数学终极押题猜想（云南专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以云南中考五年考情为纲，构建“基础-中档-综合”三级押题体系，融合抽象能力与推理意识，实现方法与知识的系统突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数基础|5题|相反意义量辨识|概念应用→生活情境迁移| |科学记数法|4题|a×10ⁿ规范书写|大数/小数表示→指数确定| |概率计算|4题|列表/树状图法|两步试验→等可能结果分析| |二次函数综合|5题|代数证明与配方|解析式→最值→恒等变形| |圆切线证明|4题|切线判定定理|直径圆周角→垂直关系推导|

2026年中考数学终极押题猜想（云南专用） 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 有理数基础：正负数、相反数、绝对值、倒数 2 押题猜想二 科学记数法：大数 / 小数的标准表示（a×10ⁿ） 3 押题猜想三 整式运算：合并同类项、幂的运算、乘除法则 4 押题猜想四 因式分解：提公因式法、公式法 6 押题猜想五 函数自变量范围：分母≠0、二次根式≥0 7 押题猜想六 平行线性质：同位角 / 内错角 / 同旁内角求角度 9 押题猜想七 轴对称 / 中心对称：图形与汉字识别 11 押题猜想八 三视图：判断几何体（圆柱、长方体、圆锥） 13 押题猜想九 多边形内角和：(n−2)×180° 15 押题猜想十 统计量：众数、中位数、平均数、方差 17 押题猜想十一 概率计算：树状图 / 列表法求两步概率 20 押题猜想十二 反比例函数：点在图象上求 k 值 23 押题猜想十三 三角形基础：中位线、等腰 / 等边性质 25 押题猜想十四 数式规律 28 押题猜想十五 圆基础：圆周角定理、直径所对圆周角 = 90° 30 押题猜想十六 锐角三角函数：正弦、余弦、正切定义与特殊值 33 押题猜想十七 实数混合运算：零指数、负指数、绝对值、根式 36 押题猜想十八 全等三角形的证明 37 押题猜想十九 方程应用：分式方程、一元二次方程 40 押题猜想二十 特殊四边形：矩形、菱形判定与面积计算 43 押题猜想二十一 二次函数的综合应用：代数证明 48 押题猜想二十二 综合压轴：圆切线证明 54 押题猜想一 有理数基础：正负数、相反数、绝对值、倒数 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【详解】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，有理数基础多以试卷第 1 道选择题呈现，属于必考送分考点，主要考查正负数表示相反意义的量、相反数、绝对值、倒数四类基础概念，命题常结合温度、收支、方向等生活实际情境，侧重对有理数基本意义的理解与简单应用，整体难度极低，考点稳定且连续多年无变化，是全卷最基础、得分率最高的知识点。 终极猜想·精练通关 1．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”．如果气温为“零上”记作“”，那么气温“”可表示为（    ） A．零上 B．零下 C．上升 D．下降 【答案】B 【详解】解：∵“零上”记作“”， ∴“”可表示为零下． 2．魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”；若规定向东走记作正数，向西走记作负数，如向东走300米记作米，则向西走800米可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：∵向东走记作正数，向西走记作负数， ∴向西走800米可记作米． 3．2026年是马年，春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，2026的相反数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数， ∴2026的相反数是． 故选：B． 4．的绝对值是（   ） A． B． C．2026 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 5．的倒数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倒数的概念计算即可得到结果． 【详解】解：乘积为的两个数互为倒数， 故的倒数为． 押题猜想二 科学记数法：大数 / 小数的标准表示（a×10ⁿ） 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】2026年2月15日至23日，云南省共接待游客52931400人次．数据52931400用科学记数法可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵原数 共有8位整数， ∴， ， ∴． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，科学记数法多以试卷前 3 道选择题呈现，属于每年必考的基础考点，主要考查大数或小数的标准形式a×10ⁿ的正确书写，重点围绕确定 a 的取值范围与 n 的指数展开，命题常以地区数据、社会热点、生活场景为背景，考点单一、考法稳定，侧重基础运算与规范表达，整体难度极低，是全卷必须稳拿分的高频知识点。 终极猜想·精练通关 1．2026年是中国航天的“月球年”，计划实施嫦娥七号任务，目标是实现月球南极的着陆与勘查．嫦娥七号探测器从地球发射后，将进入地月转移轨道，全程约为384000千米，其中384000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ∵将384000的小数点向左移动5位可得到3.84， ∴. 2．中国天宫空间站是由我国自主建造的国家级太空实验室，它的运行轨道距地面约为401000m．用科学记数法表示401000是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：401000用科学记数法表示为． 故选：C． 11．“一丝一粟，来处不易”是中国民间谚语，一粒粟的重量非常轻，大约为千克，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：科学记数法表示绝对值小于的数的形式为，要求 ，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数（包含小数点前的零）， ∵左起第一个非零数字为，其前面共有个零，且满足， ∴． 12．中国科学院理化技术研究所最新研发的3D微纳机器人，尺寸在40微米（米）左右，比头发丝的直径还要小，却能像机械手一样完成抓取、运输和释放颗粒/细胞的精密任务．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 数据中，左起第一个非零数字为，其前方共有个零，且满足， ∴ ． 押题猜想三 整式运算：合并同类项、幂的运算、乘除法则 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、，故此选项正确． B、，故此选项错误． C、，故此选项错误． D、，故此选项错误． 故选：A． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，整式运算多以选择题呈现，属于每年必考基础考点，主要考查合并同类项、同底数幂乘除、积的乘方等基本运算法则，考点清晰、题型固定，侧重对公式法则的准确应用，整体难度低，是全卷必须稳拿分的基础知识点。 终极猜想·精练通关 1.运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意； B、，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故此选项运算错误，不符合题意； B、，故此选项运算错误，不符合题意； C、，故此选项运算正确，符合题意； D、，故此选项运算错误，不符合题意． 3．下列计算中，结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，符合同底数幂相除法则（底数不变，指数相减），故本选项符合题意； B、，但选项结果为，不符合同底数幂相乘法则（底数不变，指数相加），故本选项不符合题意； C、，但选项结果为，符号错误，不符合积的乘方法则（各因数分别乘方），故本选项不符合题意； D、，但选项结果为，不符合幂的乘方法则（底数不变，指数相乘），故本选项不符合题意； 故选：A． 押题猜想四 因式分解：提公因式法、公式法 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】分解因式：__________． 【答案】 【详解】解： 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，因式分解多以填空题呈现，属于每年必考基础考点，主要考查提公因式法、平方差公式及完全平方公式的直接应用，命题形式简洁、步骤固定，侧重对分解步骤的规范书写，整体难度低，是填空部分的高频送分考点。 终极猜想·精练通关 1．因式分解：___________． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 2．分解因式：________________． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 3．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 4．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 押题猜想五 函数自变量范围：分母≠0、二次根式≥0 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】要使分式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵分式有意义时，分母不能为0， ∴， 解得． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，函数自变量取值范围多以选择或填空题呈现，属于高频基础考点，主要考查分式分母不为 0、二次根式被开方数非负两类限制条件，偶尔出现双条件结合考查，侧重对定义域基本规则的理解，整体难度低，得分率稳定。 终极猜想·精练通关 1．若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：要使分式有意义，分母不能等于零，即， 解得， 因此，的取值范围是， 故选：A． 2．要使二次根式有意义，则m的取值可以是（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴m的取值可以是2． 3．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：要使有意义，则，即， 又分母，即， ． 故选：A． 4．式子在实数范围内有意义，的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：D． 押题猜想六 平行线性质：同位角 / 内错角 / 同旁内角求角度 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】如图，直线c与直线a，b分别相交，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 根据两直线平行，内错角相等可得：． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，平行线性质多以选择题呈现，属于每年必考基础考点，主要利用两直线平行时同位角相等、内错角相等、同旁内角互补求角度，命题图形直观、思路单一，侧重角度推导与简单计算，整体难度低，是几何开篇必拿分点。 终极猜想·精练通关 1．如图，已知直线c与直线a、b都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴． 2．如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（    ） A．55° B．105° C．125° D．135° 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．如图，直线，且被直线所截，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 4．如图，直线c与直线a，b都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解；∵， ， 故选：B． 5．如图，已知直线与直线都相交．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选D． 押题猜想七 轴对称 / 中心对称：图形与汉字识别 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】下列4个艺术汉字示意图中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形是轴对称图形，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，轴对称图形多以选择题呈现，属于高频基础考点，主要考查几何图形与汉字的轴对称识别，命题贴近传统文化与生活直观，侧重对对称特征的快速判断，整体难度极低，属于一眼出答案的送分题。 终极猜想·精练通关 1．以下中国知名科技公司的商标中是轴对称图形的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 3．未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 4．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意； D．既不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 押题猜想八 三视图：判断几何体（圆柱、长方体、圆锥） 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】如图是某几何体的三视图，则该几何体是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．三棱锥 【答案】A 【详解】解：根据主视图是三角形，可知圆柱和球体不符合要求，故选项B、C错误，不符合题意； 根据俯视图是圆，可知三棱锥不符合要求，选项D错误，不符合题意； 根据几何体的三视图，圆锥符合要求． 故选：A． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，三视图多以选择题呈现，属于每年必考基础考点，主要通过主视图、左视图、俯视图判断圆柱、长方体、圆锥、球等常见几何体，侧重空间直观想象，考点固定、考法简单，是全卷稳定得分点。 终极猜想·精练通关 1．下列几何体中，主视图是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A的主视图是正方形； 选项B的主视图是三角形； 选项C的主视图是矩形； 选项D的主视图是圆． 故选：B． 2．下列各个几何体，其主视图、左视图、俯视图都相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A选项主视图、左视图、俯视图都是圆，三视图相同，故A符合题意； B选项主视图和左视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，三视图不相同，故B不符合题意； C选项主视图和左视图是长方形，俯视图是圆，三视图不相同，故C不符合题意； D选项主视图和左视图是梯形，俯视图是圆环，三视图不相同，故D不符合题意． 8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体是（    ） A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．球 【答案】B 【详解】解：∵主视图和左视图是长方形， ∴该几何体是柱体， ∵俯视图是三角形， ∴该几何体是三棱柱． 9．如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（   ） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．长方体 【答案】B 【详解】解：根据题意，得这是圆柱的三视图， 故选：B． 押题猜想九 多边形内角和：(n−2)×180° 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵正八边形的边数， ∴正八边形的内角和为， 又∵正八边形的各个内角相等， ∴正八边形的一个内角的度数为 ． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，多边形内角和多以选择或填空题呈现，属于高频基础考点，主要考查利用公式(n−2)×180°直接计算内角和，偶尔涉及已知内角和反求边数，公式单一、计算简单，整体难度低。 终极猜想·精练通关 1．如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据题意，得外角的度数为， 故内角的度数为：； 2．若一个正多边形的每个内角为，则这个多边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正多边形的一个内角是， 该正多边形的一个外角为， 多边形的外角之和为， 边数， ． 故选：B． 3．九边形的内角和等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：九边形的内角和等于：． 故选：B． 4．一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ） A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形 【答案】B 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意得：， 解得， 则这个多边形是九边形． 故选：B 押题猜想十 统计量：众数、中位数、平均数、方差 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】某校九年级（1）班7名选报篮球专项的同学在一次1分钟投篮测试中，成绩如下（单位：个）：4，5，6，7，7，8，9，这组数据的众数、中位数分别是（    ） A．7，5 B．7，7 C．8，5 D．8，7 【答案】B 【详解】解：数据按从小到大排序为：4，5，6，7，7，8，9， ∵ 众数为出现次数最多的数，7出现2次，次数最多， ∴ 众数为7； ∵ 数据个数为7，中位数为第4个数， ∴ 中位数为7， ∴这组数据的众数、中位数分别是7，7． 故选：B． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，统计基础多以选择、填空或简单解答题呈现，属于每年必考考点，集中考查众数、中位数、平均数及扇形统计图的样本估计总体，贴近生活情境，侧重概念理解与简单比例计算，整体难度中等偏低。 终极猜想·精练通关 1．甲、乙、丙三名同学进行立定跳远测试，每人5次立定跳远成绩的平均数都是2.30米，方差分别是，，，则这三名同学立定跳远成绩最稳定的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样稳定 【答案】A 【详解】解：∵， ∴这三名同学立定跳远成绩最稳定的是甲． 2．某中学举办的“唐风宋韵”诗词大赛中，八年级参赛的25名同学的成绩情况如图所示，这些成绩的众数和中位数分别是（    ） A．98，97 B．98，96 C．96，98 D．96，97 【答案】B 【详解】解：由图可知：98出现的次数最多，故众数为98， 按照从大到小的顺序，第13个数据为96，故中位数为96； 故选：B． 3．如图是小明5次射击成绩统计图，则这5次成绩的众数为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：由折线统计图可知，小明5次射击的成绩分别为：8，9，8，10，8， 在这组数据中，8出现了3次， 因此，这5次成绩的众数为8． 4．某校今年共有30名学生参加暑期科技创新营活动，他们的年龄分布如下表： 年龄（岁） 13 14 15 16 人数（人） 9 8 10 3 则这30名同学年龄的中位数和众数分别是（    ） A．14岁和14岁 B．14岁和15岁 C．岁和15岁 D．15岁和16岁 【答案】B 【详解】解：众数：由表可知，15岁有10人，人数最多，故众数为15岁； 由题意可知将数据从小到大排列后，可知第15和第16个数均落在14岁组内，故中位数为岁； 故选：B． 5．某中学开展“阳光体育活动”，为了解同学们对排球，乒乓球，篮球三个项目的活动喜好，以六（一）班全体同学为样本进行统计，并绘制了如下两个统计图，请你结合图中所给出的信息，判断下列说法正确的个数是（　　） （1）六（一）班的总人数为50人； （2）喜欢篮球的学生人数占全班总人数的百分比为； （3）扇形统计图中喜欢乒乓球的学生所在的扇形圆心角的度数为； （4）若该校六年级学生共有500人，则喜欢乒乓球和排球的学生共有350人． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：（1）（人， 六（一班的总人数为50人，（1）正确； （2）（人， 喜欢篮球的学生人数占全班总人数的百分比为，（2）正确； （3）， 扇形统计图中喜欢乒乓球的学生所在的扇形圆心角的度数为，（3）错误； （4）（人， 若该校六年级学生共有500人，则喜欢乒乓球和排球的学生共有400人，（4）错误． 正确的结论有2个． 故选：B. 押题猜想十一 概率计算：树状图 / 列表法求两步概率 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【预测题】为了更好地满足同学们的发展需求，学校开设了丰富多彩的校本课程供学生选修．小刚和小红计划从A“趣味编程”、B“园艺种植”、C“传统剪纸”三门校本课程中分别随机选择一门参加． (1)请用列表法或画树状图法，求出两人所有可能的选择结果； (2)求两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：画树状图如图， 由树状图得，共有9种等可能性结果； （2）解：由树状图可知，两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的有1种情况， ∴两人恰好都选择“趣味编程”这门课程的概率为． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，概率计算多以解答题第 1—2 题呈现，属于每年必考中档考点，主要考查用列表法或树状图计算两步试验的等可能概率，要求步骤规范、结果准确，侧重基本方法应用与过程书写，是中档题中必须拿满分的考点。 终极猜想·精练通关 1．某班级的元旦晚会上，有一个闯关游戏，在一个不透明的口袋中放入3个小球，除颜色外其它都相同，颜色分别是白色、黄色和红色，搅匀后从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个小球． (1)用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果； (2)若规定两次摸出小球的颜色相同，即为过关，求过关的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：画树状图如下： 所有可能出现的结果有9种，分别为：白白、白黄、白红、黄白、黄黄、黄红、红白、红黄、红红； （2）解：由树状图可知，颜色相同的结果数有3种， ∴过关的概率为． 2．如图，有张分别印有版西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净． 现将这张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片．求下列事件发生的概率： (1)第一次取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为_____； (2)用画树状图或列表的方法，求两次取出的张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：第一次从张卡片中取出的卡片图案为“孙悟空”的概率为； （2）解：根据两次取出张卡片，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次取出的张卡片中有张图案为“唐僧”的结果共有7种. ∴两次取出的张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率为． 3．数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________； (2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的是； （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果， ∴小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为． 4．小明在四张卡片的正面分别写下甲骨文字体的文、明、自、由四个字，这四张卡片分别用字母A、B、C、D表示．卡片除正面内容不同外，其余均相同，现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为______； (2)小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求两人抽取卡片上文字恰好能组成“文明”一词的概率． 【答案】(1) (2)树状图见解析，概率为 【详解】（1）解：∵通过卡片上的字，可以看到是文、明、自、由四个字， ∴卡片上的字是文的概率为， 故答案为：； （2）解：画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种，则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为． 押题猜想十二 反比例函数：点在图象上求 k 值 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 故选：B． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，反比例函数多以选择或填空题呈现，属于高频基础考点，主要考查利用图象上点的坐标求比例系数k，核心公式k=xy，直接代入即可，考点清晰、计算简单，整体难度低。 终极猜想·精练通关 1．下列各点中，在反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵反比例函数的图象上点的坐标应满足， A．，，不符合题意； B．，，符合题意； C．，，不符合题意； D．，，不符合题意． ∴点在函数图象上． 故选：B． 2．已知点 ，点 在反比例函数 上，则 的值为（     ） A． B．12 C． D．6 【答案】C 【详解】解：把代入反比例函数， ， 在反比例函数上， ， ， 故选：C 3．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．阴影面积，故选项A不符合题意； B．阴影面积，故选项B符合题意； C．阴影面积，故选项C不符合题意； D．阴影面积，故选项D不符合题意． 4．如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：∵轴，的面积为6， ∴， 由题意， ∴． 故选：B． 5．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 押题猜想十三 三角形基础：中位线、等腰 / 等边性质 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】如图，为测量池塘两端、的距离，小明在池塘外选取了一个点，使得点可以直接到达、，他分别找到、的中点、，并且测得的长为米，则池塘两端、的距离为（   ） A．8米 B．20米 C．25米 D．32米 【答案】D 【详解】解： 、分别为、的中点， 是的中位线， ， 米， （米）． 故选：． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，三角形基础多以选择、填空或简单证明呈现，属于必考基础考点，主要考查三角形中位线性质、等腰 / 等边三角形性质及勾股定理，侧重基本性质应用与简单推导，整体难度中等偏低。 终极猜想·精练通关 1．如图，在中，M，N分别为的中点，则与的面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 根据三角形中位线定理得到，再根据相似三角形的性质定理可得出答案． 【详解】解：∵M，N分别为的中点， ∴， ∴， ∴，即 故选：C． 3．如图，是的中位线，若，则的长为（   ） A．30 B．20 C．15 D．10 【答案】C 【详解】解：是的中位线，， ，，， ． 故选：C． 4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9 【答案】C 【详解】A.∵， ∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； B.∵， ∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； C.∵，， ∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意； D.∵， ∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意； 故选：C. 5．如图，在中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（   ） A．18 B．20 C．26 D．21 【答案】D 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选D． 6．如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【答案】A 过点D作于点E，根据角平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到的距离为2． 故选：A 押题猜想十四 数式规律 试题前瞻·能力先查 限时：2min 【预测题】按一定规律排列的代数式．第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第1个代数式为； 第2个代数式为； 第3个代数式为； 第4个代数式为； 第5个代数式为； ∴第个代数式为． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，数式规律多以选择题后半段或填空题压轴位置呈现，属于每年必考的中档考点，主要考查按一定规律排列的单项式、数列、等式等通用表达式的归纳与推导，常结合符号规律、指数规律、系数规律进行综合判断，侧重观察、归纳、猜想与验证的能力，考点稳定、考法清晰，对学生的逻辑概括与代数式表达能力有一定要求。 终极猜想·精练通关 1．按一定规律排列的多项式：，，，，⋯，第个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵多项式的第一项分别为， ∴第个多项式中的第一项为， ∵多项式中的第二项分别为， ∴第个多项式的第二项为， ∴第个多项式是， 故选：C． 2．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， …， ∴第个代数式是． 故选：C． 3．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 第n个为：； 故选：D． 4．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知：所给的多项式为二项式，第一项的系数都为1，a的指数分别为连续正整数，b的指数为1，常数项为连续正整数， 故第n个多项式为， 故选：B． 5．按一定规律排列的单项式，，，，，，……第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为，观察这列单项式，系数是，…，次数是1，2，3，4，5，6…， ∴第n个单项式的规律是：． 故选：C． 押题猜想十五 圆基础：圆周角定理、直径所对圆周角 = 90° 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】如图，点A、B、C在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵点A、B、C在上，， ∴， 故选：B． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，圆基础多以选择、填空及压轴题第一问呈现，属于每年必考考点，核心考查直径所对圆周角为 90°、同弧所对圆周角相等等基本性质，侧重几何直观与简单角度推导，是几何综合题的入门得分点。 终极猜想·精练通关 1．如图，在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在中，， ∴． 故选：C． 2．如图，是的直径，点在上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， 故选：B． 3．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（   ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【详解】解：连接， 设的半径是寸， ∵弦，垂足为点， 寸， 寸， 寸， ， ， ， ∴直径的长度为寸． 故选：D． 4．如图，是的直径，是的弦，于点，则下列结论不一定正确的是要（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，所以A选项、B选项正确，不符合题意； 只有当垂直平分时，，所以C选项符合题意； ∵、都为圆的半径， ∴，所以D选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．已知的半径为6，点在同一平面内，，则点与的位置关系是（    ） A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法判断 【答案】A 【详解】∵的半径，点到圆的距离， ∴， ∴点在内， 故选：A． 押题猜想十六 锐角三角函数：正弦、余弦、正切定义与特殊值 试题前瞻·能力先查 限时：1min 【预测题】如图，在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：B． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，锐角三角函数多以选择、填空或解直角三角形应用题呈现，属于必考考点，主要考查正弦、余弦、正切的定义及特殊角三角函数值，侧重定义应用与实际测量场景计算，整体难度中等。 终极猜想·精练通关 1．如图，在中，，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，，，， 则， 故选：B． 2．如图，在直角坐标系中，点A坐标是，则的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作轴于，    ∵点A坐标是， ∴ ∴， 故选：B 3．如图，网格图中每个小正方形的边长均为1，的三个顶点在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在中，． 故选：B． 4．如图，的弦，半径，垂足为D，且，则的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 为的中点，， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴， ∴的正弦值等于， 故选：A． 18．估计的值在（   ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】B 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴ 估计的值在3与4之间， 故选：B． 押题猜想十七 实数混合运算：零指数、负指数、绝对值、根式 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【预测题】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，实数混合运算多以解答题第一题呈现，属于每年必考计算题，主要考查零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式与特殊角三角函数，侧重运算顺序与符号准确，是全卷最基础的解答计算题。 终极猜想·精练通关 1．计算： 【答案】 【详解】解： 2．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【详解】 ． 4．计算：． 【答案】3 【详解】解： ． 押题猜想十八 全等三角形的证明 试题前瞻·能力先查 限时：5min 【预测题】已知：如图，平分．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，全等与相似三角形多以证明题或几何综合题呈现，属于必考核心考点，主要考查全等判定（SAS、ASA、AAS、SSS）与相似三角形的判定及对应边成比例，侧重几何推理、步骤规范与导角能力，对逻辑表达要求较高。 终极猜想·精练通关 1．如图，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意得：，， A．若添加，满足边角边，能判定，故该选项不符合题意； B．若添加，满足斜边直角边对应相等，能判定，故该选项不符合题意； C．若添加，满足边边角，不能判定，故该选项符合题意； D．若添加，满足边边边，能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，点是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， ． 3．如图，、相交于点，且．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：， ，， 在和中， ， ， ． 4．如图，，相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：在和中， ， ． 5．某活动小组要测量池塘两端A，B之间的距离，小组成员经过思考、探讨，设计了如下方案：如图，先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B．连接并延长到点E，使，连接并延长到点D，使，连接，量得的长为，求池塘两端A，B之间的距离． 【答案】 【详解】解：在和中， ， ． ， 即池塘两端，的距离是． 押题猜想十九 方程应用：分式方程、一元二次方程 试题前瞻·能力先查 限时：6min 【预测题】为防止水土流失，某村计划在荒坡上种1200棵树．由于志愿者支援，每天种植的棵树是原计划的2倍，结果提前10天完成任务．设原计划每天种植x棵树，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵原计划每天种植x棵树，总种植棵数为1200棵， ∴原计划完成任务的天数为， ∵实际每天种植的棵数是原计划的2倍， ∴实际每天种植棵，实际完成任务的天数为， ∵实际比原计划提前10天完成任务，即原计划天数比实际天数多10， ∴列方程得， 因此正确选项为B． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，方程与实际应用多以解答题中档位置呈现，属于每年必考核心考点，主要考查分式方程、一元二次方程增长率问题，涉及行程、工程、价格等生活情境，强调列式正确与分式方程检验，对建模能力有一定要求。 终极猜想·精练通关 1．人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵设甲组平均每人制作张，甲组每位成员平均制作比乙组多张， ∴乙组平均每人制作张． ∵两个小组人数相同，且 ∴甲组人数为，乙组人数为． 可得方程． 2．某场比赛采用单循环制（即每两支球队都要比赛一场），若共有支球队进行了21场比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵每支球队需与其他支球队各赛一场，且每场比赛会被两支球队各计算一次，存在重复， ∴单循环比赛的总场数为， 又∵已知总比赛场数为21， ∴可列方程为， 故选：D． 3．某校组织学生乘汽车去三星堆博物馆开展研学实践活动，路途有两种方案选择： 方案一：省道 方案二：高速公路 路程 优缺点分析 路途短；但路上货车多，影响 速度，用时比方案二多分钟． 路途长；但是速度快，平 均速度是方案一的倍 问：方案二需要的时间是多少分钟？ 【答案】方案二需要的时间为分钟． 【详解】解：设方案二需要的时间为分钟，则方案一需要的时间为，列方程得 ， 方程两边乘，得，， 解得：， 检验：当时，， 原分式方程的解为：， 答：方案二需要的时间为78分钟． 4．请你根据下列素材，完成有关任务， 背景 某文具店计划购进A，B两种品牌的笔袋． 素材一 A品牌笔袋每个进价比B品牌多5元； 素材二 2个A品牌和3个B品牌笔袋共需85元． 请完成下列任务： (1)求A，B两种品牌笔袋的每个进价； (2)该店计划购进两种品牌笔袋共40个，总进价不超过700元，且A品牌笔袋的数量不少于B品牌的一半，求共有几种进货方案． 【答案】(1)A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元 (2)7 【详解】（1）解：设A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为x元，y元， 根据题意得， 解得 答：A，B两种品牌笔袋的每个进价分别为20元，15元； （2）解：设该店计划购进A品牌笔袋m个，则购进B品牌笔袋个， 根据题意得， 解得 ∴，15，16，17，18，19，20 ∴共有7种进货方案． 5．根据以下素材，探索完成任务． 如何购买保洁物品 素材1 某学校需要增加保洁物品的库存量，因经费问题，计划用不超过720元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的2倍，扫把簸箕套装不少于50套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需33元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需48元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为3元，扫把簸箕套装的单价为12元；任务2：两种方案下，均能购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾 【详解】任务1： 解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得： 解得 答：毛巾单价为3元，扫把簸箕套装的单价为12元． 任务2： 解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一：， 解得， 由题意得， ∴， ∴； 方案二：， 解得， 由题意得， ∴， ∴； 答：两种方案下，均能购买50套扫把簸箕套装和100条毛巾． 押题猜想二十 特殊四边形：矩形、菱形判定与面积计算 试题前瞻·能力先查 限时：10min 【预测题】如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ， 在中， ． 即的长是． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，特殊四边形多以填空或解答题中档位置呈现，属于高频核心考点，主要考查矩形、菱形的判定与性质，重点涉及菱形面积等于对角线乘积一半，侧重几何推理与基础计算，对几何规范表达有一定要求。 终极猜想·精练通关 1．如图，在中，，的平分线交于点，交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 又 ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）四边形是菱形， ，，，， ， ， 菱形的面积； ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ． 2．如图，在四边形中，，，对角线交于点平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)4 【详解】（1）解：证明：， ． 为的平分线， ， ， ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是菱形． （2）解：四边形是菱形， ． ， ． ， ， 菱形的面积为． 故答案为：4． 3．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∴． 4．在学习“特殊平行四边形”时，小郑进行了这样的操作：在平行四边形，作线段的垂直平分线，分别交，，于点M，O，N，连接，，得到四边形． (1)请你判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； （2）解：由（1）得：，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴菱形的面积 押题猜想二十一 二次函数的综合应用：代数证明 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【预测题】．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点、，其中是实数． (1)求、之间的数量关系； (2)已知该二次函数的最大值为，且，求该二次函数的表达式； (3)在（2）的条件下，若、是该函数图象上的两个不同点，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点、， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，对称轴为， ∵， ∴当时，值最大为， 解得或（舍去）； ∴， ∴； （3）证明：由题意，是方程，即的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，二次函数综合应用之代数证明多以试卷最后一道解答题的压轴小问呈现，属于全卷高频难点考点，主要结合二次函数解析式、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点等性质展开代数推导与等式 / 不等式证明，同时会综合考查代数式化简、配方、恒等变形、方程根的关系等知识点，命题侧重逻辑推理、严谨计算与代数结构分析，对学生的代数运算能力、式子变形能力与综合论证能力要求极高。 终极猜想·精练通关 1．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)已知点，在抛物线上．对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 【详解】（1）解：根据抛物线的解析式可得抛物线对称轴为直线． （2）解：∵点，是抛物线上的两点，， ， 又 ∵， ， 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ， ； 当时， 又 ∵， ， ， ， 又 ∵， ∴； 综上所述，a的取值范围是或． 2．已知抛物线经过点，设t是抛物线与x轴交点的横坐标． (1)求c的值； (2)设，请比较m与的大小． 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴； （2）解：∵ ∴抛物线 ∵t是抛物线与x轴交点的横坐标， ∴当时，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 解，得，． 当时，， ∵， ∴； 当时，， ∴， ∴． 3．已知抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的解析式． (2)若k是抛物线与x轴任一交点的横坐标，，求M的值． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）∵抛物线经过，两点， ，解得， ； （2）， 令，则，解得或， 是抛物线与x轴交点的横坐标，， ， ， 当时，； 当时，， ． 综上所述，M的值为． 4．已知二次函数的图像经过点． (1)求的值． (2)当时，函数有最大值和最小值．若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得：. （2）解：∵， ∴二次函数为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数的最小值， ∵， 当时，函数有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，经检验符合题意. 5．已知抛物线经过点，与y轴交于点A，其顶点为B．设k是抛物线与x轴交点的横坐标，． (1)求的面积： (2)求代数式的值． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：将点代入中， 得， 解得， 抛物线的解析式； 如图， 由（1）知抛物线的表达式为， 将代入中，得， ∴点， ∴． ∵顶点的横坐标为， ∴， ∴． （2）解：∵k是抛物线与轴交点的横坐标， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． ∴ ． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 押题猜想二十二 综合压轴：圆切线证明 试题前瞻·能力先查 限时：15min 【预测题】如图，在中，，平分交于点，点是上一点，以为圆心，长为直径的交于点，且经过点，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线； (3)探究，发现与证明：已知点F在上，且，连接，，且交于点，是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在常数，，理由见解析． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分交于点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴. （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，连接，在上取点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为， 则：，，， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，时，等式成立． 分析有理·押题有据 从近五年云南中考命题情况来看，综合压轴多以试卷最后 1—2 道大题呈现，属于全卷难度最高的区分度考点，主要围绕圆的切线证明、二次函数综合、最优方案类问题展开，常结合切线判定、函数最值、不等式范围、相似三角形等多个知识点，对学生的综合分析、数形结合与分类讨论能力要求最高。 终极猜想·精练通关 1．如图，是的内接三角形，为的直径，，点在上．平分，连接，，，是延长线上一点，连接，，过点作于点，． (1)求证：是的切线； (2)求的长： (3)探究：是否存在常数，使等式成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴； （3）解：如图，延长至使得，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵四点共圆， ∴， ∵， ∴， 由（2）得，， 又∵， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴存在常数，使等式成立． 2．如图，内接于，的平分线与交于点，连接，过点作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)探究、发现与证明：是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)，证明见解析． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）证明：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是的切线； （3）解：当时，等式成立．证明如下： 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，， 则，， ， ∴， ∵， ∴ 即：， 要使等式成立，取值与、、无关，则，，， ∴． 3．如图所示，是的外接圆，为的直径，，点是上的一个动点，不与点，重合，连接，，，过点作，． (1)求的度数． (2)求证：是的切线． (3)看一看，想一想，证一证：以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)正确，见解析 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵， ∴． （2）证明：如图①所示，连接， ∵， ∴， ∵为的直径，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （3）解：正确．理由如下： 如图②所示，过点作于点，交的延长线于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 4．如图，为⊙的直径，P为延长线上的点，，垂足为E，连接，，，F是线段上一点，若平分，与线段交于点H． (1)若，求的度数； (2)求证：为⊙的切线； (3)若，，看一看，想一想，证一证：以下与线段、有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)正确，见解析 【详解】（1）解：如图，连接， ，为的直径， ， ， ，， ； （2）解： ，，， ∽， ， ， ， ， 又 为半径， 与相切； （3）解：正确结论为：． 理由如下： 过作于点， ， ， ， 又 ， ， 又 平分， ∴∽， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 28 / 87 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null