专题07 函数与导数6个考点（浙江专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题07 函数与导数 6大考点概览 考点01函数的基本性质 考点02指对幂函数 考点03函数的应用 考点04导数的几何意义 考点05导数与函数的单调性极值最值 考点06导数的综合大题 函数的概念及基本性质 考点1 1．（2026·浙江金华·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（   ） A．（不超过x的最大整数） B． C． D． 2．（2026·浙江·二模）（多选）已知定义在R的函数和均为奇函数，且满足函数是奇函数，函数是偶函数．若当时，，则（    ）． A． B．对任意， C．当且仅当， D． 3．（2026·浙江·二模）已知函数的定义域为D，对于任意给定，都存在，使得，则称函数为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（    ）． A． B． C． D． 4．（2026·浙江杭州·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．，是增函数 B．，是奇函数 C．若有三个不同的零点，，，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 5．（2026·浙江宁波·二模）（多选）定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______. 7．（2026·浙江杭州·二模）设函数，则______. 8．（2026·浙江宁波·二模）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 指对幂函数 考点2 9．（2026·浙江台州·二模）已知实数，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 10．（2026·浙江·模拟预测）已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 函数的应用 考点3 11．（2026·浙江宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 导数的几何意义 考点4 13．（2026·浙江嘉兴·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 15．（2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 16．（2026·浙江·模拟预测）（多选）已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 导数与函数的单调性极值最值 考点5 17．（2026·浙江·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)试判断曲线与直线在上公共点的个数； 18．（2026·浙江温州·二模）已知函数，． (1)当时，若的值域为，求b的值； (2)若为的极小值点，求实数a的取值范围． 19．（2026·浙江温州·二模）（多选）已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．点M为线段CD的三等分点 C．当时，四边形ABCD为正方形 D．当时，四边形为菱形 20．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若存在极值，求a的取值范围. 导数的综合大题 考点6 21．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 22．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围； (3)若．证明：当时，． 23．（2026·浙江杭州·二模）（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 24．（2026·浙江宁波·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 25．（2026·浙江台州·二模）已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 26．（2026·浙江嘉兴·二模）已知正实数a，b满足，则为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·浙江·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且极小值大于0，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数与导数 6大考点概览 考点01函数的基本性质 考点02指对幂函数 考点03函数的应用 考点04导数的几何意义 考点05导数与函数的单调性极值最值 考点06导数的综合大题 函数的概念及基本性质 考点1 1．（2026·浙江金华·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”．下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（   ） A．（不超过x的最大整数） B． C． D． 【答案】D 【分析】先准确理解“阶梯形函数”的定义，对于A，结合取整函数定义判断该函数的单调性，再结合关系即可判断，对于B，结合指数函数性质判断函数的单调性，再结合函数的值域为即可判断；对于C，利用导数判断函数的单调性，再结合余弦函数性质证明即可判断，对于D，利用导数判断函数单调性，利用反证法证明不存在满足条件的平行线即可判断. 【详解】对于选项A，若，则对于任意的，都有， 由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间， 故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项B，若，​ 因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为， 所以函数为减函数，函数的值域为， 因此在上单调递增，且函数的值域为， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项C，若， 则恒成立，当且仅当时取等号， 所以函数在上单调递增， 由得， 故函数的图象夹在平行直线和之间， 所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数； 对于选项D，若 则， 当时，，，故 当时，，，故， 所以对于任意的，，故函数在上单调递增， 假设存在两条平行直线， ​和，则对任意需要​， 但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾， 故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件， 因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数. 2．（2026·浙江·二模）（多选）已知定义在R的函数和均为奇函数，且满足函数是奇函数，函数是偶函数．若当时，，则（    ）． A． B．对任意， C．当且仅当， D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据奇偶性，结合上的解析式求解判断；对于B选项，构造函数，，进而结合题意得与分别是以2和4为周期的周期函数，再结合周期性求得对任意，即可判断；对于C，结合B选项，说明不满足条件即可；对于D选项，结合奇函数的定义得，均为奇函数，再根据对称性，结合时的解析式求得，的值域为，再根据即可判断. 【详解】对于A，因为为定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，， 所以，故A正确； 对于B，因为函数为奇函数， 所以，即， 所以，又因为， 所以，即， 令， 则，即， 所以是以2为一个周期的周期函数， 因为，，所以， 所以对任意，，即，也即， 因为为定义在R上的奇函数且函数是偶函数， 所以，，， 即，故， 所以， 令，则， 所以，即是以4为一个周期的周期函数， 因为，，，， 所以，对于任意的，，即，也即. 综上，对任意，，故B正确； 对于C，由B选项知，，，，故C错误； 对于D，对于，， ，所以，均为奇函数， 因为当时，， 则当时，，， 所以当时，，， 所以，当时，，， 又，故关于对称，故当时，， 综上，，，的值域为. 所以，即， 所以，D正确. 3．（2026·浙江·二模）已知函数的定义域为D，对于任意给定，都存在，使得，则称函数为“倍增友好函数”，则下列函数中不是“倍增友好函数”的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，根据，都有判断；对于B，根据时，；对于C，根据，只对成立判断；对于D，由题得，再分和两种情况讨论判断. 【详解】对于A选项，的定义域为，对于任意给定，任取，都有，满足“倍增友好函数”定义； 对于B选项，的定义域为，对于任意给定，取，，满足“倍增友好函数”定义； 对于C选项，的定义域为，对于任意给定，取，，， 要使成立，则，又，解得，这意味着对于任意的的正整数，不存在满足条件， 所以该函数不满足“倍增友好函数”定义； 对于D，的定义域为，对于任意给定，取，，， 故当，即，变形得：， 所以，当时，，解得， 当时，，均满足， 综上，满足“倍增友好函数”定义. 4．（2026·浙江杭州·二模）（多选）已知函数，则（    ） A．，是增函数 B．，是奇函数 C．若有三个不同的零点，，，则 D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则 【答案】ACD 【分析】选项A：根据导数与单调性的关系判断即可；选项B：根据奇函数的定义判断即可；选项C：根据函数零点的定义，结合韦达定理求解即可；选项D：利用导数的几何意义求得切线方程，代入点得，则函数与直线的图象有3个不同的交点，利用导数与极值的关系判断即可. 【详解】已知，则. 选项A：若是增函数，只需，只需即可，所以. 所以，是增函数，故A正确. 选项B：，， 则，故不是奇函数，故B错误. 选项C：若有三个不同的零点，，，则有3个根. 其中一个零点为，另外两个零点为的两个根，，则. 所以，故C正确. 选项D：设切点为，， 所以切线方程为. 又切线过，所以，即. 切线恰有3条，等价于有3个不同的实数解，即函数与直线有3个交点. . 令，即，解得或. 当时，，当时，， 所以在、上单调递减，在上单调递增， 所以极小值为，极大值为， 所以当时，与有3个交点. 所以当时，过点且与曲线相切的直线恰有3条，故D正确. 5．（2026·浙江宁波·二模）（多选）定义在上的函数满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于A，令，再解方程即可；对于B，令，解得；对于C，令，即可得到，对于D，令，可得，进而可得． 【详解】解：令，则，解得，故A正确； 令，则，解得，故B错误； 令，则， ，故C正确； 令，则， 又， ，又不恒为零， ，即， ，即，故D错误． 6．（2026·浙江嘉兴·二模）若函数是奇函数，则______. 【答案】 【分析】利用奇函数的定义求解. 【详解】由得， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称， 则方程根互为相反数，所以，所以， 所以函数的定义域为，， 因为， 所以，即，解得. 此时，定义域为，且满足， 所以. 7．（2026·浙江杭州·二模）设函数，则______. 【答案】2 【详解】因为， 所以. 8．（2026·浙江宁波·二模）十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”．已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， ， ， ， 故“”是“”的必要条件， 当，假设时，， 此时，则， 故“”是“”的不充分条件， 综上： “”是“”的必要不充分条件． 指对幂函数 考点2 9．（2026·浙江台州·二模）已知实数，，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】，故，， ，故，所以， 因为，所以，， 所以. 10．（2026·浙江·模拟预测）已知正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为，所以，所以，所以，所以，选项与此矛盾. 函数的应用 考点3 11．（2026·浙江宁波·二模）已知函数，设是三个不同的实数，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析的图像及性质，依题意可知方程有三个不同的实根，结合图象可看出方程有三个不同的实根，当且仅当方程有两个不同的实根，结合等价于的等式可得到，最后即可推出的最小值． 【详解】解：， 在和单调递增，其简要图形如下： 设，即方程有三个不同的实数解， 又当时，有两个不同的实数解时，只有一个实数解， 所以有三个不同的实数解，当且仅当有两个不同的实数解， 且，，解得， 时，即， 不妨设， 则， 即，解得 ， 又在上单调递增， 时，． 12．（2026·浙江嘉兴·二模）为保护环境，某发电厂对烟气进行脱碳处理．已知初始碳排放浓度为，每经过一次环保设备处理，碳排放浓度会减少50%．国家排放标准规定碳排放浓度不得超过，若要使该发电厂烟气排放达标，则至少需要脱碳处理的次数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】设脱碳处理的次数为，则脱碳处理次后的碳排放浓度为， 由题意可得，则，即， 由于，所以的最小值为， 故至少需要脱碳处理的次数为. 导数的几何意义 考点4 13．（2026·浙江嘉兴·二模）已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导数的几何意义可得，由题意得，根据函数单调性计算可解. 【详解】由，设切点， 则切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得 显然，在单调递增， 所以，时，. 14．（2026·浙江·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设出该切线与曲线的切点，利用导数的几何意义和切点既在切线上又在曲线上进行求解. 【详解】由题意可得：， 当时，， 所以曲线在点处的切线为： ，即， 设切线与曲线的切点为， 对求导可得：， 又因为切线的斜率等于曲线在切点处的导数， 所以，即， 又因为在切线上， 所以， 所以在曲线上， 即，求解可得：. 故答案为：. 15．（2026·浙江·模拟预测）已知倾斜角为的直线l与曲线和都相切，则实数__________. 【答案】/ 【分析】首先设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求切点坐标和切线方程，再设出切线与曲线的切点，根据导数的几何意义求实数的值. 【详解】，设直线l与曲线切于点， 则，得，所以直线l的方程为， 设直线l与曲线切于点，则， 所以点在直线l上，故，得. 故答案为： 16．（2026·浙江·模拟预测）（多选）已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 【答案】ACD 【分析】根据导数的几何意义可求得 处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确. 【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 导数与函数的单调性极值最值 考点5 17．（2026·浙江·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)试判断曲线与直线在上公共点的个数； 【答案】(1)单调递增区间，；单调递减区间为， (2)2 【分析】（1）对函数求导，利用正弦函数的图象性质求解导函数不等式即得函数的单调区间； （2）令，利用导数判断其单调性，结合特殊值与零点存在定理求出函数的零点个数，即曲线与直线在上公共点的个数. 【详解】（1）由题意，， 因为，则由可得， 即当，时， 单调递增； 由可得， 即当，时， 单调递减， 综上，函数的单调递增区间为，；单调递减区间为，. （2）令，则， 设，则， 所以当时，，则（即）在上单调递增； 当时，，（即）在上单调递减， 因为，，， 所以存在唯一的，使得， 故当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 又，， 所以存在唯一的，使得， 综上可得函数在上存在两个零点0和， 所以曲线与直线在上公共点的个数为2. 18．（2026·浙江温州·二模）已知函数，． (1)当时，若的值域为，求b的值； (2)若为的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导分析，判断导数得正负，并得到函数的最小值，从而得到方程进而求解. （2）根据题意将代入导数为0，得到参数之间的关系，并分析是否在处取得极小值. 【详解】（1）因为，所以，求导得， 因为，所以令，解得， 当，，所以单调递减； 当，，所以单调递增； 所以，解得. （2）因为，求导得， 又因为为的极小值点，所以，得到， 代入导数得， 因为，所以， ①当时，，解得或，此时， 所以，，单调递减；，，单调递增；，，单调递减； 所以为的极小值点满足条件. ②当时, 恒成立， 所以在定义域内单调递减，无极值，不满足题意舍去. ③当时，，解得或，此时， 所以，，单调递减；，，单调递增；，，单调递减； 为的极大值点.不满足条件，舍去. 综上，. 19．（2026·浙江温州·二模）（多选）已知函数的极大值点和极小值点分别记为和，过点，分别作x轴的平行线交的图象于点C，A，过点M，N构造矩形，如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．点M为线段CD的三等分点 C．当时，四边形ABCD为正方形 D．当时，四边形为菱形 【答案】AC 【分析】利用求导推理得到，，可判断A；写出直线的方程，与曲线方程联立，求出的坐标，计算与的长可判断B；将的值代入利用平面几何知识即可判断C，D. 【详解】由求导得， 因，由，可得或，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值点为，极小值点为，则，故A正确； 由图知分别是函数图象在点处的切线.因， 将直线的方程与联立，消去，得， 即，解得； 再将直线的方程与联立，消去， 得，即，故得， 因四边形是矩形，则， 即点M为线段CD的四等分点，故B错误； 对于C，由上分析知，，当时，， 又四边形是矩形，故此时ABCD为正方形，故C正确； 对于D，因，且， 则四边形为平行四边形， 又，当时，，故D错误. 20．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数. (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出函数的图象在点处的切线的斜率，从而得到切线方程； （2）由存在极值，得有变号零点，通过分离参数，根据余弦函数给定区间上的值域可求得a的取值范围. 【详解】（1）若，则. 所以，所以. 又，所以函数的图象在点处的切线方程为. （2）因为函数， 所以. 若存在极值，则有变号零点，即有解. 因为，所以，所以. 因此有解，且. 当时，在上恒成立， 所以函数是增函数，无极值； 当时，在上有解，记为. 令，则，所以在上单调递增， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值，即函数有极值. 故a的取值范围是. 导数的综合大题 考点6 21．（2026·浙江金华·二模）已知函数，． (1)求函数的极小值； (2)讨论函数的单调性； (3)若存在实数a，使得在恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1)极小值为 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求导，利用导数分析的单调性和极值； （2）求导，分类讨论两根大小，结合导数的符号分析函数的单调性； （3）分析可得，令，，分类讨论的符号，结合恒（能）成立问题分析求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知在上单调递增，在单调递减， 所以的极小值为． （2）因为的定义域为，且， 令，解得或， 当，即时，则， 可知在上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 当，即时，令，解得；令，解得或； 可知在上单调递增，在，上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减. （3）因为，即，可得， 令，， ①当时，若，则，不合题意； 若，方程满足， 且，可知方程有一正一负两个实根， 取其正根为，则，不合题意； 综上所述：当时，不存在实数a，使得恒成立； ②当时，不妨取，则， 记，则， 令，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即， 可知在单调递减，则， 即对，都存在，使得在恒成立， 综上所述：实数b的取值范围为． 22．（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，若对任意的实数m，直线与曲线恰有一个公共点，求实数b的取值范围； (3)若．证明：当时，． 【答案】(1)1 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数求的单调性和最值； （2）原题意等价于方程仅有一个解，令，可知在R上为单调函数，且值域为R，分类讨论的符号，结合导数应用运算求解； （3）根据题意结合（1）中结论分析可知，分和两种情况，利用导数结合三角函数的有界性分析证明. 【详解】（1）当时，则，， 可知在单调递减，所以在上的最大值为. （2）当时，， 令，即，可得， 原题意等价于方程仅有一个解， 令，则， 因为对任意实数m，方程都仅有一个解， 可知在R上为单调函数，且值域为R， 令，则， 因为当趋近于时，趋近于，则恒成立， （i）当时，则，可知在R上单调递减，值域为R，满足题意； （ii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递减，在单调递增，则， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在单调递增，在单调递减，不符合题意； （iii）当时，当时，；当时，； 可知在单调递增，在单调递减， 则，解得， 当时，在定义域内单调递减， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知值域为R，符合题意； 综上所述：实数b的取值范围为． （3）当时，， 若证，即证， 因为，，则， 由（1）可知：，即，则 可得， 若证，即证， （i）当时，则，可得， 且，则，可得，所以； （ii）当时，则，可得， 整理可得， 令，则， 因为，则， 可知在上单调递增，， 且，可得，所以； 综上所述：时，. 23．（2026·浙江杭州·二模）（1）已知，证明：； （2）设，若恒成立，求正整数的最大值； （3）求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）2（3）证明见解析 【分析】（1）记，，求导，根据导数即可证明； （2）由（1）结合特殊值可知，结合题意验证是否满足即可求解； （3）由（2）可得，记，求导，根据导数可证得，进而可得，计算即可得证. 【详解】（1）一方面，记，. 则，故在上单调递增，即. 另一方面，记，. 所以，故在上单调递增，即. 综上，，成立. （2）当时，由（1）知，故恒成立. 一方面，取，则； 另一方面，当时，记，则. 由知， 所以，故单调递增.进而. 综上，正整数的最大值为2. （3）当时，由（2）， 即. 则，① 下证，， ， 则， 故单调递增.进而，即. 所以结合①可得，即， 所以. 24．（2026·浙江宁波·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，，且， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何性质求出斜率，进而求出切线方程； （2）（ⅰ）求导，利用导数讨论极值点及单调性，进而求解的取值范围； （ⅱ）利用函数单调性转化不等式，再通过构造函数，求导，利用导数讨论函数单调性，进而证明结论． 【详解】（1）时，，则， 求导得，则， 切线方程为，即． （2）（ⅰ）由于有两个极值点，， 故有两个变号零点，等价于方程有两个不同的解； 设，则，令，，则， 令得，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，且， ，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得，． ， 欲证，只需证， 构造，，则， 令，则，当时，， 即在上单调递增，且， 在时恒成立， ， 当时，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，故， 设方程的两根为，，不妨， 则由得， 由韦达定理得， ， ，且是方程的两根，是的两根， 则， ， ，命题得证． 25．（2026·浙江台州·二模）已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得； （2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明； （3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由，得. 令，解得，， 当时，；当时，； 当时，. 所以在、上单调递增，在上单调递减， 因此，的极小值为； （2）当时，，其中时取等号， 所以为增函数， 对任意的，，不妨设，则， 又， 所以为增函数，得，即， 故； （3）由题意，不妨设，， 因为，所以， 整理得，， 令，，. ①当时，， 此时. ②当时，令，解得， 因此，在上单调递减，在上单调递增，故， 法一：因为， 又因为，得，即 所以， 记，， 则， 因为，所以， 即， 因此，当时，， 又， 综上，， 法二：求最小值的第二种解法. 令，因为，，所以， 下证：， 因为 ， 只需证：， 只需证：， 令，则， 因为， 所以，即恒成立， 因此，， 令，则，对于，， 所以，当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 26．（2026·浙江嘉兴·二模）已知正实数a，b满足，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，分别求出这两个函数值域，可知有且仅有一种情况使得，求出的值计算求和即可 【详解】等式左边：设，求导得， 时，在单调递减，时，在单调递增， 因此的最小值为，所以， 等式右边：设，求导得， 时，，在单调递增，时，，在单调递减， 因此的最大值为，所以， 又，因此仅当时等式成立，即 ，， 故. 27．（2026·浙江·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且极小值大于0，求实数的取值范围．（其中是自然对数的底数） 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由导数的几何意义确定切线斜率，即可求解； （2）求导，通过，确定函数单调性，确定极值，进而可求解. 【详解】（1）当时，则，故， 故，， 因此所求切线方程， 即． （2）由题意定义域为R，， （ⅰ）若，则恒成立， 可知在R上递减，无极值，不合题意． （ⅱ）若，令，解得； 令，解得； 可知在单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 所以，即， 令，，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以实数a取值范围为． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $