专题09 三角形（云南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 三角形 一、考点01 全等三角形的判定 1．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明；在和中， ， ∴． 2．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．利用“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ． 3．（2023·云南·中考真题）如图，是的中点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据是的中点，得到，再利用证明两个三角形全等． 【详解】证明：是的中点， ， 在和中， ， 【点睛】本题考查了线段中点，三角形全等的判定，其中对三角形判定条件的确定是解决本题的关键． 4．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（    ） A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE 【答案】D 【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果． 【详解】解：∵OB平分∠AOC ∴∠AOB=∠BOC 当△DOE≌△FOE时，可得以下结论： OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF． A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确； B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确； C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确； D答案中，若∠ODE=∠OFE， 在△DOE和△FOE中， ∴△DOE≌△FOE（AAS） ∴D答案正确． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键． 5．（2021·云南·中考真题）如图，在四边形中，与相交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】直接利用SSS证明△ACD≌△BDC，即可证明． 【详解】解：在△ACD和△BDC中， ， ∴△ACD≌△BDC（SSS）， ∴∠DAC=∠CBD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意灵活运用SSS的方法． 二、考点02 等腰三角形的性质和判定 6．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 由等腰三角形“三线合一”得到平分，再角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解： 如图， ∵是等腰底边上的高， ∴平分， ∴点F到直线，的距离相等， ∵点到直线的距离为3， ∴点到直线的距离为3． 故选：C． 7．（2021·云南·中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，证明△AOB≌△AOC，得到∠BAO=∠CAO=30°，得到∠BOD，再利用弧长公式计算． 【详解】解：连接OB，OC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BOC=2∠BAC=120°， 又∵AB=AC，OB=OC，OA=OA， ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO=∠CAO=30°， ∴∠BOD=60°， ∴劣弧BD的长为=π， 故选B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是求出圆心角∠BOD的度数． 8．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 ． 【答案】40°或100° 【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 9．（2021·云南·中考真题）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为 ． 【答案】3或或或 【分析】将△ABC放入正方形中，分∠ABC=90°，∠BAC=90°，再分别分AB=BC=6，AC=6，进行解答． 【详解】解：∵△ABC三个顶点都是同一个正方形的顶点， 如图，若∠ABC=90°， 则∠ABC的平分线为正方形ABCD的对角线，D为对角线交点， 过点D作DF⊥AB，垂足为F， 当AB=BC=6， 则DF=BC=3； 当AC=6， 则AB=BC==， ∴DF=BC=； 如图，若∠BAC=90°，过点D作DF⊥BC于F， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD，AD=DF， 又∠BAD=∠BFD=90°，BD=BD， ∴△BAD≌△BFD（AAS）， ∴AB=BF， 当AB=AC=6， 则BC=， ∴BF=6，CF=， 在正方形ABEC中，∠ACB=45°， ∴△CDF是等腰直角三角形，则CF=DF=AD=； 当BC=6， 则AB=AC==， 同理可得：， 综上：点D到直线AB的距离为：3或或或， 故答案为：3或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，知识点较多，解题时要结合题意画出符合题意的图形，分情况解答． 三、考点03 用勾股定理解直角三角形 10．（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 11．（2023·云南·中考真题）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的面积等于，求平行线与间的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再证，从而四边形是平行四边形，又，于是四边形是菱形； （2）连接，先求得，再证，，于是有，得，再证，从而根据面积公式即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于， ∴， ∴平行线与间的距离． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离，熟练掌握平行四边形的判定及性质，菱形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键． 12．（2022·云南·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° (1)求证：四边形ABDF是矩形； (2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 【答案】(1)见解析； (2)18． 【分析】（1）根据平行四边形的性质及全等三角形的判定证得≌，即可得到AB=DF，从而证明四边形ABDF是平行四边形，再根据∠BDF=90°即可证明四边形ABDF是矩形； （2）根据全等的性质、矩形性质及勾股定理得到AB=DF=3，AF=4，由平行四边形性质求得CF=6，最后利用梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，即AB∥CF， ∴∠BAE=∠FDE， ∵E为线段AD的中点， ∴AE=DE， 又∵∠AEB=∠DEF， ∴≌（ASA）， ∴AB=DF， 又∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDF=90°， ∴四边形ABDF是矩形； （2）解：由（1）知，四边形ABDF是矩形， ∴AB=DF=3，∠AFD=90°， ∴在中，， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=3， ∴CF=CD+DF=3+3=6， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握各性质及判定定理进行推理是解题的关键． 13．（2021·云南·中考真题）在中，，若，则的长是（    ） A． B． C．60 D．80 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义得到BC和AC的比值，求出BC，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵∠ABC=90°，sin∠A==，AC=100， ∴BC=100×3÷5=60， ∴AB==80， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 四、考点04 相似三角形的性质和判定 14．（2025·云南·中考真题）如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 由证，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 15．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)存在常数，，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明是等边三角形即可； （）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证； （）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：如图，延长交于点，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线是的切线； （3）解：存在常数，，使等式成立； 理由如下： 如图，设与交于点， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 得：， ∵， ∴， ∴，． 16．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．    【答案】/0.5 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，根据相似三角形周长之比等于相似比，即可解题． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 17．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切： (3)看一看，想一想，证一证： 以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）直接利用直径所对的圆周角是直角，即可得出结果； （2）证明，得到，根据平角的定义，得到，即可得证； （3）连接，连接交于点，易得，圆周角定理得到，推出，进而得到，根据三角函数推出，得到三点共线，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是的直径，点是上异于、的点， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴直线与相切； （3）我认为：正确，理由如下： 连接，连接交于点，如图，则：， ∴点在线段的中垂线上， ∵， ∴点在线段的中垂线上， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 18．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．    (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求常数的值． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）与相切，理由如下：连接，先证得，又证，进而有，于是即可得与相切； （2）先求得，再证，得，从而有，又，即可得解． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 连接，    ∵是的直径，直线与垂直， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与相切； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定以及勾股定理等知识是解题的关键． 19．（2022·云南·中考真题）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可． 【详解】解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点， ∴， 又∵， ∴，相似比为， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20．（2022·云南·中考真题）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE． (1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得，当P既不与C重合也不与B重合时，是否成立？请证明你的结论． 【答案】(1)DE是⊙O的切线，证明见解析； (2)成立，证明见解析 【分析】（1）证明△BDC∽△BED，推出∠BCD=∠BDE=90°，即可证明DE是⊙O的切线； （2）延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC= PA+AQ=PQ，证明△QAD≌△PCD(SAS)，再推出△PQD是等腰直角三角形，即可证明结论成立． 【详解】（1）解：DE是⊙O的切线；理由如下： ∵BD²=BC⋅BE， ∴， ∵∠CBD=∠DBE， ∴△BDC∽△BED， ∴∠BCD=∠BDE， ∵BD为⊙O的直径， ∴∠BCD=90°， ∴∠BDE=90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：当P既不与C重合也不与B重合时，成立，理由如下： 延长PA至Q，使AQ=CP，则PA+PC= PA+AQ=PQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠ADC=90°， ∵四边形APCD是圆内接四边形， ∴∠PAD+∠PCD=180°， ∵∠QAD+∠PAD=180°， ∴∠QAD=∠PCD， ∴△QAD≌△PCD(SAS)， ∴∠QDA=∠PDC，QD=PD， ∴∠QDA+∠PDA =∠PDC+∠PDA=90°， ∴△PQD是等腰直角三角形， ∴PQ=PD，即PA+PC=PD， ∴成立． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 21．（2021·云南·中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是 ． 【答案】9 【分析】根据中位线定理得到DE=AB，DE∥AB，从而证明△DEF∽△ABF，得到，求出EF，可得BE． 【详解】解：∵点D，E分别为BC和AC中点， ∴DE=AB，DE∥AB， ∴△DEF∽△ABF， ∴， ∵BF=6， ∴EF=3， ∴BE=6+3=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF∽△ABF． 22．（2021·云南·中考真题）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线； （2）根据已知得到OA=2DA，证明△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长． 【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的圆周角， ∴∠ACB=90°， ∵OC，OB是圆O的半径， ∴OC=OB， ∴∠OCB=∠ABC， 又∵∠DCA=∠ABC， ∴∠DCA=∠OCB， ∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°， ∴OC⊥DC， 又∵OC是圆O的半径， ∴DC是圆O的切线； （2）∵， ∴，化简得OA=2DA， 由（1）知，∠DCO=90°， ∵BE⊥DC，即∠DEB=90°， ∴∠DCO=∠DEB， ∴OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴，即， ∴DA=EB， ∵BE=3， ∴DA=EB=， 经检验：DA=是分式方程的解， ∴DA=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键． 23．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定等知识，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理及全等三角形的判定依次判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴，选项正确，不符合题意； B、∵，平分， ∴，选项正确，不符合题意； C、根据题意得：，选项错误，符合题意； D、平分， ， ∵， ，选项正确，不符合题意； 故选：C． 24．（2025·云南玉溪·一模）如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，根据垂径定理由得到，再根据勾股定理计算出． 【详解】解：， ， 直径， ， 在中，， 故选：B． 25．（2025·云南玉溪·一模）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据勾股定理可得的长，再根据正切的定义即可得答案． 【详解】解：由勾股定理，得， ∴． 故选：C． 26．（2025·云南昆明·三模）若是等腰底边上的中线，点H到直线的距离为，则点H到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了三线合一，角平分线的性质． 根据三线合一得到平分，根据角平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰底边上的中线， ∴平分， ∴点H到直线的距离=点H到直线的距离， 故选：A． 27．（2025·云南昆明·三模）如图，四边形是平行四边形，，垂足为E，延长至点F，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）利用面积法求出，再利用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ， ，即． 延长至点， ，． 四边形是平行四边形． ，垂足为， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是平行四边形，， ． 在中，有，即． 是直角三角形，． ，即， 解得，． 在中，． 的长为． 28．（2025·云南临沧·一模）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握平行四边形，矩形的判定和性质是关键． （1）根据平行四边形的判定和性质求解即可； （2）根据题意得到是等边三角形，平行四边形是矩形，由勾股定理得到，结合矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，即， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ，， 平行四边形是矩形， ， ， ． 29．（2025·云南临沧·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用角平分线的定义，圆周角定理和垂径定理得到，利用平行线的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用等腰三角形的性质定理，圆周角定理和平行线的判定定理得到，再利用平行四边形的判定定理解答即可； （3）连接与交于点H，利用垂径定理得到，利用三角形的中位线定理得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，再利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图， 平分， ， ， ， ． 为的半径， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3）解：连接，与交于点，如图， 的半径为， ，． 是的直径， ， ． 由（1）知：， ， ，， 为的中位线， ， ． ， ， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，垂径定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的关键． 30．（2025·云南昆明·三模）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，平行线的性质，理解全等三角形的判定是解答关键． 根据题意易得，由平行线的性质得到，然后利用判定三角形全等的“”来求解． 【详解】证明：， ， 即． ， 在和中， ． 31．（2025·云南昆明·三模）如图，为⊙的直径，P为延长线上的点，，垂足为E，连接，，，F是线段上一点，若平分，与线段交于点H． (1)若，求的度数； (2)求证：为⊙的切线； (3)若，，看一看，想一想，证一证：以下与线段、有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)正确，见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得，进而求解； （2）由题易得∽，进而可证，据此得证； （3）过作于点，易证∽，得，，所以，可得，进而利用勾股定理可得的长，解直角三角形可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ，为的直径， ， ， ，， ； （2）解：，，， ∽， ， ， ， ， 又为半径， 与相切； （3）解：正确结论为：． 理由如下： 过作于点， ， ， ， 又， ， 又平分， ∴∽， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ． 32．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，选项错误； B、，能构成直角三角形，选项错误； C、，能构成直角三角形，选项错误； D、，不能构成直角三角形，选项正确； 故选：D． 33．（2025·云南·模拟预测）某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，即可解题． 【详解】解：将三角形空地分成面积相等的两部分， 是的中线； 故选：B． 34．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三线合一，勾股定理的计算，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，过点作于点，，是等腰三角形，，根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小， ∴， 故选：C ． 35．（2025·云南楚雄·二模）如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角的度数为，则n的值是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据已知条件和三角形内角和定理得出，根据正多边形的每个外角相等即可得出，再根据多边形的外角和即可求出这个正多边形的边数．本题考查了三角形内角和定理，正多边形的内角与外角，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得， ， ， 正多边形每个外角都相等， ， 正多边形的外角和是， 它的边数为：， 即， 故选：D 36．（2025·云南文山·模拟预测）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积求解，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 先根据勾股定理求出底面半径，再由圆锥的侧面积公式（为底面圆半径，为母线）求解即可． 【详解】解：∵高与底面垂直， ∴高，母线，半径组成的三角形的是直角三角形， ∴底面半径为：， ∴圆锥的侧面积为， 故选：D． 37．（2025·云南楚雄·三模）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据勾股定理得，根据勾股定理逆定理得出，再求出扇形面积即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴，， ∴， ∴， ∴这个圆锥的侧面积是． 故选：D． 38．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．32 D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形面积，掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的对角线相等且互相平分，可得，根据勾股定理可得，可求得矩形的面积，即得． 【详解】四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴的面积为． 故选：C． 39．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，先根据圆周角定理可得，再根据直角三角形两个锐角互余得出，再根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵， ， ， ， 故选：C． 40．（2025·云南·模拟预测）如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得，再结合等边对等角，三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C 41．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 根据三角形外角的性质可得，再由平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C 42．（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴, ∴， 故选：D． 43．（2025·云南·模拟预测）如图所示，平分，于点 C，于点 D，若，则（    ） A．2 B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据角平分线的性质即可得到，从而得到答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 44．（2025·云南楚雄·三模）如图，在中，平分，，于点F，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质、三线合一等知识点，灵活运用角平分线的想定理是解题的关键． 如图：过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由三线合一可得，利用勾股定理求出，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 故选：B． 45．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，D，E分别为线段，的中点，设的周长为，的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意得到是的中位线，得到，易证，得到相似比为，再根据两个相似三角形的周长比等于相似比，据此解题即可． 【详解】解：∵D，E分别为线段，的中点， 是的中位线， ， ， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， 故选：D． 46．（2025·云南临沧·一模）如图，已知与关于点位似，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据题意可得与的位似比为，即可求解． 【详解】解：与关于点位似， ， ， 故选：C． 47．（2025·云南昆明·三模）如图，已知D，E分别是的，边上的点，，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，由，证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， 故选：C． 48．（2025·云南昆明·三模）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于为半径面弧，交于，两点，作直线，在上取点（点不在线段上），连接，，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是尺规作图作垂直平分线、垂直平分线的性质、解直角三角形的相关计算，解题关键是熟练掌握尺规作图作垂直平分线． 由题意得出直线是线段的垂直平分线，即可推出，由解直角三角形的相关计算即可得解． 【详解】解：依题得：直线是线段的垂直平分线， ， ． 故答案为：． 49．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合的周长为，，即可得出 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵，，的周长为， ∴ ∴， 故答案为：． 50．（2025·云南玉溪·三模）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小帽子．若圆锥的高为，底面圆的半径为．为了使帽子更美观，侧面全部需要涂上颜色，则需涂颜色的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了圆锥的有关计算，勾股定理，解答本题的关键是运用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2的公式，先由勾股定理求出母线，再把相应数值代入即可求解． 【详解】解：由题意得，母线长为， ∴需涂颜色的面积为：， 故答案为：． 51．（2025·云南昆明·三模）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4.5 【分析】（1）先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，根据等角对等边得到，即，可证明四边形是平行四边形，进而根据菱形的判定可得结论； （2）根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据勾股定理求得，设，在中，利用勾股定理列方程求得即可． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ，又， ，且， 四边形是平行四边形，又， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形； ，， 又， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ，解得：， 的长为4.5． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． 52．（2025·云南昆明·三模）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接、和，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，求矩形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形的面积，理解平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质，三角形的面积公式，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）根据平行四边形性质得，，，再根据得，由此可判定四边形是平行四边形，然后根据得，据此可得平行四边形是矩形； （2）设，，则，矩形的周长为，根据得，根据得，则，由此得，继而可得出矩形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 平行四边形是矩形； （2）解：设，， ， 矩形的周长为：， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ， ，不合题意，舍去， ， 即矩形的周长是． 53．（2025·云南昆明·三模）已知：如图，B，C，F，D在同一直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定、平行线的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据即可证明结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ． 54．（2025·云南昆明·三模）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，平分，点在上，___________． 求证：___________． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合题意补全已知和求证，证明，由全等三角形的性质可证明结论． 【详解】已知：如图，平分，点在上， ，，垂足分别为点，． 求证：． 证明：∵，， ∴； ∵在和中， ， ∴， ∴． 55．（2025·云南昭通·二模）如图，菱形的对角线与相交于点，延长至点，使．分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由菱形的性质结合作图证明，则．再证明，则．可得四边形是平行四边形，进一步可得结论； （2）由（1）知，，．可得，则．求解，可得．结合四边形是矩形，再利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）证明：在菱形中，， ，， 是菱形的对角线， ． 由题知，，则， 结合作图可得：平分， ， ，则． ， ． 是菱形的对角线， ． ，则． ∴四边形是平行四边形． 菱形的对角线与相交于点， ， 四边形是矩形． （2）解：由（1）知，，． 在菱形中，， ，则． 在Rt中，， ． 四边形是矩形， ． 在Rt中，． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，熟记矩形的判定与性质是解本题的关键． 56．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，四边形是菱形，分别延长和到点D和A，使得，，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形的周长为，面积为，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练运用菱形与矩形的性质是解题的关键． （1）由，得到四边形是平行四边形，再由菱形的邻边线段得到，进而有，即可得证； （2）由菱形的性质得到．根据矩形的周长与面积，结合勾股定理求得，进而在中，由勾股定理求出，即可解答． 【详解】（1）证明：， ∴，四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴是矩形． （2）解：∵四边形是菱形， ． ． 矩形的周长为， ， 矩形的面积为， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 57．（2025·云南楚雄·三模）如图，在中，点D，F分别为边，的中点．延长到点E，使，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点为边的中点，得，证明，推出，即可得出结论，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 58．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，E，F是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 59．（2025·云南·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，平行四边形的面积为，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键． （）证明可得，进而可得四边形是平行四边形，再由即可求证； （）由平行四边形的性质可得，由三线合一可得，再根据平行四边形的面积可得，进而由勾股定理得，又可得为的中位线，最后利用三角形中位线的性质即可求解； 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形的面积为， ， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 四边形是平行四边形，交于点， 为中点， ， 为中点， 为的中位线， ． 60．（2025·云南昆明·模拟预测）自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一，如图1，已知为的直径，过点A作，使得，连接交于D，过点D作于E，且，以为直角边构造直角三角形，，． (1)求线段的长． (2)证明：为的切线． (3)如图2，若P为弧上一个动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先证明为等腰直角三角形，得到，再根据三角函数，解得，即可解答． （2）连接、，由是的直径，得到，再由等腰三角形的性质得到是的边的中线，再根据为的中点，得到 ，再由垂直定理得到，即可解答． （3）如图，连接、，在上取一点，使，连接，根据（1）得、、三点共线，在由，，得到且，证得，再由相似三角形的性质得到，过点作，垂直为，由三角函数， ，，得到，，，再根据勾股定，得，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，，， ， （2）如图，连接、， 是的直径， ， ， 又为等腰三角形， 是的边的中线，即， 又为的中点， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线 （3）如图，连接、，在上取一点，使，连接， 由（1）知，且， ， 、、三点共线， ，，则， ， ， 在中，， ， ， 且， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取最小值， 过点作，垂直为， 在中，， 则在中，，， ∴，，， ∴， ， 的最小值即为． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合应用，等腰三角形的判断与性质，切线的定理，三角函数，垂直定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 61．（2025·云南·模拟预测）已知为的直径，为上两点，连接为外延长线上一点，连接． (1)如图1，若，求证：直线是的切线； (2)如图2，连接，若时，是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，若平分时，延长交于点，当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）首先由直径得到，然后等量代换得到，即可得到，进而证明直线是的切线； （2）如图，在的延长线上截取，连接，证明出和为等腰直角三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可； （3）如图，连接，根据题意，平分，则，证明出，得到，证明出，得到，然后求出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：为的直径， ， ∴， ， ∴， ， ． 又为的半径， 直线是的切线； （2）解：如图，在的延长线上截取，连接． 为的直径， ． 又， 和为等腰直角三角形， ． ，即． 又， ， ， ∴， 又， ，即． 故存在常数，使得； （3）解：如图，连接． 根据题意，平分，则． ， ， 又∵， ， ．即． 根据（1）证明过程可知，，故． ， ，即． ． 把代入， 解得． 【点睛】此题考查了切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 62．（2025·浙江·三模）如图，内接于，，是的中点，连结，过点作于，交于，过点作于． (1)若，求的大小． (2)若，求的值． (3)求证：． 【答案】(1)的度数是 (2)的值为 (3)证明见解析 【分析】（1）由，求得； （2）由是的中点，得，由于于点，得，则，推导出，由，得，再证明，由，得，求得，则； （3）由，得，而，所以，则． 【详解】（1）解：， ， 的度数是． （2）解：是的中点， ， 于于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 或（不符合题意，舍去）， ， 的值为． （3）证明：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，推导出及是解题的关键． 63．（2025·云南昆明·三模）如图，是的直径，是的弦（不是直径），过点B的直线交的延长线于点E，点D为线段的中点，连接，并延长交于点H，交的延长线于点F，．连接，交于点G． (1)求的度数； (2)求证：是的切线： (3)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理解答即可； （2）证明，可得，即可求证； （3）连接，证明，结合，可得，设，则，，然后在中，利用勾股定理可求出的长，再由，可求出，，，在中，利用勾股定理可求出，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：是的半径，点是弦的中点． ， ． （2）证明：， ． ， ． ． ． 是的半径， 是的切线． （3）如图，连接． 是的直径， ． ． ， ． ，即， ． 设，则， ．（为非零常数） 在中，． ，由（2）可得，． ， ， 解得，，（不符合题意，舍去）． ，，． 在中，． 点为线段的中点， ，． ， ，则， 解得． ， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质和判定，解直角三角形圆周角定理，勾股定理等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度． 64．（2025·云南玉溪·二模）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论； （2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论； （3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握圆周角定理和切线的判定，证明三角形相似是解题的关键． 65．（2025·云南·模拟预测）如图1，是的直径，直线与相切于点A，直线与相切于点B，点C（异于点A）在上，点D在上，且，延长与相交于点E，连接并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长与分别相交于点G、H，连接．若，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据等边对等角可知：，再根据切线的性质可知，由切线的判定定理可得结论； （2）连接，根据等边对等角可知，再根据切线的性质可知，由等量减等量差相等得，再根据等角对等边得到，然后根据平行线的性质及对顶角相等可得，推出，由此得出结论； （3）过E点作于L，作交的延长线于J．则四边形是矩形，，根据勾股定理可求出的长，即可求出，可设，则，，再由， 可得，，，从而得到，再证得，即可求出的值． 【详解】（1）证明：如图1中，连接， ∵， ∴， ∵直线与相切于点A， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）证明：如图1中，连接， ∵， ∴， ∵是的切线，是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图2中，过E点作于L，作交的延长线于J．则四边形是矩形，， ∴， ∵是的切线，是的切线，是的切线， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴可设，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 试卷第58页，共74页 试卷第2页，共73页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 三角形 一、考点01 全等三角形的判定 1．（2025·云南·中考真题）如图，与相交于点，．求证：． 2．（2024·云南·中考真题）如图，在和中，，，． 求证：． 3．（2023·云南·中考真题）如图，是的中点，．求证：．    4．（2022·云南·中考真题）如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（    ） A．OD=OE B．OE=OF C．∠ODE =∠OED D．∠ODE=∠OFE 5．（2021·云南·中考真题）如图，在四边形中，与相交于点E．求证：． 二、考点02 等腰三角形的性质和判定 6．（2024·云南·中考真题）已知是等腰底边上的高，若点到直线的距离为3，则点到直线的距离为（   ） A． B．2 C．3 D． 7．（2021·云南·中考真题）如图，等边的三个顶点都在上，是的直径．若，则劣弧的长是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 ． 9．（2021·云南·中考真题）已知的三个顶点都是同一个正方形的顶点，的平分线与线段交于点D．若的一条边长为6，则点D到直线的距离为 ． 三、考点03 用勾股定理解直角三角形 10．（2025·云南·中考真题）如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 11．（2023·云南·中考真题）如图，平行四边形中，分别是的平分线，且分别在边上，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的面积等于，求平行线与间的距离． 12．（2022·云南·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF=90° (1)求证：四边形ABDF是矩形； (2)若AD=5，DF=3，求四边形ABCF的面积S． 13．（2021·云南·中考真题）在中，，若，则的长是（    ） A． B． C．60 D．80 四、考点04 相似三角形的性质和判定 14．（2025·云南·中考真题）如图，在中，已知分别是边上的点，且．若，则（） A． B． C． D． 15．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，． (1)若，且，求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 16．（2024·云南·中考真题）如图，与交于点，且．若，则 ．    17．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点． (1)求的度数； (2)求证：直线与相切： (3)看一看，想一想，证一证： 以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 18．（2023·云南·中考真题）如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．    (1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论； (2)若，求常数的值． 19．（2022·云南·中考真题）如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（    ） A． B． C． D． 20．（2022·云南·中考真题）如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣狐BC上的任意一点，连接PA、PC、PD，延长BC至E，使BD²=BC⋅BE． (1)请判断直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若四边形ABCD是正方形，连接AC，当P与C重合时，或当P与B重合时，把转化为正方形ABCD的有关线段长的比，可得，当P既不与C重合也不与B重合时，是否成立？请证明你的结论． 21．（2021·云南·中考真题）如图，在中，点D，E分别是的中点，与相交于点F，若，则的长是 ． 22．（2021·云南·中考真题）如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上，且，点E在的延长线上，且． （1）求证：是的切线： （2）若，求的长． 23．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，，，平分，下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 24．（2025·云南玉溪·一模）如图，为的直径，弦于点H．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 25．（2025·云南玉溪·一模）如图，在中，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·云南昆明·三模）若是等腰底边上的中线，点H到直线的距离为，则点H到直线的距离为（    ） A． B．2 C．3 D． 27．（2025·云南昆明·三模）如图，四边形是平行四边形，，垂足为E，延长至点F，使，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 28．（2025·云南临沧·一模）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积 29．（2025·云南临沧·一模）如图，是的外接圆，是的直径，平分交于点，连接，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，求证：四边形是平行四边形． (3)设与交于点，若的半径为，，求的长． 30．（2025·云南昆明·三模）如图，，，，求证：． 31．（2025·云南昆明·三模）如图，为⊙的直径，P为延长线上的点，，垂足为E，连接，，，F是线段上一点，若平分，与线段交于点H． (1)若，求的度数； (2)求证：为⊙的切线； (3)若，，看一看，想一想，证一证：以下与线段、有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 32．（2025·云南文山·模拟预测）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（   ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，9，13 33．（2025·云南·模拟预测）某校准备在如图所示的三角形空地上种植花卉，需将其分成面积相等的两块分别种植牡丹和芍药，小敏作出线段来划分，那么是的（   ） A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 34．（24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 35．（2025·云南楚雄·二模）如图，一个正n边形被树叶遮掩了一部分，若直线a，b所夹锐角的度数为，则n的值是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 36．（2025·云南文山·模拟预测）已知一个圆锥的高为，母线长为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 37．（2025·云南楚雄·三模）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 38．（2025·云南楚雄·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点．若，则的面积为（   ） A． B．16 C．32 D． 39．（2025·云南昆明·模拟预测）如图，是的直径，点C，D在上，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．（2025·云南·模拟预测）如图，点A，B，C均在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 42．（2025·云南·模拟预测）如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（    ） A． B． C． D． 43．（2025·云南·模拟预测）如图所示，平分，于点 C，于点 D，若，则（    ） A．2 B． C． D．不能确定 44．（2025·云南楚雄·三模）如图，在中，平分，，于点F，，则的长为（   ） A． B． C． D． 45．（2025·云南昆明·三模）如图，在中，D，E分别为线段，的中点，设的周长为，的周长为，则（    ） A． B． C． D． 46．（2025·云南临沧·一模）如图，已知与关于点位似，则（   ） A． B． C． D． 47．（2025·云南昆明·三模）如图，已知D，E分别是的，边上的点，，且，那么（   ） A． B． C． D． 48．（2025·云南昆明·三模）如图，分别以线段的两个端点为圆心，大于为半径面弧，交于，两点，作直线，在上取点（点不在线段上），连接，，已知，，则的长为 ． 49．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 50．（2025·云南玉溪·三模）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小帽子．若圆锥的高为，底面圆的半径为．为了使帽子更美观，侧面全部需要涂上颜色，则需涂颜色的面积为 ． 51．（2025·云南昆明·三模）如图，中，，过A点作的平行线与的平分线交于点D，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，求的长． 52．（2025·云南昆明·三模）如图，四边形是平行四边形，延长至点，使，连接、和，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知，，求矩形的周长． 53．（2025·云南昆明·三模）已知：如图，B，C，F，D在同一直线上，，求证：． 54．（2025·云南昆明·三模）证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，平分，点在上，___________． 求证：___________． 55．（2025·云南昭通·二模）如图，菱形的对角线与相交于点，延长至点，使．分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，连接，求的长． 56．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，四边形是菱形，分别延长和到点D和A，使得，，顺次连接A，B，C，D四点，得到四边形． (1)求证：四边形是矩形； (2)若四边形的周长为，面积为，求菱形的周长． 57．（2025·云南楚雄·三模）如图，在中，点D，F分别为边，的中点．延长到点E，使，连接．求证：． 58．（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，E，F是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，且，求的长． 59．（2025·云南·模拟预测）如图，在平行四边形中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，平行四边形的面积为，求的长度． 60．（2025·云南昆明·模拟预测）自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一，如图1，已知为的直径，过点A作，使得，连接交于D，过点D作于E，且，以为直角边构造直角三角形，，． (1)求线段的长． (2)证明：为的切线． (3)如图2，若P为弧上一个动点，连接，，求的最小值． 61．（2025·云南·模拟预测）已知为的直径，为上两点，连接为外延长线上一点，连接． (1)如图1，若，求证：直线是的切线； (2)如图2，连接，若时，是否存在常数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，若平分时，延长交于点，当，求的长． 62．（2025·浙江·三模）如图，内接于，，是的中点，连结，过点作于，交于，过点作于． (1)若，求的大小． (2)若，求的值． (3)求证：． 63．（2025·云南昆明·三模）如图，是的直径，是的弦（不是直径），过点B的直线交的延长线于点E，点D为线段的中点，连接，并延长交于点H，交的延长线于点F，．连接，交于点G． (1)求的度数； (2)求证：是的切线： (3)若，，求的面积． 64．（2025·云南玉溪·二模）如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，求的值． 65．（2025·云南·模拟预测）如图1，是的直径，直线与相切于点A，直线与相切于点B，点C（异于点A）在上，点D在上，且，延长与相交于点E，连接并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)如图2，连接并延长与分别相交于点G、H，连接．若，求． 试卷第2页，共19页 试卷第1页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $$