统计与概率：古典概型、独立事件的乘法公式复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 统计与概率：古典概型、独立事件的乘法公式复习讲义 考点目录 古典概型 独立事件的乘法公式 知识点解析 考点一 古典概型 一、解题原理 1. 两大核心条件 试验所有基本事件有限个；每个基本事件发生等可能性。 1. 核心公式 1. 本质 将概率问题转化为计数问题，利用排列、组合、列举法统计总数与符合条件个数，比值即为概率。 二、解题思路 1. 判断模型 满足有限、等可能，判定为古典概型。 1. 求总事件数 根据题意，用列举、分步计数原理、排列组合计算全部基本事件总数。 1. 求符合条件事件数 筛选满足题干限制的情况，有序用排列、无序用组合，避免重复、遗漏。 1. 作比求值 代入古典概型公式 ，约分化简。 1. 易错规避 分清有序/无序、放回/不放回，统一计数标准。 考点二 独立事件的乘法公式 一、解题原理 1. 独立事件定义 事件 的发生互不影响，则 相互独立。 1. 核心公式 · 两事件独立： · 推广至多个独立事件： 1. 补充性质 若 独立，则 与 、 与 、 与 也相互独立； 对立事件：，常配合解题。 二、解题思路 1. 判定独立性 分析前后试验、不同事件之间是否互不干扰（如多次射击、有放回抽取、不同工序）。 1. 拆分复杂事件 把所求事件拆解为若干相互独立的简单事件同时发生。 1. 分别求单个概率 逐一算出每个独立事件的发生概率。 1. 乘法列式计算 套用独立事件乘法公式，相乘得到总概率。 1. 综合搭配 含“至少、至多”问题，正难则反，利用对立事件简化运算。 考点一 古典概型 【例题分析】 例1．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 例4．（2026·江苏·模拟预测）从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_____． 例5．（2026·四川达州·二模）某学校组织了种类丰富的社团活动.某寝室6名同学中，有2人选择了其中的2类，有3人选择了其中的3类，有1人选择了其中的4类，现从这6人中随机选出2人进行满意度测评. (1)求选出的2人选择社团种类的个数相同的概率； (2)记选出的2人选择社团种类的个数之和为，求的分布列和期望. 例6．（2026·江苏·模拟预测）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. (1)求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； (2)求随机变量的分布列； (3)证明：. 【变式训练】 变式1．（2026·湖南长沙·一模）一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·云南·模拟预测）已知数轴上有个不同的点的坐标为，且满足，从上述10个不同点中任取4个不同的点，则事件“存在，，，使得”的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·上海长宁·二模）将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 变式4．（2026·河南信阳·模拟预测）已知一袋中装有标号为1，2，3，4的卡片各一张，现每次从中取出一张，记下号码后再放回袋中，当四种号码的卡片都被取出过时即停止抽取．则恰好取7次卡片后停止抽取的概率为__________. 变式5．（2026·辽宁辽阳·二模）一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有号的小球有个（，，，且），标有号的小球有个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取个球． (1)当时，求取出的两个小球标号之和为的概率； (2)当时，记为取出的两个小球标号之差的绝对值，求的分布列和数学期望． 变式6．（2025·四川眉山·模拟预测）袋中初始装有2个红球和1个白球.每次随机摸出1个球，并执行以下操作：若摸到红球，则放回该红球并额外放入1个红球；若摸到白球，则放回该白球并额外放入2个白球. (1)求在前3次摸球中恰好摸到2次红球的概率； (2)求第4次摸到红球的概率. 考点二 独立事件的乘法公式 【例题分析】 例1．（2026·山东潍坊·一模）投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口､壶耳的概率分别为，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为（    ） 投掷结果 壶口 壶耳 其它 计分 2 1 0 A． B． C． D． 例2．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 例3．（2025·上海黄浦·一模）甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 例4．（2025·广东惠州·模拟预测）天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________. 例5．（2026·辽宁鞍山·二模）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 例6．（2026·河北沧州·模拟预测）某学校开展“趣味问答”活动，试题按照难度分两大类，学生们答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，若回答的是类试题，则下一次回答类试题，若回答的是类试题，则下一次等可能地回答类或类试题，如此循环，答对一道试题即为通过活动，每名学生首先回答类试题． (1)若同学甲有三次答题机会，求同学甲通过活动的概率； (2)若某班有16名同学参加本次活动，每名学生有四次答题机会，表示通过活动的人数，求的值； (3)若同学乙不限答题次数，求同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率． 【变式训练】 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·山东淄博·月考）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则________；甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率________. 变式4．（25-26高三上·天津红桥·月考）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为______. 变式5．（2026·河南·模拟预测）某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 变式6．（2026·江西南昌·二模）在一个人工智能训练系统中，初始数据集包含2个正样本和3个负样本，现对这个数据集进行多次操作，每次操作，系统从这个数据集中随机抽取一个样本，若抽到正样本，则将其放回数据集（样本不变）；若抽到负样本，则以的概率通过数据增强将其转化为正样本后放回数据集，以的概率将其放回数据集（仍为负样本）． (1)求经过1次操作后，数据集中正样本个数的可能取值及其概率，并计算期望值； (2)求经过2次操作后，数据集中正样本个数的期望值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 统计与概率：古典概型、独立事件的乘法公式复习讲义 考点目录 古典概型 独立事件的乘法公式 知识点解析 考点一 古典概型 一、解题原理 1. 两大核心条件 试验所有基本事件有限个；每个基本事件发生等可能性。 1. 核心公式 1. 本质 将概率问题转化为计数问题，利用排列、组合、列举法统计总数与符合条件个数，比值即为概率。 二、解题思路 1. 判断模型 满足有限、等可能，判定为古典概型。 1. 求总事件数 根据题意，用列举、分步计数原理、排列组合计算全部基本事件总数。 1. 求符合条件事件数 筛选满足题干限制的情况，有序用排列、无序用组合，避免重复、遗漏。 1. 作比求值 代入古典概型公式 ，约分化简。 1. 易错规避 分清有序/无序、放回/不放回，统一计数标准。 考点二 独立事件的乘法公式 一、解题原理 1. 独立事件定义 事件 的发生互不影响，则 相互独立。 1. 核心公式 · 两事件独立： · 推广至多个独立事件： 1. 补充性质 若 独立，则 与 、 与 、 与 也相互独立； 对立事件：，常配合解题。 二、解题思路 1. 判定独立性 分析前后试验、不同事件之间是否互不干扰（如多次射击、有放回抽取、不同工序）。 1. 拆分复杂事件 把所求事件拆解为若干相互独立的简单事件同时发生。 1. 分别求单个概率 逐一算出每个独立事件的发生概率。 1. 乘法列式计算 套用独立事件乘法公式，相乘得到总概率。 1. 综合搭配 含“至少、至多”问题，正难则反，利用对立事件简化运算。 考点一 古典概型 【例题分析】 例1．（2026·辽宁辽阳·二模）小张的停车位被其它车辆占据，小张准备拨打车上的联系电话，可是电话号码的最后一位被遮挡，小张准备随机尝试，则小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记“小张第一次拨打错误”为事件，“第三次恰好拨打正确”为事件； 易知, 因此小张在第一次拨打错误的条件下，第三次恰好拨打正确的概率是. 例2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】假设4个单词分别是甲、乙、丙、丁，正确的顺序为甲乙丙. 第一类，选出的3个单词不包括丁，则符合要求的情况有乙丙甲，丙甲乙，共2种选法； 第二类，选出的3个单词包含丁，则从剩下的3个单词选两个有种情况，不妨设选出的单词为甲，乙， 则符合要求的情况有乙甲丁，丁甲乙，乙丁甲，共3种，即共有种选法. 综上，符合要求的情况共有种，全部情况为种， 则3个空格全部选错的概率是. 例3．（2026·辽宁鞍山·二模）将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为________． 【答案】 【详解】由题可知分组后排列共有种方法， 其中甲、乙两名同学去同一个公益活动小组有种方法， 所以甲、乙两名同学去同一个公益活动小组的概率为. 例4．（2026·江苏·模拟预测）从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_____． 【答案】 【详解】记，，按由小到大排序为，，，按由小到大排序为， 要使一个盒子能以相邻三面对应平行方式放入另一个盒子只需，，或，， ， 它与取到哪6个数无关，不失一般性，不妨以取到的6个数为1，2，3，4，5，6为例， 平均分成两组的分法有：种， 以下枚举与符合条件的情形： 与，与，与，与，与 共5种，所以． 例5．（2026·四川达州·二模）某学校组织了种类丰富的社团活动.某寝室6名同学中，有2人选择了其中的2类，有3人选择了其中的3类，有1人选择了其中的4类，现从这6人中随机选出2人进行满意度测评. (1)求选出的2人选择社团种类的个数相同的概率； (2)记选出的2人选择社团种类的个数之和为，求的分布列和期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望： 【详解】（1）选出的2人选择社团种类的个数相同的概率： ， （2）由题意知，所有可能取值为：4，5，6，7 ， ， ， ， 所以的分布列为： 4 5 6 7 的期望为：. 例6．（2026·江苏·模拟预测）一盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中3个红球，2个黑球.从盒子中一次随机取出两个球，如果取出的球是黑球，则将它放回盒子中；如果取出的球是红球，则不放回盒子中，另补相同数量的黑球放入盒子中.重复进行上述操作次后，盒子中黑球的个数记为. (1)求恰好2次操作后，盒子中小球的颜色全部相同的概率； (2)求随机变量的分布列； (3)证明：. 【答案】(1) (2) 2 3 4 5 (3)证明见解析 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，结合分步乘法计算即可； （2）确定随机变量的取值，根据古典概型概率计算公式及分步乘法计算对应取值的概率即可； （3）根据题意推出，得到数列为等比数列，进而证明即可. 【详解】（1）设“恰好2次操作后盒子中球的颜色全部相同”为事件， 根据操作的规定，事件A发生即“恰好2次操作后盒子中5个球的颜色都为黑色”，2次操作，其中1次取出1红1黑，另一次取出2红， 所以； （2）操作2次后，的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为 2 3 4 5 （3）记执行上述操作次后，盒子中黑球的个数为， 设，， 则，， 则， ， ， ， 所以 ， 所以， 又， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 【变式训练】 变式1．（2026·湖南长沙·一模）一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 变式2．（2026·云南·模拟预测）已知数轴上有个不同的点的坐标为，且满足，从上述10个不同点中任取4个不同的点，则事件“存在，，，使得”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题等价于从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取4个不同的数，求事件“存在≤<≤4，使得”的概率，则可先求出其对立事件的所有可能取法，再求出所有可能取法，即可得解. 【详解】问题等价于从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中任取4个不同的数， 求事件“存在，，使得”的概率， 不妨设，考虑对立事件“不存在，， 使得”，则有， 在1，2，3，4，5，6，7中任取4个不同的数， 从小到大依次表示，此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法， 所以事件“存在，，使得”的概率为. 变式3．（2026·上海长宁·二模）将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）. 【答案】 【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得. 【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种； 要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种. 由古典概型概率公式，可得概率为：. 变式4．（2026·河南信阳·模拟预测）已知一袋中装有标号为1，2，3，4的卡片各一张，现每次从中取出一张，记下号码后再放回袋中，当四种号码的卡片都被取出过时即停止抽取．则恰好取7次卡片后停止抽取的概率为__________. 【答案】 【分析】计算出所有可能取法后，分前次种号码出现的次数分别为、、或、、或、、，且第次出现第种号码进行讨论，可得符合要求的总可能取法，最后利用古典概型求概率即可得. 【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回， 进行次一共有种不同的取法， 恰好取次卡片时停止，说明前次出现了种号码且第次出现第种号码， 种号码出现的次数分别为、、或、、或、、， 种号码分别出现、、次且次时停止的取法有种； 种号码分别出现、、次且次时停止的取法有种； 种号码分别出现、、次且次时停止的取法有种； 故恰好取次卡片后停止抽取的概率为：. 变式5．（2026·辽宁辽阳·二模）一个盒子中装有若干个小球，每个小球都标有一个号码，其中标有号的小球有个（，，，且），标有号的小球有个，没有其它标号，从盒子中不放回的随机抽取个球． (1)当时，求取出的两个小球标号之和为的概率； (2)当时，记为取出的两个小球标号之差的绝对值，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助组合数公式及概率公式计算即可得； （2）得到的可能取值后，再分别计算出对应概率即可得其分布列，利用分布列即可得其期望. 【详解】（1）当时，盒子中共有个小球， 取出的两个小球标号之和为的可能有或或三种可能， 设事件表示取出的两个小球标号之和为， 则； （2）当时，盒子中共有个小球， 的可能取值为、、、， 则， ， ， ， 故的分布列为： 则. 变式6．（2025·四川眉山·模拟预测）袋中初始装有2个红球和1个白球.每次随机摸出1个球，并执行以下操作：若摸到红球，则放回该红球并额外放入1个红球；若摸到白球，则放回该白球并额外放入2个白球. (1)求在前3次摸球中恰好摸到2次红球的概率； (2)求第4次摸到红球的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把前3次摸球中恰好摸到2次红球的情况一一列举出来，最后根据全概率公式求解. （2）把第4次摸到红球的情况一一列举出来，最后根据全概率公式求解. 【详解】（1）由题意可知在前3次摸球中恰好摸到2次红球有以下三种情况： 第一种情况是前2次摸到红球，第3次摸到白球，其概率为；     第二种情况是第2次摸到白球，其他2次摸到红球，其概率为；     第三种情况是第1次摸到白球，后面2次摸到红球，其概率为.     故在前3次摸球中恰好摸到2次红球的概率为. （2）第4次摸到红球有以下八种情况： 4次都摸到红球，其概率为；         前2次摸到红球，第3次摸到白球，第4次摸到红球，其概率为；     第1次摸到红球，第2次摸到白球，后2次摸到红球，其概率为；     第1次摸到红球，第2，3次摸到白球，第4次摸到红球，其概率为；        第1次摸到白球，后3次摸到红球，其概率为；     第1，3次摸到白球，第2，4次摸到红球，其概率为；     第1，2次摸到白球，第3，4次摸到红球，其概率为；     前3次摸到白球，第4次摸到红球，其概率为.         故所求概率. 考点二 独立事件的乘法公式 【例题分析】 例1．（2026·山东潍坊·一模）投壶源于射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏及礼仪，参与者需在一定距离外将箭矢投入壶口或壶耳.在某投壶游戏中，选手甲投中壶口､壶耳的概率分别为，依落点计分如表格所示.若甲连续投掷3次，每次投掷互不影响，则甲的总得分不少于5分的概率为（    ） 投掷结果 壶口 壶耳 其它 计分 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得甲的总得分不少于5分包含三次均投入壶口或三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳两种情况. 三次均投入壶口得6分的概率， 三次中有两次投入壶口，一次投入壶耳得5分的概率， 所以甲的总得分不少于5分的概率为. 例2．（2026·安徽淮北·二模）某同学制作了一个质地均匀的正四面体形骰子，在其中三个面分别写上一个数字1、2、3，第四个面写了三个数字1，2，3，随机抛掷一次，事件表示向下的面上有数字1，事件表示向下的面上有数字2，事件表示向下的面上有数字3，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【详解】由题意可得，，， 对于A，表示向下的面同时有数字1和2，即面4，所以，故A错误； 对于B，的情况只有面4，故， 又，满足，故B正确； 对于C，表示同时有数字1、2和3，即面4，所以，故C错误； 对于D，表示向下的面有数字2或3，包含面2、面3、面4，共3个面， 故，表示向下的面有数字1，且有数字2或3，即面4， 故，所以， 不满足独立事件定义，故D错误． 例3．（2025·上海黄浦·一模）甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 【答案】 【分析】根据甲、乙两人破译某个密码为独立事件，利用独立事件概率公式求出甲、乙两人均未破译的概率，再利用对立事件概率公式求出该密码被破译的概率． 【详解】设甲破译某个密码为事件，乙破译某个密码为事件, 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为， 甲未破译的概率为，乙未破译的概率为， 甲、乙两人均未破译的概率为， “甲、乙两人均未破译”的对立事件为“密码被破译”， 该密码被破译的概率为． 故答案为：． 例4．（2025·广东惠州·模拟预测）天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为________. 【答案】0.38/ 【分析】利用相互独立事件及对立事件的概率公式求得结果. 【详解】解析：设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为， 所以 . 故答案为：0.38. 例5．（2026·辽宁鞍山·二模）在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为．红军的演习任务是发射枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁（即摧毁该基地内的全部重要节点）即为获胜． 现有两种打击方案： 方案一：选择某一军事基地内的个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹； 方案二：对两个军事基地的各个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹． 视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算： (1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小； (2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优． 【答案】(1)方案一期望为，方案二期望为，且； (2)方案一获胜概率更大，方案一更优. 【分析】（1）利用二项分布的期望公式分别计算两个方案的期望，再比较大小. （2）方案一：获胜条件等价于被打击的基地被彻底摧毁，计算该基地所有节点均被摧毁的概率即为获胜概率；方案二：分别计算两个基地被彻底摧毁的概率，利用概率加法公式计算至少一个基地被摧毁的概率，进而比较两个方案获胜概率的大小. 【详解】（1）设各导弹命中相互独立，单个节点只要至少被命中一次就会被摧毁： 方案一：仅打击1个基地的个节点，每个节点发射2枚导弹. 单个节点未被摧毁的概率为， 因此单个节点被摧毁的概率为. 设方案一摧毁节点数为，则， 则. 方案二：打击两个基地共个节点，每个节点发射1枚导弹. 单个节点被摧毁的概率为，设方案二摧毁节点数为， 则，. 因为，所以. （2）获胜条件为至少一个基地所有节点全被摧毁，分别计算获胜概率： 方案一：仅打击一个基地，获胜当且仅当该基地所有个节点全被摧毁， 因此获胜概率： 方案二：设分别为第一个、第二个基地全被摧毁，根据题意可得， ， 由，可知只需比较和的大小， 用归纳法证明：对，有， 当时，，不等式成立； 假设时不等式成立，即，则时： ， 作差得：，不等式也成立. 因此对所有，，即， 方案一获胜概率更高，方案一更优. 例6．（2026·河北沧州·模拟预测）某学校开展“趣味问答”活动，试题按照难度分两大类，学生们答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，若回答的是类试题，则下一次回答类试题，若回答的是类试题，则下一次等可能地回答类或类试题，如此循环，答对一道试题即为通过活动，每名学生首先回答类试题． (1)若同学甲有三次答题机会，求同学甲通过活动的概率； (2)若某班有16名同学参加本次活动，每名学生有四次答题机会，表示通过活动的人数，求的值； (3)若同学乙不限答题次数，求同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同学答对第一、第二、第三道题通过活动分类讨论即可； （2）求出每个同学通过活动的概率，再根据二项分布即可求解； （3）设表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，再根据与的关系列方程组求解即可． 【详解】（1）若同学甲答对第一题通过活动，则概率为， 若同学甲答对第二题通过活动，则概率为， 若同学甲答对第三题通过活动，则概率为， 所以同学甲通过活动的概率为． （2）设每名学生通过活动的概率为， 则， 所以，分析可得，所以． （3）设表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率， 表示回答类试题开始，最终回答类试题通过活动的概率，所以， ， 所以计算可得， 所以同学乙最终通过答对类试题通过活动的概率为． 【变式训练】 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙两名五子棋爱好者进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用独立重复事件分析求解即可. 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲、乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局，并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局， 故概率为：. 变式2．（25-26高三上·湖南长沙·月考）甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场，由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场， 因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为， 所以所求概率为， 故选：C. 变式3．（25-26高二上·山东淄博·月考）猜灯谜是元宵节特色活动之一.甲、乙两人独立地参加了今年的元宵节猜灯谜活动，已知甲猜对的概率为，乙猜对的概率为，甲、乙都猜不对的概率为.活动中，甲和乙猜对与否互不影响，则________；甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率________. 【答案】 【分析】利用独立事件的乘法公式和对立事件的性质列式求解. 【详解】设事件：甲猜对灯谜；事件：乙猜对灯谜. 由题意，与相互独立，且，，，. 因为甲、乙都猜不对的概率为，所以. 甲、乙恰有一人猜对灯谜的概率为： . 故答案为：； 变式4．（25-26高三上·天津红桥·月考）某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，再次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5、0.6、0.4，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6、0.5、0.75；则第一次烧制后恰有一件产品合格的概率为________；经过前后两次烧制后，合格工艺品的件数为X，则随机变量X的期望为______. 【答案】 0.38 0.9 【分析】分为只有甲合格，只有乙合格，只有丙合格，3种情况，根据相互独立事件的概率乘法公式分别求出3种情况的概率，相加即可求得第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；根据已知可求得每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，因为概率相同，可以把它们看成3次重复试验发生次的概率，然后根据二项分布期望公式直接求解． 【详解】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，， 设表示第一次烧制后恰好有一件合格， 则 ； 经过前后两次烧制后，甲合格的概率为，乙合格的概率为，丙合格的概率为， 则每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为， 所以，所以． 故答案为：0.38；0.9． 变式5．（2026·河南·模拟预测）某智能设备装有3个独立运行的芯片A，B，C，设备正常工作的条件是至少有2个芯片正常运行，其中A，B正常运行的概率均为，C正常运行的概率为． (1)若，在恰有2个芯片正常运行的条件下，求C的运行不正常的概率； (2)若该设备正常工作的概率大于，求p的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用条件概率及相互独立事件的概率计算即可； （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行，结合相互独立事件的概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设事件M为恰有2个芯片正常运行，事件N为C的运行不正常． 由题可知， ． 所以， 即在恰有2个芯片正常运行的条件下，C的运行不正常的概率为． （2）该设备正常工作，即有2个或3个芯片正常运行， 所以该设备正常工作的 ． 由，得， 所以p的取值范围为． 变式6．（2026·江西南昌·二模）在一个人工智能训练系统中，初始数据集包含2个正样本和3个负样本，现对这个数据集进行多次操作，每次操作，系统从这个数据集中随机抽取一个样本，若抽到正样本，则将其放回数据集（样本不变）；若抽到负样本，则以的概率通过数据增强将其转化为正样本后放回数据集，以的概率将其放回数据集（仍为负样本）． (1)求经过1次操作后，数据集中正样本个数的可能取值及其概率，并计算期望值； (2)求经过2次操作后，数据集中正样本个数的期望值． 【答案】(1)可能取值为2，3；，， (2) 【分析】（1）判断出的可能取值，并计算相应的概率，代入数学期望公式求解即可. （2）判断出的可能取值，结合条件概率计算相应的概率，代入数学期望公式求解即可. 【详解】（1）设第一次操作后，数据集中正样本个数为，可能取值为2、3． ，， 所以． （2）设第二次操作后，数据集中正样本个数为，可能取值为2，3，4． ， ， ， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $