压轴07 解析几何13大核心题型（压轴题专练）（北京专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦北京高考解析几何13大核心题型，以通法（联立+韦达定理+几何条件代数化）为主导，技巧（点差法、齐次化等）为辅助，构建从基础到压轴的系统性突破体系，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆|3题|动态垂直判定、直线系过定点、交点轨迹圆|从直线与圆位置关系切入，结合几何性质转化代数关系| |圆的切线/弦长|6题|对称切线三角形、公共弦法、弦长公式（几何/代数法）|以圆的切线和弦长为载体，强化数形结合思想| |椭圆/双曲线/抛物线|21题|定义转化、焦点三角形性质、离心率范围求法、焦半径公式|按圆锥曲线类型递进，从定义性质到综合应用，突出条件翻译与目标转化| |综合大题|6题|点代入法、非对称韦达定理互化|聚焦高考压轴题，训练复杂问题的逻辑拆解与代数表达能力|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴07解析几何13大核心题型 01压轴命题透视 近三年北京高考数学试卷，试题考察主次分明，解答题几乎是以椭圆为主，而双曲线、抛物线仅小题考查， 基本不搞跨曲线综合。试题考察难易遵循基础优先，难易设置梯度清晰。小题考察低起点、重概念，熟练 定义与性质即可得分。综合大题：第一问纯基础，第二问重思维、强综合，区分度集中。 考察知识应用和技巧应用遵循通法主导，淡化技巧。通法核心是联立+韦达定理+几何条件代数化，强 调数形结合、转化与化归；“点差法、齐次化”等技巧辅助，试题不偏不怪。在考察圆锥曲线计算和逻辑方 面，计算适中，逻辑为重，避免繁琐运算，侧重条件翻译、关系推导、目标转化；常隐藏条件（如切线、 对称、角度)，需深度审题。 02压轴题型精讲 ◆题型01直线与圆 技洁指导 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 1.每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2.两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定 两条直线是否互相“动态垂直”。 3.如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线 段的最值求解计算 1.(2024北京·高考真题)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为() A.2 B.2 C.3 D.3V2 2.(25-26高三北京·月考)已知直线：mx+y-m-3=0与l2:x-my+m-3=0相交于点M,直线AB的 方程为x+y+2=0,则点M到直线AB距离的最大值为() A.√2 B.42 C.2W2 D.3√2 3.(25-26高三北京模拟预测)若点P(x,y)在直线x+y=0,则Vx2+y2-2x-2y+2+V(x-2)+y2的最 小值为() A.2 B.√o C.2 D.5 ◆题型02圆的切线范围最值 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 技法指导 圆切线，基本方法和思维，是转化为如下图的对称切线三角形。 圆切三角形面积最值 Samc=PA-AC=1R-PC-R 2 然后把三角形面积最值转化为PC最值 切点弦方程求解，可以有如下两种思路 1.公共弦法：过圆C外一点作圆的切线PA,PB,则切点AB与C,P四点共圆，线段CP就是圆的一条直 径.两圆方程相减可得公共弦所在直线方程. 2二级结论法：c一a)2十y一b)2=2外一点P(xo,yo)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：（一a (c-a4)+0o-b)y-b)=2 4. (2025北京专题练习)若圆C:(x-1)2+(y+3)2=1上存在两点A,B,直线1：3x-4y+m=0上存在点P, 使得∠APB=60°，则实数m的取值范围为() A.【-25,-5] B.（-0,-25lu|-5,+0】 C.-35, D.（-0,-35]U[5,+o】 5.(24-25高二上·北京顺义期中)圆C:(x-1)2+y2=1上的点P到直线xcos0+ysin0=3(0∈R)的距离为 d,点P和O在变化过程中，d的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.(24-25高二上·北京课堂作业)已知点AB是圆C:(x-2)2+y2=1上的两个动点，点P是直线 1:x+y=0上动点，且PA.CA=0,PB.CB=0,下列说法正确的是() A.圆C上恰有一个点到直线I的距离为)B.PA长的最小值为V2-1 C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点 >题型03圆动弦最值与范用 技封指导 圆的弦长的求法： (1)几何法，设圆的半径为”，弦心距为d,弦长为L, y=kx+m (2)代数法，设直线与圆相交于Ax,),B(x,y),联立直线与圆的方程 x-a)2+(y-b2=2消 去y,得到一个关于x的一元二次方程，从而可求出x+x2,x,根据弦长公式 AB=V1+kVx+x)-4xx,即可得出结果 2 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(25-26高三北京专题练习)已知实数X、名、片、乃满足x+=1，+片=1，+少=2，则 1 压+%-2+凸+为-2的最小值为() 2 2 A.1-6 2 B.2-6 2 C.2-0 2 D.2-6 2 8.(25-26高二上北京大兴期中)己知直线4：mx-y-3m+1=0与直线l2:x+my-3m-1=0相交于点P, 线段AB是圆C:x+)+(y+=4的一条动弦，且AB=2√3，点D是线段AB的中点，则PD的取值范围是() A.[22,4W2 B.[2V2-1,42+1 C.(2V2-1,42+1 D.22-1,4V2+1 9.(25-26高二上·北京顺义期末)己知平面直角坐标系x0y中，A,B为圆0：x2+y2=4上的两个动点， AB=2W3,D为弦AB的中点，设点C(4,3),则CD最大值为() A.5-V5 B.4 C.5+V3 D.6 >题型04线、方程与轨迹 技甘指导 如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲 线方程)，则可以设出P(xy),用(xy)表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入己知曲线方程， 即可得到动点P的轨迹方程. 第一步：设所求轨迹的点M(x,y),曲线上的动点Q(x,,y。); 第二步：找出M(x,y)与Q(x,yo)的关系，由x,y表示x,%, 即6=fx,以， %=g(x,y) 第三步：(x。,)满足已知的曲线方程，将%代人，消去参数.对于不符合条件的点要注意取舍. 10.（2026北京石景山一模)在平面直角坐标系中，当P(x,y)不是原点时，定义P的“对应点”为 ”行子当P是原点时，定义P的发应底为右自身：将圃线C上所有点的对应点有政的曲 线C定义为曲线C的“对应曲线”现有下列命题： ①若点A的“对应点”是点A,则点A的“对应点”是点A; ②单位圆的“对应曲线”是它自身： ③直线的“对应曲线”一定是直线 其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 11.(2023北京延庆二模)卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：+上=1,0为坐标 x+24 原点，点A1,0),点P为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是() A.卵圆C关于x轴对称 B.卵圆上不存在两点关于直线x=)对称 C.线段PO长度的取值范围是L1,2] D.△OAP的面积最大值为1 12.(24-25高三下·北京·月考)己知曲线C的方程 [y-xi +x2=1,下列说法中正确的是（) A.曲线C既为轴对称图形，也为中心对称图形 B.若点P和点Q均在曲线C上，则PQ<2 C.存在t<0,使得直线y=2x+t与曲线C有三个交点 3 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D.存在keR,直线y=+I与曲线C有两个交点 ◆题型05椭圆定义应用 技指导 椭圆定义： 动点P满足：|PF1+|PF2=2a,FF2=2c且a>c(其中a>0,c0,且a,c为常数) 椭圆性质： 标准方程 x2a2+y2b2=1(a>b>0) y2a2+x2b2=1(a>b>0) 图形 A F O cF:A. B 范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b, -a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴对称中心：原点 顶点 A(-a0,4a0,B(0,-),B0,b)60 A1(0,-a,A20,a,B1(-b,0),B2 性 质 轴 长轴A42的长为24：短轴B1B2的长为2b 焦距 F F2=2c 离心率 e=ca∈(0，l) a,b,c的关系a2=b2+c2 椭圆焦点三角形性质： 焦点△FAF2周长C△FA=2a十2c、 面积S△F4E=b2.tan02: 13.(24-25高三·北京海淀模拟预测)在平面直角坐标系中，已知点0(0,0)，A(-2,0),P(cos0,V3sin0), 则∠OAP的最大值为() B C. 3 沿 14,(2526高二上北京期中)已知椭圆C:二+上=1的左、右焦点分别为5，B,M为椭圆C上任意 43 一点，N为圆E:(x-5)2+(y-3)2=2上任意一点，则1MNI-|MF1的最小值为() A.3V5-V2B.1-√2 C.5-√2 D.2√2-1 15.(2025高三下·全国.专题练习)如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截 面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周 期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数y=√3siox(o>0)图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为 ,则o的值为（） 2 B A. 3 B.1 C.3 D.2 2 题型06椭圆型离心率最值范围 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 技甘指导 解 大 招 1椭圆第一定义： IPF+PF2 2a 双曲线第-定义：川PF1-PF,=2a 2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 PF=2a±|PF2 (椭圆是减，双曲线是结合左右两支判断加减) 16. (2025高三北京专题练习)已知0是椭圆M:广+罗 9+6 =1(0<b<3)上的动点：若动点Q到定点P(2,0 的距离PQ的最小值为1，则椭圆M的离心率的取值范围是() A. c. 06 3 D 17. 2324高三北京东城模拟预测）已知椭圆℃三+，卫 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、E,若椭 圆C上恰好有6个不同的点P,使得△FF,P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是() 12 A.33) C. 6制 D. 到 18. 2425高三上北京昌平期末已知椭腋C名土a>h>0圆C+产一终，若在圆G 上不存在点P,使得由点P所作的圆C,的两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率的取值范围是() A./0 6 B 3 4 题型07双曲线定义与性质应用 技指导 双曲线定义：动点P满足：PF1-PFz=2a,F1F2=2c且a<c(其中a,c为常数且a>0,c>0) 第一定义思维： 涉及到双曲线一个焦点，一般连接另外一个焦点。由定义，到一个焦点的距离，转化为到另外一个焦 点的距离（消元） b2 0 tan 双曲线焦点三角形面积为 2 (可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大) 19. 2526商三全国课后作业)已知双曲线若芳=川口>0，b>0)的离心率：=2,48是双线上关于 原点对称的两点，点P是双曲线上异于A,B的动点，直线PA,PB的斜率分别为k,k2,若1≤k≤√2，则k2的 取值范围是() 5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 32 c.【-4,-2] D.2,4] 20. (24-25高三北京昌平月考)已知F是双曲线C:x-上=1的右焦点P是C左支上一点40,6N6),当 P AP+PF最小时，在x轴上找一点Q,使PQ+AQ最小，最小值为 A.2V97 B.10 C.8√6 D.7V43 21.(2011北京朝阳一模)如图，双曲线的中心在坐标原点0，A,C分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D,若双曲线的离心率为2，则∠BDF的 余弦值是() A. 5v7 B D. 5v万 7 7 14 ◆题型08双曲线新近线应用 技澍指导 渐近线方程 x2 y 0→y= b y2 x2 令a2 a 6一2—0→少一王 焦点到渐近线的距离为b 共渐近线的双曲线方程 x2 y2 a26=10≠0) y2 x2 京=（元≠0） 22. (2025北京模拟预测)已知双曲线C: 亡-y'=1,O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与 C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则MW= 4.3 B.3 C.25 D.4 23. 2010北家东城二灰)已知抛物线广2pr《p>0)与双曲线等茶=1(a>0,b>0)有相同的 焦点F,点A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的 区间是 A. 0,交 B. ππ C.,） D ππ 6 3'2 43 6'4 24.(23-24高三北京·开学考试)已知曲线C:xx-4yy=4. ①曲线C的图像不经过第二象限； ②若P(x,y)为曲线C上一点，则x。-2y>0: ③存在m∈R,x-2y+m=0与曲线C有四个交点； ④直线x-2y+m=0与曲线C无公共点当且仅当m∈(-0，-V2U[0,+o). 6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 其中所有正确结论的序号是 ◆题型09椭圆与双曲线共焦点离心率 技澍指导 椭圆与双曲线共焦点E、E,它们的交点P对两公共焦点F、F的张角为∠EPF=20,椭圆与双曲 线的离心率分别为e、e,则. sin20 cos20=1 e 25.(2024北京专题练习)已知F,E是椭圆和双曲线的公共焦点，P,Q是它们的两个公共点，且P,Q 关于原点对称，∠PEQ-子，若铺图的离心率为9，双曲线的离心率为6，则王+三的最小值定() e+1e+3 A.2+5 B.1+ c.25 D.45 3 3 3 3 26.(23-24高二上北京期末)己知F,E同时为椭圆G: 若+片-6>6>0与双通发：香首- (a2>0,b,>0)的左、右焦点，设椭圆C与双曲线C,在第一象限内交于点M,椭圆C与双曲线C,的离 心率分别为？，e,O为坐标原点，给出下列四个结论： ①a2-b=a+b; ②若∠FME= 3， 则b2=3b: 11 @=2w0的充要条件是存+店2： ④若FF1-3M5,则e%的取值花围是(23). 其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 27.(2425北京专题练习)已知F、F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且 ∠RPR,=行，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为一 ◆题型10抛物线定义2-1 技封指导 抛物线中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离， 等于焦点到抛物线顶点的距离.，牢记 2 它对解题非常有益. 求轨迹方程的常见方法有 ①直接法，设出动点的坐标(xy),根据题意列出关于x,y的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合己知曲线的定义，直接求出方程； xo=g(x) ③参数法，把)分别用第三个变量表示，消去参数即可：④逆代法，将%=()代入)=0 28. （25,26商三上北京东城期中)已抛物线y=子产和y= 16 2+5所围成封闭曲线E,点M,N在曲 线E上，给定点A(0,a),则下列说法中正确的是() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.存在a∈(0,5)，对所有点M,均不存在N使得AM=AN B.任意a∈(0,5)，恰有三对不同的点M,N,满足每对点M,N关于点A对称 C.存在a∈(0,5)，曲线E上恰有四个点满足到A的距离等于4 D.任意a∈(0,5)，当点M,N运动时，都满足AM+AN≤10 29.(2023北京·高考真题)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离 为5，则川MF=() A.7 B.6 C.5 D.4 30.4.（2025北京·高考真题)己知抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3，则p= 题型11 抛物线性质应用1-2 技法指导 抛物线焦半径 (1)焦半径问题： ①焦半径：AF=AD=x十p2,BF=BC=2十p2(随焦点位置变动而改变)： ②焦点弦：AB=x1十x2十p=2psin2o(其中，a为直线AB的倾斜角)： ③1lAF+1BF=2p: 31.(2025高三·北京·专题练习)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行 于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.己 知抛物线C:y2=2Pxp>0),0为坐标原点，一条平行于x轴的光线I从抛物线内的点P（P不在x轴上)射 入，经过C上的点A反射，再经C上另一点B反射后，沿直线射出并经过点Q,则下列说法不正确的是() A.若P 41 4,4D=4,则Sa0B=8 B.若P 41 4,4D=2,则PB平分∠ABQ C.若p=4,延长A0交直线x=-2于点M,则M,B,Q三点共线 D.若P=2,过B作x轴的平行线交抛物线的准线于点V,SAo4=3S△Osv,则直线AB的斜率k=V2 32.(2021北京·高考真题)己知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N.若 MF=6,则点M的横坐标为；△MNF的面积为 33.(25-26高三下·北京·月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为L.直线1经过F,和抛 物线C交于AB两点，其中A在第一象限过A,B分别作AA,BB和准线L垂直，垂足分别为A,B.若 △AFA和△BFB的面积之比为9：1，则直线1的倾斜角为 ◆题型12圆锥综合大题：点代入型 技指导 基本规律 1.图形特征依旧有“一直一曲”的 2在代点时，遵循：“交点不止在直线上，也在曲线上” 3.授课时，可以和点差法题型结合对比 8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x2 v 34.《2025北京高考直题)已知椭圆E之中京口>6>0)的离心率为 ,椭圆E上的点到两焦点的 距离之和为4 ()求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点M(x,yo)(x,≠0)在椭圆E上，直线xx+2yy-4=0与直线y=2,y=-2分别交 于点A,B,设△0AM与0BM的面积分别为S,S,比较子与O的大小 35.(24-25高三北京专题练习)已知双曲线C:-少=1.过y轴正半轴上一点T作射线A,B交C 4 于点A(x,y),B(x2,y2),且y<0.P(x,0)为x轴正半轴上一点，满足2TA+TB=3TP. (I)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求x的取值范围； (3)若T在直线AB上，且OP=OT,是否存在x,使得引PATB曰PBTA？若存在，求x;若不存在， 请说明理由， 6(2020北京海錠一模)已椭圆C:之+行=1a>b>0)的离心率为 ),4(-a,0),A(a,0),B0,b), △A,BA2的面积为2. ①求椭圆C的方程； D设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线AB与直线A,M交于点P,直线AM与直线A,B交于点 Q求证：△BPQ为等腰三角形 ◆题型13圆锥综合大题：非对称型 技法指导 非对称型韦达定理应用，先韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型 x+x2=f() →元·(x1+x2)=μ·xx2 具体办法为联立方程后得到韦达定理： (x x2 =g(t) 37.(2024北京·高考真题)已知椭圆E： a2+62 =1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边 形是边长为2的正方形过点(0，(：>√②)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点4，B,过点A和 C(O,)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为O,求t的值 (1)求椭圆C的方程； (2)过点T(3,0)且斜率大于O的直线1与椭圆C相交于不同的两点M和N,直线PM、PN分别交x轴于 A、B两点，记aPAT、△PBT的面积分别为S、S,求S,+S2的取值范围. 39.(2025北京专题练习)已知点2,3 为圆C+Xa>b>0)上点，A、B分别为C配 右顶点，且△QAB的面积为5， (1)求C的标准方程； (2)过点P1,O)的直线1与C相交于点M,N(点M在x轴上方)，AM,BN与y轴分别交于点G,H,记S ,S2分别为△AOG,△A0H(点O为坐标原点)的面积，证明： 为定值. S. 9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 03压轴强化训练 一、单选题 1.(2024北京·高考真题)已知M=(x,y)1y=x+1x2-x,1≤x≤2,0≤t≤1是平面直角坐标系中的点集 设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则() A.d=3,S<1 B.d=3,S>1 C.d=V10,S<1 D.d=V10,S>1 2.（25-26高二下·北京海淀期中)在平面直角坐标系xOy中，若在圆(x-2)2+y2=1上存在点A,在圆 (x-4)2+(y-m)2=3上存在点B,使得0A10B,则m的取值范围是() A.(-0,-2V3]U[2V3,+0) B.(-0,-6V3]U[6V3,+o) C.[-63,-2V3]u[2V3,6v3 D.[-2V3,2V3] 3.(2026北京延庆.一模)三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三 角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作 ABC,AB=AC=6,点B(-3,2),点C(1,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x+a+(y+a+2)=r2相切，则 圆M上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值为()· A.② B.2W2 C.3 D.5V2 2 2 4. (2026高三北京专题练习)对于曲线C:x+y上=1（其中m,m,a均为正数），下列说法正确的有 m n ①曲线C是轴对称图形 ②当m+n=山，a=1时，曲线C围成的封闭区域面积的取值范围为0，为 ③当a=2时，曲线C与曲线|xy=1有4个交点 ④当m=n,0<a<1时，曲线C围成的封闭区域的面积小于2m2 5.(25-26高三上·北京通州期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线1与x轴交于点D, 点A是抛物线C上一点，AM⊥1于M,若AD为线段MF的垂直平分线，AD=√2，则抛物线方程为() A.y2=8x B.v2=4x C.y2=2x D.v2=x 6.(25-26高三上·北京海淀·月考)2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOG0 如图所示）·设师的灵惑来森于曲线C+化 =1(n>0,n∈R).当n=4,a=3,b=2时，给出下 列四个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3； ④设MV5,0),直线x-y+√5=0交曲线C于P,Q两点，则△PQM的周长大于12. 其中正确结论的个数为() nl A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题 7.(25-26高三下·北京海淀·开学考试)己知动直线的方程：cosa·x-2)+sina·y+1)=1a∈R,给出 如下结论： 10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①动直线1恒过某一定点； ②存在不同的实数a,2,使相应的直线，平行； ③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线1上： ④动直线可表示坐标平面上除x=2,y=-1之外的所有直线： ⑤动直线可表示坐标平面上的所有直线： 其中正确结论的序号是 8.（25-26高二上·北京丰台期末)平面直角坐标系x0y中，曲线C是平面内与两个定点F(-1,0),F(L,0) 的距离之积等于常数？(a>0)的点的轨迹.点P是曲线C上一点给出下列四个结论. ①曲线C关于x轴对称； ②△PFB面积的最大值为号： ⑧当a=1时，已知点0在双线r-广-号上，若F0上F0,则点0在曲线C上： ④当。=1时，曲线C所围成的图形面积小于椭圆E：亡+上=1所围成的图形面积其中所有正确结论的序 43 号为 9.(2025北京二模)数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线.双纽线C:(x2+y2)=2a2(x2-y)就是 其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点A(-a,0)和B(a,0)(a>0)的距离之积为常数的点 的轨迹.设P(x。,y》)(y≠0)为C上一点，给出下列四个结论： ①x≤V2a; ②s ③若点P在第一象限，则OP<√2x: ④△PAB的周长可以等于5a. YA 其中，所有正确结论的序号是 三、解答题 0.2025北京专趣练习)已知椭圆C:+ 京=1(a>b>0)过点 6 过其右焦点F且垂直于x轴的 直线交椭圆C于A,B两点，且4B=25 (1)求椭圆C的方程； ②若直线上)=红-与椭圆C交于，F两点，线段F的中点为Q,在y轴上是否存在定点P,使得∠ EQP=2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 11. (25-26高二上·北京·月考)对于1>0,0e[0,2π，定义曲线2(2,0)：Vx2+y2=xcos0+ysin0-2 0求曲线Q 与直线y=x+2的公共点的坐标； (2)记L()为曲线2 被x轴所截得的线段长度与被y轴所截得的线段长度之和，求当O变化时，L(0)的 最小值： 11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)设坐标原点为0，若对于任意0∈[0,2π)，曲线2(2,0)上均存在不同两点A,B,使得04=0B∈[1,2]， 且∠AOB∈ 2π 3,π， 求入的取值范围 25-26高三上北京海淀期未)已知圆C,+>b>0)其上、下顶点分别为4B,左、石 点分别为E,E,四边形AEBF,是面积为8的正方形.过点P(O,1)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两 点M,N. (1)求椭圆C的方程： (2)设直线BM,BN的斜率分别为k,k2,求kk,的值； (3)过点P且平行于BM的直线与直线AN交于点Q,求证：点Q在定直线上. 12 压轴07 解析几何13大核心题型 近三年北京高考数学试卷，试题考察主次分明，解答题几乎是以椭圆为主，而双曲线、抛物线仅小题考查，基本不搞跨曲线综合。试题考察难易遵循基础优先，难易设置梯度清晰。小题考察低起点、重概念，熟练定义与性质即可得分。综合大题：第一问纯基础，第二问 重思维、强综合，区分度集中。 考察知识应用和技巧应用遵循通法主导，淡化技巧。通法核心是联立 + 韦达定理 + 几何条件代数化，强调数形结合、转化与化归；“点差法、齐次化” 等技巧辅助，试题不偏不怪。在考察圆锥曲线计算和逻辑方面，计算适中，逻辑为重，避免繁琐运算，侧重条件翻译、关系推导、目标转化；常隐藏条件（如切线、对称、角度），需深度审题。 压轴题精讲 题型01 直线与圆 技法指导 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 1. 每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2. 两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 3. 如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算 1．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D. 2．（25-26高三 北京 ·月考）已知直线与相交于点，直线的方程为，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线经过的定点和垂直关系，然后确定点的轨迹是圆，进而根据直线与圆的位置关系求出最大距离即可. 【详解】因为直线与相交于点， 直线变形为，过定点； 直线变形为，过定点； 因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 的中点坐标为，半径为，所以圆的方程为. 由于圆心直线的距离为，所以点到直线距离的最大值为.故选：B. 3．（25-26高三北京模拟预测）若点在直线，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据两点间的距离公式，判断代数式的几何意义，再根据点关于直线的对称点的求法，求出最小值，判断结果即可. 【详解】设点为直线上的动点， 由， 则其几何意义为与的距离和与的距离之和， 设点，则点关于直线的对称点为点， 故，且， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为.故答案为：B. 题型02 圆的切线范围最值 技法指导 圆切线，基本方法和思维，是转化为如下图的对称切线三角形。 圆切三角形面积最值 ,然后把三角形面积最值转化为PC最值 切点弦方程求解，可以有如下两种思路 1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． 2二级结论法：(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点P(x0，y0)做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. 4．（2025·北京专题练习）若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题干条件，结合几何知识转化为圆心到直线的距离需满足，解该不等式即可求解． 【详解】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时， 若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时， 所以一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得； 当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有， 另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示， 由图可知，，CP最短时， 即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大， 所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得， 则必有，解得，又因为圆的半径， 圆心到直线的距离， 所以，解得．故选：A． 5．（24-25高二上·北京顺义·期中）圆上的点P到直线的距离为d，点P和在变化过程中，d的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】d的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，分析圆心到直线距离的最小值即可得到结果. 【详解】由题意得，圆心，半径， 点和在变化过程中，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1， 圆心到直线的距离为， 由得，，故，当时，.故选：A. 6．（24-25高二上·北京 课堂作业）已知点是圆上的两个动点，点是直线上动点，且，下列说法正确的是（   ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．长的最小值为 C．四边形面积的最小值为2 D．直线恒过定点 【答案】D 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，利用点到直线的距离可判断B；由题可得四边形的面积，可判断C；由题可知点在以为直径的圆上，利用两圆方程可得直线的方程，即可判断D. 【详解】A.由题意得，圆心，半径，∴圆心到直线的距离为， ∵，∴圆上有两个点到直线的距离为，选项A错误. B. 如图，∵，∴， ∴，∴当最小时，有最小值， 当，即为圆心到直线的距离时，，∴，选项B错误. C. 由题意得，，∴四边形面积为：， 由选项B可知，选项C错误. D.设，∵是圆的切线，∴点在以为直径的圆上.∵， ∴以为直径的圆为，整理得， 与圆方程相减得直线方程为：， 由得，即直线恒过定点，选项D正确.故选：D. 题型03 圆动弦最值与范围 技法指导 圆的弦长的求法： （1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去，得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果. 7．（25-26高三北京 专题练习）已知实数、、、满足，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定、在圆上，且，首先求出的最小值，转化为、到直线的距离之和，变换得到，计算，即得到答案. 【详解】设、，，，， 故、在圆上且， 因为，则，因为，则是边长为的等边三角形，    而表示、到直线的距离之和， 又原点到直线的距离为， 如图所示：，，是的中点，作于，且， 所以，， 故在圆上，所以.故的最小值为，又， 所以的最小值为. 故选：D. 8．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点轨迹，再求出点轨迹，利用圆与圆的位置关系结合两点间距离公式求出的取值范围． 【详解】直线，整理得，则直线恒过定点， 同理，整理得，则直线恒过定点， ，，点的轨迹为以为直径的圆，圆心，半径，点不在直线上，点的轨迹方程为，不含点．圆是以为圆心，半径的圆，圆与圆的位置关系如下图所示， 连接，，线段是动弦，为中点， ，点的轨迹是以为圆心，半径是的圆，方程为，圆心距， 剔除点，则，即．故选：D． 9．（25-26高二上·北京顺义·期末）已知平面直角坐标系中，，为圆：上的两个动点，，为弦的中点，设点，则最大值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【分析】分析可知，点D在以原点为圆心，半径为1，的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当D为直线CO与圆在第三象限的交点时，取最大值，即可得解． 【详解】如下图所示， 因为、是圆上的两个动点，且满足，D为线段的中点，由垂径定理可知，，则， 所以，点D在以原点为圆心，半径为1，的圆上运动， 设为直线CO与圆在第三象限的交点（同时设对应弦）， 则，等号当且仅当D和重合时成立．故选：D． 题型04 曲线、方程与轨迹 技法指导 如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出,用表示出相关点的坐标,然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程. 第一步：设所求轨迹的点，曲线上的动点； 第二步：找出与的关系，由表示，即； 第三步：满足已知的曲线方程，将代人，消去参数．对于不符合条件的点要注意取舍． 10．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据对应点的定义对三个命题逐一判断. 【详解】对于①：设不是原点，则，记， 则，其中，计算的对应点： . ，即，不是，所以①错误； 对于②：单位圆上的点满足，因此对应点为. 对，有，说明仍在单位圆上； 反之，单位圆上任意点，则点在单位圆上. 因此单位圆的对应曲线就是单位圆本身，所以②正确； 对于③：取直线（平行于轴的直线），设其上点，对应点为. 令，消去：. 整理得，即，这是圆，不是直线，所以③错误. 所以正确命题的个数只有②一个. 11．（2023·北京延庆·二模）卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆的方程为：，为坐标原点，点，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是（    ） A．卵圆关于轴对称 B．卵圆上不存在两点关于直线对称 C．线段长度的取值范围是 D．的面积最大值为1 【答案】B 【分析】利用点和均满足方程，即可判断A；设和都在卵圆上，再解即可判断B；利用两点间的距离公式表示，然后利用导数研究其最值，即可判断C；利用三角形的面积公式表示出，然后利用导数研究其最值，即可判断D. 【详解】对于A，设是卵圆上的任意一个点，因为，所以点也在卵圆上，又点和点关于轴对称，所以卵圆关于轴对称，故A正确； 对于B，设在卵圆上，关于直线对称的点也在卵圆上， 则，解得或，所以卵圆上存在两点关于直线对称，故B错误； 对于C，由，得，所以，所以，设点， 则，令， 则，令，则或， 当或时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 又，且， 所以，即，所以，故C正确； 对于D，点，， 令，则，当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增，所以， 此时的面积取得最大值，故D正确.故答案为：B 12．（24-25高三下·北京·月考）已知曲线的方程为，下列说法中正确的是（   ） A．曲线C既为轴对称图形，也为中心对称图形 B．若点P和点Q均在曲线C上，则 C．存在，使得直线与曲线C有三个交点 D．存在，直线与曲线C有两个交点 【答案】C 【分析】设曲线上任意一点，证明其关于轴的对称点也在曲线上，再将方程变形，转化为研究两函数图象，借助导函数求单调性分析可判断选项A；取曲线上两点，两点间距离为2，判断选项B；联立直线和曲线方程，构建函数，结合函数单调性讨论在定义域内零点个数，进而结合曲线图形判断选项C；结合函数当时，，根据导数几何意义与直线斜率，结合曲线图形可判断选项D. 【详解】A项，设曲线上任意一点，则有， 且点关于轴的对称点为，因为， 即点也在曲线上，故曲线关于轴对称；由可得，， 下面分别研究函数与函数单调性. 对于，则， 令，则，代入上式分子可化为， 所以与符号一致，令，可得方程， 由在单调递减，且且，则方程在存在唯一实数根，且，故方程在内存在唯一实数根， 且当时，，在上单调递增； 时，，在上单调递减； 且，；对于函数， 在单调递增，且，则再结合曲线关于轴对称，可作出曲线的大致图形（如图）， 由图形可知，由曲线不是中心对称图形，综上可知A错； B项，取点，由A项可知两点都在曲线上，则，不满足，故B错； C项，当时，直线为，且直线与曲线都过点， 结合A项曲线图形可知，只需研究直线与函数图象的交点个数即可. 令，则， 令，则， 且其在上单调递减，且；，，故存在，使得， 故当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；且由，；且，，其中， 故方程恰存在两根，不妨设，则，使得， 故当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 其中，结合图象可知方程在恰存在个实根， 即直线与函数有且仅有个交点， 故直线与函数图象有交点，再结合曲线图形可知， 当时，直线与曲线C有三个交点，即存在，使得直线与曲线C有三个交点； 故C项正确； D项，结合函数图象，只需研究与直线的交点即可， 直线恒过点，且也在曲线上，由，可知当时，， 结合函数图象可知，故当直线斜率存在且不为时，不论如何变化， 与直线恒有两个交点. 结合曲线图形可知，任意， 直线与曲线C恒有个交点，故D项错误；故选：C. 题型05 椭圆定义应用 技法指导 椭圆定义： 动点P满足：| PF1|＋| PF2|＝2a，|F1F2|＝2c且a> c (其中a>0，c0，且a，c为常数) 椭圆性质： 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|＝2c 离心率 e＝∈(0,1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 椭圆焦点三角形性质： 焦点△F1AF2周长C△F1AF2＝2a＋2c、 面积S△F1AF2＝b2·tan ； 13．（24-25高三·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，根据平方关系得到，即可得到点在椭圆上，则当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值，设切线方程为，联立直线与椭圆方程，消元，根据求出的值，即可得解. 【详解】因为，即，所以， 又，所以，即点在椭圆上， 又点在椭圆外，所以当过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值， 设切线方程为，由，消去整理得， 由，解得，所以的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出点在椭圆上，从而将问题转化为过点且与椭圆相切（切点为）时取得最大值. 14．（25-26高二上·北京·期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一，则，又N为圆E：上任意一点，且,则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号），又因， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 因,，则，故的最小值， 故选：B 15．（2025高三下·全国·专题练习）如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据推出，设圆柱底面半径为r，再根据圆柱的侧面展开图推出，利用圆柱的斜截面椭圆及离心率求出r即可. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得． 设圆柱底面半径为r，则，所以，设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得，则， 即，所以，得， 又由勾股定理得，解得，故．故选：B. 题型06 椭圆型离心率最值范围 技法指导 1.椭圆第一定义： 双曲线第一定义： 2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。 （椭圆是减， 双曲线是结合左右两支判断加减） 16．（2025高三·北京·专题练习）已知是椭圆上的动点：若动点到定点的距离的最小值为1，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，整理得，根据二次函数分析可得，进而求出离心率得取值范围. 【详解】由题意可设：， 则 令，则， 当，则， 可知的图象开口向上，对称轴为， 当，即时，可知在上的最小值为， 则，整理得，解得，不合题意： 当，即时，可知在内的最小值为，符合题意； 综上所述：.可得椭圆的离心率.故选：C. 17．（23-24高三北京东城·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分等腰三角形以为底或一腰两种情况讨论，在第一种情况下，直接确定点为椭圆短轴的端点，在第二种情况下，分析可知，在每个象限内均存在点，使得或，设点在第一象限，结合两点间的距离公式可得出关于、的不等式，即可求出该椭圆离心率的取值范围. 【详解】如下图所示：    （1）当点与椭圆短轴的顶点重合时，是以为底边的等腰三角形， 此时，有个满足条件的等腰； （2）当构成以为一腰的等腰三角形时， 以为底边为例，则或，此时点在第一或第四象限， 由对称性可知，在每个象限内，都存在一个点，使得是以为一腰的等腰三角形， 不妨设点在第一象限，则，其中， 则， 或， 由可得，所以，，解得， 由可得，所以，，解得， 综上所述，该椭圆的离心率的取值范围是.故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 18．（24-25高三上·北京昌平·期末）已知椭圆与圆，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图象，根据图像判断出，由此求得离心率的取值范围. 【详解】由题意，如图，若在椭圆上不存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直， 则只需，即，， 即，因为解得：. ∴，即，而，∴，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查椭圆离心率最值的求法，应用椭圆的有界性以及参数关系求离心率范围是解题的关键，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 题型07 双曲线定义与性质应用 技法指导 双曲线定义：动点P满足：||PF1|－|PF2||＝2a，|F1F2|＝2c且a＜c (其中a，c为常数且a>0，c>0) 第一定义思维： 涉及到双曲线一个焦点，一般连接另外一个焦点。由定义，到一个焦点的距离，转化为到另外一个焦点的距离（消元） 双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） 19．（25-26高三·全国·课后作业）已知双曲线的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一，由双曲线的第三定义可求；方法二，由离心率得，再由点差法和斜率公式可求. 【详解】方法一，  由双曲线的性质可得，且，． 方法二，  由题易知解得，双曲线的方程为． 由题知关于坐标原点对称，设，，， 由得． 直线的斜率分别为，且， ，，， ． 20．（24-25高三·北京昌平·月考）已知F是双曲线的右焦点,P是C左支上一点.,当最小时,在x轴上找一点Q,使最小,最小值为 A． B．10 C． D． 【答案】A 【解析】首先根据最小，判断出点的位置，求得点坐标，再求得关于轴对称点的坐标，即的最小值. 【详解】设双曲线左焦点的坐标为，根据双曲线的定义可知，所以最小时，最小，此时三点共线.直线的方程为，与双曲线方程联立，消去并化简得，解得，或（舍去），所以，故.关于轴的对称点为，连接，交轴于，此时取得最小值，且最小值为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系，考查双曲线的定义，考查双曲线中的最值问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 21．（2011·北京朝阳·一模）如图，双曲线的中心在坐标原点，分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线与相交于点．若双曲线的离心率为2，则的余弦值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：可设双曲线方程为，即得，，， 所以直线方程为，直线方程为，又 把和的直线方程联立解得，又，所以，即 所以有，，则 ， 又故答案选考点：双曲线的简单性质． 题型08 双曲线渐近线应用 技法指导 渐近线方程 令， 令， 焦点到渐近线的距离为 共渐近线的双曲线方程 22．（2025·北京·模拟预测）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值. 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为， 从而得到，所以直线的倾斜角为或， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为， 分别与两条渐近线和联立，求得， 所以，故选B. 点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果. 23．（2010·北京东城·二模）已知抛物线（）与双曲线（，）有相同的焦点，点是两条曲线的一个交点，且轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：因为抛物线与双曲线有相同的焦点，所以可得p与c之间的关系， 因为轴，则点A的坐标可以由抛物线求出，将其代入双曲线方程， 再由a、b、c之间的关系，可求出离心率，由离心率公式可得，即斜率的值，由斜率求出倾斜角的范围. 详解：因为抛物线与双曲线焦点相同，所以，因为与x轴垂直，所以可求得点A的坐标为，将其代入双曲线方程可得：， 因为，代入上式可得：， 化简得：，两边同时除以得：， 解得或（舍），设渐近线斜率为k， 由，解得，所以倾斜角应大于， 所以区间可能是，故选B. 点睛：本题主要考查抛物线与双曲线的几何性质，由焦点与公共点建立系数之间的联系，渐近线斜率与离心率有关，所以由系数求出离心率并求得斜率，与特殊倾斜角的斜率作对比，求出倾斜角取值范围. 24．（23-24高三 北京·开学考试）已知曲线． ①曲线C的图像不经过第二象限； ②若为曲线上一点，则； ③存在与曲线有四个交点； ④直线与曲线无公共点当且仅当． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①② 【分析】分、的符号情况化简曲线的方程，从而可画出曲线的图象，结合图象逐一分析即可． 【详解】当，时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分； 当，时，曲线的方程为，即，曲线是椭圆的一部分； 当，时，曲线的方程为，曲线不存在； 当，时，曲线的方程为，即，曲线是双曲线的一部分； 双曲线和有一条共同的渐近线， 综上，可作出曲线的图象，如图：    故①正确； 由图象可知曲线的图象上的点都在直线的下方， 所以当在曲线上时，有，故②正确； 直线是表示与直线平行或重合的直线， 由曲线的图象可知，直线与曲线不可能有四个交点，故③错误； 设直线与椭圆相切，则由得， 所以，解得，结合曲线的图象，取， 即直线与曲线相切， 所以若直线与曲线无公共点，结合曲线的图象， 或，故④错误． 故答案为：①②． 【点睛】方法点睛： 1．曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值； 2．直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法． 题型09 椭圆与双曲线共焦点离心率 技法指导 椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则． 25．（2024·北京专题练习）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值. 【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，    则根据椭圆及双曲线的定义得：， ，设， 根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则， 则在中，由余弦定理得，， 化简得，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立，故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到，最后对原式变形再利用基本不等式即可求出其最小值. 26．（23-24高二上·北京·期末）已知同时为椭圆：与双曲线：（，）的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为，O为坐标原点，给出下列四个结论： ①； ②若，则； ③的充要条件是； ④若，则的取值范围是. 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据椭圆以及双曲线的关系，即可判断A选项；根据椭圆以及双曲线的定义，结合余弦定理，可推得B、C选项；根据椭圆以及双曲线的定义结合三角形的三边关系，得出的关系式.进而根据对勾函数的单调性，即可得出D选项. 【详解】 对于A项，由已知椭圆与双曲线共焦点可得，，故A选项正确； 对于B项，根据椭圆以及双曲线的定义，可得，所以. 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得：. 所以，即，故B项正确； 对于C项，必要性：若，则为直角三角形， 所以，即，整理可得：， 两边同时除以可得，，即，满足必要性； 充分性：若，易可得，， 所以，所以为直角三角形，且， 可得，满足充分性.故C项正确； 对于D项，由已知可得. 所以，. 令，则.因为，所以. 又，所以有，所以有； ，所以有，所以有.所以. 设函数，再设，则， 由于，得，，， 所以，即，函数在区间上单调递增， 所以，所以，故D正确.故选：D. 27．（24-25北京专题练习）已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___. 【答案】 【分析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, 由余弦定理可得 4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中， 化简为即4c2=4a12+r1r2…③，，再利用柯西不等式求椭圆和双曲线的离 心率的倒数之和的最大值. 【详解】设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c， 由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2, ∵∠F1PF2=，则∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，① 在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2…②，在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2…③， ，由柯西不等式得（1+）（）≥（）2 故答案为 【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关 键．属于难题． 题型10 抛物线定义 2-1 技法指导 抛物线中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益． 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入 28．（25-26高三上·北京东城·期中）已知抛物线和所围成封闭曲线，点在曲线上，给定点，则下列说法中正确的是（  ） A．存在，对所有点，均不存在使得 B．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 C．存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于 D．任意，当点运动时，都满足 【答案】C 【分析】首先确定两抛物线交点，根据抛物线对称轴为轴可确定A错误；设，，讨论在同一条抛物线上和分别在两条抛物线上的情况，可求得当时，不存在三对不同的点满足条件，知B错误；取即可验证得到C正确；取，，可验证得到D错误. 【详解】由，得：或，即两抛物线交点为和； 对于A，与图象均关于轴对称，点在轴上， 当关于轴对称时，，A错误； 对于B，若关于点对称，则可设，， 若均在上，则，解得：；即当时，存在一组关于对称的点和； 若分别在和上， 不妨令在上，在上， 由得：，则， 若，则，方程组无解，此时不存在关于对称的点； 当时，不存在三对不同的点，满足每对点关于点对称，B错误； 对于C，当时，到点的距离等于的点的轨迹为； 由得：，满足，此时存在两点到点的距离等于； 由得：，满足，此时存在两点到点的距离等于； 当时，曲线上恰有四个点满足到的距离等于， 即存在，曲线上恰有四个点满足到的距离等于，C正确； 对于D，当时，，取，，此时， 此时不满足，D错误.故选：C. 29．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 30.4．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则________． 【答案】 【分析】根据抛物线的几何性质可求的值. 【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故， 故答案为：. 题型11 抛物线性质应用 1-2 技法指导 抛物线焦半径 (1) 焦半径问题： ①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)； ③＋＝； 31．（2025高三·北京·专题练习）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线为坐标原点，一条平行于轴的光线从抛物线内的点（不在轴上）射入，经过上的点反射，再经上另一点反射后，沿直线射出并经过点，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则平分 C．若，延长交直线于点，则三点共线 D．若，过作轴的平行线交抛物线的准线于点，则直线的斜率 【答案】D 【分析】作出图象，A选项，求出，所以⊥轴，则，求出；B选项，求出，得到直线的方程，联立抛物线方程，得到两根之和，进而由焦点弦公式得到，结合，故，又，得到答案；C选项，作出辅助线，则，结合得到，直线，联立得到两根之积，得到，所以，则三点共线；D选项，由C知，三点共线，设，直线，联立，由韦达定理得到．因为，所以，从而求出，则，求出斜率. 【详解】作出示意图，如图所示：对A，若，则， 又点，中，令得，所以．易知的焦点，所以⊥轴， 则，所以，故A正确． 对B，若，则，，又点，所以， ，故直线，联立与得， 易知，，其中． 所以，又，所以，即平分，B正确． 对C，若，则，，故，延长交直线于点，则， 即，所以，又，则， 直线，联立得，则，则， 所以，则三点共线，故C正确； 对D，，，易知焦点，由C知，三点共线，设， 直线，联立得，则． 因为，所以，所以． 由，得，则，所以，故D不正确． 故选：D． 【点睛】知识点点睛：抛物线的相关结论： 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，过点作⊥准线于点，则三点共线； 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则. 32．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为_______； 的面积为_______． 【答案】 5 【分析】根据焦半径公式可求的横坐标，求出纵坐标后可求. 【详解】因为抛物线的方程为，故且. 因为，，解得，故， 所以，故答案为：5；. 33．（25-26高三下·北京·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为L．直线l经过F，和抛物线C交于两点，其中A在第一象限.过分别作和准线L垂直，垂足分别为．若和的面积之比为，则直线l的倾斜角为__________． 【答案】 【分析】设出及直线l的倾斜角、方程，联立抛物线的方程，根据面积公式及抛物线的定义可得到的比例关系，进而根据韦达定理可求得斜率，最后可求得倾斜角. 【详解】因为抛物线，所以， 设，直线l的倾斜角为，方程为，则， 由消去得，所以. 因为A在第一象限，所以.因为直线l的倾斜角为，，所以与互补， 所以.由抛物线的定义得， 所以，所以，即， 所以，所以为锐角，所以，如图： 所以，所以， 所以，又，所以，所以，所以， 又，所以. 题型12 圆锥综合大题：点代入型 技法指导 基本规律 1.图形特征依旧有“一直一曲”的 2.在代点时，遵循：“交点不止在直线上，也在曲线上” 3.授课时，可以和点差法题型结合对比 34．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆E的方程； (2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【详解】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； （2）联立，消去得，，整理得，①， 又，所以，，故①式可化简为，即，所以，所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知，联立，解得， 联立，解得，所以 ，，故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，联立，解得，联立，解得，若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以，同理，当时，，当时，则，，, 又，所以，所以 ，， 则，即，所以. 35．（24-25高三北京专题练习）已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或(2)(3)不存在，理由见解析 【分析】（1）法1，先求出，设，根据得到，设直线AB：，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，求出，，得到直线方程； 法2：定比点差法，变形得到，设，根据得到，故，联立得到相应的方程组的解，分两种情况，得到直线方程； （2）在（1）的基础上，得到，，当，无解，舍去；当，根据求出答案； （3）变形为．T、A、P、B四点共线，则直线，又，故，根据比例关系得到，又由（2）得两根之和，两根之积，代入整理得，解得，与矛盾．故不存在这样的． 【详解】（1）法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）： 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 设AB：，联立得，整理得， 故，，，． 其中，所以，，又，故，所以．因为， 所以，代入，解得，故直线AB的方程为， （或者直线AB的方程为或）． 法2（定比点差法）：因为A、B在C上，于是，即， 两式相减得，因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即．故， 联立解得，或，． 第一种情况，得； 第二种情况，同理得． 故直线AB的方程为或． （2）设，则，，， ，所以，即，设AB：，联立得， 整理得，故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 又，故，故， 当，即时，，无解，舍去； 当，即时，整理得，解得或． 综上所述，的取值范围是； （3）不存在，理由如下： 假设存在，等价于． 由（2）知，A、P、B三点共线，又T在直线AB上，所以T、A、P、B四点共线， 则直线，又，故，从水平方向上看，有，整理得． 从竖直方向上看，有，整理得．所以， 又由（2）得，，，，所以，，代入整理得．而，所以，整理得， 所以，解得，与矛盾．故不存在这样的． 36．（2020·北京海淀·一模）已知椭圆C：的离心率为，的面积为2. (I)求椭圆C的方程； (II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形. 【答案】(I)；(II)证明见解析 【解析】(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合的关系，解方程可得，从而得到椭圆方程 (II) 设，直线的直线方程为直线的直线方程为，联解求出点坐标，同理求出坐标，,，只需证明,利用作差法可证明. 【详解】(I)由题意得，解得，故椭圆的方程为. (II)由题意得,设点，则有， 又直线的直线方程为，直线的直线方程为， ，解得，点的坐标为. 又直线的直线方程为，直线的直线方程为. ，解得，点的坐标为. ，. ， ，，△BPQ为等腰三角形. 【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等. 通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明 题型13 圆锥综合大题：非对称型 技法指导 非对称型韦达定理应用，先韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型. 具体办法为联立方程后得到韦达定理： 37．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【详解】（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为； （2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，，联立，化简并整理得，由题意，即应满足，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得，所以， 此时应满足，即应满足或，综上所述，满足题意，此时或. 38．（24-25高三北京专题练习）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率大于的直线与椭圆相交于不同的两点和，直线、分别交轴于 、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用点在椭圆上，右焦点为，得关于 的方程，解出即可； （2）联立方程组，得，将面积之和表示为关于的式子， 表示出直线、，求出点 、的坐标， 得到，， 即可表示出、的面积，再求面积中的范围， 结合韦达定理，利用反比例函数得出范围. 【详解】（1）由题意知：.将点代入得：. ，得故椭圆的方程为：；（2）如图所示： 由题意知直线的斜率大于，所以可设直线方程为， 设，.直线与椭圆联立：，得 ，即，，由于斜率大于，， 直线的斜率：，的方程：，令，则 直线的斜率：，的方程：，令，则 ，， 现求的取值范围： 将用表示代入：原式由韦达定理得：原式 原式，所以，函数为递增，. 【点睛】表示出面积以后，将式子转化为关于 的形式，利用 以及反比例函数的知识求范围.依题意逐步求解，特别注意计算准确性. 39．（2025北京专题练习）已知点为椭圆C：上一点，A、B分别为C的左、右顶点，且的面积为5． (1)求C的标准方程； (2)过点的直线l与C相交于点M，N（点M在x轴上方），AM，BN与y轴分别交于点G，H，记，分别为，（点O为坐标原点）的面积，证明：为定值． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由的面积为5与点在椭圆C上得到关于的方程组，解之即可得到椭圆C的标准方程； （2）设出直线l的方程与椭圆标准方程联立，结合一元二次方程根与系数关系、三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为的面积为5，点为椭圆C：上一点， 所以，解得，所以椭圆C的标准方程为. （2）由题意可知直线l的斜率不为零，故设方程为， 联立为，消去，得， 设，则，故， 又因为，所以，又，则直线的方程为， 令，得，则，同理可得：， 所以，因此为定值. . 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹. 压轴题强化训练 一、单选题 1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可. 【详解】对任意给定，则，且， 可知，即， 再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域， 如图阴影部分所示，其中， 可知任意两点间距离最大值， 阴影部分面积.故选：C. 【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解． 2．（25-26高二下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系xOy中，若在圆上存在点，在圆上存在点，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法1：设直线的斜率为，由得到直线的斜率为，再分别利用直线与圆有公共点的判定条件，将问题转化为“存在，使关于的二次不等式成立”的问题，最后借助二次函数图象分类讨论求的范围. 方法2：设直线的斜率为，则直线的斜率为.先由直线与圆有公共点得到，再由直线与圆有公共点得到关于和的不等式，分别讨论和两种情况即可. 【详解】方法1：设直线的斜率为. 若，则为轴.因为，所以为轴， 而轴到圆圆心的距离为，大于圆的半径， 所以此时直线与圆无公共点，不合题意.故. 因为，所以直线的斜率为. 圆的圆心为，半径为，直线的方程为，即. 直线与圆有公共点，当且仅当圆心到直线的距离不大于半径， 所以 两边平方，得，即 ，所以 圆的圆心为，半径为.直线的方程为，即. 直线与圆有公共点，当且仅当圆心到直线的距离不大于半径，所以 两边平方并整理，得 因此题意等价于：存在，使 令 ， 则 其判别式为 所以当时，方程有两个不同实根. 下面分类讨论. ①当时，若，则的图象开口向下， 函数在闭区间上的最小值在端点处取得； 若，则为一次函数，也只需比较端点值. 此时 且， 所以对任意，均有 ，不合题意. ②当时，的图象开口向上，对称轴为 若，则在区间上单调递增.此时要存在使 ， 只需且只需 即 解得.又等价于 结合，解得.于是这一情形下得到 若，则对称轴落在区间内.此时 故必存在使 .这一情形对应 综上，当时，得到. ③当时，的图象仍开口向上，对称轴 若，则在区间上单调递减.此时要存在使 ，只需且只需 即 解得.又等价于 结合，解得.于是这一情形下得到 若，则对称轴落在区间内.同理有 ，所以必存在使 . 这一情形对应 综上，当时，得到. 由①②③可得 方法2：设直线的斜率为. 若，则为轴，由知为轴. 而轴与圆没有公共点，所以不合题意. 当时，直线的斜率为，方程为 .由直线与圆有公共点， 得 所以 ，即 直线的方程为，即 .由直线与圆有公共点，得 即 当时，由上式得 令， 则 ，以在上单调递增. 又 ，所以当时，必须有. 反过来，对任意，可取适当使，此时直线与圆相切，条件成立. 当时，由得 令，则 所以在 上单调递增.又 且，所以当时，必须有. 反过来，对任意，可取适当使，此时直线与圆相切，条件成立. 综上，的取值范围为 3．（2026·北京延庆·一模）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则圆M上的点到直线的距离的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在中，，所以边上的高线和中线合一，则其“欧拉线”为边的垂直平分线，因为点，点，， 因为直线的斜率为，所以的垂直平分线的斜率为， 所以的垂直平分线方程为，即， 因为“欧拉线”与圆相切，所以圆心到“欧拉线”的距离为，即，圆心到直线的距离为， 由圆的对称性可知，圆M上的点到直线的距离的最小值为. 4．（2026高三·北京·专题练习）对于曲线（其中均为正数），下列说法正确的有______________ ①曲线是轴对称图形 ②当时，曲线围成的封闭区域面积的取值范围为 ③当时，曲线与曲线有4个交点 ④当时，曲线围成的封闭区域的面积小于 【答案】①② 【分析】将代入方程判断①；代入参数求得第一象限图象与坐标轴围成的面积范围判断②；代入参数，结合基本不等式推理判断③；举特例即判断④. 【详解】①若满足曲线的方程，则满足曲线的方程，则曲线关于坐标轴以及原点对称，①正确； ②当时，曲线在第一象限为线段，与坐标轴交于， 因，则，，②正确； ③当，时，曲线：，则与 不会同时成立，曲线与曲线无交点，③错误； ④当时，取，则曲线：在第一象限为， 因此，当且仅当取等号， 如图，曲线在第一象限与坐标轴围成的面积大于直线与坐标轴围成的面积2， 因此曲线围成的封闭区域的面积大于8，④错误. 5．（25-26高三上·北京通州·期末）已知抛物线：（）的焦点为，准线与轴交于点，点是抛物线上一点，于，若为线段的垂直平分线，，则抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分线性质和抛物线定义得到，设，则，结合，求出的值，从而得到抛物线方程. 【详解】抛物线的焦点为，准线，则. 因为是的垂直平分线，所以，设. 则，代入抛物线方程可得：，即.又因为. 所以，.因此抛物线方程为.故选：C   6．（25-26高三上·北京海淀·月考）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当，，时，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线C于P，Q两点，则的周长大于12． 其中正确结论的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】确定在曲线上，①正确，曲线在一个长为6，宽为4的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④错误，得到答案. 【详解】曲线：， 对①：取曲线上点，则满足在曲线上， 故曲线关于原点对称，正确； 对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部， 故其面积小于，正确； 对③：设曲线上一点为，则，设， 到原点的距离的平方为，， ，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，错误； 对④：对于曲线和椭圆，设点 在上， 点在上，则， ，故， 所以， 设点在上，点在上，则， 所以，即，故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图： 设直线交椭圆 于两点，交轴于， 为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义可知：，， 所以的周长为12，由图可知，的周长大于12，正确. 故选：B 二、填空题 7．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）已知动直线的方程：，给出如下结论： ①动直线l恒过某一定点； ②存在不同的实数，，使相应的直线，平行； ③坐标平面上至少存在两个点都不在动直线l上； ④动直线可表示坐标平面上除，之外的所有直线； ⑤动直线可表示坐标平面上的所有直线； 其中正确结论的序号是__________． 【答案】②③ 【分析】该直线方程为以圆心，以1为半径的圆的切线方程，由此判断各结论是否正确. 【详解】点到动直线的距离为, 所以动直线为以为圆心，以1为半径的圆的所有切线. ①，因为动直线表示以为圆心，以1为半径的圆的所有切线， 这些切线与圆相切，不过定点，故①错 ②，当，即斜率存在时，直线化成一般形式得， 所以斜率，存在不同的实数，，使得，相应的直线，平行， 如，，直线平行，故②正确 ③，动直线表示圆的所有切线，圆内部的点都不在任何一条切线上，至少两个显然满足，故③正确 ④，该方程表示以为圆心，半径为1的圆的切线，不是除，的所有直线，故④错误 ⑤，该方程表示以为圆心，半径为1的圆的切线，不是坐标平面上的所有直线，故⑤错误. 8．（25-26高二上·北京丰台·期末）平面直角坐标系中，曲线是平面内与两个定点，的距离之积等于常数（）的点的轨迹.点是曲线上一点.给出下列四个结论. ①曲线关于轴对称； ②面积的最大值为； ③当时，已知点在双曲线上，若，则点在曲线上； ④当时，曲线所围成的图形面积小于椭圆：所围成的图形面积.其中所有正确结论的序号为______ 【答案】①③④ 【分析】由对称点与的关系判断①；由面积公式得出为直角时面积取到，结合曲线的定义以及勾股定理验证即可判断②；由双曲线定义以及勾股定理验证是否符合曲线的定义判断③；由曲线C的定义，设，列出方程，放缩得到的范围。结合椭圆E的范围来判断④. 【详解】①设与关于轴对称，则，， 则，则在曲线上，则曲线关于轴对称，①正确； ②，若为直角，则 则，当时，无解，故②错误； ③当时，双曲线即，交点为，，实轴长为， 则，若，则， 则，则点在曲线上，③正确； ④当时，设，则，由于，则， 同理，则， 由于，则点在椭圆内部， 则曲线在椭圆内部，曲线所围成的图形面积小于椭圆所围成的图形面积， ④正确； 故答案为：①③④. 9．（2025·北京·二模）数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹．设为上一点，给出下列四个结论： ①； ②； ③若点在第一象限，则； ④的周长可以等于． 其中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【分析】令，求得，可判定①正确；设，，结合，得到，可判定②正确；由，得到，可判定③正确；设，由余弦定理求得，得到，可判定④错误. 【详解】对于①中，由双纽线， 令，可得，解得或，所以，所以①正确； 对于②中，设，其中，且， 由， 因为，可得，可得， 所以，所以②正确； 对于③中，若点位于第一象限，要证， 即证，等价于， 由双纽线，可得，所以③正确； 对于④中，设，则三角形的周长为， 在中，由余弦定理得， 即， 即，所以， 即，所以， 因为，所以④错误. 故答案为：①②③. 三、解答题 10．（2025北京专题练习）已知椭圆C：过点，过其右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l：与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为Q，在y轴上是否存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)存在定点， 【分析】（1）直接由椭圆C过点和解方程即可； （2）先联立直线和椭圆，通过∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，表示出，由解出点P的坐标即可. 【详解】（1）由题知，椭圆C过点和，所以，解得 所以椭圆C的方程为． （2）  假设在y轴上存在定点P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立，设，，由，得，∴， ∵∠EQP＝2∠EFP，∴∠EFP＝∠FPQ，∴QE＝QF＝QP ∴点P在以EF为直径的圆上，即PE⊥PF，∴ ∴恒成立 ∴，解得∴ ∴存在定点，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立． 【点睛】本题关键点在于利用∠EQP＝2∠EFP得到点P在以EF为直径的圆上，进而得到，表示出，，联立直线和椭圆后，由韦达定理及建立方程解出点P的坐标即可. 11．（25-26高二上·北京·月考）对于，定义曲线. (1)求曲线与直线的公共点的坐标； (2)记为曲线被轴所截得的线段长度与被轴所截得的线段长度之和，求当变化时，的最小值； (3)设坐标原点为，若对于任意，曲线上均存在不同两点，使得，且，求的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据题意，化简曲线的方程为，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，化简得到曲线方程，令，得到，求得，得到曲线被轴和轴上所截得的线段长度分别为和，得到，进而得到答案； （3）设，将两点坐标代入曲线的方程，得到，转化为存在，使得，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）曲线，两边平方整理得， 联立方程，解得，所以公共点坐标为. （2）曲线，两边平方整理得： ， 令，可得， 由， 可得， 所以曲线被轴所截得的线段长度为， 同理可得，曲线被轴所截得的线段长度为， 所以，当且仅当时，等号成立，因此的最小值为. （3）设，，，，，则，曲线的方程代入点坐标可得 ， ， 因，则，而，故，因此， 存在使得方程成立，即存在，使得和有两个不同解， 因，设，， 则，， 令，则，，需存在使得，即， 因此，且存在使得， 可得：，则， 要使有解，需：且，解得. 12．（25-26高三上·北京海淀·期末）已知椭圆其上、下顶点分别为，左、右焦点分别为，，四边形是面积为8的正方形．过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)设直线的斜率分别为，求的值； (3)过点且平行于的直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1).(2)(3)点Q在定直线上 【分析】（1）利用正方形对角线相等且面积为8计算出b，c，进而求出椭圆C的方程. （2）根据点设出直线斜截式后联立化简即可求解. （3）根据已知条件对和的关系进行先猜后证，再联立两直线方程后即可求解. 【详解】（1）由四边形是面积为8的正方形得：，解得， 由，解得.综上，椭圆C的方程为：. （2）由直线MN过点，故设直线MN：，，，且有， 联立，化简得，其中， 由（1）得，则，， 则. 综上，的值为. （3）由（2）中韦达定理得，，，   根据形式先猜后证：，即，进而得，证明成立. 设过P平行于BM的直线方程为，直线AN的方程为， 联立，得，代入，得，代入直线AN的方程得. 综上，点Q在定直线上. 【点睛】根据复杂的条件形式进行先猜后证是解决圆锥曲线压轴题的常用方法，要仔细观察条件之间可能存在的系数关系. 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $