专题02 方程（组）与不等式组高频考点与计算7大题型（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

知识要点：一元一次方程；二元一次方程；二元一次方程组；三元一次方程组 一次方程与一次方程组O 解法步骤：一元一次方程五步法；代入消元法；加减消元法；三元先消元化二元 易错提醒：去分母全覆盖；移项变号；系数化1不颠倒；加减消元看符号 知识要点：不等式三条性质；不等式解集；一元一次不等式组 解法步骤：一元一次不等式解法；不等式组求公共解集 二、 不等式与不等式组。 数轴规范：左右画法；实心点空心圈；重叠部分为解集 易错提醒：负系数变号；虚实点混用；解集书写；整数解漏判 般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 四种解法：直接开平方法；因式分解法；配方法；求根公式法 三、一元二次方程。 解法策略：优先因式分解；公式法通用；配方法为基础 易错提醒：先化一般式；a0;配方两边同加常数 判别式：△=b2-4ac 根的情况：△>0有两个不相等实数根；△=0有两个相等实数根；△<0无实数根 四、一元二次方程根的判别式○ 含参应用：有实根△≥20；不等实根△>0；结合a0 易错提醒：混淆判别式含义；含参漏分类；忽略a0 核心公式：x1+x2=-b/a;X1X2=c/a 五、 韦达定理O 常用变形：平方和；差平方；倒数和 易错提醒：先验证△≥0；变形符号易错 核心特征：分母含未知数 解题步骤：去分母化整式；求解；代入最简公分母检验 六、分式方程0 增根成因：乘含参整式、扩大取值范围 易错提醒：必检验；分母先因式分解 核心特征：根号下含未知数 解题步骤：单独移根号；两边平方；逐次去根号；原式检验 七、 无理方程O 增根成因：平方运算引入额外解 易错提醒：漏检验；多根号移项不当 解题六步：审；设；列；解；验；答 常见题型：行程问题；工程问题；增长率问题；数字调配问题 八、方程与不等式实际应用 不等式应用：抓取不等关系词；结合实际取整数解 易错提醒：等量关系错误；单位遗漏/不统一；忽略实际意义 专题02 方程（组）与不等式组高频考点与计算7大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（7大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 一元一次方程与二元多次方程（组）的解法 题型二 不等式（组）的解法及数轴表示 题型三 一元二次方程的解法与韦达定理 题型四 一元二次方程根的判别式 题型五 分式方程的解法及增根检验 题型六 无理方程的解法及检验 题型七 方程（组）与不等式（组）的实际应用 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 方程（组）与不等式（组）是上海中考数学的核心必考模块，分值约占28分左右，在满分150分的试卷中占比近五分之一，与函数并列为代数部分两大支柱。从近五年考情看，该模块涵盖一次方程（组）、不等式（组）、一元二次方程、分式方程、无理方程等考点，以选择题和填空题为主要考查形式，通常搭配1道解方程（组）或不等式（组）的解答题，以及1道方程（组）应用题的解答题。多位专家在评析中一致指出，试卷重视考查“代数方程的解法等基本运算技能”，强调基础性、规范性和一定的建模应用能力。整体以基础题和中档题为主，是中考稳拿高分的关键板块。 基础知识必备：能熟练解一元一次方程与二元一次方程（组）（5年3考），掌握不等式的性质及一元一次不等式（组）的解法（5年5考），并能在数轴上准确表示解集；理解配方法，会用因式分解法和求根公式法解一元二次方程（5年5考），会用根的判别式判断一元二次方程根的情况（5年5考），掌握韦达定理进行相关计算（5年3考）；会解可化为一元一次方程的分式方程（5年2考）和简单无理方程（5年3考），养成检验的习惯，正确识别和处理增根问题；能够从实际问题中抽象出方程（组）或不等式（组）建立数学模型，正确列出方程并求解验证（5年3考）。 2026中考预测： 题型稳定：解不等式（组）、一元二次方程根的判别式仍为选择、填空必考内容（5年5考）；分式方程与无理方程的解法及检验（5年2-3考），以及解一次方程（组）和不等式（组）的解答题，将持续稳定地出现在试卷基础题部分；不等式性质及运算在选择或填空第7题左右的位置是核心题型。列一次方程（组）或不等式（组）解应用题的解答题，将继续作为考查数学建模能力的重要载体，常与行程、工程、增长率等实际情境结合。 难度平稳：以基础题、中档题为主，不设置偏题、怪题，重点考查核心解法步骤的理解和计算的准确率，侧重对增根检验、分类讨论等易错点的辨析。试卷结构稳定，知识覆盖面广，立足对初中数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。值得注意的是，2026年上海中考数学难度结构可能从原有的8:1:1调整为7:2:1或6:3:1，基础题占比有所下降，中档题比例提升。但方程与不等式模块作为基础计算板块，仍将保持相对稳定的难度水平，重在考查解题规范性而非难度拔高。 命题趋势：部分试题仍将贴近教材，源于教材及配套练习册，重视对通性通法的考查，如待定系数法、配方法等基本方法。应用题将更加注重真实情境的融入，强调数学的应用价值，引导学生从“解题”走向“解决问题”。试题可能结合社会热点（如碳中和目标、智慧城市管理等时代议题）设计新情境，考查学生在动态变化的背景中构建数学模型、优化决策路径的能力。整体强调“基础核心+运算规范+情境应用”。 题型一 一元一次方程与二元多次方程（组）的解法 【真题呈现01】（2024年上海市中考数学真题）解方程组：． 【变式01】（2026·上海虹口·二模）将二元二次方程化为两个一次方程为______． 【变式02】（2026·上海松江·二模） 解方程组： 【变式03】（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式04】(2025青浦区二模)关于的方程的解是　 　． 题型二 不等式（组）的解法及数轴表示 【真题呈现02】（2025年上海市中考数学真题） 不等式组的解集为______． 【变式01】（2024年上海市中考数学真题）如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【变式02】（2026·上海虹口·二模）解不等式组： 【变式03】（2026·上海松江·二模）不等式组的解集是_______． 【变式04】（2026·上海崇明·二模）不等式组的解集是__________． 【变式05】（2026·上海宝山·二模）若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 题型三 一元二次方程的解法与韦达定理 【真题呈现03】（2026·上海黄浦·二模）解方程组： 【变式01】（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【变式02】（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为______． 题型四 一元二次方程根的判别式 【真题呈现04】（2025年上海市中考数学真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【变式01】（2024年上海市中考数学真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【变式02】（2026·上海虹口·二模）请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______． 【变式03】（2026·上海松江·二模）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【变式04】（2026·上海崇明·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 【变式05】（2026·上海宝山·二模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 题型五 分式方程的解法及增根检验 【真题呈现06】（2025年上海市中考数学真题）解方程：． 【变式01】（2026·上海崇明·二模）解方程： 【变式02】（2026·上海黄浦·二模） 解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（ ） A. B. C. D. 【变式03】（2026·上海静安·二模）如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 题型六 无理方程的解法及检验 【真题呈现07】（2025年上海市中考数学真题）方程的解为_______． 【变式01】（2024年上海市中考数学真题）已知，则___________． 【变式02】（2026·上海宝山·二模）方程＝4的根是_____． 【变式03】（2026·上海黄浦·二模）方程的解是________． 【变式04】（2025·上海奉贤·二模）方程的根是_______． 题型七 方程（组）与不等式（组）的实际应用 【真题呈现08】（2023年上海市中考数学真题）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛　　斛米．(注斛是古代一种容量单位) 【变式01】（2026·上海松江·二模）小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 【变式02】（2026·上海松江·二模）一个水池的容积是，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是，5小时后水池的水量是，那么8小时后水池的水量是________． 【变式03】（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为________．（用百分数表示） 【变式04】（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有____人． 【变式05】（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 （限时训练：20分钟） 1.（2026·上海黄浦·二模）已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值是______． 2.（2026·上海宝山·二模）解关于x的不等式组：． 3.（2025·上海浦东新·二模）方程的解是________． 4.（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 5．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 6．（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 7.（2024·上海黄浦·二模）现有一张矩形纸片，其周长为厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是立方厘米，设原矩形纸片的长是厘米，那么可列出方程为 ． 8. （2026·上海闵行·二模）解不等式组：． 9. （2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 10.（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 11.(2026上海中考·预测)(用配方法) 12.(2026上海中考·预测)设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程（组）与不等式组高频考点与计算7大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（7大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 一元一次方程与二元多次方程（组）的解法 题型二 不等式（组）的解法及数轴表示 题型三 一元二次方程的解法与韦达定理 题型四 一元二次方程根的判别式 题型五 分式方程的解法及增根检验 题型六 无理方程的解法及检验 题型七 方程（组）与不等式（组）的实际应用 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 方程（组）与不等式（组）是上海中考数学的核心必考模块，分值约占28分左右，在满分150分的试卷中占比近五分之一，与函数并列为代数部分两大支柱。从近五年考情看，该模块涵盖一次方程（组）、不等式（组）、一元二次方程、分式方程、无理方程等考点，以选择题和填空题为主要考查形式，通常搭配1道解方程（组）或不等式（组）的解答题，以及1道方程（组）应用题的解答题。多位专家在评析中一致指出，试卷重视考查“代数方程的解法等基本运算技能”，强调基础性、规范性和一定的建模应用能力。整体以基础题和中档题为主，是中考稳拿高分的关键板块。 基础知识必备：能熟练解一元一次方程与二元一次方程（组）（5年3考），掌握不等式的性质及一元一次不等式（组）的解法（5年5考），并能在数轴上准确表示解集；理解配方法，会用因式分解法和求根公式法解一元二次方程（5年5考），会用根的判别式判断一元二次方程根的情况（5年5考），掌握韦达定理进行相关计算（5年3考）；会解可化为一元一次方程的分式方程（5年2考）和简单无理方程（5年3考），养成检验的习惯，正确识别和处理增根问题；能够从实际问题中抽象出方程（组）或不等式（组）建立数学模型，正确列出方程并求解验证（5年3考）。 2026中考预测： 题型稳定：解不等式（组）、一元二次方程根的判别式仍为选择、填空必考内容（5年5考）；分式方程与无理方程的解法及检验（5年2-3考），以及解一次方程（组）和不等式（组）的解答题，将持续稳定地出现在试卷基础题部分；不等式性质及运算在选择或填空第7题左右的位置是核心题型。列一次方程（组）或不等式（组）解应用题的解答题，将继续作为考查数学建模能力的重要载体，常与行程、工程、增长率等实际情境结合。 难度平稳：以基础题、中档题为主，不设置偏题、怪题，重点考查核心解法步骤的理解和计算的准确率，侧重对增根检验、分类讨论等易错点的辨析。试卷结构稳定，知识覆盖面广，立足对初中数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的考查。值得注意的是，2026年上海中考数学难度结构可能从原有的8:1:1调整为7:2:1或6:3:1，基础题占比有所下降，中档题比例提升。但方程与不等式模块作为基础计算板块，仍将保持相对稳定的难度水平，重在考查解题规范性而非难度拔高。 命题趋势：部分试题仍将贴近教材，源于教材及配套练习册，重视对通性通法的考查，如待定系数法、配方法等基本方法。应用题将更加注重真实情境的融入，强调数学的应用价值，引导学生从“解题”走向“解决问题”。试题可能结合社会热点（如碳中和目标、智慧城市管理等时代议题）设计新情境，考查学生在动态变化的背景中构建数学模型、优化决策路径的能力。整体强调“基础核心+运算规范+情境应用”。 题型一 一元一次方程与二元多次方程（组）的解法 【真题呈现01】（2024年上海市中考数学真题）解方程组：． 【答案】，或者，． 【解析】 【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解． 【详解】解：， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者． 【变式01】（2026·上海虹口·二模）将二元二次方程化为两个一次方程为______． 【答案】和 【解析】 【分析】二元二次方程的中间项，根据十字相乘法，分解即可． 【详解】解：， ， ∴，． 故答案为：和． 【点睛】本题考查了高次方程解法和分解因式的能力．熟练运用十字相乘法，是解答本题的关键． 【变式02】（2026·上海松江·二模） 解方程组： 【答案】或 【解析】 【详解】解：由②得，， ∴或， 原方程组可化为或， 解第一个方程组得； 解第二个方程组得 原方程组的解为或． 【变式03】（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、加减消元法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及通过方程组的变形直接求代数式的值的能力．把两个方程相减可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：， 得，， ， 故选：B． 【变式04】(2025青浦区二模)关于的方程的解是　 　． 【分析】根据一元一次方程的步骤依次移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：移项，得：， 合并同类项，得：， ， ， 则， 故答案为：． 题型二 不等式（组）的解法及数轴表示 【真题呈现02】（2025年上海市中考数学真题） 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 【变式01】（2024年上海市中考数学真题）如果，那么下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 【变式02】（2026·上海虹口·二模）解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得： 解不等式②得： 不等式两边同乘2得 ∴不等式组的解集为． 【变式03】（2026·上海松江·二模）不等式组的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法．分别求出每一个不等式的解集，根据解集确定口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解，确定不等式组的公共解集即可. 【详解】解：解不等式，移项得，系数化为得：， 解不等式，移项合并同类项得：， 不等式组的解集为． 【变式04】（2026·上海崇明·二模）不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的求解，先根据不等式的性质分别求出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则得到最终结果，掌握不等式的性质和解集确定方法是解题关键. 【详解】解： 解不等式①， 移项得 ， 不等式两边同乘，得 . 解不等式②， 移项得 ， 合并同类项得 ， 不等式两边同除以，得 . 根据不等式组解集的确定规则可得原不等式组的解集为. 【变式05】（2026·上海宝山·二模）若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行解答． 【详解】解：A、在不等式的两边同时乘以−2，不等号的方向改变，即−2a＜−2b，故本选项错误； B、在不等式的两边同时乘以，不等式仍成立，即a＞b，故本选项错误； C、在不等式的两边同时乘以−1，得到-a＜-b，再在两边同时加上2，不等式仍成立，即2−a＜2−b，故本选项错误； D、在不等式的两边同时减去2，不等式仍成立，即a−2＞b−2，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 题型三 一元二次方程的解法与韦达定理 【真题呈现03】（2026·上海黄浦·二模）解方程组： 【答案】，​ 【解析】 【分析】整理后得出，解一元二次方程，再代入①解答即可； 【详解】解： ，由分式分母不为0，得， ②可化为： ， 将①代入，得 ​，解得：③， 由①得，代入③得：， 整理得：， 因式分解得， 解得或， 代入①求并检验，时，；时，，两组解都满足原方程， 因此，​是原方程组的解． 【变式01】（2025·上海·模拟预测）下列方程中，关于的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的概念，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．，时不是一元二次方程，不符合题意； B．是分式方程，不符合题意； C．未知数最高次数是3次，不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【变式02】（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键；方程变形为，再配方即可． 【详解】解：由变形得：， 配方得：，即； 所以选：A． 【变式03】（2025·上海徐汇·二模）若一元二次方程中的，则的值为______． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，整理得，运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】∵一元二次方程中的， ∴， ． 或． 故答案为：或 题型四 一元二次方程根的判别式 【真题呈现04】（2025年上海市中考数学真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 【变式01】（2024年上海市中考数学真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 【变式02】（2026·上海虹口·二模）请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，那么的值可以是______． 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，即可得到符合要求的的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得， 那么的值可以是：0（答案不唯一，满足即可）． 【变式03】（2026·上海松江·二模）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用判断方程是否对任意实数恒有实数根，若对任意恒成立，则符合要求． 【详解】解：A、对于方程，当时，方程为，有实数根；当时，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故A不符合题意； B、对于方程，，而对任意实数，都有，故恒成立，不论取何实数值，方程都有实数根，故B符合题意； C、对于方程，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故C不符合题意； D、对于方程，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故D不符合题意． 【变式04】（2026·上海崇明·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____________． 【答案】且或且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式05】（2026·上海宝山·二模）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：若一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． ∵关于x的方程x2﹣6x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＞0， 解得：m＜9． 考点：根的判别式． 题型五 分式方程的解法及增根检验 【真题呈现06】（2025年上海市中考数学真题）解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 【变式01】（2026·上海崇明·二模）解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解： ∴ 去分母得到，， 整理得到，， 解得或， 经检验是增根，是分式方程的解 【变式02】（2026·上海黄浦·二模） 解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原方程中对应部分用换元后的y替换，再对分式方程去分母整理得到整式方程即可解答． 【详解】解：∵令，可得 将其代入原方程得： 方程两边同乘（）去分母得：， 移项整理得：， 因此换元后整理得到的整式方程为． 【变式03】（2026·上海静安·二模）如果关于x的分式方程的解为正数，求常数a的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】先解分式方程得出，结合题意得出，即可得到，再结合分式方程分母不能为零，计算得出，即可得出结果． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项并合并同类项得：， 解得， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程分母不能为零，即， ∴， ∴， ∴， 综上所述，常数a的取值范围且． 题型六 无理方程的解法及检验 【真题呈现07】（2025年上海市中考数学真题）方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解无理方程，利用平方法将方程转化为一元一次方程，进行求解，检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 【变式01】（2024年上海市中考数学真题）已知，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知，则可得出，求出x即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， 解得：， 故答案为：1． 【变式02】（2026·上海宝山·二模）方程＝4的根是_____． 【答案】x=5 【解析】 【分析】两边平方，得3x+1=16，解方程即可． 【详解】解：两边平方，得3x+1=16， 解得x=5， ∵， 解得， ∴x=5是方程的根． 故答案为：x=5． 【点睛】本题考查解无理方程，求解步骤是两边先平方，再求解，注意验证根是否符合意义． 【变式03】（2026·上海黄浦·二模）方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理方程的求法， 把方程两边平方求解，再检验即可得到答案． 【详解】解：把方程两边平方得：， 整理得：， 解得：或， 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 【变式04】（2025·上海奉贤·二模）方程的根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程，解此一元二次方程得到，，结合二次根式的性质，去掉增根，即可得到答案． 【详解】方程两边平方得： ∴， ∵ ∴ ∴不符合题意，故舍去 ∴原方程的根为 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次根式的性质，从而完成求解． 题型七 方程（组）与不等式（组）的实际应用 【真题呈现08】（2023年上海市中考数学真题）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛　　斛米．(注斛是古代一种容量单位) 【分析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组成方程组求出答案． 【解答】解：设1个大桶可以盛米斛，1个小桶可以盛米斛， 则， 故， 则． 答：1大桶加1小桶共盛斛米． 故答案为：． 【变式01】（2026·上海松江·二模）小明准备去距离学校10千米的博物馆，已知汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达．设骑自行车的速度为千米/小时，可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设骑自行车的速度为千米/小时，则汽车的速度为千米/小时，根据时间路程速度，分别表示出骑自行车和乘汽车所需的时间，再根据乘汽车比骑自行车早到小时列出方程即可． 【详解】解：设骑自行车的速度为千米/小时． ∵汽车的速度比骑自行车的速度快30千米/小时， ∴汽车的速度为千米/小时． ∵路程为10千米， ∴骑自行车所需时间为小时，乘汽车所需时间为小时． 根据题意，乘汽车去比骑自行车去可以早小时到达， 即骑自行车的时间减去乘汽车的时间等于小时， 可列方程为． 【变式02】（2026·上海松江·二模）一个水池的容积是，水池内蓄有一定量的水，现在保持一定的速度向水池中蓄水，1小时后水池的水量是，5小时后水池的水量是，那么8小时后水池的水量是________． 【答案】50 【解析】 【分析】设水池内原有的水量为x，则1小时注入水量为，根据题意列方程求出，再计算8小时后水池的水量即可． 【详解】解：设水池内原有的水量为x，则1小时注入水量为， 解得， 8小时后水池的水量是． 【变式03】（2025·上海奉贤·三模）某商品成本价元，商家以元价格售出，那么这件商品的盈利率为________．（用百分数表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设这件商品的盈利率为x，根据“售价成本成本盈利率”，再根据“商品成本价元，商家以元价格售出”列出关于的一元一次方程，求解即可．正确理解题意，根据数量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这件商品的盈利率为， 依题意，得：， 解得：， ∴这件商品的盈利率为． 故答案为：． 【变式04】（2025·上海静安·二模）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人竿，多竿；每人竿，少竿．”则牧童有____人． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 根据总竿数相等列出方程，求出解即可. 【详解】解：设有牧童人，根据题意，得 ， 解得， 答：牧童有人． 故答案为：． 【变式05】（2025·上海浦东新·模拟预测）如图，把一张长，宽的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． (1)要使无盖长方体盒子的底面积为，那么剪去的正方形的边长为多少？ (2)你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于吗？请说明理由 (3)当把长方形硬纸板的四周分别剪去个同样大小的正方形和个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为时请直接写出结果并画出平面示意图 【答案】(1) (2)不可能，理由见解析 (3)或，示意图见解析 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键． （1）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的底面积为，可得方程求解即可； （2）可设剪去的正方形边长为，根据无盖长方体盒子的侧面积等于，可得方程，再根据根的判别式作出判断； （3）可设剪去的正方形边长为，分成两种情况，根据侧面积为列方程讨论求解． 【详解】（1）设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 即， 解得：（不合题意，舍去），． ∴剪去的正方形的边长为． （2）折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于，理由如下： 设剪去的正方形边长为，由题意，得 ， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数解． 即折合而成的无盖长方体盒子的侧面积不可能等于． （3）设剪去的正方形边长为， 若按图1所示的方法剪折， 有：， 整理得：， ， ∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：， 整理得：， 解得：，， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到． （限时训练：20分钟） 1.（2026·上海黄浦·二模）已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等的实数根时，判别式的值为，据此列方程求解即可. 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，整理得， 解得. 2.（2026·上海宝山·二模）解关于x的不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； ∴不等式组的解集为. 3.（2025·上海浦东新·二模）方程的解是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用二次根式的性质化简、无理方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】先将无理方程转化为一元二次方程，求解后再结合二次根式的性质判断后即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ，， 经检验是原方程的增根，舍去， 原方程的根为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是解无理方程、解一元二次方程、二次根式的性质，解题关键是熟练掌握解无理方程． 4.（2025·上海奉贤·三模）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题考查了解方程组，先将因式分解为或，再分别联立，解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由②得， ∴或， 联立得， 解得， 联立得， 解得． 5．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 【答案】(1)①，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的1没有乘； （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 6．（2025·上海奉贤·二模）解不等式组，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解． 【答案】，数轴表示见解析， 【分析】本题考查解不等式组的解集及整数解，在数轴上表示解集．先分别求出各不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，再根据数轴上表示解集的方法表示出该不等式组的解集，最后写出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． 该解集在数轴上表示为： ∴该不等式组的整数解为． 7.（2024·上海黄浦·二模）现有一张矩形纸片，其周长为厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是立方厘米，设原矩形纸片的长是厘米，那么可列出方程为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程． 设原矩形纸片的长是，表示长方体纸盒的长、宽、高，然后根据体积列出方程即可． 【详解】解： 设原矩形纸片的长是，则宽为， 长方体纸盒的长为，宽为，高为， 由长方体体积是立方厘米得： ． 故答案为：． 8. （2026·上海闵行·二模）解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定解集的公共部分得出答案． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 9. （2026·上海杨浦·二模）若不等式的解集为一切实数，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】假设函数，对是否可为进行分类讨论，尤其当时，根据函数对称轴求出函数最小值，满足最小值大于即可满足题意要求． 【详解】解：∵不等式的解集为一切实数， 即对于任意的，都有函数始终大于0， 当时，函数为满足题意； 当时，函数的对称轴为直线， ∴当时，函数值应大于， 故，解得； 综上，的取值范围为． 10.（2025·上海闵行·模拟预测）某商店用10000元人民币购进某款服装进行销售，过了一段时间，由于热销，又用24000元人民币购进同款服装，所购服装的数量是第一次购进数量的2倍，但每件的价格比第一次购进的货贵了20元． (1)求该商店第一次购进该款服装的数量； (2)假设该商店两次购进的服装按相同的标价销售，最后剩下的20件按标价的五折优惠销售，如果两次购进的服装全部售完，利润不低于9500元，求每件服装的标价至少是多少元． 【答案】(1)该商店第一次购进100件该款服装 (2)每件服装的标价至少是150元 【难度】0.65 【知识点】分式方程的经济问题、不等式组的经济问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装，根据第二批购进每件的价格比第一次购进的价格贵了20元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设每件服装的标价是y元，利用总利润销售单价销售数量进货总价，结合总利润不低于9500元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该商店第一次购进x件该款服装，则第二次购进件该款服装， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该商店第一次购进100件该款服装； （2）解：设每件服装的标价是y元， 根据题意得：， 解得：， ∴y的最小值为150. 答：每件服装的标价至少是150元． 11.(2026上海中考·预测)(用配方法) 【分析】在本题中，先把方程变成，再把次方程的常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方． 【解答】解：方程同除以4，得， 把方程的常数项移到等于号的右边，得 ， 方程两边同时加上一次项一半的平方，得到， ， ， 解得，． 12.(2026上海中考·预测)设一元二次方程的两个实数根为和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据进形计算即可． 【详解】解：根据， 得， 故选D． 学科网（北京）股份有限公司 $