BC于点F， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，CD＝AB＝6，OB＝OD， ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴BE＝AC，CE＝AB＝6，BF＝CFBC＝6，AF＝EF， ∴DE＝CD+CE＝12， ∴AB＝BF， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABF是等边三角形， ∴AF＝AB＝6， ∴AE＝2AF＝12， ∴BC＝AE， ∴平行四边形ABEC是矩形， ∴∠BAC＝∠BEC＝90°， ∴AC6， ∴BE＝AC＝6， ∴BD6， 又∵OB＝OD， ∴OEBD＝3． 故答案为：3． 4．（2026•滨湖区•一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E在边BC上，且BE＝3CE，F是AB的中点，P是DF的中点，过点P作PQ∥AB交EF于点Q，则PQ的长为　　． 【答案】 【详解】解：如图，连接CF交PQ于点H，延长PQ交BC于点G， ∵矩形ABCD，AB＝4， ∴CD＝AB＝4，AB∥CD， ∵PQ∥AB， ∴PQ∥CD， ∴△FPH∽△FDC， ∴， ∴，FH＝CH， ∵PQ∥AB， ∴△CHG∽△CFB， ∴， ∴，CG＝BG， ∵BE＝3CE， ∴BE＝3GE， ∵GQ∥AB， ∴△EQG∽△QFB， ∴GQBF， ∴QH＝1， ∴PQ＝2． 押题猜想六 函数新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：7min 1．定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有y≤a（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，y＝﹣x2是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（　　） ①函数是“顶峰”函数； ②函数y＝2x﹣3（x≤2）是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的最小值不超过2a+1，“巅峰”值是b，则﹣1≤a＜1； ④函数y＝x2﹣2ax+2（﹣a≤x≤﹣a+1）的“巅峰”值为3，则a的值为0或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：函数y＝（x＞0）无最大值，不是“顶峰”函数，故①错误； 在y＝2x﹣3（x≤2）中， ∵2＞0， ∴y随x值的增大而增大， 当x＝2时，有最大值y＝2x﹣3＝1， ∴函数y＝2x﹣3（x≤2）是“顶峰”函数，“巅峰”值为1，故②正确； ∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小， ∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2， ∵“巅峰”值是b， ∴﹣a+2＝b， ∵函数的最小值不超过2a+1， ∴﹣b+2≤2a+1， ∴a≥﹣1， ∵b＞a， ∴﹣a+2＞a， ∴a＜1， ∴a的取值范围为：﹣1≤a＜1，故③正确； ∵y＝x2﹣2ax+2的对称轴是直线x＝a， 当，即时， 函数的“巅峰”值是（﹣a+1）2﹣2a（﹣a+1）+2＝3a2﹣4a+3， ∴3a2﹣4a+3＝3，解得：（舍去）或a＝0； 当，即a时， 函数的“巅峰”值是（﹣a）2+2a2+2＝3a2+2， ∴3a2+2＝3，解得：或a（舍去）； 综上，a的值为或0，故④错误； 综上，正确的是②③． 故选：C． 分析有理·押题有据 新定义函数是新课标热点题型，常作为选择压轴考查。命题结合基础函数综合设问，依托全新定义实现多知识融合．后续或升级为解答题型，需吃透新定义规则，强化函数综合推理与数形结合运用． 终极猜想·精练通关 1．（2026·新吴区·一模）若函数y1的图象上存在点M，函数y2的图象上存在点N，且M、N关于原点成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数y1＝x+2与函数y2＝3x﹣1存在奇对称点； ②函数y1＝2x+2与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数y1＝2x+3与函数的“奇对称值”，则k＝﹣1或； ④若函数与函数y2＝x+t（x＜0）存在奇对称点，则﹣0.25≤t≤2． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：①设点M（a，a+2）在y1＝x+2上， ∴其关于原点的对称点N（﹣a，﹣a﹣2）需在y2＝3x﹣1上， ∴将N（﹣a，﹣a﹣2）代入y2的解析式：﹣a﹣2＝3（﹣a）﹣1， ∴， ∴存在这样的a，使得，关于原点对称， 即函数y1＝x+2与函数y2＝3x﹣1存在奇对称点，故①正确； ②设点M（a，2a+2）在y1＝2x+2上， ∴其关于原点的对称点N（﹣a，﹣2a﹣2）需在上， ∴将N（﹣a，﹣2a﹣2）代入y2的解析式：，即a2+a﹣6＝0， ∴a＝﹣3或a＝2． ∴当a＝2时，M（2，6），到原点的距离为， 当a＝﹣3时，M（﹣3，﹣4），到原点的距离为， ∴奇对称值应为5或，故②错误； ③∵是函数y1＝2x+3与函数的“奇对称值”， ∴设M（a，2a+3），则M到原点的距离为， ∴，则5a2+12a+7＝0， ∴a＝﹣1或， ∴当a＝﹣1时，M（﹣1，1），对称点N（1，﹣1）在上，代入得k＝﹣1， 当时，，对称点 在上，代入得， ∴k＝﹣1或，故③正确； ④设点M（a，﹣a2+2a）（0≤a≤2）在y1上， ∴其关于原点的对称点N（﹣a，a2﹣2a）需在y2＝x+t（x＜0）上， ∴将N（﹣a，a2﹣2a）代入y2的解析式：a2﹣2a＝﹣a+t，化简得：t＝a2﹣a（0＜a≤2，因x＝﹣a＜0） ∵二次函数t＝a2﹣a的对称轴直线为， ∴在0＜a≤2内，最小值为，最大值为t（2）＝2， ∴t的范围为﹣0.25≤t≤2，故④正确． 故选：B． 2．（2026·惠山区·一模）已知y是x的函数，x1，x2（x1≠x2）是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为y1，y2.若存在常数k（k＞0），使得|y1﹣y2|≤k|x1﹣x2|，则称此函数为“k﹣利普希兹条件函数”． 下列四个结论： ①函数y＝﹣3x+1是“3﹣利普希兹条件函数”； ②函数y＝5x2是“5﹣利普希兹条件函数”； ③若函数y＝mx+n是“2026﹣利普希兹条件函数”，则m的最大值为2026； ④已知函数y＝2x2+3x+1，当1≤x≤2时，此函数是“k﹣利普希兹条件函数”恒成立，则k的最小值为11． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【详解】设是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为 ①已知函数， ∴， ， ∴． ∵，满足，此时， ∴函数是“3-利普希兹条件函数”，故①正确； ②对于函数， ∴，， ∴， 当时，，， 而，不满足， ∴函数不是“5-利普希兹条件函数”，故②错误； ③已知函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴， ∴． ∵函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴，即 ． ∵， ∴，两边同时除以可得：， ∴m的最大值为2026，故③正确； ④已知函数，当时， ∴，， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴，即， ∴，满足， ∴k的最小值为11，故④正确； 综上，正确的有：①③④． 故选：D． 3．（2026·锡山区·一模）当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数 【答案】D 【详解】解：∵|x1+y2|+|x2+y1|＝0， ∴x2+y1＝0，x1+y2＝0， ∴x2＝﹣y1，y2＝﹣x1， A、∵， 当点（x1，y1）在反比例函数上时，则x1y1＝2， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1， ∴x2y2＝﹣x1·（﹣y1）＝x1y1＝2； ∴点（x1，y1）的反射点（x2，y2），必定在反比例函数图象上， ∴反比例函数的图象上存在无数对“反射点”，故正确，不合题意； B、对于y＝x2+1，若点（x1，y1），（x2，y2）是反射点，则，， ∵y2＝﹣x1，x2＝﹣y1， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴无解， ∴二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点”，故正确，不合题意； C、∵y＝kx﹣4是“镜像函数”， ∴图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2），即（x1，y1），（﹣y1，﹣x1）在直线y＝kx﹣4上， ∴， ∴y1+x1＝k（x1+y1）， ∵y1≠﹣x1， ∴y1+x1≠0， ∴k＝1， ∴y＝x﹣4， ∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝x﹣4＝0时，x＝4， ∴一次函数图象与坐标轴的交点坐标为（0，﹣4），（4，0）， ∴这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为，故正确，不合题意； D、∵二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则图象上存在反射点（x1，y1）与（x2，y2）， ∴，， ∴， ∴， ∴x2+x1＝1或x2﹣x1＝0， 当x2﹣x1＝0时，即x2＝x1，则； ∴x2+x1＝1， ∴x2＝﹣x1+1， ∴， ∴， 当时，，此时， ∴，故错误，符合题意． 故选：D． 4．（2026·宜兴市·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）是“2型闭函数”； ②若一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”，则a＝1； ③反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝2024； ④二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a（﹣1≤x≤1）是“k型闭函数”．则k的取值范围是k≥1.5． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：①由一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）可知：y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，m＝1，当x＝5时，n＝9， ∴n﹣m＝k（5﹣1）＝8，故k＝2，故①正确； ②∵一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”， ∴n﹣m＝1×（8﹣3）＝5， 当a＞0时，y随x的增大而增大，n﹣m＝（8a+2）﹣（3a+2）＝5a＝5，得a＝1； 当a＜0时，y随x的增大而减小，n﹣m＝（3a+2）﹣（8a+2）＝﹣5a＝5，得a＝﹣1， 综上，a＝±1，故②错误； ③对于反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b），可知y随x的增大而减小， ∴n，m， ∴n﹣m， 又∵反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”， ∴k（b﹣a），可得ab＝1， ∵a+b， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝2026﹣2＝2024，故③正确； ④二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a（﹣1≤x≤1）的开口向下，对称轴为直线x＝a，且b﹣a＝2， 由定义可得：n﹣m＝2k，故k． 当a≤﹣1时，最大值在x＝﹣1处取得，n＝﹣3﹣6a+a2+2a＝a2﹣4a﹣3， 最小值在x＝1处取得，m＝﹣3+6a+a2+2a＝a2+8a﹣3， ∴n﹣m＝﹣12a≥12， ∴k≥6； 当a≤0时，最大值在x＝a处取得，n＝﹣3a2﹣6a2+a2+2a＝4a2+2a， 最小值在x＝1处取得，m＝﹣3+6a+a2+2a＝a2+8a﹣3， ∴n﹣m＝3a2﹣6a+3＝3（a﹣1）2， ∵a≤0， ∴n﹣m＝3（a﹣1）2在a≤0上的函数值随a的增大而减小， ∴n﹣m≥3，解得：k≥1.5； 当a＞0时，最大值在x＝a处取得，n＝4a2+2a， 最小值在x＝﹣1处取得，m＝a2﹣4a﹣3， ∴n﹣m＝3（a+1）2， ∵a＞0， ∴n﹣m＝3（a+1）2在a＞0上的函数值随a的增大而减小， ∴n﹣m＞3，解得：k＞1.5； 当a≥1时，最大值在x＝1处取得，n＝a2+8a﹣3； 最小值在x＝﹣1处取得，m＝a2﹣4a﹣3， ∴n﹣m＝12a＞12，解得：k≥6； 综上，k≥1.5，故④正确． 综上，正确结论为①③④， 故选：D． 5．（2026·江阴市·一模）在平面直角坐标系中，对于任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2，且y1≠y2），若|x1﹣x2|＝m|y1﹣y2|（m是常数），则称线段PQ是一条“m倍率线段”．下列说法中其中正确的是（　　） ①若A（1，1），B（4，2），则线段AB是一条3倍率线段； ②若C（﹣1，2），D在函数的图象上，则有且只有一条2倍率线段CD； ③若A（5，5），B在函数图象上，且AB是1倍率线段，则AB长为或； ④二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，点Q在该二次函数位于第一象限内的图象上，且线段PQ是倍率线段，当PQ的长度最大时，点Q的坐标为． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【详解】解：①对于， ，， ，故①正确； ②设，由是2倍率线段得：， 化简得：，即或， 当时，方程无解； 当时，解得：， 只有一个解， 只有一条，故②正确； ③设，由是1倍率线段得：， 即或， 当时，解得：； 当时，解得：或； ， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，长度为或，故③错误； ④令，得，即， 令，得，解得：或， ∵图像与轴正半轴交于点， ∴， 设线段表达式为：， 将代入得：，解得：， ∴线段表达式为：， 设，则 ∴， 由是倍率线段得：， 化简得：或， 当时，， 令， 当对称轴时，取最小值， ∴此时的最大值为，此时； 当时，， ∵， ∴， ∵在上的长度随着的增大而增大， ∴时，的最大值为，此时； ∵， ∴最大时，，故④错误； 综上，①②正确． 故选：A． 押题猜想七 翻折变换小题 试题前瞻·能力先查 限时：7min 1．如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M、N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为E，F，且点F在平行四边形内部，MF的延长线交BC于点G．EF交边BC于点H．AB＝6，∠B＝45°，，当点H为NG三等分点时，MD的长为　　． 【答案】64或3 【详解】解：当HNGN时，GH＝2HN， ∵将平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为MN， ∴MF＝MD，CN＝EN＝2，∠E＝∠C＝135°，∠D＝∠MFE＝45°，∠DMN＝∠GMN，AD∥BC， ∴∠GFH＝135°，∠DMN＝∠MNG， ∴∠GMN＝∠MNG， ∴MG＝NG， ∵∠GFH＝∠E＝135°，∠FHG＝∠EHN， ∴△FGH∽△ENH， ∴2， ∴FG＝2EN＝4， 如图，过点G作GP⊥DA交DA延长线于点P，过点D作DT⊥BC交BC延长线于点T，得矩形PGTD， 则PG＝DT，DP＝CT， 设MD＝MF＝x，则MG＝GN＝x+4， ∴CG＝x+6， ∵AB＝CD＝6， ∴CT＝DTCD＝3， ∴GT＝GC+CT＝x+9， ∴PD＝x+9， ∴PM＝PD﹣DM＝x+9x＝9， 在Rt△PGM中，PG＝DT＝3， 由勾股定理可得：GP2+PM2＝MG2， ∴（3）2+（9）2＝（x+4）2， 解得：x1＝64，x2＝﹣64（舍去）， ∴MD＝64； 当GHGN时，HN＝2GH， ∵△FGH∽△ENH， ∴， ∴FGEN， ∴MG＝GN＝x， ∴CG＝GN+CN＝x+3， ∴PD＝GT＝GC+CT＝x+6， ∴PM＝PD﹣DM＝6， ∵GP2+PM2＝MG2， ∴（3）2+（6）2＝（x）2， 解得：x＝±3（负值舍去）， ∴MD＝3． 故答案为：64或3． 分析有理·押题有据 翻折变换为无锡中考高频压轴考点，常以填空压轴形式考查。命题结合三角形、四边形综合设问，利用翻折全等、边长与角度关系实现多知识融合。命题趋势愈发综合，需吃透翻折性质，强化几何推理、数形结合与计算求解能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·新吴区·一模）如图，在矩形ABCD中，，AD＝4，E为边BC上的一个动点．连接AE、DE，将△ABE沿着AE折叠，得到△AFE，再将△AFE沿着DE折叠，得到△HGE（F与G为对应点）．当边EG与△ECD的边所在直线重合时，BE＝　　． 【答案】1或3或4． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，AD＝BC＝4，∠B＝∠C＝90°． 由折叠的性质可知：△ABE≌△AFE，△AFE≌△HGE， ∴AB＝AF＝HG，BE＝FE＝GE，∠B＝∠AFE＝∠HGE＝90°，∠BAE＝∠FAE． ∵边EG与△ECD的边所在直线重合， ∴可分以下情形： ①EG与EC重合， ∴E、G、C共线，∠DEC＝∠DEG． 又∵△AFE≌△HGE， ∴∠AEF＝∠HEG，则∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠HEG+∠DEF＝90°，即∠AED＝90°， ∴∠AEB+∠DEC＝90°， 又∵Rt△ABE中，∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC． ∵∠B＝∠C＝90°，∠BAE＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD． ∴， 设BE＝x，则EC＝4﹣x， ∴． ∴x＝1或x＝3． ∴BE＝1或3； ②EG与ED重合，F在ED上， ∴FD， 又∵△AFD≌△DCE， ∴FD＝CE， ∴BE＝BC﹣CE＝4． 故答案为：1或3或4． 2．（2025·宜兴市·二模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点M、N分别在AD、BC上，将正方形沿直线MN翻折，使点B落在CD上的点E处． （1）当点E为CD的中点时，则△CEN的面积是　　； （2）设EC＝x，AM＝y，则y＝　　（用含x的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）∵正方形纸片ABCD，AB＝3， ∴AB＝BC＝CD＝3，∠C＝90°， 由折叠的性质可知：BN＝EN， 设BN＝EN＝x， ∵点E是CD的中点， ∴， 在Rt△CEN中，EN＝x，CN＝3﹣EN＝3﹣x， 由勾股定理得CE2+CM2＝EM2， ∴，解得：， ∴， ∴△CEN的面积是， 故答案为：； （2）如图，连接BE，作MF垂直BC于点F，则四边形ABFE是矩形， ∴AM＝BF＝y，MF＝AB＝3， 由折叠的性质可知：BE⊥MN，EN＝BN， ∴∠NMF＝90°﹣∠MNF＝∠EBC， 又∵∠MFN＝∠BCE，MF＝BC＝3， ∴△MFN≌△BCE（AAS）， ∴FN＝CE＝x， ∴BN＝BF+FN＝x+y＝EN， ∴CN＝BC﹣BN＝3﹣（x+y）， 在Rt△CEN中，CE2+NC2＝EN2， ∴x2+（3﹣x﹣y）2＝（x+y）2， ∴x2+9﹣6（x+y）+（x+y）2＝（x+y）2， 化简得：， 故答案为：． 3．（2025·锡山区·校级二模）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为CD的中点，将△BCE沿BE翻折得到△BC′E，连接EC′交AB于点F，则的值为　　． 【答案】 【详解】解：如图，连接AC，AE， 由题意可得：AB＝BC＝CD＝AD，∠D＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°， ∴△ABC，△ACD都是等边三角形， ∵E为CD的中点， ∴AE⊥CD， ∴∠EAD＝30°， ∴∠BAE＝90°， 设CE＝ED＝x，则AB＝BC＝CD＝AD＝2x， ∴， 延长DA，EF二线交于点M，则∠MAF＝60°， 由题意可得：∠BCE＝∠BC′E＝120°，BC＝BC′＝2x， ∴∠BC′F＝60°， ∴∠BC′F＝∠MAF， ∵∠BFC′＝∠MFA， ∴△MAF∽△BC′F， ∴， ∵BC′＝AD， ∴， ∵菱形ABCD， ∴AF∥CD， ∴， ∴， ∴FB＝FE， 设AF＝y， ∴FB＝FE＝AB﹣AF＝2x﹣y， ∵FE2＝AF2+AE2， ∴， ∴x＝4y， ∴2x＝8y， ∴． 故答案为：． 4．（2025·梁溪区·一模）在平面直角坐标系中，已知．分别连接AB，BC，AC，把△ABC沿BC翻折得到△A′BC．当A′与D重合时，BD＝　　；当以A′、C、B、D为顶点的四边形是矩形时，m＝　　． 【答案】6；1或5或6 【详解】解：由题意可得：当A'与D重合时，BC是AA'的垂直平分线， ∴AC＝DC， ∵，D（m+6，）， ∴CD＝m+6﹣m＝6， ∴AC＝6， ∵A（0，0）， ∴，解得：， ∴， ∵B（6，0）， ∴； 当以A'、C、B、D为顶点的四边形是矩形时，有两种情况： ①如图，当A'点在x轴上， 此时A'B＝AB＝6， ∴m＝6； ②如图，当A'点不在x轴上，过点C作CE⊥x于点E，DF⊥x于点F， ∴∠CEB＝∠DFB＝90°， ∴∠ECB+∠CBE＝90°， ∵四边形A'CBD是矩形， ∴∠CBD＝90°， ∴∠ECB＝∠FBD， 又∵∠CEB＝∠DFB＝90°， ∴△CBE∽△BDF， ∴，即， 解得：m＝1或m＝5； 综上，m的值为：1或5或6． 故答案为：6；1或5或6． 5．（2026·锡山区·一模）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”，则对于①等边三角形②直角三角形，一定是“方倍三角形”是　　（填①或②或①②）；如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，则△PDC的面积为　　． 【答案】①；22 【详解】解：设边长为a，则a2+a2＝2a2， 根据“方倍三角形”定义可知：等边三角形一定是“方倍三角形”； 直角三角形三边满足a2+b2＝c2， 根据“方倍三角形”定义可知：直角三角形不一定是“方倍三角形”； ∴一定是“方倍三角形”是①； 如图，延长BP交AD于点E， ∵将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处， ∴△ABP≌△DBP， ∴BA＝BD，∠ABP＝∠DBP， ∵△ABD为“方倍三角形”， ∴BA2+BD2＝2AD2＝2BA2或AD2+BD2＝2BA2或BA2+AD2＝2BD2， ∴AD＝AB＝BD， ∴△ABD为等边三角形，∠BAD＝60°， ∴∠ABP＝∠DBP＝30°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠PBC＝90°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠BPC＝45°， ∴∠APE＝45°， 由翻折可知：∠DPE＝∠APE＝45°， ∴∠APD＝∠DPE+∠APE＝90°， ∵∠ABC＝120°，∠ACB＝45°， ∴∠BAC＝15°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝45°， ∴△APD为等腰直角三角形， ∴AD＝2AB， ∵∠ABP＝∠PBD，AB＝BD， ∴BE⊥AD， ∴PEADAE， ∴BEAE， ∴BP＝BE﹣PE， ∵∠BPC＝∠ACB＝45°， ∴△PBC为等腰直角三角形， ∴PCBP＝22， ∴S△PDCPC·DP（22）×2＝22． 故答案为：①；22． 押题猜想八 复杂的尺规作图 试题前瞻·能力先查 限时：6min 1．如图，在正方形ABCD中，点F是CD上的一点，E是BC边的中点，连接EF． （1）请用无刻度的直尺及圆规，在AD上找一点G，使∠AGE＝2∠CEF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若CF＝2DF＝8，则AG的长为　　． 【答案】（1）作图详见解析；（2）2.5． 【详解】解：（1）点G即为所求； （2）如图，延长EF交AD的延长线于点H，过点G作GM⊥BC于点M， ∵CF＝2DF＝8， ∴CD＝DF+CF＝4+8＝12， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝AD＝CD＝12，AD∥BC， ∵点E是BC的中点， ∴， ∴△DHF∽△CEF， ∴， ∴， 设AG＝x，则DG＝12﹣x， ∴GH＝DG+DH＝12﹣x+3＝15﹣x， ∵AD∥BC， ∴∠GHE＝∠CEF， 由（1）可知：∠GEF＝∠CEF， ∴∠GEF＝∠GHE， ∴GE＝GH＝15﹣x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∵GM⊥BC， ∴∠GMB＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠GMB＝90°， ∴四边形ABMG是矩形， ∴GM＝AB＝12，BM＝AG＝x， ∴ME＝BE﹣BM＝6﹣x， ∴122+（6﹣x）2＝（15﹣x）2，解得：x＝2.5，即AG＝2.5， 故答案为：2.5． 分析有理·押题有据 无锡中考数学复杂尺规作图，多在解答题压轴小问出现，以多步骤复合作图为主，高频融合角平分线、垂直平分线、圆的切线、无刻度直尺作图，并联动全等、相似、勾股定理、特殊四边形与圆性质综合设问，侧重考查作图原理、几何推理与痕迹规范表达能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·惠山区·一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点D，使得点D到AB、AC的距离相等，且满足∠ADC＝90°；（不写作法，保留作图痕迹） （2）设直线CD与AB交于E，若AC＝4，则BE的长为　　．（如需草图，请用备用图） 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，点D即为所求； （2）如图，过点C作CH⊥AB于点H， ∵∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，AC＝4， ∴AH，BH＝CH， ∴AB＝AH+BH， 由（1）可得：AG是∠BAC的角平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， ∵CE⊥AG， ∴AC＝AE＝4， ∴BE＝AB﹣AE， 故答案为：． 2．（2026·滨湖区·一模）如图1，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＜AD． （1）尺规作图：作正方形EFGH，使得点E，G分别在AD，BC上，点F，H在BD上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝8，求EG的长．（如需画草图，请使用图2） 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，四边形EFGH即为所求作的正方形； （2）如图，过B作BH⊥DA交DA的延长线于H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAH＝∠ABC＝60°， ∴∠ABH＝90°﹣60°＝30°， ∴AHAB4＝2， ∴BH＝2， ∵DH＝AH+AD＝2+8＝10， ∴BD4， 由（1）可知：EG垂直平分BD， ∴∠DOE＝90°，ODBD＝2， ∵tan∠BDH， ∴， ∴OE， ∵四边形EFGH是正方形， ∴EG＝2OE． 3．（2026·江阴市·一模）如图，在直角△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BC于点D，在AC上作一点E，使得AE＝DE；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝3，则DE＝　　．（若需画图，请用备用图） 【答案】（1）作图详见解析；（2）． 【详解】解：（1）如图，射线AD即为所求， 作线段AD的垂直平分线，交AC于点E，点E即为所求； （2）∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°， ∴AC5． ∵AD为∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵AE＝DE， ∴∠EAD＝∠ADE， ∴∠BAD＝∠ADE， ∴DE∥AB， ∴△CDE∽△CBA， ∴． 设DE＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝5﹣x， ∴，解得：x， ∴DE， 故答案为：． 4．（2026·锡山区·一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB是⊙O的直径． （1）实践与操作： 尺规作图：作出△ABC的内心I；（不写作法，保留作图痕迹） （2）推理与计算： 连接CI并延长，与⊙O交于另一点D．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为　　，DI的长为　　． 【答案】（1）作图详见解析；（2）7，5． 【详解】解：（1）如图1，点I为所求； （2）如图2，连接AD，BD，BI．过点I作IJ⊥AC于点J，IK⊥BC于点K，IL⊥AB于点L． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， ∵AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵I是△ABC的内心， ∴IJ＝IK＝IL， ∵AC·BC·AC·IJ·BC·IK·AB·IL， ∴IJ＝IK＝IL＝2， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACI＝∠CIJ＝45°， ∴CJ＝IJ＝2， ∴CI＝2， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∵AD2+BD2＝AB2， ∴AD＝DB＝5， ∵∠BID＝∠BCI+∠CBI，∠DBI＝∠ABD+∠ABI， ∵∠ABD＝∠BAD＝∠BCD，∠ABI＝∠CBI， ∴∠BID＝∠DBI， ∴BD＝DI＝5， ∴CD＝CI+ID＝7， 故答案为：7，5． 押题猜想九 圆综合题 试题前瞻·能力先查 限时：7min 1．如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）2． 【详解】解：（1）如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝∠1， ∴2∠CAB＝∠2＝∠CAB+∠1， ∵OC是⊙O的半径，CF切⊙O于C， ∴OC⊥CF， ∵DB⊥CF， ∴OC∥DB， ∴∠ABD＝∠2， ∴∠ABD＝2∠CAB； （2）∵∠ACD，∠ABD为所对圆周角， ∴∠ACD＝∠ABD， ∴． 如图，连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴OB＝OC＝3， ∵， ∴设EF＝4x，BE＝3x，则BF＝5x， ∵BE⊥CF，OC⊥CF， ∴OC∥BE， ∴△BEF～△OCF， ∴， ∴，整理得：﹣6x+15x2＝0， ∴， ∴BF＝5x＝2． 分析有理·押题有据 圆综合题是无锡中考固定高频考点，多以解答题形式考查。常结合切线判定、圆周角定理、四边形、相似及解三角形知识综合设问，知识点覆盖面广．该题型区分度适中，重点考查学生几何推理、模型转化与综合运算的能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·锡山区·一模）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明详见解析；（2）△ABC的面积为12． 【详解】（1）证明：如图，连接OE，则OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE， ∵∠OBE＝∠CBD， ∴∠OEB＝∠CBD， ∵DE＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE， ∵CD是△ABC的高， ∴CD⊥AB，交AB的延长线于点D， ∴∠ADC＝90°， ∴∠OED＝∠OEB+∠DEC＝∠CBD+∠DCE＝90°，即DE⊥OE， ∵OE是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠OED＝90°， ∴OE2+DE2＝OD2， ∵DE＝CD＝4，BD＝2， ∴OD＝OB+2， ∵OE＝OB， ∴OB2+42＝（OB+2）2，解得：OB＝3， ∴AB＝2OB＝6， ∴S△ABCAB·CD6×4＝12， ∴△ABC的面积为12． 2．（2026·宜兴市·一模）如图，锐角△ABC为⊙O的内接三角形，BD为△ABC的高，垂足为D，点A为的中点． （1）求证：∠BAC＝2∠DBC； （2）若AB＝10，BD＝8，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明详见解析；（2）⊙O的半径长为． 【详解】（1）证明：∵点A为的中点， ∴， ∴∠C＝∠ABC， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣2∠C， ∵BD为△ABC的高，垂足为D， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠C， ∴2∠DBC＝180°﹣2∠C， ∴∠BAC＝2∠DBC； （2）解：如图，连接并延长AO交BC于点E，交⊙O于另一点F，连接OB，则OA＝OB， ∵∠ADB＝∠CDB＝90°，AB＝AC＝10，BD＝8， ∴AD6， ∴CD＝AC﹣AD＝10﹣6＝4， ∴BC4， ∵AF是⊙O的直径，且AF平分， ∴AF垂直平分BC， ∴∠AEB＝90°，BE＝CEBC42， ∴AE4， ∵BE2+OE2＝OB2，且OE＝AE﹣OA＝4OB， ∴（2）2+（4OB）2＝OB2，解得：OB， ∴⊙O的半径长为． 3．（2026·滨湖区·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，CE是⊙O的切线，CE⊥DB交DB的延长线于点E． （1）若∠A＝25°，求∠ACD的度数； （2）若AB＝6，BE＝1，求CD的长． 【答案】（1）∠ACD＝50°；（2）． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， ∵CE是⊙O的切线， ∴OC⊥CE， ∵CE⊥DB， ∴OC∥DE， ∴∠D＝∠DCO， 由条件可知∠A＝∠D， ∴∠A＝∠DCO， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO， ∴∠ACD＝∠DCO+∠ACO＝2∠A＝50°； （2）解：如图，作OF⊥BD于点F， ∴∠OCE＝∠E＝∠OFE＝90°， ∴四边形OCEF是矩形， ∵AB＝6， ∴EF＝OC＝OBAB＝3， ∴BF＝EF﹣BE＝2， ∵OF⊥BD， ∴CE＝OF，BD＝2BF＝4， ∴CD． 4．（2026·江阴市·一模）如图，⊙O中，弦CD⊥直径AB于点E，F为CD上一点，连接BF并延长交⊙O于点G，连接CG． （1）求证：∠BCE＝∠G； （2）若BC＝4，F是BG的中点，求BG的长． 【答案】（1）证明详见解析；（2）BG的长是4． 【详解】（1）证明：如图，连接BD， ∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CD⊥AB于点E， ∴， ∴∠BCE＝∠D， ∴∠D＝∠G， ∴∠BCE＝∠G； （2）解：∵F是BG的中点， ∴BFBG， ∴BF·BGBG2， ∵∠BCE＝∠G，且∠BCE即∠BCF， ∴∠BCF＝∠G， ∵∠FBC＝∠CBG， ∴△FBC∽△CBG， ∴， ∵BC＝4， ∴BF·BG＝BC2＝42＝16， ∴BG2＝16， ∴BG＝4或BG（不合题意，舍去）， ∴BG的长是4． 5．（2026·新吴区·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形．以边BC为直径作⊙O，AD恰好为⊙O的切线，其中点A为切点．点E是BC下方⊙O上的点，连接AE、BE． （1）求∠E的度数； （2）若BE＝8，，求AB的长． 【答案】（1）45°；（2）5． 【详解】解：（1）如图，连接OA， ∵AD切圆于A， ∴半径OA⊥AD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴OA⊥BC， ∴∠AOB＝90°， ∴∠E∠AOB＝45°； （2）如图，连接CE， ∴∠BCE＝∠BAE， ∵BC圆的直角， ∴∠BEC＝90°， ∴sin∠BCE＝sin∠BAE， ∴， ∵BE＝8， ∴BC＝10， ∴OABC＝5， 由（1）可知：△AOB是等腰直角三角形， ∴ABOA＝5． 押题猜想十 一次函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 【答案】（1）A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元； （2）购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元． 【详解】解：（1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 由题意可得：，解得：． 答：A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元； （2）设花费w元，购买B种奖品（60﹣a）个， ∵a＞2（60﹣a）， ∴a＞40， 由题意可得：w＝24a+16（60﹣a）＝8a+960． ∵8＞0， ∴w随a的增大而增大． ∵a为正整数， ∴a取最小值41时，w有最小值，w的最小值为8×41+960＝1288（元）， ∴60﹣a＝19， 答：购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元． 分析有理·押题有据 一次函数应用为无锡中考常规考点，多以解答题形式考查．结合实际生活情境，融合方程、不等式知识，侧重考查建模思想与运算能力，题型基础稳定，注重实际问题的数学转化． 终极猜想·精练通关 1．（2025•梁溪区•二模）某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架．其中A型无人机的抗损耐用率为80%，B型无人机的抗损耐用率为95%．已知若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元．（注：无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例．） （1）采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ （2）社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于85%，请问如何购买可以使得采购费用最低？ 【答案】（1）每架A型无人机200元，每架B型无人机300元； （2）当采购A型无人机26架，则采购B型无人机14架时采购费用最低． 【详解】解：（1）设每架A型无人机x元，每架B型无人机y元， 由题意可得：，解得：， 答：每架A型无人机200元，每架B型无人机300元； （2）设采购A型无人机a架，则采购B型无人机（40﹣a）架， 由题意可得：0.85，解得：a26.67， 设总费用为w元，则w＝200a+300（40﹣a）＝12000﹣100a， ∵﹣100＜0， ∴w随a的增大而减小， ∵a为正整数， ∴a最大值为26， ∴w的最小值为12000﹣100×26＝9400（元）， ∴40﹣a＝14， 答：当采购A型无人机26架，则采购B型无人机14架时采购费用最低． 2．（2025•梁溪区•校级一模）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如下表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元/套） 25 ____ ____ 零售价（元/套） 30 25 35 （1）已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； （2）在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高20%，丙的批发价每套比原来下降40%．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为w元，当甲的数量不少于130套时，求w的最大值． 【答案】（1）乙每套的批发价为15元，丙每套的批发价为20元；（2）w的最大值为10860． 【详解】解：（1）乙每套的批发价为x元，丙每套的批发价为y元． 由题意可得：，解得：， ∴乙每套的批发价为15元，丙每套的批发价为20元， 故答案为：15，20； （2）第一次的销售额为25×260+35×200＝13500（元）， 第二次乙每套的批发价为15×（1+20%）＝18（元）， 第二次丙每套的批发价为20×（1﹣40%）＝12（元）， 设第二次购进甲a套，购进乙、丙各b套， 由题意可得：25a+18b+12b＝13500，整理得：25a+30b＝13500， ∴b＝450， ∴w＝（30﹣25）a+（25﹣18）b+（35﹣12）b＝5a+30b＝﹣20a+13500， ∵﹣20＜0， ∴w随a的减小而增大， ∵b为非负整数， ∴a≥130且a为6的整数倍， ∴当a＝132时w的值最大，w最大＝﹣20×132+13500＝10860． 3．（2025•江阴市•模拟）（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含A、B两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台A型机器人和1台B型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台B型机器人先工作5小时后，再加入1台A型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台A型机器人和1台B型机器人每小时各处理垃圾多少吨？分析可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系． 由图可得如下的数量关系： ①1台A型10小时的垃圾处理量+1台B型10小时的垃圾处理量＝5吨； ②　　+　　＝5吨； （2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题； （3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对A、B两款机器人的报价如表：若垃圾处理厂采购的这批机器人（A、B两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？ 型号 A型 B型 报价（万元/台） 20 14 【答案】（1）1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量； （2）1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨； （3）当采购A型机器人66台，B型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元． 【详解】解：（1）根据第二个线段图可得： 1台A型8小时的垃圾处理量+1台B型13小时的垃圾处理量＝5吨； 故答案为：1台A型8小时的垃圾处理量，1台B型13小时的垃圾处理量； （2）设1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾x吨和y吨， 由题意可得：，解得：， 答：1台A型机器人和1台B型机器人每小时分别处理垃圾0.3吨和0.2吨； （3）设采购A型机器人t台，则采购B型机器人100﹣1.5t（台）， 由题意可得：，解得：40≤t≤66（t为整数）， 由题意可得：采购费用为：20t+14（100﹣1.5t）＝1400﹣t， ∴当t＝66时，采购费用最低，为1400﹣66＝1334（万元）， ∴100﹣1.5t＝1， 答：当采购A型机器人66台，B型机器人1台时，采购费用最低，为1334万元． 4．（2026•江阴市•一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量50g）、一个秤砣（重量200g）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为xg，则秤盘及物体的总质量为（x+50）g，秤盘到提纽的水平距离AB＝acm．秤砣到提纽的距离BC＝ycm．当秤杆平衡时，得（x+50）•a＝200y． 【尝试操作】 （1）若取AB＝10cm，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时BO的长． 【数学建模】 （2）在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 （3）杆秤可用的长度AD＝100cm，为了保证杆秤的最大刻度不小于2kg，请计算说明a的取值范围． 【答案】（1）BO的长为2.5cm；（2）y＝0.05x+2.5；杆秤上的刻度线是均匀的；（3）0＜a． 【详解】解：（1）由题意可知：秤盘为空时，所称物体重量x＝0， ∵（x+50）•a＝200y， ∴（0+50）×10＝200y， ∴y＝2.5，即BO＝2.5cm， 答：此时BO的长为2.5cm； （2）∵（x+50）•a＝200y， ∴代入a＝10得：10（x+50）＝200y， ∴y＝0.05x+2.5， ∴该函数为一次函数，k＝0.05＞0， ∴当x每增加相同的数值时，y的增加量恒为0.05×增量值，保持不变， 答：y与x的函数关系式为y＝0.05x+2.5；杆秤上的刻度线是均匀的； （3）∵秤砣的最大活动范围AD＝100cm， ∴AD＝AB+BO最大，即秤砣到提纽的最大距离y≤100﹣a， ∴当称重x＝2000g时，秤砣位置需满足：（2000+50）•a≤200（100﹣a）， ∴a， 又∵a为正数且需能承载秤盘， ∴0＜a． 押题猜想十一 二次函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：7min 1．某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示： 售价（元/个） … 15 16 17 … 周销量（个） … 500 480 b … 周销售利润（元） … 2500 a c … （1）a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润＝（售价﹣成本）×销售量】 （3）由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（m＞0），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值． 【答案】（1）2880，460，3220；（2）当周销售量最大时，面包的售价为25元；（3）2． 【详解】解：（1）设y＝kx+n（k≠0）， 由表格可得：，解得：， ∴y＝﹣20x+800， ∴每个成本为：15﹣2500÷500＝10（元）， ∴a＝480×（16﹣10）＝2880， b＝﹣20×17+800＝460， c＝460×（17﹣10）＝3220， 故答案为：2880，460，3220； （2）由题意可得：w＝（x﹣10）（﹣20x+800）＝﹣20（x﹣25）2+4500， ∴当x＝25时，w有最大值4500元， 答：当周销售量最大时，面包的售价为25元； （3）设周销售利润为w（元）， 由题意可得：w＝（x﹣10﹣m）（﹣20x+800）＝﹣20x2+（1000+20m）x﹣800（10+m）， ∴对称轴， ∵x≤20， ∴当x＝20时，w有最大值400（10﹣m）＝3200， ∴m＝2． 分析有理·押题有据 二次函数的应用是无锡中考重点考查内容，常以解答题形式出现．命题结合实际生活情境，融合方程、不等式知识，依托最值、方案问题综合设问，侧重考查数学建模、数形结合与运算求解的综合能力． 终极猜想·精练通关 1．（2025•无锡•一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入﹣运营成本） 【答案】（1）y＝﹣4x+320（30≤x≤80，且x是整数）； （2）该影院IMAX厅将电影票售价x定为50元时，该厅每场的获利最大． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b， 由题意可得：，解得：， ∴y＝﹣4x+320（30≤x≤80，且x是整数）； （2）设该厅每场的获利为w元， 由题意可得：w＝（﹣4x+320）（x﹣20）﹣2000＝﹣4x2+400x﹣8400＝﹣4（x﹣50）2+1600， ∵﹣4＜0，30≤x≤80， ∴当x＝50时，w最大值，最大值为1600， 答：该影院IMAX厅将电影票售价x定为50元时，该厅每场的获利最大． 2．（2025•滨湖区•二模）某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件． （1）写出y与x之间的函数关系式　　； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣10x+600；（2）当销售单价为39元时，每天获取的利润最大，最大利润是3990元． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b， 由题意可得：，解得：k＝﹣10，b＝600， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+600， 故答案为：y＝﹣10x+600； （2）设利润为w元， 由题意可得：w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣10x+600） ＝﹣10（x﹣20）（x﹣60） ＝﹣10（x2﹣80x+1200） ＝﹣10（x﹣40）2+4000， ∵每天笔筒的销售量不低于210件， ∴﹣10x+600≥210，解得：x≤39， ∵a＝﹣10＜0， ∴x＝39时，w最大＝3990， ∴当销售单价为39元时，每天获取的利润最大，最大利润是3990元． 3．（2025•梁溪区•一模）果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到1000～2000kg，预计市场售价不低于60元/kg．小艺信心大增，在原有的50亩A试验田种植规模上再增加了50亩B试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因，B试验田的亩产量是A试验田亩产量的1.5倍．若同样收获3600kg该草莓所占用试验田B比A少1亩．小艺将A试验田采摘的1kg该草莓和B试验田采摘的4kg该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元/kg．经市场调查发现，该草莓每销售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． （1）A、B两种试验田的亩产量分别是多少？ （2）若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元/箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 【答案】（1）A、B两种试验田的亩产量分别是1200千克、1800千克； （2）定价350元/箱时，每天可获得最大利润是16000元． 【详解】解：（1）设A试验田的亩产量为a千克， 由题意可得：，解得：a＝1200， 经检验：a＝1200是原分式方程的解， ∴1.5a＝1800， 答：A、B两种试验田的亩产量分别是1200千克、1800千克； （2）设定价为x元，每天的利润为y元， ∵每亩投入种植成本36000元， ∴A试验田每千克的成本为：36000÷1200＝30（元），B试验田每千克的成本为：36000÷1800＝20（元）， ∴混合装箱后每箱的成本为：30+4×20+8×5＝150（元）， 由题意可得：y＝（x﹣150）[100（x﹣300）]x2+280x﹣33000， ∴对称轴为：x350， ∵0，300≤x≤400， ∴当x＝350时，y取最大值，为16000元， 答：定价350元/箱时，每天可获得最大利润是16000元． 4．（2025•无锡•二模）五月，正值花果繁茂时节，某市的枇杷新鲜上市．小明以32元/千克的价格购进一批枇杷进行销售，运输成本是6元/千克（运输费用按照进货质量计算），运输过程中枇杷将损坏5%，损坏的枇杷无法销售，完好的枇杷均销售完，假设不计其他费用． （1）小明把购进的枇杷售完至少定价为多少元才不会亏本？ （2）在销售过程中，商店发现每天枇杷的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，若每天销量至少36千克，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）至少40元/千克；（2）当销售单价定为52元/千克时，每天获得的利润是432元． 【详解】解：（1）设购进枇杷a千克，枇杷定价每千克x元水果商才不亏本， 由题意可得：xa（1﹣5%）≥a（32+6），解得：x≥40， 答：至少40元/千克才不亏本； （2）设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b， ∵图象过（35，70），（25，90）， ∴，解得：． ∴销售量y与销售单价x之间的函数关系为：y＝﹣2x+140，每天销量至少36千克， ∴﹣2x+140≥36，解得：x≤52， 由（1）可知：每千克枇杷的平均成本为40元， 由题意可得：w＝（x﹣40）（﹣2x+140）＝﹣2x2+220x﹣5600＝﹣2（x﹣55）2+450， ∵﹣2＜0，开口向下， ∴当x≤55时，w随x的增大而增大， ∵x≤52， ∴当x＝52时，w有最大值，最大值为432元， 答：当销售单价定为52元/千克时，每天获得的利润是432元． 5．（2025•锡山区•一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 50≤x≤60 60＜x≤80 销售量（件） 100 400﹣5x ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件m（m＞30）元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 【答案】（1）A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元； （2）①当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；②m＝32． 【详解】解：（1）设B纪念品每件的进价是b元，则A纪念品每件的进价是（b+30）元， 由题意可得：，解得：b＝20， 经检验：b＝20是原方程的解， 当b＝20时，b+30＝20+30＝50， ∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元； （2）①设利润为w元，由表格可得： 当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000， ∵k＝100＞0， ∴w随着x的增大而增大， ∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元； 当60＜x≤80时，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣65）2+1125， ∵a＝﹣5＜0， ∴当x＝65时，利润最大为：1125元； 综上，当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元． ②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200﹣a）件， 由题意可得：50≤a＜200﹣a，解得：50≤a＜100， 由表格可知：400﹣5x＝a，则x＝80， 设A，B型纪念品均全部售出后获得的总利润为y元， 由题意可得：y＝（80a﹣50）a+（m﹣20）（200﹣a）， 整理得：ya2+（50﹣m）a+200m﹣4000， ∴对称轴为a＝125m， ∵m＞30， ∴125m＜50， ∴对称轴在50≤a＜100的左侧， ∴当a＝50时，y有最大值，最大值为：y502×（50﹣m）×50+200m﹣4000＝150m﹣2000＝2800， ∴m＝32＞30， ∴m的值为32． 押题猜想十三 相似或解直角三角形的实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：9min 1．问题情境：镜子可以帮助我们整仪表、正衣冠、端品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段AB表示人的身高，其中点A表示头顶，点B表示脚底，点C表示眼睛（位于AB上），MN表示平面镜，线段A′B′表示AB在镜中的虚像．设人的身高AB为x，能看到全身像的最短镜子长度EF为y，求y与x之间的函数表达式． 【探究二】 如图2，现购买了一面90cm长的镜子并安装在墙上．小亮身高为180cm，他正立在镜子前某处，眼睛C却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为70cm．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为h1cm，最高为h2cm．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为h3cm．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含h1、h2、h3的代数式表示） 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为yx；（2）下移距离为55cm；（3）最小镜长为． 【详解】解：（1）∵成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称， ∴B'N＝BN，AB＝A'B'， ∵FN∥BC， ∴， ∴CF＝FB'， ∵EF∥A'B'， ∴△CEF∽△CA'B'， ∴， ∵AB＝x，EF＝y， ∴，则， ∴y与x之间的函数表达式为； （2）法一：如图，由成像原理作出看到部分人像的长度为70cm的图形，过点C'作BB'的平行线分别交PN、AB于点M′、M， ∵CM∥QM'，MM'＝M'C'， ∴，即C'Q＝QC， ∵P'Q∥AC， ∴△AP'Q∽△CA'C'， ∴， ∴P'QA'C'＝35cm， 如图，由成像原理作出镜子竖直下移至合适位置，眼睛能看到全身像的图形， 由（1）可知：AB＝A'B'＝180cm， ∵P'Q'＝PQ＝90cm， ∴QQ'＝P'Q'﹣P'Q＝90﹣35＝55（cm），即下移的距离为55cm； 法二：如图，CA'交PQ于点E，CB'交直线PQ于点F，CQ交A'B'于点D'， ∵A'D'＝70， ∴D'B'＝A'B'﹣A'D'＝180﹣70＝110， 由（1）可得：， ∵要想看到全身，镜子的下沿不得高于点F， ∴下移距离即为QF的长， ∴下移距离为55cm； （3）如图，最矮的同学的身高决定镜子的下沿不得低于的高度FN， ∴， 如图，最高的同学的身高决定镜子的上沿不得高于的高度EN， ∴， ∴最小镜长． 分析有理·押题有据 相似的实际应用为无锡中考2025年回归考点，2023、2024年未考查。2025年以解答题呈现，结合测量旗杆、古塔高度等真实情境，考查相似三角形建模与计算能力．需重点掌握测高、测距类问题的解题模型，强化实际问题转化为几何图形的能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·惠山区·一模）根据以下素材，完成问题： 【素材1】图1是某高架入口的横断面示意图．高架路面用BQ表示，地面用AP表示，斜坡用AB表示．已知BQ∥AP，高架路面BQ离地面的距离BN为21m，斜坡AB长为75m． 【素材2】图2中的矩形CDEF为一辆大巴车的侧面示意图，车长CF为10m，车高EF为3.6m． 【素材3】图3是素材1中的斜坡局部示意图，素材2中的大巴车停在该斜坡上，矩形CDEF的顶点F与点B重合，点B与指示路牌底端M点之间的距离BM为6.25m，且BM⊥BQ． 【素材4】小李驾驶一辆轿车跟随大巴车行驶，他的眼睛到斜坡的距离GH为1.2m． 问题1：如图1，求tan∠BAN； 问题2：如图3，当点H，D与指示牌底端M在同一条直线上，试求小李距大巴车尾DC的距离CG． 【答案】（1）tan∠BAN；（2）CG＝11.75米． 【详解】解：（1）如图， ∵在Rt△ABH中，BN为21米，斜坡AB长为75米， ∴（米）， ∴tan∠BAN； （2）如图2，作MO⊥GB交GB的延长线于点O，作HP⊥MO于点P，交DC于点R， 则四边形CRPO为矩形，四边形HGCR为矩形， ∴RP＝CO，HR＝GC，HG＝CR＝OP＝1.2米， ∴DR＝3.6﹣1.2＝2.4（米）， ∵∠ABN＝∠MBO，∠O＝∠P＝90°，BM为6.25米， ∴，解得：BO＝1.75米， ∴（米）， ∴MQ＝6﹣1.2＝4.8（米），RP＝CO＝10+1.75＝11.75（米）． ∵DR⊥AB，MP⊥AB， ∴DR∥MP， ∴△HDR∽△HMP， ∴， ∴，解得：FR＝11.75米， ∴CG＝HD＝11.75米． 2．（2026·宜兴市·一模）某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动． 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度i＝1：2.4，BM段为水平路面，B点位置设有指示牌BP，它与地面垂直． 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡AB长为39米． （1）求斜坡BH的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离FD为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡AB平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点． （2）求指示牌牌杆BQ的高度； 活动3：如图③，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK长为10米，EC长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点． （3）求指示牌BP的高度． 【答案】（1）15米；（2）1.3米；（3）5.2米． 【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥地面，垂足为H，则∠AHB＝90°， 由题意可得：， 设BH＝5x，AH＝12x， 则（5x）2+（12x）2＝392，解得：x＝3， ∴BH＝15米； （2）如图，过点B作BK⊥FQ，交FQ于点K，BE⊥地面， ∴四边形FDBK是矩形， ∴BK＝DF＝1.2米，∠KBD＝90°， ∴∠ABE+∠KBQ＝90°， ∵∠E＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠KBQ， 由题意可得：， ∴， ∴BQ＝1.3米； （3）如图，作PO⊥DB交DB的延长线于点O，作FQ⊥PO于点Q，交CE于点R，则四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形， ∴RQ＝CO，FR＝DC＝15米，FD＝CR＝OQ＝1.2 米， ∴ER＝3.2﹣1.2＝2 米， ∵∠ABH＝∠PBO，∠O＝∠H＝90°， ∴， ∴设OB＝5x，OP＝12x，BP＝13x， ∴PQ＝OP﹣OQ＝12x﹣1.2，FQ＝OD＝CD+CB+BO＝25+5x． ∵ER⊥AB，PQ⊥AB， ∴ER∥PQ， ∴△FER∽△FPQ， ∴， ∴，解得：x＝0.4． ∴BP＝13x＝5.2米． 3．（2026·锡山区·一模）【综合与实践】 在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形MNFD，MN＝80cm，O为水槽水面DF的中点，水深DM＝20cm． 如图1，小明同学从高出水面30cm的A处发出一束激光，射到水槽水面上的O处，光在水中的路径为OB，C为水槽底部MN的中点，测得BC＝10cm． 【问题初探】 （1）图1中，α，β分别为入射角、折射角，则tanθ＝　　； 【深入探究】 （2）小组成员探究如何才能使折射光线经过点C． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点A降至点R，也能使得折射光线经过点C．请直接写出下降高度为　　cm； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点A、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点C，求增加的水面高度； 【问题拓展】 （3）小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低xcm，同时增加水面高度ycm，也能使得折射光线经过点C．请求出y与x之间的函数关系． 【答案】（1）；（2）①；②增加的水面高度为12cm；（3）． 【详解】解：（1）∵矩形MNFD，O为水槽水面DF的中点，C为水槽底部MN的中点， ∴DO∥MC，，∠DMN＝90°， ∴四边形DMOC为矩形， ∴OC∥AM，OC＝DM＝20cm， 在Rt△OCB中，tanβ； 故答案为：； （2）①作TP⊥MN，则TP＝DM＝20cm，DT＝MP， 由题意可得：， ， ∴， ∴DT＝MP＝CM﹣CP＝40﹣10＝30cm， 如图，设AR为n cm，则DR＝AD﹣AR＝（30﹣n）cm， ∴，解得：n， ∴ARcm， 故答案为：； ②如图，作HG⊥MN，则PH＝MG，HG＝MP， 设DP＝m cm，则HG＝（20+m）cm，AP＝（30﹣m）cm， 由（1）知：，tanβ， 在图3中，HP＝AP·tanα（30﹣m）＝40m， GC＝HG·tanα（20+m）＝10m， ∵MC＝MG+CG＝HP+CG， ∴40m+10m＝40，解得：m＝12cm， ∴DP＝12cm， ∴增加的水面高度为12cm； （3）如图，设下降后的光线为WK，水面上升至TK，延长CO交TK于点X， 由题意可得：AW＝xcm，DT＝ycm， 则WT＝AD﹣AW﹣DT＝（30﹣x﹣y）cm，CX＝OC+DT＝（20+y）cm， ， T， ∴，解得：． 押题猜想十四 二次函数综合题 试题前瞻·能力先查 限时：12min 1．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B（1，0），与y轴交于点E，且对称轴为直线x＝﹣1．该抛物线与直线交于C、D两点（点C在点D的左侧）． （1）求二次函数的表达式； （2）若△ACD与△CDE的面积相等时，求m的值； （3）当m为何值时，在x轴上存在唯一的点Q，使∠CQD＝90°？（直接写出m的值） 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝2；（3）或． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（1，0）， ∴0＝﹣1+b+c； ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴，解得：b＝﹣2； 将b＝﹣2代入0＝﹣1+b+c，得c＝3， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由（1）可知：二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， 则点E（0，3）， 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x＝﹣3或x＝1， ∴点A（﹣3，0）， 设直线AE：y＝kx+b'， 将A（﹣3，0）、E（0，3）代入，得， 解得：， ∴直线AE：y＝x+3， ∵直线CD：， ∴CD与AE相交， 如图，过点A作AM⊥CD、过点E作EN⊥CD，CD与AE相交于点F， ∵△ACD与△CDE的面积相等， ∴， ∴AM＝EN， 在△AMF和△ENF中， ， ∴△AMF≌△ENF（AAS）， ∴AF＝EF，即点F是线段AE的中点， ∵A（﹣3，0）、E（0，3）， ∴F的坐标为，即， 将代入直线，得，解得：m＝2； （3）在x轴上存在唯一的点Q，使∠CQD＝90°， 可以理解为以CD为直径的圆与x轴相切，分两种情况： 如图，当交点C、D均在x轴上方时，m＞0， 设抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与直线交点坐标C（x1，y1）、D（x2，y2）（点C在点D的左侧）， 联立，整理得：3x2+7x+3m﹣9＝0， ∴，x1x2＝m﹣3， ∴y1+y2＝（m）+（m）（x1+x2）+2m＝2m， ∴以CD为直径的圆的圆心M（，m）， CD ·， 当⊙M与x轴相切时，MQCD， ∴m， ∴36m2+12m﹣169＝0，解得：m或m（负值舍去）； 如图，当交点C、D均在x轴下方时，m＜0， 同理可知：， ∴36m2+12m﹣169＝0，解得：或（正值舍去）； 综上，或． 分析有理·押题有据 二次函数综合题是无锡中考核心压轴内容，稳定以解答大题形式考查．命题常结合几何图形、动点、面积与线段最值，联动一次函数、相似等知识综合设问．该考点综合性强、区分度高，侧重考查数形结合、逻辑推理与代数运算的综合运用能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·宜兴市·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+8经过点A（4，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）则抛物线解析式中a＝　　，b＝　　； （2）当3t+2≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤6t+3，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）﹣1，2；（2）t的值为；（3）CD的长为45或． 【详解】解：（1）∵对称轴为直线x＝1， ∴1，解得：b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+8， 将A（4，0）代入得：16a﹣8a+8＝0，解得：a＝﹣1， ∴b＝2， 故答案为：﹣1，2； （2）由（1）可知：a＝﹣1，b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∴顶点坐标为（1，9）， 当y＝0时，可得：x＝﹣2或4， ∵y≥0， ∴﹣2≤x≤4， 当﹣2≤3t+2≤1时，， 此时最大值在顶点处，即6t+3＝9，解得：t＝1（舍）； 当1＜3t+2＜4时，， 此时当x＝3t+2时有最大值，即6t+3＝﹣9t2﹣6t+8，解得：，（舍）； 综上，t的值为； （3）对于y＝﹣x2+2x+8，令x＝0，得y＝8， ∴B（0，8）， 设直线AB解析式为y＝kx+n， 则，解得：， ∴直线AB的表达式为：y＝﹣2x+8， 设D（m，﹣2m+8），则C（m，﹣m2+2m+8）， ∴； ①当CD＝BD时，，解得：， 此时边长； ②当CB＝CD时，，解得：或m＝0（舍）， 此时边长； 综上，CD的长为45或． 2．（2026·滨湖区·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，9），B（5，9），与y轴交于点C，顶点为P． （1）求该二次函数的函数表达式； （2）设二次函数y＝mx2+nx+p（m≠1）的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q． ①求的值； ②当△PCQ是直角三角形时，求tan∠CDQ的值． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+4；（2）①；②或． 【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，9），B（5，9）， ∴，解得：a＝1，c＝4， ∴y＝x2﹣4x+4； （2）①∵y＝mx2+nx+p（m≠1）的图象经过A（﹣1，9），B（5，9）， ∴，解得：n＝﹣4m，p＝9﹣5m， ∴y＝mx2﹣4mx+9﹣5m＝m（x﹣2）2+9﹣9m， ∴D（0，9﹣5m），Q（2，9﹣9m）， ∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴C（0，4），P（2，0）， ∴CD＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|，PQ＝|9﹣9m|＝9|m﹣1|， ∴； ②如图，当∠CQP＝90°时，四边形POCQ是矩形， ∴9﹣9m＝4，解得：， ∴，， ∴； 如图，当∠PCQ＝90°时，作QE⊥y轴， 由△POC∽△CEQ得：CE＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴9﹣9m＝5，解得：， ∴， ∴， ∴； 当m＜0时，不存在直角三角形PCQ； 综上，或． 3．（2026·江阴市·一模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数表达式； （2）若点M（t，y1），N（t+1，y2）（0＜t＜2）是该函数图象上两点． ①证明：y2＜y1+3； ②连接AM、AN、MN，若△AMN为直角三角形，求t的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①证明详见解析；②t＝1或或． 【详解】（1）解：把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，得a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）①证明：由题意可知：，， ∴y2﹣（y1+3）＝2t﹣4， ∵0＜t＜2， ∴2t﹣4＜0， ∴y2﹣（y1+3）＜0， ∴y2＜y1+3； ②解：当∠MAN＜∠CAB，显然∠MAN≠90°， 如图1，当∠ANM＝90°时，过点N作NE⊥x轴交x轴于点E，MD⊥NE于点D， 则MD＝1，BN＝4﹣t2，AE＝t+2，DN＝y2﹣y1＝2t﹣1， ∵∠AEN＝∠ANE＝∠D＝90°， ∴∠ANE＝∠DMN＝90°﹣∠DNM， ∴△DMN∽△ENA， ∴， ∴， ∴（2t﹣1）（2﹣t）＝1， ∴2t2﹣5t+3＝0， ∴t1＝1，； 如图2，当∠AMN＝90°时，过点A作AE⊥x轴，过点M作ME⊥AE，过N作 ND⊥ME 于点D， 则MD＝1，DN＝2t﹣1，EM＝t+1，AE＝﹣t2+2t+3， 同理可得：△DMN∽△EAM， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴2t2﹣7t+4＝0， ∴，t2， ∵0＜t＜2， ∴t； 综上，t＝1或或． 4．（2026·锡山区·一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）直接写出这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线AG、AH与y轴分别交于S，T两点，若OS·OT＝6，试探究直线GH是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）Q（1，）或（1，）； （3）直线GH经过定点（1，）． 【详解】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得， 解得：， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图， 当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R， ∵点B和点Q关于CQ对称， ∴CP＝CB， 设P（t，t+3）， 由CP2＝CB2得， 2t2＝10， ∴t1，t2（舍去）， ∴P（，3）， ∵PQ∥BC， ∴1， ∴CR＝QR， ∴四边形BCPQ是平行四边形， ∵1+（）﹣0＝1，0+（3）﹣3， ∴Q（1，）； 如图， 当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（，3）， 同理可得：Q（1，）， 综上，Q（1，）或（1，）； （3）设G（m，﹣m2﹣2m+3），H（n，﹣n2﹣2n+3）， 设直线GH解析式为y＝kx+d， 则，解得：， ∴直线GH解析式为y＝（﹣m﹣n﹣2）x+mn+3， 同理可得：直线AH解析式为y＝（1﹣n）（x+3）， 直线AG解析式为y＝（1﹣m）（x+3）， 令x＝0，得yS＝3﹣3m，yT＝3﹣3n， ∴OS＝3﹣3m，OT＝3﹣3n， ∵OS·OT＝6， ∴（3﹣3m）（3﹣3n）＝6，整理得：m+n＝mn， 代入直线GH解析式，得y＝（﹣mn）x+mn+3＝mn（﹣x+1）x+3， 当x＝1时，y， ∴直线GH经过定点（1，）． 押题猜想十五 四边形与相似综合题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 1．数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边BC长均为4dm．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片ABCD对折，使边AD，BC重合，展开后折痕与AB交于点F． 第二步：如图②，在AD上取一点E，沿EF折叠矩形ABCD，点A的对应点为G．延长EG交BC于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在EH所在直线上，折痕与DC交于点M． （1）求证：BH＝GH． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． （2）求AB的长． 【应用创新】 （3）如图④，B小组的同学们选用了AB＝2dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与AD交于点M，把纸片展开后，连接GM．当△EGM为直角三角形时，则MH的长为　　． 【答案】（1）证明详见解析；（2）4dm；（3）或． 【详解】（1）证明：如图，连接FH， 由折叠可知：AF＝FB＝FG，∠FGE＝∠A＝90°， ∴∠FGH＝∠B＝90°， 又∵FH＝FH， ∴Rt△FGH≌Rt△FBH（HL）， ∴BH＝GH； （2）解：同（1）可得：BH＝GH， 由折叠可知：DG＝AD＝4dm，GH＝CH， ∴BH＝GH＝CH＝2dm， ∴DH＝DG+GH＝6dm， 在Rt△DHC中，dm， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4dm； （3）解：当△EGM为直角三角形时，分以下两种情况： 当∠MEG＝90°时，如图（4），矩形ABCD中，AB＝2dm，BC＝4dm， ∴∠AEH＝180°﹣∠GEM＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴∠A＝∠B＝∠AEH＝90°， ∴四边形ABHE是矩形， ∴EH＝AB＝2dm，∠BHE＝90°， ∴∠EHC＝90°， 由折叠可得：HM平分∠EHC， ∴∠EHM＝45°， ∴△EHM为等腰直角三角形， ∴； 当∠EGM＝90°时，连接FH，过点M作MK⊥BC于点K， 则∠MGH＝∠MKH＝90°， ∵折叠， ∴∠KHM＝∠GHM，∠A＝∠FGE＝90°， ∴∠EGF+∠EGM＝180°， ∴F，G，M三点共线， ∵HM＝HM， ∴△HGM≌△HKM（AAS）， ∴MK＝MG， 同上可证明：四边形ABKM为矩形， ∴MK＝AB＝2，AM＝BK， ∴MG＝2， 由折叠可得：AF＝FG， 由（1）可得：Rt△FBH≌Rt△FGH， ∴FB＝FG， ∴， ∴FM＝FG+GM＝1+2＝3， ∴， ∵Rt△FBH≌Rt△FGH， ∴∠FHB＝∠FHG， ∵∠KHM＝∠GHM， ∴∠FHM＝2（∠GHF+∠GHM）＝90°．∠B＝∠MKH＝90°， ∴∠HMK＝∠FHB＝90°﹣∠MHK， ∴△HMK∽△FHB， ∴， 设HK＝x，则， ∴，解得：， ∴； 综上，当△EGM 为直角三角形时，则MH的长为或， 故答案为：或． 分析有理·押题有据 四边形与相似综合题为无锡中考经典中档及压轴题型，考查频次稳定．命题常以平行四边形、矩形等为载体，融合相似判定、边长计算与角度推导，实现知识串联．本题区分度较强，着重考查学生几何建模、逻辑推理与综合运算的核心素养． 终极猜想·精练通关 1．（2026·锡山区·一模）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H． （1）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时． ①PE长度为　　； ②求GH的长； （2）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，设BG为y，AB为x，求y与x的函数关系． 【答案】（1）①；②；（2）． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2，∠D＝90°， ∵P为CD的中点， ∴， 由折叠的性质可得：AE＝EP， 设AE＝EP＝x，则ED＝3﹣x， 在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2， ∴x2＝（3﹣x）2+12，解得：， 故答案为：； ②∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴∠DPE+∠DEP＝90°， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上， ∴∠EPH＝∠A＝90°， ∴∠DPE+∠CPH＝90°， ∴∠DEP＝∠CPH， ∴△DEP∽△CPH， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵PG＝AB＝2， ∴； （2）如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上， ∴AP⊥EF，BG⊥直线EF， ∴BG∥AP， ∵AE＝EP， ∴∠EAP＝∠EPA， ∴∠BAP＝∠GPA， ∴△MAP是等腰三角形， ∴MA＝MP， ∵P为CD中点， ∴DP＝CPx， ∴AB＝PG＝CD＝x， ∵H为BC中点， ∴BH＝CH， ∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH， ∴△MBH≌△PCH（ASA）， ∴BM＝CPx，HM＝HP， ∴MP＝MA＝MB+ABx， ∴HPPMx， 在Rt△PCH中，CHx， ∴BC＝2CHx， ∴AD＝BCx， 在Rt△APD中，APx， ∵BG∥AP， ∴△BMG∽△AMP， ∴， ∴． 2．（2026·滨湖区·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E在边BC上，且BE＝4，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）当点Q与点D重合时，求t的值； （2）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF，QF． ①当点P与点A重合时，求四边形EPFQ与矩形ABCD重叠部分的面积； ②当四边形EPFQ与矩形ABCD重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围． 【答案】（1）8秒；（2）①；②或或t＝14． 【详解】解：（1）如图，当点Q和点D重合时，点P在AB边上， 在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10， ∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝10，∠A＝∠B＝∠C＝90°， 设BP＝a，则AP＝AB﹣BP＝6﹣a， 在Rt△BPE中，由勾股定理可得：PE2＝BP2+BE2＝a2+16， 在Rt△CEQ中，CQ＝CD＝6，CE＝BC﹣BE＝10﹣4＝6， 由勾股定理可得：EQ2＝CQ2+CE2＝72， ∵∠PEQ＝90°， 在Rt△PEQ中，由勾股定理可得：PQ2＝PE2+EQ2＝a2+88， 在Rt△APQ中，AQ＝AD＝10， 由勾股定理可得：PQ2＝AP2+AQ2＝（6﹣a）2+100， ∴a2+88＝（6﹣a）2+100，解得：a＝4， ∴t＝（4+4）÷1＝8秒； （2）①如图2，当点P与点A重合时，点Q在边DC上，记FQ与AD交点为H， ∵∠PEQ＝90°， ∴∠PEB+∠QEC＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝10，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴∠PEB+∠EPB＝90°， ∴∠QEC＝∠EPB， ∵CE＝BC﹣BE＝10﹣4＝6， ∴PB＝CE＝6， ∴△QEC≌△EPB（ASA）， ∴CQ＝BE＝4，QE＝EP， ∴DQ＝2， ∵∠PEQ＝90°， ∴∠EQP＝∠EPQ＝45°， ∵点E关于直线PQ的对称点F， ∴∠EQP＝∠FQP＝45°， ∴∠EQF＝90°， ∴∠CQE+∠DQH＝90°， ∵∠D＝90°， ∴∠DHQ+∠DQH＝90°， ∴∠CQE＝∠DHQ， ∴△CQE∽△DHQ， ∴， ∴， ∴， ∴S重叠部分＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△ECQ﹣S△QDH ； ②如图3，当点F落在矩形ABCD的边上时，重叠部分的图形为轴对称四边形， 当点F在边AB上时， 在Rt△PBF中，由，解得：， ∴， 如图4，当点F与点A重合时， 在Rt△PBE中，由（t﹣4）2+42＝（10﹣t）2，解得：， 如图5，当点Q运动到点C时， 此时四边形EPFQ是正方形， ∴t＝14； 综上，或或t＝14． 3．（2026·锡山区·一模）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AD，交AC于点F，将△AEF沿AC折叠得△AGF． （1）若点G落在边BC上，BG＝　　； （2）若点G到BC的距离为2，求△ABG的面积； （3）如图2，若点H为BC的中点，连接GH、FH，当△FHG为直角三角形时，请直接写出AE的长． 【答案】（1）3；（2）3或9；（3）或． 【详解】解：（1）如图，延长EF交BC于点M， ∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，AD∥CB， ∴∠CAD＝∠ACB， ∴， ∵EF⊥AD， ∴四边形ABME是矩形， ∴FM＝EM﹣EF， 设AE＝2x，， ∴EF＝x， ∴FM＝4﹣x，， ∴CM＝2FM＝8﹣2x， 由折叠的性质可得：AG＝AE＝2x，GF＝EF＝x，∠AGF＝∠AEF＝90°， ∴∠BAG＝90°﹣∠AGB＝∠FGM， ∴△BAG∽△MGF， ∴，即， ∴GM＝2，BG＝8﹣2x， ∵BG+GM+CM＝BC＝8， ∴8﹣2x+2+8﹣2x＝8，解得：， ∴BG＝3， 故答案为：3； （2）如图，当点G在矩形ABCD内时，延长EF交BC于点M，过点G作PQ⊥EM于点Q，交AB于点P，则四边形BPQM是矩形， 同（1）：AE＝2x，EF＝x，FM＝4﹣x，FQ＝4﹣EF﹣QM＝4﹣x﹣2＝2﹣x，AP＝4﹣BP＝2，AG＝AE＝2x，GF＝EF＝x， 同理：△PAG﹣△QGF， ∴，即， ∴GQ＝1，PG＝4﹣2x，即MN＝1，BN＝4﹣2x， ∵BN+MN+CM＝BC＝8， ∴4﹣2x+1+8﹣2x＝8，解得：， ∴， ∴； 如图，当点G在矩形ABCD外时，延长EF交BC于点M，过点G作PQ⊥EM交EM的延长线于点Q，交AB的延长线于点P，则四边形BPQM是矩形， 同（1）：AE＝2x，EF＝x，FM＝4﹣x，FQ＝4﹣EF+QM＝4﹣x+2＝6﹣x，AP＝4+BP＝6，AG＝AE＝2x，GF＝EF＝x， 同理：△PAG∽△QGF， ∴，即， ∴GQ＝3，PG＝12﹣2x，即MN＝3，BN＝12﹣2x， ∵BN+MN+CM＝BC＝8， ∴12﹣2x+3+8﹣2x＝8，解得：， ∴， ∴； 综上，△ABG的面积为3或9； （3）如图，当∠GFH＝90°时，延长EF交BC于点M， ∵∠AGF＝90°，∠GAF＝∠EAF， ∴FH∥AG， ∴∠HFC＝∠GAF＝∠EAF＝∠ACB， ∴， 同理：AE＝2x，EF＝x，FM＝4﹣x， ∴MH＝4﹣2x， 在Rt△FHM中，由勾股定理得FM2+HM2＝FH2， ∴（4﹣x）2+（4﹣2x）2＝42，解得：x＝4（舍去）或， ∴AE的长为； 如图，当∠GHF＝90°时，延长EF交BC于点M，过点G作GN⊥BC于点N，记AG与BC交于点R， 由折叠的性质可得：∠RAC＝∠EAC， ∵AD∥CB， ∴∠ACR＝∠EAC， ∴∠ACR＝∠RAC， ∴RA＝RC， 设RA＝RC＝m，则BR＝8﹣m， 在Rt△ABR中，由勾股定理可得：AB2+BR2＝AR2， 即42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5， ∴BR＝3，RA＝RC＝5，RG＝2x﹣5， ∵AB∥GN， ∴△ABR﹣△GNR， ∴，即， ∴，RN， ∴HN＝BR+RN﹣BH＝3， 同（1）：AE＝2x，EF＝x，FM＝4﹣x， ∴HM＝2x﹣4， ∵∠GNH＝∠HMF＝∠GHF＝90°， ∴∠NGH＝90°﹣∠NHG＝∠MHF， ∴△NGH∽△MHF， ∴，即， 整理得：20x2﹣116x+160＝0，解得：x， ∴AE的长为； 综上，AE的长为或． 4．（2026·惠山区·一模）如图1，在▱ABCD中，sinA，M，N分别是AB，CD边上的动点，将四边形ADNM沿直线MN翻折，点A，D的对应点分别是点E，F，其中点F始终落在BC边上． （1）如图2，当点E恰好落在直线BC上，且AB＝6时，求BF的长； （2）如图3，当点F与点B重合时，求的值； （3）当△CFN直角三角形时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【详解】解：（1）∵在▱ABCD中，，AB＝6， ∴AD＝5，AD∥BC， ∴∠A＝∠ABE， ∵将四边形ADNM沿直线MN翻折，点A，D的对应点分别是点E，F， ∴AM＝EM，∠E＝∠A，EF＝AD＝5， ∴∠E＝∠ABE， ∴EM＝BM， ∴， 如图，作MG⊥BE交BE于点G，则BE＝2EG， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵在▱ABCD中，， ∴设AB＝6m，则AD＝5m， 如图，连接DM，作MH⊥AD交AD于点H， ∵， ∴设MH＝4x，则AM＝5x， ∴， ∴BM＝AB﹣AM＝6m﹣5x，DH＝AD﹣AH＝5m﹣3x， 由勾股定理可得：， ∵将四边形ADNM沿直线MN翻折，点A，D的对应点分别是点E，F，点F与点B重合， ∴点B、D关于MN对称， ∴BM＝MD， ∴，解得：， ∴，， ∴； （3）∵△CFN直角三角形时， ∴当∠CNF＝90°时， 如图，延长NF交AB的延长线于点K， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC， ∵， ∴， ∴设FN＝4x，则 CF＝5x， ∴， 由折叠的性质可得：DN＝FN＝4x， ∴CD＝DN+CN＝7x， ∴AB＝CD＝7x， ∵， ∴， ∴， ∵AB∥CD， ∴△FCN∽△FBK，∠BKF＝∠CNF＝90°， ∴，即， ∴，， ∴， ∵∠FND＝180°﹣∠CNF＝90°， ∴由折叠的性质可得∠DNM＝∠FNM＝45°， ∴△KMN为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当∠CFN＝90°时，延长CB交EM于点L， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC， ∵， ∴， ∴设FN＝4y，则CN＝5y， ∴， 由折叠的性质可得：DN＝FN＝4y， ∴CD＝DN+CN＝9y， ∴AB＝CD＝9y， ∵， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠C+∠D＝180°， 由折叠的性质可得：∠A＝∠E＝∠C，∠NFE＝∠D，， ∴∠C+∠NFE＝180°， ∵∠BFN＝180°﹣∠CFN＝90°，∠EFN＝∠EFB+∠BFN， ∴∠EFB+∠C＝90°， ∵∠CNF+∠C＝90°， ∴∠CNF＝∠EFB， ∴△FCN∽△LEF， ∴∠ELF＝∠CFN＝90°， ∵， ∴LF＝6y， ∴BL＝LF﹣BF＝6yyy， ∵AD∥BC， ∴∠MBL＝∠A， ∴sin∠MBL＝sin∠A， ∴， ∵BL2+LM2＝BM2， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 圆锥的有关计算 1 押题猜想二 圆小题 2 押题猜想三 反比例函数k的几何意义 4 押题猜想四 解直角三角形小题 6 押题猜想五 特殊四边形的判定与性质小题 8 押题猜想六 函数新定义问题 9 押题猜想七 翻折变换小题 12 押题猜想八 复杂的尺规作图 13 押题猜想九 圆综合题 15 押题猜想十 一次函数的应用 17 押题猜想十一 二次函数的应用 19 押题猜想十三 相似或解直角三角形的实际应用 22 押题猜想十四 二次函数综合题 25 押题猜想十五 四边形与相似综合题 27 押题猜想一 圆锥的有关计算 试题前瞻·能力先查 限时：1min 1．一个圆锥的母线为4cm，底面圆的半径为2cm，则这个圆锥的侧面积为（　　） A．4π cm2 B．6π cm2 C．8π cm2 D．12π cm2 2．用半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　　． 分析有理·押题有据 本考点考查频次高，常以选择、填空题呈现，难度偏低．2025年无锡中考及各类模考均有涉及，且衔接高中知识．解题需掌握圆锥侧面展开相关公式，侧重考查几何思维与计算能力，需夯实基础、熟练运用公式． 终极猜想·精练通关 1．（2026·梁溪区·一模）小红测量了某款冰激凌蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为4cm，纸套的侧面长度（即母线长）为8cm，把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（　　） A．8cm2 B．8π cm2 C．16cm2 D．16π cm2 2．（2026·锡山区·一模）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　） A．27π cm2 B．24π cm2 C．20π cm2 D．16π cm2 3．（2025·惠山区·三模）劳动课上，小明用一张半径为9cm，圆心角是120°的扇形红色纸片做成一个圆锥形的帽子（纸片无损耗），则这个圆锥形帽子的侧面积是（　　） A．6π cm2 B．18π cm2 C．27π cm2 D．36π cm2 4．（2025·锡山区·一模）已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，则它的侧面展开图的面积为（　　） A．24πcm2 B．12πcm2 C．6πcm2 D．4πcm2 5．（2025·梁溪区·一模）小红用彩色纸制作了一个圆锥型的生日帽，其底面半径为9cm，母线长为20cm，不考虑接缝，这个生日帽的侧面积为（　　） A．180π cm2 B．180cm2 C．360π cm2 D．360cm2 6．（2026·惠山区·一模）将一个半径为9cm，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径为　　cm． 押题猜想二 圆小题 试题前瞻·能力先查 限时：1min 1．如图，BD是⊙O的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若∠COD＝126°，AB＝AD，则∠AGB的度数为（　　） A．108° B．103° C．98° D．139° 分析有理·押题有据 圆的有关小题是无锡中考固定高频考点，多以选择、填空题形式考查．命题涵盖圆周角、圆心角、垂径定理、切线性质及正多边形与圆等基础内容，常结合勾股定理、特殊三角形进行简单计算，侧重考查圆基础性质识记、几何直观与快速运算求解能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026•锡山区•一模）如图，AB是⊙O的直径，点C、点D在圆上且在AB的两侧，若∠ACD＝25°，则∠BAD＝（　　） A．45° B．55° C．65° D．75° 2．（2026•惠山区•一模）如图，AB是⊙O的直径．C，D是⊙O上的两点，连接AC，CD，AD，若∠ADC＝68°，则∠BAC的度数为（　　） A．68° B．56° C．32° D．22° 3．（2025•滨湖区•二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E都是⊙O上的点，则∠ACE+∠BDE＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 4．（2025•锡山区•一模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若AD＝2，CD＝4，则DF的最大值为（　　） A．2 B．2 C．5 D．10 5．（2025•无锡•一模）如图，BD是⊙O的直径，点A、C在同一半圆上，∠CBD＝27°，则∠A的度数为　　． 6．（2026•锡山区•一模）如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠ACB＝56°，则∠BAO的度数为　　． 押题猜想三 反比例函数k的几何意义 试题前瞻·能力先查 限时：3min 1．如图，点A、B分别在x轴、y轴上，点C是AO的中点，将△ABO沿AC的垂直平分线翻折，得到△CDE，反比例函数的图象经过点D，且S△AFC＝1，则k的值是（　　） A．﹣48 B．﹣24 C．﹣16 D．﹣12 分析有理·押题有据 本考点为高频内容，多以选择、填空考查，难度适中．2025无锡中考及多地模考卷均重点涉及。该知识点衔接高中内容，呈螺旋上升排布．解题核心是构造坐标轴垂线，活用k的面积结论，考查数形结合与运算能力，需强化模型识别与公式灵活运用． 终极猜想·精练通关 1．（2026·江阴市·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上一点，点B在x轴上，AO＝AB，点C为OA的中点，若△ABC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣4 B．﹣8 C．﹣6 D． 2．（2025·锡山区·校级四模）如图，A，B是双曲线图象上的两点，过A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为点C，若D为OB的中点，则△ODC的面积为（　　） A． B．1 C．2 D．4 3．（2025·梁溪区·校级二模）已知点Q（﹣4，﹣5）是双曲线y上点，过Q作QA⊥x轴于点A，作QB⊥y轴于点B．点P为双曲线y（x＞0）上任意一点，连接PA，PB，则四边形AQBP的面积的最小值为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 4．（2026·滨湖区·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长OA至点B，使AB＝2OA，过点B作BC∥x轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作AD∥OC，交BC于点D．若四边形OADC的面积为4，则k的值为（　　） A．﹣2 B． C． D．﹣3 5．（2026·锡山区·一模）如图，点A、B分别在x轴、y轴上，点C是AO的中点，将△ABO沿AC的垂直平分线翻折，得到△CDE，反比例函数的图象经过点D，且S△AFC＝1，则k的值是（　　） A．﹣48 B．﹣24 C．﹣16 D．﹣12 6．（2026·宜兴市·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、D分别在反比例函数上，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于O，延长AD交x轴于点E，若AD＝2DE，▱ABCD的面积为16，则k的值为（　　） A．3 B． C． D．6 押题猜想四 解直角三角形小题 试题前瞻·能力先查 限时：3min 1．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝4，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，连接AF，点G为AF的中点，连接GE，若，则tan∠GEF的值为（　　） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 解直角三角形小题是无锡中考高频考点，多以选择题、填空题形式呈现．命题不涉及实际应用场景，常与圆、特殊四边形、翻折、相似综合，依托几何图形构造隐含直角三角形，借助锐角三角函数、特殊角的边角关系进行求解．整体难度中等，具备一定区分度，重点考查几何构图转化、三角函数灵活运用与几何运算推理能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026•锡山区•一模）如图，在平面直角坐标系中，AB＝3，连接AB并延长至C，连接OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝2，则点C的坐标为（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣3，6） C．（，） D．（，） 2．（2025•无锡•一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若△AEF的面积为25，sin∠CEF，则BC的长为（　　） A．6 B． C． D．10 3．（2026•锡山区•一模）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB＝1，BC＝2，则sin∠AFE＝　　． 4．（2025•江阴市•二模）如图，利用无人机测量雕像BF的高度，在点C处测得雕像底部点B的俯角为45°，水平前行9米到达点D，在点D处测得雕像顶部点F和底部点B的俯角分别为37°和68°，若点C、D与雕像BF均在同一平面内，则雕像BF的高约为　　米． （参考数据：） 押题猜想五 特殊四边形的判定与性质小题 试题前瞻·能力先查 限时：4min 1．如图，正方形ABCD中，BC＝2，点M是AB边的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点F为DM中点，点E为DC上的动点．当∠DFE＝45°时，则DE＝　　． 分析有理·押题有据 特殊四边形的判定与性质是无锡中考高频基础小题，以选择、填空为主．命题聚焦矩形、菱形、正方形的边、角、对角线核心性质与判定，常结合折叠、旋转、动点等几何变换，融合勾股定理、全等三角形、中位线等知识，侧重考查图形辨析、性质精准应用与几何计算推理能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026•锡山区•一模）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝60°，GH的最小值为，则BC长为（　　） A． B． C． D． 2．（2026•惠山区•一模）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DA，AB上，且DE＝AF，作AG⊥EF于点H，交BC于点G，若AB＝12，EF：AG＝2：3，则BG的长为　　． 3．（2026•江阴市•一模）如图，▱ABCD中，AB＝6，BC＝12，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O．过点B作AC的平行线，交DC的延长线于点E，连接OE，则OE的长为　　． 4．（2026•滨湖区•一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，点E在边BC上，且BE＝3CE，F是AB的中点，P是DF的中点，过点P作PQ∥AB交EF于点Q，则PQ的长为　　． 押题猜想六 函数新定义问题 试题前瞻·能力先查 限时：7min 1．定义：（1）y是x的函数；（2）对于在自变量取值范围之内的任意x对应的函数值y，始终有y≤a（a为实数）．则y是x的“顶峰”函数．其中所有满足条件a的最小值称为这个函数的“巅峰”值．例如，y＝﹣x2是“顶峰”函数，它的“巅峰”值是0．下列说法正确的序号是（　　） ①函数是“顶峰”函数； ②函数y＝2x﹣3（x≤2）是“顶峰”函数，“巅峰”值为1； ③若函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的最小值不超过2a+1，“巅峰”值是b，则﹣1≤a＜1； ④函数y＝x2﹣2ax+2（﹣a≤x≤﹣a+1）的“巅峰”值为3，则a的值为0或． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 分析有理·押题有据 新定义函数是新课标热点题型，常作为选择压轴考查。命题结合基础函数综合设问，依托全新定义实现多知识融合．后续或升级为解答题型，需吃透新定义规则，强化函数综合推理与数形结合运用． 终极猜想·精练通关 1．（2026·新吴区·一模）若函数y1的图象上存在点M，函数y2的图象上存在点N，且M、N关于原点成中心对称，则称函数y1和y2存在“奇对称点”．此时，奇对称点到原点的距离称为“奇对称值”．下列结论： ①函数y1＝x+2与函数y2＝3x﹣1存在奇对称点； ②函数y1＝2x+2与函数的“奇对称值”为2或5； ③若是函数y1＝2x+3与函数的“奇对称值”，则k＝﹣1或； ④若函数与函数y2＝x+t（x＜0）存在奇对称点，则﹣0.25≤t≤2． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①③④ C．①④ D．②③④ 2．（2026·惠山区·一模）已知y是x的函数，x1，x2（x1≠x2）是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为y1，y2.若存在常数k（k＞0），使得|y1﹣y2|≤k|x1﹣x2|，则称此函数为“k﹣利普希兹条件函数”． 下列四个结论： ①函数y＝﹣3x+1是“3﹣利普希兹条件函数”； ②函数y＝5x2是“5﹣利普希兹条件函数”； ③若函数y＝mx+n是“2026﹣利普希兹条件函数”，则m的最大值为2026； ④已知函数y＝2x2+3x+1，当1≤x≤2时，此函数是“k﹣利普希兹条件函数”恒成立，则k的最小值为11． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③ C．②④ D．①③④ 3．（2026·锡山区·一模）当|x1+y2|+|x2+y1|＝0，且y1≠﹣x1时，称点（x1，y1）与点（x2，y2）为一对“反射点”．若某函数图象上至少存在一对“反射点”，就称该函数为“镜像函数”．根据该约定，下列说法不正确的是（　　） A．反比例函数的图象上存在无数对“反射点” B．二次函数y＝x2+1的图象上没有“反射点” C．若关于x的一次函数y＝kx﹣4是“镜像函数”，则这个函数的图象与坐标轴围成的平面图形的面积为8 D．若关于x的二次函数y＝x2+m是“镜像函数”，则实数 4．（2026·宜兴市·一模）对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k（b﹣a），则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数y＝2x﹣1（1≤x≤5）是“2型闭函数”； ②若一次函数y＝ax+2（3≤x≤8）是“1型闭函数”，则a＝1； ③反比例函数y（k＞0，a≤x≤b且0＜a＜b）是“k型闭函数”，且a+b，则a2+b2＝2024； ④二次函数y＝﹣3x2+6ax+a2+2a（﹣1≤x≤1）是“k型闭函数”．则k的取值范围是k≥1.5． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 5．（2026·江阴市·一模）在平面直角坐标系中，对于任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1≠x2，且y1≠y2），若|x1﹣x2|＝m|y1﹣y2|（m是常数），则称线段PQ是一条“m倍率线段”．下列说法中其中正确的是（　　） ①若A（1，1），B（4，2），则线段AB是一条3倍率线段； ②若C（﹣1，2），D在函数的图象上，则有且只有一条2倍率线段CD； ③若A（5，5），B在函数图象上，且AB是1倍率线段，则AB长为或； ④二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段AB上，点Q在该二次函数位于第一象限内的图象上，且线段PQ是倍率线段，当PQ的长度最大时，点Q的坐标为． A．①② B．②③④ C．①②④ D．①③④ 押题猜想七 翻折变换小题 试题前瞻·能力先查 限时：7min 1．如图，将平行四边形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M、N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别为E，F，且点F在平行四边形内部，MF的延长线交BC于点G．EF交边BC于点H．AB＝6，∠B＝45°，，当点H为NG三等分点时，MD的长为　　． 分析有理·押题有据 翻折变换为无锡中考高频压轴考点，常以填空压轴形式考查。命题结合三角形、四边形综合设问，利用翻折全等、边长与角度关系实现多知识融合。命题趋势愈发综合，需吃透翻折性质，强化几何推理、数形结合与计算求解能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·新吴区·一模）如图，在矩形ABCD中，，AD＝4，E为边BC上的一个动点．连接AE、DE，将△ABE沿着AE折叠，得到△AFE，再将△AFE沿着DE折叠，得到△HGE（F与G为对应点）．当边EG与△ECD的边所在直线重合时，BE＝　　． 2．（2025·宜兴市·二模）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点M、N分别在AD、BC上，将正方形沿直线MN翻折，使点B落在CD上的点E处． （1）当点E为CD的中点时，则△CEN的面积是　　； （2）设EC＝x，AM＝y，则y＝　　（用含x的代数式表示）． 3．（2025·锡山区·校级二模）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为CD的中点，将△BCE沿BE翻折得到△BC′E，连接EC′交AB于点F，则的值为　　． 4．（2025·梁溪区·一模）在平面直角坐标系中，已知．分别连接AB，BC，AC，把△ABC沿BC翻折得到△A′BC．当A′与D重合时，BD＝　　；当以A′、C、B、D为顶点的四边形是矩形时，m＝　　． 5．（2026·锡山区·一模）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”，则对于①等边三角形②直角三角形，一定是“方倍三角形”是　　（填①或②或①②）；如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，则△PDC的面积为　　． 押题猜想八 复杂的尺规作图 试题前瞻·能力先查 限时：6min 1．如图，在正方形ABCD中，点F是CD上的一点，E是BC边的中点，连接EF． （1）请用无刻度的直尺及圆规，在AD上找一点G，使∠AGE＝2∠CEF（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若CF＝2DF＝8，则AG的长为　　． 分析有理·押题有据 无锡中考数学复杂尺规作图，多在解答题压轴小问出现，以多步骤复合作图为主，高频融合角平分线、垂直平分线、圆的切线、无刻度直尺作图，并联动全等、相似、勾股定理、特殊四边形与圆性质综合设问，侧重考查作图原理、几何推理与痕迹规范表达能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·惠山区·一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠BAC＝60°． （1）请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点D，使得点D到AB、AC的距离相等，且满足∠ADC＝90°；（不写作法，保留作图痕迹） （2）设直线CD与AB交于E，若AC＝4，则BE的长为　　．（如需草图，请用备用图） 2．（2026·滨湖区·一模）如图1，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB＜AD． （1）尺规作图：作正方形EFGH，使得点E，G分别在AD，BC上，点F，H在BD上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，AD＝8，求EG的长．（如需画草图，请使用图2） 3．（2026·江阴市·一模）如图，在直角△ABC中，∠B＝90°． （1）尺规作图：作∠BAC的角平分线，交BC于点D，在AC上作一点E，使得AE＝DE；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝3，则DE＝　　．（若需画图，请用备用图） 4．（2026·锡山区·一模）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB是⊙O的直径． （1）实践与操作： 尺规作图：作出△ABC的内心I；（不写作法，保留作图痕迹） （2）推理与计算： 连接CI并延长，与⊙O交于另一点D．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为　　，DI的长为　　． 押题猜想九 圆综合题 试题前瞻·能力先查 限时：7min 1．如图，AB为圆O的直径，C、D为圆O上不同于A、B的两点，过点C作圆O的切线CF交直线AB于点F，直线DB⊥CF于点E． （1）求证：∠ABD＝2∠CAB； （2）若，且，求BF的长． 分析有理·押题有据 圆综合题是无锡中考固定高频考点，多以解答题形式考查。常结合切线判定、圆周角定理、四边形、相似及解三角形知识综合设问，知识点覆盖面广．该题型区分度适中，重点考查学生几何推理、模型转化与综合运算的能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·锡山区·一模）如图，CD是△ABC的高，以AB为直径作⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE＝CD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求△ABC的面积． 2．（2026·宜兴市·一模）如图，锐角△ABC为⊙O的内接三角形，BD为△ABC的高，垂足为D，点A为的中点． （1）求证：∠BAC＝2∠DBC； （2）若AB＝10，BD＝8，求⊙O的半径． 3．（2026·滨湖区·一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，CE是⊙O的切线，CE⊥DB交DB的延长线于点E． （1）若∠A＝25°，求∠ACD的度数； （2）若AB＝6，BE＝1，求CD的长． 4．（2026·江阴市·一模）如图，⊙O中，弦CD⊥直径AB于点E，F为CD上一点，连接BF并延长交⊙O于点G，连接CG． （1）求证：∠BCE＝∠G； （2）若BC＝4，F是BG的中点，求BG的长． 5．（2026·新吴区·一模）如图，四边形ABCD是平行四边形．以边BC为直径作⊙O，AD恰好为⊙O的切线，其中点A为切点．点E是BC下方⊙O上的点，连接AE、BE． （1）求∠E的度数； （2）若BE＝8，，求AB的长． 押题猜想十 一次函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：5min 1．学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元． （1）求A，B两种奖品的单价； （2）学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 分析有理·押题有据 一次函数应用为无锡中考常规考点，多以解答题形式考查．结合实际生活情境，融合方程、不等式知识，侧重考查建模思想与运算能力，题型基础稳定，注重实际问题的数学转化． 终极猜想·精练通关 1．（2025•梁溪区•二模）某校要组建无人机社团，今年计划采购A、B两种型号的无人机共40架．其中A型无人机的抗损耐用率为80%，B型无人机的抗损耐用率为95%．已知若采购10架A型号、30架B型号无人机需要11000元；若采购20架A型号、20架B型号无人机需要10000元．（注：无人机的抗损耐用率指无人机在遭受碰撞或摔落等意外情况后仍能正常使用的比例．） （1）采购每架A型无人机和每架B型无人机各需要多少元？ （2）社团要求这两种无人机的总抗损耐用率不低于85%，请问如何购买可以使得采购费用最低？ 2．（2025•梁溪区•校级一模）中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如下表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元/套） 25 ____ ____ 零售价（元/套） 30 25 35 （1）已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； （2）在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高20%，丙的批发价每套比原来下降40%．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为w元，当甲的数量不少于130套时，求w的最大值． 3．（2025•江阴市•模拟）（1）【阅读理解】倡导垃圾分类，共享绿色生活．为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某垃圾处理厂计划向机器人公司采购一批包含A、B两款不同型号的垃圾分拣机器人．已知1台A型机器人和1台B型机器人同时工作10小时，可处理垃圾5吨；若1台B型机器人先工作5小时后，再加入1台A型机器人同时工作，则还需工作8小时才能处理完5吨垃圾．问1台A型机器人和1台B型机器人每小时各处理垃圾多少吨？分析可以用线段图（如图）来分析本题中的数量关系． 由图可得如下的数量关系： ①1台A型10小时的垃圾处理量+1台B型10小时的垃圾处理量＝5吨； ②　　+　　＝5吨； （2）【问题解决】请你通过列方程（组）解答（1）中的问题； （3）【拓展提升】据市场调研，机器人公司对A、B两款机器人的报价如表：若垃圾处理厂采购的这批机器人（A、B两款机器人的总台数不超过80台）每小时共能处理垃圾20吨，请利用（2）中的数据回答：如何采购才能使总费用最省？最少费用是多少万元？ 型号 A型 B型 报价（万元/台） 20 14 4．（2026•江阴市•一模）杆秤是中国传统的称重工具，也是“公平、公正”的象征．某数学兴趣小组尝试制作一根简易杆秤，原料包括：一根轻质秤杆、一个秤盘（重量50g）、一个秤砣（重量200g）、一些细绳等（秤杆和细绳重量忽略不计）． 【了解原理】 组员已经知道，杆秤称物符合杠杆原理（动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图，设所称物体重量为xg，则秤盘及物体的总质量为（x+50）g，秤盘到提纽的水平距离AB＝acm．秤砣到提纽的距离BC＝ycm．当秤杆平衡时，得（x+50）•a＝200y． 【尝试操作】 （1）若取AB＝10cm，为了得到零刻度点O的位置，在秤盘为空的状态下，调节秤砣的位置至杆秤平衡，此时点C的位置即为点O．请计算此时BO的长． 【数学建模】 （2）在（1）的条件下，为了得到其它刻度线的制作规律，请先分析y与x之间的函数关系，并依此说明杆秤上的刻度线是否是均匀的，即当x每增加相同的数值，y的增加量是否也相同？ 【调整优化】 （3）杆秤可用的长度AD＝100cm，为了保证杆秤的最大刻度不小于2kg，请计算说明a的取值范围． 押题猜想十一 二次函数的应用 试题前瞻·能力先查 限时：7min 1．某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示： 售价（元/个） … 15 16 17 … 周销量（个） … 500 480 b … 周销售利润（元） … 2500 a c … （1）a＝　　，b＝　　，c＝　　； （2）当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润＝（售价﹣成本）×销售量】 （3）由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（m＞0），同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润最高为3200元，求m的值． 分析有理·押题有据 二次函数的应用是无锡中考重点考查内容，常以解答题形式出现．命题结合实际生活情境，融合方程、不等式知识，依托最值、方案问题综合设问，侧重考查数学建模、数形结合与运算求解的综合能力． 终极猜想·精练通关 1．（2025•无锡•一模）《哪吒2》凭借其精彩的剧情、精良的制作以及深刻的文化内涵，再次掀起观影热潮．某影院IMAX厅每场运营成本为2000元，该厅每场售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（30≤x≤80，且x是整数），部分数据如表所示： IMAX厅电影票售价x（元/张） 40 50 IMAX厅售出电影票数量y（张） 160 120 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）为激发文化消费活力，丰富市民文化生活，无锡市推出了春节惠民观影的政策：观众购买无锡市任意影院、任意场次、任意影片均享受票价立减20元/张．该影院IMAX厅将电影票售价x定为多少时，该厅每场的获利最大？（利润＝实际票房收入﹣运营成本） 2．（2025•滨湖区•二模）某网店专门销售某种品牌的笔筒，成本为20元/件，每天销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图，其中规定每天笔筒的销售量不低于210件． （1）写出y与x之间的函数关系式　　； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ 3．（2025•梁溪区•一模）果农小艺欣喜地发现，北京市农科院林业果树研究所培育的草莓“白雪公主”每亩投入种植成本36000元，亩产量可达到1000～2000kg，预计市场售价不低于60元/kg．小艺信心大增，在原有的50亩A试验田种植规模上再增加了50亩B试验田全部种植该草莓．收获时发现，由于土地肥力原因，B试验田的亩产量是A试验田亩产量的1.5倍．若同样收获3600kg该草莓所占用试验田B比A少1亩．小艺将A试验田采摘的1kg该草莓和B试验田采摘的4kg该草莓混合装箱出售．已知采摘及装箱的人工等成本平均为8元/kg．经市场调查发现，该草莓每销售价是300元时，每天可以销售100箱；若每涨价5元，则每天少销售2箱． （1）A、B两种试验田的亩产量分别是多少？ （2）若每箱的售价不超过400元，请求出定价多少元/箱时，每天可获得最大利润是多少元？ 4．（2025•无锡•二模）五月，正值花果繁茂时节，某市的枇杷新鲜上市．小明以32元/千克的价格购进一批枇杷进行销售，运输成本是6元/千克（运输费用按照进货质量计算），运输过程中枇杷将损坏5%，损坏的枇杷无法销售，完好的枇杷均销售完，假设不计其他费用． （1）小明把购进的枇杷售完至少定价为多少元才不会亏本？ （2）在销售过程中，商店发现每天枇杷的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示，若每天销量至少36千克，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？最大利润是多少？ 5．（2025•锡山区•一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同． （1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？ （2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表， 售价x（元/件） 50≤x≤60 60＜x≤80 销售量（件） 100 400﹣5x ①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？ ②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件m（m＞30）元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值． 押题猜想十三 相似或解直角三角形的实际应用 试题前瞻·能力先查 限时：9min 1．问题情境：镜子可以帮助我们整仪表、正衣冠、端品行．现需要购买一面长方形的平面镜，垂直地面安装在教室墙上，使镜子可以照全每个同学的全身像．已知某厂家提供的镜子宽度一致且可以照全每个同学的人体宽度，仅考虑镜子的长度来节约购买成本． 【探究一】 人照镜子利用的物理知识是光的反射定律，其成像特点：像与物大小相等、且它们到平面镜的距离相等，像与物关于镜面对称．如图1，线段AB表示人的身高，其中点A表示头顶，点B表示脚底，点C表示眼睛（位于AB上），MN表示平面镜，线段A′B′表示AB在镜中的虚像．设人的身高AB为x，能看到全身像的最短镜子长度EF为y，求y与x之间的函数表达式． 【探究二】 如图2，现购买了一面90cm长的镜子并安装在墙上．小亮身高为180cm，他正立在镜子前某处，眼睛C却只能看到部分人像，看到部分人像的长度为70cm．可见，要想看到自己的全身像，仅仅考虑最短镜长还不够，还要考虑安装的位置．若小亮保持正立姿势，镜子竖直下移至合适位置，眼睛便能看到全身像，求下移的距离． 【探究三】 通过测量与统计，全班同学身高最矮为h1cm，最高为h2cm．忽略个体差异，统一记每人眼睛到头顶的距离为h3cm．在确保全班每个同学正立姿势的情况下，求全班都能看到全身像的最短镜长．（用含h1、h2、h3的代数式表示） 分析有理·押题有据 相似的实际应用为无锡中考2025年回归考点，2023、2024年未考查。2025年以解答题呈现，结合测量旗杆、古塔高度等真实情境，考查相似三角形建模与计算能力．需重点掌握测高、测距类问题的解题模型，强化实际问题转化为几何图形的能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·惠山区·一模）根据以下素材，完成问题： 【素材1】图1是某高架入口的横断面示意图．高架路面用BQ表示，地面用AP表示，斜坡用AB表示．已知BQ∥AP，高架路面BQ离地面的距离BN为21m，斜坡AB长为75m． 【素材2】图2中的矩形CDEF为一辆大巴车的侧面示意图，车长CF为10m，车高EF为3.6m． 【素材3】图3是素材1中的斜坡局部示意图，素材2中的大巴车停在该斜坡上，矩形CDEF的顶点F与点B重合，点B与指示路牌底端M点之间的距离BM为6.25m，且BM⊥BQ． 【素材4】小李驾驶一辆轿车跟随大巴车行驶，他的眼睛到斜坡的距离GH为1.2m． 问题1：如图1，求tan∠BAN； 问题2：如图3，当点H，D与指示牌底端M在同一条直线上，试求小李距大巴车尾DC的距离CG． 2．（2026·宜兴市·一模）某校数学研究性学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动． 【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具 【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图．测得该斜坡坡度i＝1：2.4，BM段为水平路面，B点位置设有指示牌BP，它与地面垂直． 【活动过程】 活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡AB长为39米． （1）求斜坡BH的高度； 活动2：如图②所示，当学习小组的指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离FD为1.2米．李老师平视前方（视线与斜坡AB平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点． （2）求指示牌牌杆BQ的高度； 活动3：如图③，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK长为10米，EC长为3.2米．李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合．李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点． （3）求指示牌BP的高度． 3．（2026·锡山区·一模）【综合与实践】 在物理实验中，光线从空气中射入液体中会发生折射现象．某学习小组设计了如图所示的实验装置：水槽横截面为矩形MNFD，MN＝80cm，O为水槽水面DF的中点，水深DM＝20cm． 如图1，小明同学从高出水面30cm的A处发出一束激光，射到水槽水面上的O处，光在水中的路径为OB，C为水槽底部MN的中点，测得BC＝10cm． 【问题初探】 （1）图1中，α，β分别为入射角、折射角，则tanθ＝　　； 【深入探究】 （2）小组成员探究如何才能使折射光线经过点C． ①小刚同学设计了如图2所示的实验，在保持入射角、折射角不变的条件下，通过把光线的出发点从点A降至点R，也能使得折射光线经过点C．请直接写出下降高度为　　cm； ②小张同学设计了如图3所示的实验，在保持光线出发点A、入射角、折射角不变的条件下，通过增加水面高度，使得折射光线经过点C，求增加的水面高度； 【问题拓展】 （3）小组讨论后认为：在保持入射角、折射角不变的条件下，将光线出发点的高度降低xcm，同时增加水面高度ycm，也能使得折射光线经过点C．请求出y与x之间的函数关系． 押题猜想十四 二次函数综合题 试题前瞻·能力先查 限时：12min 1．二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B（1，0），与y轴交于点E，且对称轴为直线x＝﹣1．该抛物线与直线交于C、D两点（点C在点D的左侧）． （1）求二次函数的表达式； （2）若△ACD与△CDE的面积相等时，求m的值； （3）当m为何值时，在x轴上存在唯一的点Q，使∠CQD＝90°？（直接写出m的值） 分析有理·押题有据 二次函数综合题是无锡中考核心压轴内容，稳定以解答大题形式考查．命题常结合几何图形、动点、面积与线段最值，联动一次函数、相似等知识综合设问．该考点综合性强、区分度高，侧重考查数形结合、逻辑推理与代数运算的综合运用能力． 终极猜想·精练通关 1．（2026·宜兴市·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+8经过点A（4，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）则抛物线解析式中a＝　　，b＝　　； （2）当3t+2≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤6t+3，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 2．（2026·滨湖区·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，9），B（5，9），与y轴交于点C，顶点为P． （1）求该二次函数的函数表达式； （2）设二次函数y＝mx2+nx+p（m≠1）的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q． ①求的值； ②当△PCQ是直角三角形时，求tan∠CDQ的值． 3．（2026·江阴市·一模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数表达式； （2）若点M（t，y1），N（t+1，y2）（0＜t＜2）是该函数图象上两点． ①证明：y2＜y1+3； ②连接AM、AN、MN，若△AMN为直角三角形，求t的值． 4．（2026·锡山区·一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）直接写出这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线AG、AH与y轴分别交于S，T两点，若OS·OT＝6，试探究直线GH是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 押题猜想十五 四边形与相似综合题 试题前瞻·能力先查 限时：15min 1．数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边BC长均为4dm．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片ABCD对折，使边AD，BC重合，展开后折痕与AB交于点F． 第二步：如图②，在AD上取一点E，沿EF折叠矩形ABCD，点A的对应点为G．延长EG交BC于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在EH所在直线上，折痕与DC交于点M． （1）求证：BH＝GH． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． （2）求AB的长． 【应用创新】 （3）如图④，B小组的同学们选用了AB＝2dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与AD交于点M，把纸片展开后，连接GM．当△EGM为直角三角形时，则MH的长为　　． 分析有理·押题有据 四边形与相似综合题为无锡中考经典中档及压轴题型，考查频次稳定．命题常以平行四边形、矩形等为载体，融合相似判定、边长计算与角度推导，实现知识串联．本题区分度较强，着重考查学生几何建模、逻辑推理与综合运算的核心素养． 终极猜想·精练通关 1．（2026·锡山区·一模）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H． （1）如图2，当P为CD的中点，AB＝2，AD＝3时． ①PE长度为　　； ②求GH的长； （2）如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，设BG为y，AB为x，求y与x的函数关系． 2．（2026·滨湖区·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，点E在边BC上，且BE＝4，动点P从点E出发，沿折线EB﹣BA﹣AD以每秒1个单位长度的速度运动，作∠PEQ＝90°，EQ交边AD或边DC于点Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）当点Q与点D重合时，求t的值； （2）作点E关于直线PQ的对称点F，连接PF，QF． ①当点P与点A重合时，求四边形EPFQ与矩形ABCD重叠部分的面积； ②当四边形EPFQ与矩形ABCD重叠部分的图形为轴对称四边形时，求t的取值范围． 3．（2026·锡山区·一模）如图1，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AD，交AC于点F，将△AEF沿AC折叠得△AGF． （1）若点G落在边BC上，BG＝　　； （2）若点G到BC的距离为2，求△ABG的面积； （3）如图2，若点H为BC的中点，连接GH、FH，当△FHG为直角三角形时，请直接写出AE的长． 4．（2026·惠山区·一模）如图1，在▱ABCD中，sinA，M，N分别是AB，CD边上的动点，将四边形ADNM沿直线MN翻折，点A，D的对应点分别是点E，F，其中点F始终落在BC边上． （1）如图2，当点E恰好落在直线BC上，且AB＝6时，求BF的长； （2）如图3，当点F与点B重合时，求的值； （3）当△CFN直角三角形时，求的值． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $