8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版高中数学选择性必修第三册 8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计 最小二乘法 从数据中寻找规律的数学魔法 第八章 成对数据的统计分析 开篇引入：遗传的奥秘 我们常说“龙生龙，凤生凤”。那么，在身高这件事上，是不是父母越高，孩子就一定越高呢？ 由上节课一元线性回归模型的学习，我们知道儿子身高 y与父亲身高 x 线性相关，关系式可以写成： 生活经验告诉我们，当父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高. y=bx+a+e 随机误差e 根据所得到的关系式，你能估计父亲身高为176cm时，儿子身高约是多少？ 寻找数据背后的“黄金直线” 思考一下： 有很多条直线都可以大致穿过这些散点。那么，哪一条才是最“合理”、“最优”的呢？我们评判“最优”的标准是什么？ 14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如下表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 我们先用散点图对上面的数据进行分析。 是让直线穿过尽可能多的点，作为评判标准吗？ 是让直线上方和下方的点数量看起来差不多吗？ 有没有一种量化方法，让我们精准的找到这条“黄金直线”？ 答案：最小二乘法 (Method of Least Squares) 答案：最小二乘法 (Method of Least Squares) 新知探究：经验回归方程 💡 核心思想： 01.计算每个数据点到假想直线的垂直距离（“残差”或“误差”）。 02.将所有误差进行平方后求和。 03.寻找一条直线，使得这个“误差平方和”达到最小。 💡 结论：这条使得误差平方和最小的直线，就是我们要找的最优拟合线 (Best Fit Line) 可令n个样本点与直线的竖直距离之和最小 y=bx+a 由yi=bxi+a+ei (i=1, 2, ‧‧‧, n)，得 因此可以用这n个竖直距离之和 来刻画各样本观测数据与直线 的“整体接近程度”. 新知探究：经验回归方程 最小二乘法 新知探究：经验回归方程 经验回归方程 新知探究：经验回归方程 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，利用该公式求得的 叫做参数b, a的最小二乘估计. 这里的“二乘”是平方的意思. 其中： 新知探究：经验回归方程 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 父亲身高/cm 174 170 173 169 182 172 180 172 168 166 182 173 164 180 儿子身高/cm 176 176 170 170 185 176 178 174 170 168 178 172 165 182 对于上表中的数据，利用公式(2)可以计算出 得到儿子身高Y关于父亲身高x的经验回归方程为 由经验回归方程可以预测儿子的身高。 根据所得到的关系式，你能估计父亲身高为176cm时，儿子身高约是多少？ 当x=176时 ， =0.839x176+28.957 当x=176时， ,如果一位父亲身高为176cm,他儿子长大后身高一定能长到177cm吗？为什么？ 典例解析 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 （1）请画出上表数据的散点图； 典例解析 解: (1)由题设所给数据可 得散点图，如图． （1）作出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； （4）写出经验回归方程并对实际问题作出估计. 求经验回归方程的基本步骤 方法归纳 1.一次考试中，某班学生数学成绩均在90分以上，其中6名学生的数学、物理成绩如下表： （1）根据上表中学生的数学、物理成绩绘制散点图； （2）根据这些数据建立物理成绩y关于数学成绩x的经验回归直线方程； （3）若某位同学的数学成绩为122分，估计他的物理成绩. 巩固练习 解： 典例 2.下表是x和y之间的一组数据，则y关于x的经验回归方程必过(　　). x 1 2 3 4 y 1 3 5 7 A.点(2,3) B．点(1.5,4） C．点(2.5,4) D．点(2.5,5) c 巩固练习 巩固练习 气温 18 13 10 -1 用电量 （度） 24 34 38 64 68 3. 课堂小结 我们将 称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法. 1. 经验回归方程： 2. 最小二乘估计： 经验回归方程中的参数 计算公式为： $