专题03 反比例函数与几何综合8大题型（选择，填空，解答压轴题）（压轴题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦反比例函数与几何综合压轴模块，以8类高频题型为框架，通过选择、填空、解答题分层突破，强化知识融合与思想方法应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |k的几何意义综合题|5题|结合矩形、三角形面积判定|反比例函数k值与图形面积关系| |面积比例与定值问题|4题|一次函数与反比例函数交点面积计算|面积公式与函数解析式联立应用| |线段与最值问题|5题|动点线段长度及周长最小值|几何直观与函数性质结合求最值| |k与面积综合题|4题|多图形面积关系及k值求解|面积转化与k几何意义迁移| |线段与相似综合题|6题|相似三角形判定与线段比例|相似性质与函数坐标关系推导| |面积最值与函数综合题|3题|动点面积表达式及最大值|函数建模与二次函数最值应用| |图形变换综合题|4题|平移、旋转后函数图象交点|图形变换性质与函数解析式结合| |特殊图形存在性问题|6题|平行四边形、直角三角形存在性|分类讨论与方程思想解决存在性|

专题03 反比例函数与几何综合（选择，填空，解答压轴题） 命题预测 反比例函数与几何综合是全国中考数学必考核心压轴模块，通常占据选择题最后 1 题（3 分）和解答题倒数第 2-3 题（8-10 分），单模块总分值约 11-13 分，仅次于二次函数综合。该模块跨模块融合性强、设问角度灵活、区分度极高，是尖子生拉开差距、中等生冲刺高分的关键分水岭。综合近 5 年全国中考命题规律，预计 2026 年中考命题仍将围绕以下核心题型展开，同时呈现出更注重综合应用与思想方法考查的新趋势。 高频考法 题型01 k 的几何意义综合题 题型02 面积比例与定值问题 题型03 线段与最值问题 题型04 k 的几何意义与面积综合题 题型05 线段与相似综合题 题型06 面积最值与函数综合题 题型07 图形变换综合题 题型08 特殊图形存在性问题 典例·靶向·突破 题型01 k 的几何意义综合题 1．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线和都是等腰直角三角形，，点位于轴负半轴上，是双曲线上一点，若，则_______． 3．（2026·广西贵港·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（ ）的图象上，则的面积等于______． 4．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 题型02 面积比例与定值问题 6．（2026·上海普陀·一模）如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为_______． 7．（2026·江西上饶·一模）如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是x轴上一点，若的面积是面积的6倍，求点P的坐标． 8．（2025·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当 时，自变量x的取值范围； (4)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ． 9．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 题型03 线段与最值问题 10．（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、． (1)求点的坐标； (2)求的最小值． 11．（2026·山西大同·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 12．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 14．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 题型04 k 的几何意义与面积综合题 15．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空：________； 【深入探究】 （2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 16．（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图象上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图象上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此时是的角平分线． 17．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 18．（2025·河南开封·二模）如图，的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，．将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点的对应点． (1)求过点的反比例函数解析式，并画出其图象． (2)在过点的反比例函数图象上任取一点，过点向轴作垂线，交的图象于点，连接，，的面积会发生变化吗？若不变化，求出的面积；若变化，请说明理由． 题型05 线段与相似综合题 19．（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” (1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． (2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． (3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 21．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 22．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，是原点，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，且，延长交反比例函数（）的图象于点，记点，的横坐标分别为，．当，的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 23．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知点，点，直线与反比例函数的图象交于两点，若，则___________． 24．（2026·广东佛山·一模）如1图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E． (1)若点E坐标为，求该反比例函数的表达式； (2)如2图，在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点F，若，求点D的坐标； (3)如3图，连接和，过点D作x轴的平行线交于点G，连接，若，猜想与的数量关系，并证明． 题型06 面积最值与函数综合题 25．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，． (1)分别求出直线和双曲线的函数表达式； (2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标． 26．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集 (3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 27．（2025·宁夏银川·模拟预测）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于，两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究： 【探索发现】（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9 y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当________时，y的最大值为________． 【迁移应用】连接、（请自行完成作图），探究：的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由． 题型07 图形变换综合题 28．（2026·四川成都·一模）小宇同学在学习了反比例函数的图象（如下图）后，继续对新函数的图象和性质进行探究，请补充以下探究过程： (1)【基本操作】 第一步：对函数图象上的部分点列表如下： … … … … 求出表格中的值为_____． 第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出的图象．    (2)【观察发现】函数的图象可由的图象平移得到，请描述这个平移的过程： ；若将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： ． (3)【能力提升】函数与的图象都是双曲线，且既是中心对称图形又是轴对称图形．直接写出的对称中心坐标和对称轴的解析式． (4)【拓展应用】若直线与的图象有且只有一个交点，求的值． 29．（2026·河南信阳·一模）如图，直线与反比例函数图象交于点和点B． (1)求反比例函数表达式． (2)连接，则_____（填写“<”或“=”或“>”）． (3)将直线m向上平移得到直线n，直线n与反比例函数图象交于点C和点D，连接，若，请直接写出平移后直线n的表达式． 30．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 31．（2026·广东珠海·一模）如图1，矩形的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点D，． (1)当时，则的值为______； (2)如图2，连接，将沿翻折，若点B刚好落在轴上的点处时，连接，求证：是等腰三角形． 题型08 特殊图形存在性问题 32．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 33．（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，经过原点，且． (1)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． (2)若反比例函数的图象过点．则的值为___________； (3)在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 35．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P在边上，直线l的解析式为，直线l交于点D，交于点E． (1)如图1，连接，求D，E的坐标； (2)如图2，若以和为邻边作矩形，求过点Q的反比例函数的表达式； (3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由． 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 2．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 6．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数与几何综合（选择，填空，解答压轴题） 命题预测 反比例函数与几何综合是全国中考数学必考核心压轴模块，通常占据选择题最后 1 题（3 分）和解答题倒数第 2-3 题（8-10 分），单模块总分值约 11-13 分，仅次于二次函数综合。该模块跨模块融合性强、设问角度灵活、区分度极高，是尖子生拉开差距、中等生冲刺高分的关键分水岭。综合近 5 年全国中考命题规律，预计 2026 年中考命题仍将围绕以下核心题型展开，同时呈现出更注重综合应用与思想方法考查的新趋势。 高频考法 题型01 k 的几何意义综合题 题型02 面积比例与定值问题 题型03 线段与最值问题 题型04 k 的几何意义与面积综合题 题型05 线段与相似综合题 题型06 面积最值与函数综合题 题型07 图形变换综合题 题型08 特殊图形存在性问题 典例·靶向·突破 题型01 k 的几何意义综合题 1．（2026·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面五个结论：①与的面积一定相等；②；③与的面积不可能相等；④可能是钝角三角形；⑤可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的个数有（  ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可判断①；设点C的坐标为，则，可得到，可证明，可判断②；矩形的性质结合反比例函数的意义，可判断③，根据等边三角形和反比例函数的对称性，可判断⑤，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，可判断④，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，即与的面积一定相等，故①正确； 设点C的坐标为，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故③正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故⑤正确， 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故④正确； 综上，正确的有①②③④⑤． 2．（2026·安徽蚌埠·二模）如图，双曲线和都是等腰直角三角形，，点位于轴负半轴上，是双曲线上一点，若，则_______． 【答案】 【分析】设，，根据题意列式表示出D点的坐标，进而可得，然后再面积差求出，由此即可求出答案． 【详解】解：设，， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴，即， 又∵，即， ∴ ∴， ∴． 3．（2026·广西贵港·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，是的中线，点在反比例函数（ ）的图象上，则的面积等于______． 【答案】 【分析】过点、点作轴的垂线，垂足为，则，得出，设，则，根据反比例函数的解析式表示出， ，，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点、点作轴的垂线，垂足为，则， ∴， ∵是的中线， ∴， 设，则， ∵点在反比例函数（）的图象上， ∴的横坐标为，的横坐标为， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，A、B是双曲线上的两个点，分别过点A，B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6，则k的值为_________． 【答案】 【分析】用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k的几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图，设过点A，B作x轴和y轴的垂线的垂足分别为，与交于点，两个空白的矩形面积分别表示为， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为1，两个空白矩形的面积之和为6， ∴， 又∵反比例函数图象经过第二象限， ∴． ∴． 5．（2026·江苏无锡·一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，则k的值为（　　） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，作轴，先证明，利用相似比得到，继而求出值即可． 【详解】如图，作轴，垂足为，作轴，垂足为， 由条件可知， ， ， 由条件可知， ， 点A在反比例函数的图象上 ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 题型02 面积比例与定值问题 6．（2026·上海普陀·一模）如图，点、点是双曲线图象上的两点(在的右侧) ．延长交轴正半轴于，的中点为．连接，，交点为．若的面积为，四边形的面积等于的面积，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等，求得是解题的关键． 先求出为中边的中线，求出面积的比例，再推导为中边的中线，根据中线得出为重心，求出，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可． 【详解】解：∵的中点为， ∴为中边的中线， ∴，即． 四边形的面积等于的面积，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵和高相等， ∴， ∴为中边的中线．     ∴为的重心， ∴， ∵设和过点的高为， ， ∴， ∴， ∴． ∵设，， ∵， ∴，即，即 ∴，即． ∵点、点在双曲线上， ∴， 将代入①中得：，即， ， ， ． 故答案为：． 7．（2026·江西上饶·一模）如图，一次函数的图象与x轴交于点C，交y轴于点D（点C与点D不重合），与反比例函数的图象交于，B两点，已知． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点是x轴上一点，若的面积是面积的6倍，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点或点 【分析】（1）先求出，得到，则，进而推导出反比例函数的解析式为，得到当时，；当时，，再根据，得到，求出m的值，即可解答； （2）先求出，点，得到，推导出，得到，解得或，即可解答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点D，与反比例函数的图象交于，B两点， ∴， ∴点， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 当时， ， ∴； 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去，此时点与点重合）， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵一次函数图象交x轴于点C，交y轴于点D， ∴点，点， ∴， ∴， ∵点是x轴上一点， ∴． ∵的面积是面积的6倍， ∴， 解得或， ∴点或点． 8．（2025·四川内江·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接、． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当 时，自变量x的取值范围； (4)点M为线段上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与的面积比为，则点M的坐标为 ． 【答案】(1)； (2)12 (3)或 (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分别求出和的面积即可解决问题； （3）根据函数图象得出当 时，自变量x的取值范围即可； （4）根据题意得出点M为的中点，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为， 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为， 将代入得，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴，， ∴． （3）解：∵点A的坐标为，， ∴当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下面， ∴当 时，自变量x的取值范围为或； （4）解：∵， ∴， ∵与的面积比为， ∴， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求证：； (2)的面积是定值吗？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的面积不是定值 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数面积问题； （1）联立，整理得，在根据一元二次方程根与系数的关系得到； （2）先求出，，再根据，由，，求出，据此判断即可； （3）先求出，，再根据，得到，则． 【详解】（1）解：方法一：根据函数图象可得在第一象限，在第三象限， ∴， ∴； 方法二：∵一次函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴联立，整理得， ∴和是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，，则，； 当时，，则，； ∴ ， 由（1）可得，， ∴， ∵的值不确定， ∴的值不确定， ∴的值不确定， 即的面积不是定值； （3）解：，理由如下： ，， ∵， ∴， ∴． 题型03 线段与最值问题 10．（2026·江苏宿迁·二模）如图，反比例函数的图象与直线交于，两点，点是线段上一个动点（与、两点不重合），过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为点、，、与反比例函数图象分别交于点、． (1)求点的坐标； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把反比例函数与一次函数的解析式联立起来，解方程即可求出点的坐标； （2）点是线段上一个动点，设点的坐标为，则有点的纵坐标为，点的横坐标为，根据点、在反比例函数上，分别求出点的横坐标和点的纵坐标，即为、的长度，所以可得，再利用二次函数的性质求出的最小值． 【详解】（1）解：解方程， 整理可得：， 解得：，， 点在点左侧， 点的横坐标为， ， 点的坐标为； （2）解：点是线段上一个动点， 设点的坐标为，其中， 点的纵坐标为，点的横坐标为， 点在反比例函数上， ， ， ， 点的横坐标为，点在反比例函数上， 点的纵坐标为， ， ， ， 当取最大值时有最小值， 的最大值为， 的最小值为． 11．（2026·山西大同·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于第二象限内的点，与轴、轴分别交于，．过点作垂直轴于点，已知．点为直线上一动点，连接． (1)求反比例函数的解析式； (2)求线段的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线解析式，代入得点坐标，再代入反比例函数即可求解析式； （2）由垂线段最短可知时最小，此时为斜边上的高，用等积法即可求此时长． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， ∴， ∵， ∴把代入，得： ， ∴点坐标为， 把代入，得： ， 解得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由“垂线段最短”可知：当时，最小，如图， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∵， ∴， 解得， 即线段的最小值为． 12．（2026·广东梅州·一模）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，求出直线解析式为，与反比例函数解析式联立求出．作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点． ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， 设直线解析式为， ∵点B坐标为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 连接，交y轴于点G，此时最小． 设直线的解析式为． 将，代入： 解得， ∴直线的解析式为． 令，得． ∴点G坐标为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 13．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系中，当直角三角板的直角顶点落在处时，锐角顶点、恰好落在反比例函数第一象限的图象上． (1)分别求反比例函数的表达式和直线所对应的一次函数的表达式； (2)在轴上是否存在一点，使周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为，直线所对应的一次函数的表达式为 (2)存在，周长的最小值为，理由见解析 【分析】（1）过点A，B作轴于点D，轴于点E，求出，证明，得，，求出，，得反比例函数的表达式为，求出直线解析式； （2）作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P，可得，求出 ，，即得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∴， 过点A，B作轴于点D，轴于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为． （2）解：周长存在最小值．理由： 作点B关于x轴的对称点F，过点F作交延长线于点G，连接交x轴于点P， 则， ∴， 此时，的值最小，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称性质，是解题的关键． 14．（2025·四川雅安·二模）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． (1)分别求出和的值； (2)结合图象直接写出中的取值范围； (3)在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查反比例函数解析式中的几何意义，利用图像解不等式，对称求最值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用反比例函数的几何意义可以求出反比例函数解析式，再将和点的坐标代入即可求出的值； （2）利用函数图像即可求出不等式的解集； （3）因为点关于轴的对称点，又，则直线与轴的交点即为所求的点，求出直线的关系式，再求其与x轴的交点坐标即可． 【详解】（1）解：∵的面积为4， ∴， 解得，或（不符合题意舍去）， ∴反比例函数的关系式为， 把点和点代入得， ，． 答：，； （2）解：根据一次函数与反比例函数的图象可知， 不等式的解集为： 或； （3）解：∵点关于轴的对称点， 又，则直线与轴的交点即为所求的点， 设直线的关系式为，代入和得， ， 解得，， ∴直线的关系式为， 令，， ∴直线与轴的交点坐标为， 即点P的坐标为． 题型04 k 的几何意义与面积综合题 15．（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴，轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空：________； 【深入探究】 （2）求证：点在直线上； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（）；（）见解析；（），理由见解析． 【分析】（）由于点是反比例函数的图象上一点，则，根据即可求出的值； （）设，，由轴，轴，则，，求出直线的解析式为，当时，，从而求解； （）连接交于点，证明四边形是矩形，则，，，所以，，故有，由，则可得，则，然后通过平行线的性质即可求解． 【详解】解：（）由于点是反比例函数的图象上一点， 则， 又∵， ∴， 答案：； （）由（）知：， 设，， ∵轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上； （），理由如下： 如图，连接交于点， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，等边对等角，矩形的判定与性质，一次函数的性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 16．（2025·山东日照·模拟预测）如图，点B在函数的图象上，过点分别作x轴和y轴的平行线交函数的图象于点A，C． (1)若点B的坐标为，求点A坐标和直线解析式； (2)当点B为函数图象上的动点，问四边形的面积是否变化，若不变，请说明原因；若变化，请用m的代数式表示四边形面积； (3)当平分与x轴正半轴的夹角，求证此时是的角平分线． 【答案】(1)； (2)不变；理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据点B的坐标为，轴，得出点A的纵坐标为3，代入反比例函数解析式，求出点A的横坐标即得出答案；先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）延长交轴于点D，延长交x轴于点E，证明四边形为矩形，得出，，根据求出结果即可； （3）过点C作于点H，根据角平分线的性质和判定进行证明即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，轴， ∴点A的纵坐标为3， 把代入得：， ∴， ∵轴， ∴点C的横坐标为2， 把代入得：， ∴， 设直线解析式为，把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为． （2）解：四边形的面积不变，理由如下： 延长交轴于点D，延长交x轴于点E，如图所示： ∵轴，轴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵点A、C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴四边形的面积不变； （3）证明：过点C作于点H， ∵点， ∴，即， ∴点C的坐标为，则点B的坐标为， 则， ∴， ∵平分与x轴正半轴的夹角，轴， ∴， ∴， ∵， ∴是的平分线． 17．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，． (1)当时，______； (2)当时，______； (3)当时，______； (4)当时，______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可． 【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026， 阴影矩形的一边长都为1， 记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示： 将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则， 当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （2）解：同理当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （3）解：当时，把代入，得，即， ，根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：； （4）解：当时，把代入，得，即，， 根据反比例函数中的几何意义可知， ， 故答案为：． 18．（2025·河南开封·二模）如图，的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，．将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点的对应点． (1)求过点的反比例函数解析式，并画出其图象． (2)在过点的反比例函数图象上任取一点，过点向轴作垂线，交的图象于点，连接，，的面积会发生变化吗？若不变化，求出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】(1)过点的反比例函数解析式为，图象见解析 (2)的面积不会发生变化，的面积为 【分析】（1）根据点坐标平移的特征确定，即可确定过点的反比例函数解析式，继而画出相应图象； （2）根据反比例函数系数的几何意义可得，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，， ∵将先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点的对应点， ∴， 设点的反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴过点的反比例函数解析式为，其图象如下图所示； （2）如图，设交轴于点， ∵轴，过点的反比例函数解析式为，反比例函数的图象过格点，， ∴，， ∴， ∴的面积不会发生变化，的面积为． 【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，作函数图象，点坐标平移的规律，反比例函数系数的几何意义等知识点，解题的关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为． 题型05 线段与相似综合题 19．（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 【详解】（1）解：设． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 20．（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务． 问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．” (1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． (2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：． (3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)． 【答案】(1)正确，见解析 (2)见解析 (3)k 【分析】（1）由，可得，求证，即可求解； （2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解； （3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可. 【详解】（1）解：正确．证明如下： 由，可得． 又， ， ， ． （2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则； 又，， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ； （3）解：如图（2），连接，，则． 又， ， ，， ， ． 21．（2026·江苏无锡·一模）如图，A是反比例函数的图象上一点，延长至点B，使，过点B作轴，交该反比例函数图象于点C，过点A作，交于点D，若四边形的面积为4，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，进而可得，根据面积的和差求出，设点坐标为，则，由轴，结合反比例函数性质可得，由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 设点坐标为，则， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（2026·浙江嘉兴·一模）如图，在直角坐标系中，是原点，点在反比例函数（为常数，，）的图象上，点在轴上，且，延长交反比例函数（）的图象于点，记点，的横坐标分别为，．当，的值变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，作轴于点，作轴于点，推出 ，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意，，， 过点A作轴于点，过点B作轴于点， 则，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，为定值． 23．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知点，点，直线与反比例函数的图象交于两点，若，则___________． 【答案】 【分析】根据点C和点D的坐标可得；过点A作于点E，过点B作 于点F，都是等腰直角三角形，；设，由平行线分线段成比例定理得到，则可推出，求出，，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于点E，过点B作 于点F， ∴都是等腰直角三角形，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵点A和点B都在反比例函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 24．（2026·广东佛山·一模）如1图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E． (1)若点E坐标为，求该反比例函数的表达式； (2)如2图，在（1）的条件下，连接交反比例函数的图象于点F，若，求点D的坐标； (3)如3图，连接和，过点D作x轴的平行线交于点G，连接，若，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）直接把代入，求解即可； （2）过点F作交于G，得，得出进而得到，再根据矩形的性质与点E的坐标，求出点F的坐标，进而求出点D的坐标即可； （3）先证明四边形为矩形，再连接，再利用 矩形的性质与等腰三角形的判定，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ， 解得：， ∴． （2）解：过点F作交于G，如图， 则， ∴ ∵ ∴ ∵矩形，， ∴点B的纵坐标为9，即， ∴，即点F的纵坐标为3， 当时，则， ∴ ∴ ∴ ∴， 当时，则， ∴． （3）解：，证明如下： ∵反比例函数的图象与矩形的边，分别交于点D与点E， ∴设，，， 则，， 设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点G的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点G的纵坐标为，， 把代入得， ∴ ∵， ∴轴， ∴ ∵轴， ∴ ∴， ∵矩形 ∴ ∴四边形为矩形， 连接，如图， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型06 面积最值与函数综合题 25．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，． (1)分别求出直线和双曲线的函数表达式； (2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式，再将代入反比例函数解析式求出n的值，进而可求直线的函数表达式； （2）设，先求出m的取值范围，再根据题意得到的面积的函数表达式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得： 解得：， ∴； （2）解：设， ∵点是线段上的一个动点， ∴， ∵过点作轴于点，是轴上一点， ∴，到的距离为m， ∴的面积， ∵， ∴当时，的面积最大， ∵在的范围内， ∴当的面积最大时，． 26．（2025·河南郑州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集 (3)设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数图象于点E，当的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值． 【答案】(1)， (2)或 (3)的面积最大值为4，此时 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式，二次函数的图象性质以及待定系数法求解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由点坐标可得反比例函数解析式，由反比例函数解析式可得点坐标，可得一次函数解析式； （2）运用数形结合思想，根据函数的两个交点坐标，即可作答． （3）根据题意，设设，则，表示出，即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴ ∵点在一次函数的图象上 ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：根据图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数图象的上面， ∴不等式的解集为或； （3）解：把代入得， ∴， 设，则， ， ∵， ∴当时，的面积最大，此时，面积最大值为4． 27．（2025·宁夏银川·模拟预测）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了和的图像，两个函数图像交于，两点，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现的长度随着点P的运动而变化．为了进一步研究的长度与点P的横坐标之间的关系，小华进行了以下探究： 【探索发现】（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）若设的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________； （2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像： ①列表： x 1 1.5 2 3 4 4.5 6 9 y 0 2.5 3.5 4 3.75 3.5 2.5 0 ②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点； ③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当________时，y的最大值为________． 【迁移应用】连接、（请自行完成作图），探究：的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，（2）图见解析，3，4（3）存在，面积的最大值为 【分析】本题考查一次函数图像与反比例函数图像的交点问题，二次函数的综合应用： （1）根据题意，点P的横坐标为x，由点P在的图像上即可得出纵坐标，点Q在的图像上即可得出纵坐标，的长度为y，根据的长等于纵坐标之差求解即可； （2）描点，连线，画出函数图像，根据图像作答即可； （3）根据三角形的面积公式，列出函数关系式，利用函数的性质，求出最值即可． 【详解】解：（1）点P的横坐标为x，在线段上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q， 点P的纵坐标为，点Q的纵坐标为， 的长度为y， ； （2）描点，连线，如图所示；    由图像可知：当时，y有最大值为4； （3）存在， 由（1）可知：， 由图像可知：， ∴当时，最大为：． 题型07 图形变换综合题 28．（2026·四川成都·一模）小宇同学在学习了反比例函数的图象（如下图）后，继续对新函数的图象和性质进行探究，请补充以下探究过程： (1)【基本操作】 第一步：对函数图象上的部分点列表如下： … … … … 求出表格中的值为_____． 第二步：通过描点、连线在如图所示的同一直角坐标系中画出的图象．    (2)【观察发现】函数的图象可由的图象平移得到，请描述这个平移的过程： ；若将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，请写出平移后新函数的解析式： ． (3)【能力提升】函数与的图象都是双曲线，且既是中心对称图形又是轴对称图形．直接写出的对称中心坐标和对称轴的解析式． (4)【拓展应用】若直线与的图象有且只有一个交点，求的值． 【答案】(1)，图见解析 (2)向右平移3个单位长度得到；． (3)对称中心为，对称轴为直线和直线； (4)或 【分析】（1）将代入函数表达式，求出的值，并用描点法画出函数图象； （2）对比两个函数的图象，得出平移过程，并按照这个平移方式，写出平移后的函数解析式即可； （3）根据的对称中心坐标和对称轴的解析式，结合平移过程，得出的对称中心坐标和对称轴的解析式； （4）联立直线和双曲线，得到关于的一元二次方程，由交点个数为推断出判别式为，得到关于于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， 函数图象如图所示： （2）解：观察两个函数的图象可知， 函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到； 将的图象向左平移2个单位，向上平移1个单位，则平移后新函数的解析式为． 故答案为：向右平移3个单位长度；． （3）解：∵的对称中心为，对称轴为直线， 又∵函数的图象可由的图象向右平移3个单位长度得到， ∴的对称中心为，对称轴为直线和直线； （4）解：当直线与双曲线相交时， ， 化简，得， ∵直线与双曲线只有一个交点， ∴判别式， 化简，得， 解得或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，画函数图象，函数平移问题，一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握相关知识是关键． 29．（2026·河南信阳·一模）如图，直线与反比例函数图象交于点和点B． (1)求反比例函数表达式． (2)连接，则_____（填写“<”或“=”或“>”）． (3)将直线m向上平移得到直线n，直线n与反比例函数图象交于点C和点D，连接，若，请直接写出平移后直线n的表达式． 【答案】(1) (2)= (3) 【分析】（1）把直接代入中，求出的值即可； （2）联立方程组，求解得，，得出点、的坐标，求出，的值，再进行比较即可； （3）设平移后的解析式为，与联立得，设，，得到，，求得，，代入得，求出，，进行验证可得结论． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数图象交于点， ∴， ∴， ∴反比例解析式为； （2）解：联立方程组， 解得，， ∴，， ∴， ， ∴； （3）解：设平移后的直线的解析式为， 联立， 整理得， 设，，则，， 由得，， 又代入得， 令，则， 解得或 ∴，，其中不合题意，舍去， ∴或， ∴，，（反之也成立） 将代入，则，解得． 所以，平移后直线n的表达式为． 30．（2026·山东济南·一模）将一副三角板按图1方式摆放在平面直角坐标系中，含角的三角板的直角边落在轴上，，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将三角板绕点顺时针旋转至， ①如图1，点为三角板边上一点，旋转后点的对应点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标； ②如图2，若将三角板绕点顺时针旋转至，使点落在边上，请判断点旋转后的对应点是否在反比例函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)①，②在反比例函数图象上，理由见解析 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）①过点作于点，由旋转得，将代入反比例函数表达式，进而即可求解； ②过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，先证明， 结合旋转的性质可得， 再把代入反比例函数表达式进行检验即可 【详解】（1）解：将代入反比例函数表达式得：， ∴， ∴反比例函数表达式为； （2）解：①如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， 由旋转得， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知，， 由旋转得：，， ∴在中，，， ∴，， ∴， 将代入反比例函数表达式，得：， ∴在反比例函数图象上． 31．（2026·广东珠海·一模）如图1，矩形的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上，反比例函数的图象与，分别交于点D，． (1)当时，则的值为______； (2)如图2，连接，将沿翻折，若点B刚好落在轴上的点处时，连接，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用矩形的性质可得轴，轴，根据点的坐标可得，再结合，得到，得到，点的横坐标为，即可求出反比例函数的解析式，即可求出点的纵坐标，即可解答； （2）分别过D，E作于G点，于H点，根据反比例函数k的几何意义，得到，结合矩形的性质可得，设，则，，求出，证明，得到，求出，结合，即可证明． 【详解】（1）解：矩形的顶点O与坐标原点重合，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上， ∴， ∵， ∴， ∴，点的横坐标为， 将点代入反比例函数， ∴，解得， ∴反比例解析式为， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：分别过D，E作于G点，于H点， 则， ∵， 则， ∴， 设，则，， ∴， ∵翻折 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，即为等腰三角形． 题型08 特殊图形存在性问题 32．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，利用中点坐标公式列方程是关键． （1）把代入求解，得到反比例函数的解析式，再把代入求解，得到，最后把和代入即可； （2）设，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入，得， ， 把和代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 理由如下： 对于， 令，则， ， ， 设， 对于O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： ①以为对角线时，， 解得， ； ②以为对角线时，， 解得， ； ③以为对角线时，， 解得， ， 点P在轴右侧坐标平面内， 不合题意，舍去； 综上所述，存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 33．（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 34．（2026·湖北荆州·一模）如图，已知点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，经过原点，且． (1)过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则___________． (2)若反比例函数的图象过点．则的值为___________； (3)在（2）的条件下，在轴的正半轴上是否存在一点，使为以点为直角顶点的直角三角形，若不存在，请说明理由；若存在，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)16 (3) 【分析】（1）证明，得出； （2）根据，得出，求出，，从而得出，即可得出答案； （3）设点P的坐标为，根据为以点为直角顶点的直角三角形，得出，即可得出， 【详解】（1）解：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：∵点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ； ∵为以点为直角顶点的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为． 35．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为， (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，求得，可得，进而可得反比例函数为，联立解析式即可求出交点坐标 （2）由面积比，结合共底三角形面积比等于高之比，得点，进而求出点C横坐标，由此求出直线解析式，可得点坐标，再根据计算面积即可； （3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，分三种情况讨论直角的位置，根据勾股定理列方程求解出点坐标，再根据平移确定点N坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数，解得， 故． 将代入反比例函数，得， 因此反比例函数为：， 联立一次函数与反比例函数，得 解方程组得，， 故点坐标为. （2）解：如图，直线与y轴交于点H． ∵，，， ∴， ∵，点在第三象限， ∴， 故 ∴直线解析式为：， ∴点坐标为， ∴ （3）解：设点坐标为， ∵，， ∴， ， ， 以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，分三种情况 ①当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；，， ∴点坐标为， 将点向左平移1单位，上平移2单位得到点， ∴点坐标为， ②当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；， ∴点坐标为， 将点向右平移1单位，下平移2单位得到点， ∴点坐标为， ③当时，， ， 整理得： 解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 此时不存在满足条件的M， 综上所述：使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，点坐标为或． 【点睛】解（3）的关键是根据矩形的性质，利用勾股定理列方程求解． 36．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P在边上，直线l的解析式为，直线l交于点D，交于点E． (1)如图1，连接，求D，E的坐标； (2)如图2，若以和为邻边作矩形，求过点Q的反比例函数的表达式； (3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或或 【分析】（1）根据点在直线上，当时解出的值即可求出点的坐标，根据、的纵坐标相等，再代入直线上，即可求出点的坐标； （2）设的坐标为，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当时，在外边，故不成立；当时，利用勾股定理求出点坐标，设点，结合矩形对边相等即可求出点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可； （3）分三种情况：①当时，在上方与在下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；②当时，在上方，同样的方法进行求解，得到不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ，， 直线的解析式为， 当，， ， ， ， ， ，解得：， ； （2）设的坐标为， 四边形为矩形， 为直角三角形， 当时， ， ， ， ， ， 解得：， ， 设点， ， ， ， ， 设过点的反比例函数为， ，解得：， 过点的反比例函数为； （3）使是等腰直角三角形， 设，， ①当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 又， ， ，， ，解得：， ； 在下方，如下图，过点作交轴于，延长线交于， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 当时，的坐标为或； ②当时，如下图，在上方，过点作轴于， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， 此时不在边上，不符合题意； ③当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 综上所述点坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，矩形的性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角坐标系中两点间的距离，反比例函数解析式，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，为矩形（边，分别在，轴的正半轴上）对角线上的点，且，经过点的反比例函数的图象分别与，相交于点，，连接，，，若的面积是24，则的面积为（   ） A．25 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为，点C的坐标为，得到点D，E，F的坐标，然后求出和的长，然后根据三角形面积公式求出的值，再根据解答即可． 【详解】解：设A点坐标为，点C的坐标为， 则点B的坐标为，点D的坐标为， 又∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 又∵点E，F在反比例函数的图象上， ∴点F的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， 解得， ∴ ， 故选：D． 2．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 3．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，是坐标原点，反比例函数与直线交于点，点在的图象上，直线与轴交于点．连结．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E，首先联立得到，求出，然后由得到，求出，然后代入求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，过点A作轴交于点D，过点B作轴交于点E， ∵反比例函数与直线交于点， ∴联立得，， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴将代入， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，勾股定理，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，点是函数图象上任意一点，过向轴作垂线交轴于点，向轴作垂线交轴于点，矩形的周长，当时，有最小值；如图，点是函数图象上任意一点，同样作矩形，它的周长，同理得的最小值为；；点是函数（，为正整数）图象上任意一点，作矩形，它的周长为，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，找规律，由题意得，当时，有最小值；，当时，有最小值；，当时，有最小值；然后通过规律即可求解，找出题中规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ，当时，有最小值； ； ，当时，有最小值； 故答案为：． 5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 6．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求的面积转化为求和的和． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 8．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点分别在反比例函数和的图像上，点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，，． (1)求点A、的坐标和反比例函数的表达式； (2)点、分别在反比例函数和的图像上，与点、构成以为边的平行四边形，则点、的坐标分别为_____、_____． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由可得，利用对应边成比例及可求出A、B两点坐标，则反比例函数的表达式可求． （2）由A、B两点坐标可知轴，根据点、分别在反比例函数和的图像上，设出两点坐标，因为、与点A、构成以为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为，且点在反比例函数的图象上，代入得： ， ， 作轴，轴，如图， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ， ∵，点的坐标为， ， ，， ， ， 在反比例函数的图像上，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵、分别在反比例函数和的图像上， ∴设，， ∵，， ∴轴，且， ∵、与点A、构成以为边的平行四边形， ∴，且，如图， ∴轴，且， ∴ 由②得：， 代入①得： 解得：（舍）， 则， ∴． 故答案为：． 9．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，，点B在反比例函数的图象上，为等边三角形，延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C．连接并延长与反比例函数的图象在第一象限交于点D． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点D的坐标及的面积； (3)在x轴上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D的坐标为， (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，利用等边三角形的性质结合直角三角形的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到点C与点B关于原点对称，求得点C的坐标为，利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点D的坐标，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先求得，，分当轴和当时两种情况讨论，据此求解即可． 【详解】（1）解：作轴于点， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵延长与反比例函数的图象在第三象限交于点C， ∴点C与点B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵， ∴点A的坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去），经检验，是原方程的解， ∴点D的坐标为， ∴； （3）解：∵为等边三角形，点C与点B关于原点对称， ∴，， ∴， ∴， 当轴时， ，， ∴， ∵点D的坐标为， ∴点Q的坐标为； 当时， ，， ∴， ∵点D的坐标为，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，相似三角形的性质，等边三角形的性质，第3问分情况讨论是解题的关键． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $