精品解析：广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年高一年级下学期数学期中考试模拟（二）

广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年高一年级下学期数学期中考试模拟（二） 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 则的虚部为1. 2. 已知，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及数量积的定义计算可得. 【详解】解：因为，所以， 即， 又， ∴， 即， ∵两向量夹角的范围为，所以， 即与的夹角为. 故选：C. 3. 如图所示，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据．且，，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解. 【详解】因为．且，， 所以， ， ， . 故选：C 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可． 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以． 故选：A． 5. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理求出角即可得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则，所以. 故选：C 6. 已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆､圆上的点，若，则异面直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在圆的投影为，连接，计算，根据余弦定理得到，得到答案. 【详解】如图所示：在圆的投影为，连接，易知， 在直角中，， 在中，根据余弦定理，， ，故， 故异面直线所成的角为. 故选：C. 7. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差，再由体积求出模型的质量. 【详解】由题意得， ， 四棱锥O−EFGH的高3cm， ∴． 又长方体的体积为， 所以该模型体积为， 其质量为． 故选：A 8. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 结合正弦定理可得：， 因为为三角形内角，所以，所以. 由余弦定理，. 所以. 所以周长为. 二、多选题 9. 已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确. 【详解】因为复数， 所以其虚部为，即A错误； ，故B正确； 复数的共轭复数，故C正确； 复数在复平面内对应的点为，显然位于第一象限，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型. 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的（ ） A. 不可能垂直于 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 若正方体的棱长为，且，分别为，的中点，则过，，的截面面积最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明、计算判断AD；证明面面平行判断B；证明线面平行判断C. 【详解】对于A，当与重合时，由于平面，平面，则，A错误； 对于B，连接，正方体的对角面是矩形， 则，而平面，平面，于是平面， 同理平面，又平面， 因此平面平面，而平面，所以平面，B正确； 对于C，由选项B知，平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值， 又的面积是定值，因此三棱锥的体积是定值，不变，C正确； 对于D，当与重合时，直线分别与的延长线交于点， 连接，分别与棱交于点，连接，则五边形是过的截面， 显然，，， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，，同理，显然， ， 因此截面面积，而， 所以，D错误. 故选：BC 11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 或 D. 的面积为6 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，利用余弦定理得到，从而得到；对B，根据，利用正弦定理和正弦的两角和公式即可得到，从而得到；对C，利用正弦两角和公式得到，再利用正弦定理即可得到；对D，根据面积公式直接求解即可. 【详解】对选项A，因为，所以， 即，所以，故A正确. 对选项B，因为，所以 即：， 所以，因为， 所以，，即，故B错误. 对选项C，因为，，所以， 又，可得，. 所以， 因为，所以，故C错误. 对选项D，，故D正确. 三、填空题 12. 已知＝(2，－1)，＝(1，x)，且，则x＝________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得. 【详解】由于， 所以. 故答案为： 13. 如图测量河对岸的塔高时，选择与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为__________. 【答案】米 【解析】 【详解】在△BCD中，， 由正弦定理得， 解得(m）， 在Rt△ABC中，(m). 14. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 【答案】## 【解析】 【详解】过作于点，如图： 则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以，所以球的半径， 所以球的体积，圆台的体积， 所以. 四、解答题 15. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数是实数，求实数的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算并结合纯虚数的定义解方程即可得出结果； （2）由共轭复数定义并计算出结果，再利用实数的虚部为0，解方程可求得. 【小问1详解】 易知， 若复数为纯虚数，可得， 解得； 【小问2详解】 由可得， 所以， 若复数是实数，可得， 解得； 16. 已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． （1）求点的坐标； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求平行四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）设点的坐标，根据向量相等直接得到所求点的坐标. (2)由向量与的数量积直接计算向量的夹角余弦值. (3)由（2）向量的夹角余弦计算正弦，再由面积公式计算平行四边形的面积. 【小问1详解】 由题意得， 设，则． 由，得得 所以点的坐标为． 【小问2详解】 由题意得， ，，， 所以向量与夹角的余弦值为． 【小问3详解】 由（2）得向量与夹角的正弦值为， 所以平行四边形的面积为. 17. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式推出，可求得答案； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. （3）由正弦定理表示出，结合两角差的正弦公式可化简得到，确定角的范围，结合正弦函数性质即可求得答案. 【小问1详解】 在中，因为， 所以，即， 因为所以，故 ，则； 【小问2详解】 因为的面积为，即， 所以. 由余弦定理得. 解得, 所以周长为. 【小问3详解】 由正弦定理得，即， 则， 因为为锐角三角形，则 ，故， 所以，则， 故， 故周长的取值范围为. 18. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； （2） （3） 当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 【解析】 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 略 19. 如果三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称它为倍角三角形．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）判断是否为倍角三角形，并说明理由； （2）已知． ①证明：是锐角三角形； ②若，求面积的取值范围． 【答案】（1） △ABC是倍角三角形，理由如下： 由正弦定理得，结合已知条件可得​，交叉相乘得： ， 由余弦定理，联立两式化简得， 由正弦定理可得， 又，， 代入整理得因为，所以或， 若得，不符合三角形内角和，舍去； 故，即，符合倍角三角形定义，因此是倍角三角形. （2） ①证明：是锐角三角形： 由，得， 由正弦定理，  已知，故​，又，得，即， 因为​，，， 因此三个内角均为锐角，是锐角三角形. ② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知的边角比例关系转化为边的关系式，结合余弦定理与三角形内角和定理推导出存在一个内角等于另一个内角的两倍，从而完成判断； （2）结合第一问得到的的结论，由三角形内角和得到，再利用正弦定理将转化为关于角的三角函数不等式，求出三个内角的范围后验证三个内角都小于，完成证明；②由和确定的取值范围，结合第一问得到的边、角关系，将三角形面积表示为关于的函数，结合函数单调性求出面积的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ① 略 ②因为，所以， 由正弦定理及得，所以， 所以，又，所以， 所以， 又，所以， 因为函数在单调递增，， 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东深圳外国语学校（集团）龙华高中部2025-2026学年高一年级下学期数学期中考试模拟（二） 一、单选题 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 已知，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，．若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆柱的底面半径和母线长均为分别为圆､圆上的点，若，则异面直线所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型．如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E、F、G、H分别为所在棱的中点，，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为（ ） A. B. C. D. 8. 内角，，所对边分别为，，，若，，，则周长为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数（其中为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数的共轭复数 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 10. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的（ ） A. 不可能垂直于 B. 平面 C. 三棱锥的体积不变 D. 若正方体的棱长为，且，分别为，的中点，则过，，的截面面积最大值为 11. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 或 D. 的面积为6 三、填空题 12. 已知＝(2，－1)，＝(1，x)，且，则x＝________. 13. 如图测量河对岸的塔高时，选择与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高为__________. 14. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该圆台的体积与球的体积之比为______. 四、解答题 15. 已知复数（，为虚数单位），其共轭复数为． （1）若复数为纯虚数，求实数的值； （2）若复数是实数，求实数的值； 16. 已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． （1）求点的坐标； （2）求向量与夹角的余弦值； （3）求平行四边形的面积． 17. 已知为锐角三角形，分别为三个内角的对边, 且， （1）求； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，求周长的取值范围. 18. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 19. 如果三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称它为倍角三角形．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）判断是否为倍角三角形，并说明理由； （2）已知． ①证明：是锐角三角形； ②若，求面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $