上海市民立中学2025-2026学年高一上学期数学练习2025.12.29

高一数学练习20251229 姓名___________班级 _________________学号_________成绩________ 一、填空题（每题4分，共8个小题，满分32分） 1．用弧度制表示所有与终边相同的角的集合是______________. 2.已知，，则___________. 3．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________. 4． 某同学用二分法求函数在区间上的零点的近似值时，依次计算得到， ，，从而得到零点在区间内，他继续计算零点所在区间中点处的函数值，当得到零点在区间上时，即可停止计算，并得到零点精确到0.1的近似值，则使得该同学计算次数最少的区间是____________________________. 5． 不等式的解集用区间表示为 ________________. 6.若函数在闭区间上有零点，则实数的取值范围是__________. 7.函数的值域是____________. 8.不等式的解集是_________________. 二、选择题（每题4分，共4个小题，满分12分） 9．下列函数中与函数相同的是　　 A． B． C． D． 10．已知角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 11．设，则“”是“”的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 12．设表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集是　　 A．， B．， C．， D．， 三、解答题 13．（1）己知，求的值； （2）已知，，求的值. 14．已知函数的定义域为， （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）当，时，恒成立，求的取值范围． 15.如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m. (1)若水池的长比宽至少多60m，设水池的长、宽分别为x m，y m，求水池的宽y的最大值； (2)若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 16．已知函数 （1）讨论该函数的奇偶性，并说明理由. （2）若该函数三个不同的零点，求实数的取值范围． 附加题 1.已知是第三象限的角，则在第　 　象限. 2．对于实数和，定义运算“”： ，设，若函数恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是_______________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学练习20251229 姓名___________班级 _________________学号_________成绩________ 1．用弧度制表示所有与终边相同的角的集合是______________. 【答案】 2.已知，，则___________. 【答案】 【分析】根据余弦值及角的范围，应用同角的平方关系求. 【详解】由，，则. 故答案为：. 3．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________. 【答案】9 4． 某同学用二分法求函数在区间上的零点的近似值时，依次计算得到， ，，从而得到零点在区间内，他继续计算零点所在区间中点处的函数值，当得到零点在区间上时，即可停止计算，并得到零点精确到0.1的近似值，则使得该同学计算次数最少的区间是____________________________. 【答案】（1.375,1.4375） 5． 不等式的解集用区间表示为 　 【答案】 6.若函数在闭区间上有零点，则实数的取值范围是______________. 【答案】提示，分离参数法， 7.函数的值域是____________； （1）； 8.不等式的解集是_________________. 【答案】提示，作图. 二、选择题 9．下列函数中与函数相同的是　　 A． B． C． D． 【分析】判断函数相等，先求出每个函数的定义域，然后判断与的定义域是否相同，然后再判断解析式是否相同或可以化成相同的情况． 【解答】解：函数的定义域为，对应关系为． 对于，函数，故与不是相同函数，故错误； 对于，函数解析式可化为，所以与是相同函数，故正确； 对于．定义域为，，，故错误； 对于，函数，该函数的定义域为，所以该函数与不相同． 故选：． 10．已知角的终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数定义求出角的正余弦即可计算作答. 【详解】因角的终边经过点，， 于是有， 所以. 故选：C 11．设，则“”是“”的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 B 12．设表示不超过的最大整数，如，，则不等式的解集是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】先求出，再结合表示不超过的最大整数求解即可． 【解答】解：设，则， 解得， 即， 所以， 即不等式的解集是，． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题． 三、解答题 13．（1）己知，求的值； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，构造齐次式求解即可； （2）根据，并结合求解即可. 【详解】解：（1）因为 所以， （2）因为，所以， 因为，所以， 所以 所以 所以 14．已知函数的定义域为， （1）判断函数的单调性，并用定义证明； （2）当，时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）见解答；（2）． 【分析】（1）利用函数单调性定义证明； （2）由，时，恒成立，令，转化为，，时恒成立求解． 【解答】 （1）在，上递增． 证明：任取，，，且， 则， 因为， 所以，又， 所以，即， 所以在，上递增； （2）因为，， 所以， 又当，时，恒成立， 所以，，时恒成立， 令，则，，时恒成立， 而，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是． 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及不等式恒成立问题解法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 15.如图所示，某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m. (1)若水池的长比宽至少多60m，设水池的长、宽分别为x m，y m，求水池的宽y的最大值； (2)若池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 解：（1）设水池的长、宽分别为，则，且， 由题意得，即， 所以，因为， 所以，即， 即，解得， 又，所以，所以水池的宽的最大值为20. （2）设水池总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，将水池的地面设计为边长为的正方形时总造价最低，最低总造价为元. 16．已知函数 （1）讨论该函数的奇偶性，并说明理由. （2）若该函数三个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数的定义域为 当时，，任取，都有且，故是偶函数. 当时，，， ， 所以且，故既不是奇函数，也不是偶函数. 综上，当时，是偶函数；当时，既不是奇函数，也不是偶函数. （2）【分析】将函数零点问题转化为函数和的交点问题，利用数形结合即可求解． 【解答】解：令，得， 令和， 在同一平面直角坐标系中作出函数和的大致图象，如图所示， 由图可知，当且时，函数和有三个交点， 即函数有3个零点，则实数的取值范围是． 故答案为：． 附加题 1.已知是第三象限的角，则点在第　 　象限. 【答案】二 【解答】解：是第三象限的角，，， 则，， 即点P在第二象限 2．对于实数和，定义运算“”： ，设，若函数恰有三个非零的零点，，，则的取值范围是_______________. 【答案】． 【分析】首先写出分段函数解析式，由题意可得与的图象有三个交点（原点除外），根据图象的分布特征确定函数零点的分布情况，进而求解三个零点之积的取值范围． 【解答】解：当，即时，， 当，即时，， ， 有三个非零的零点， 与的图象有三个交点（原点除外）， 则需与函数有三个交点， 作出的图象如图， 不妨设，知，且，， 由，解得，， ．故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公司 $