精品解析：河北邢台市2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

七年级数学（冀教版） 说明：1．本试卷共4页，满分120分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列工具中，呈现类似对顶角结构的是（ ） A. B. C. D. 3. 在同一平面内到直线的距离等于3的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 6. 如图，阴影三角形平移后可得到（ ） A. 三角形 B. 三角形 C. 三角形 D. 三角形 7. 天安门广场是世界上面积最大的广场，长约，宽约，它的面积用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，刘师傅为了检验门框左侧是否垂直于水平地面，在的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅垂线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面可以说明这个道理的数学知识是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 经过两点有且只有一条直线 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 9. 下列各运算中，结果等于的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知，，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 11. 方程组，下列步骤可以消去未知数的是（ ） A. ①② B. ①② C. ①-② D. ①+② 12. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ ） A. 54 B. 50 C. 43 D. 34 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算： =____________________． 14. 把方程改写成用含的式子表示的形式是_________． 15. 如图，的同旁内角有_______个． 16. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中，一房七客多七客，……．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；……．据此求客房和客人的数量．若设客房有x间，客人有y人，得到的方程组是，则省略的条件是______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知命题“相等的两个角是直角” （1）写出此命题的条件． （2）判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 18. 在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： （1）根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． （2）当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 19. 化简： 以下是嘉淇的解题过程： …第一步 …第二步 第三步 老师看到后，说嘉淇做错了． （1）嘉淇开始出现错误在第 步、 （2）请写出正确的解题过程． 20. 嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． （1）他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． （2）妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 21. 小玲和家人在青岛栈桥喂海鸥，回家后绘制了一个海鸥简笔画，如图，已知，，平分，，求证：． 22. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示； （2）图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值． 23. 某新能源光伏企业原计划生产A、B两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如下表所示，现因订单增加，实际上生产A、B两种太阳能光伏板共18件，生产成本变为72万元，求订单增加后生产A、B两种太阳能光伏板的总利润比原计划生产A、B两种太阳能光伏板的总利润多多少万元？ A种产品 B种产品 生产成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 24. 如图1，，直线与，分别相交于点G，H，，佳佳将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，，． （1）请对说明理由． （2）如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求的度数． ②佳佳将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学（冀教版） 说明：1．本试卷共4页，满分120分． 2．请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的判断，根据二元一次方程的定义，含有2个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、只有1个未知数，且含有二次项，不是二元一次方程，不符合题意； B、只有1个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、是二元二次方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、是二元一次方程，符合题意； 故选D． 2. 下列工具中，呈现类似对顶角结构的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解：由题意得，只有剪刀呈现类似对顶角结构． 3. 在同一平面内到直线的距离等于3的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线间的距离相等，直线上方与下方各有一条直线与已知直线平行，即可求解． 本题考查了平行线间的距离相等，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：同一平面内到直线的距离等于3的直线有2条， 故选：B． 4. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方和合并同类项法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； 5. 如图，在河旁边有一村庄，现要建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，掌握垂线段最短性质是解答本题的关键． 根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：从村庄向小河作垂线，村庄到垂足得距离最短，即码头应建在点处， 故选：C． 6. 如图，阴影三角形平移后可得到（ ） A. 三角形 B. 三角形 C. 三角形 D. 三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：由平移的不变性可知，四个三角形只有三角形是经过三角形平移得到的． 故选：C． 7. 天安门广场是世界上面积最大的广场，长约，宽约，它的面积用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：A． 8. 如图所示，刘师傅为了检验门框左侧是否垂直于水平地面，在的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框是否与铅垂线重合．若门框垂直于地面，则会重合于，否则与不重合．下面可以说明这个道理的数学知识是（ ） A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B. 经过两点有且只有一条直线 C. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，可以说明这个道理的数学知识是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 9. 下列各运算中，结果等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出四个选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 10. 已知，，则M与N的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，熟记公式结构是解题的关键． 将N表示为，利用平方差公式化简计算即可． 【详解】解：∵， 又 ∵， ∴， ∴． 故选A． 11. 方程组，下列步骤可以消去未知数的是（ ） A. ①② B. ①② C. ①-② D. ①+② 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．根据加减消元法进行求解即可． 【详解】解：A、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； B、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； C、①②，得 ， 变形后能消去未知数，故符合题意． D、①②，得 ， 变形后不能消去未知数，故不符合题意； 故选：C． 12. 如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（ ） A. 54 B. 50 C. 43 D. 34 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题． 设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组 ，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长、宽分别为， ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算： =____________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方运算以及幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查整式运算，涉及到积的乘方运算以及幂的乘方运算，熟练掌握整式运算的法则是解决问题的关键． 14. 把方程改写成用含的式子表示的形式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等式的性质．根据题意移项即可表示出本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，的同旁内角有_______个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同旁内角的定义即两个内角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角进行解答即可． 【详解】解：的同旁内角有和，共有3个． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了同旁内角的定义：“同旁”指在截线的同侧；“内”指在被截两条线之间，比较简单． 16. 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公、众客都来到店中，一房七客多七客，……．”诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；……．据此求客房和客人的数量．若设客房有x间，客人有y人，得到的方程组是，则省略的条件是______． 【答案】如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房 【解析】 【分析】根据方程组中的方程分析对应的等量关系，从而推导出省略的条件． 【详解】解：由题意可知，方程组中第一个方程对应题干已知的“每一间客房住人，那么有人无房住”． 第二个方程，为客房总数量，表示实际使用的客房比总客房少间，即空出间客房， 表示所有客人恰好住满， 因此可得省略的条件为如果每一间客房住人，那么就恰好空出一间客房． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知命题“相等的两个角是直角” （1）写出此命题的条件． （2）判断此命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】（1）两个角相等 （2）该命题是假命题，反例：两个度数为的角相等，但它们都不是直角 【解析】 【分析】（1）将原命题改写为“如果…那么…”的形式，“如果”后面的即是原命题的条件； （2）根据两个度数为的角相等，但它们都不是直角即可得到答案． 【小问1详解】 解：原命题可以改成：如果两个角相等，那么这两个角是直角， 故原命题的条件是两个角相等； 【小问2详解】 解：该命题是假命题，反例：两个度数为的角相等，但它们都不是直角． 18. 在复习第7章《幂的运算》过程中，小东进行了如下的探究： （1）根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，、是正整数，）． （2）当、是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相除，负整数指数幂，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合幂的定义证明同底数幂的除法法则，即可作答． （2）运用负整数指数幂运算法则验证，即可作答． 【小问1详解】 证明：，、是正整数， ， 即（，、是正整数，）； 【小问2详解】 解：，、是正整数 ∴， ， 故． 19. 化简： 以下是嘉淇的解题过程： …第一步 …第二步 第三步 老师看到后，说嘉淇做错了． （1）嘉淇开始出现错误在第 步、 （2）请写出正确的解题过程． 【答案】（1）一 （2） ，过程见解析 【解析】 【分析】（1）第一步运算时，把完全平方公式错用为平方差公式，以及在利用平方差公式时，使用错误，据此可得答案； （2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：由解题过程可知，嘉淇开始出现错误在第一步，错误原因是把完全平方公式错用为平方差公式，以及在利用平方差公式时，使用错误； 【小问2详解】 解： ． 20. 嘉淇准备完成题目：解二元一次方程组时，发现系数“■”不清楚． （1）他把“■”猜成3、请你解二元一次方程组． （2）妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果x，y是一对相反数．”通过计算求原题中“■”是几？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据相反数的定义可得，求出方程组的解，再把该方程组的解代入方程中计算求解即可． 【小问1详解】 解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：∵x，y是一对相反数， ∴， 联立 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∴ ∴． 21. 小玲和家人在青岛栈桥喂海鸥，回家后绘制了一个海鸥简笔画，如图，已知，，平分，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．先由，，求出，再根据角平分线的定义得到，由，证得，最后由“平行于同一直线的两直线平行”证得结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，整式乘法中也可以利用图形面积来论证数量关系，现用砖块相同的面（如图1，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． （1）图2中空白面积为，根据图形中的数量关系，用含a，b的式子表示； （2）图2，图3中空白部分面积分别为19，68，求值． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式的法则，数形结合思想是解题的关键． （1）等于大正方形的面积减去3个小长方形的面积； （2）先用a，b表示，再列方程求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：①， ②， ∴ ， ∴． 23. 某新能源光伏企业原计划生产A、B两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元，其生产成本和利润如下表所示，现因订单增加，实际上生产A、B两种太阳能光伏板共18件，生产成本变为72万元，求订单增加后生产A、B两种太阳能光伏板的总利润比原计划生产A、B两种太阳能光伏板的总利润多多少万元？ A种产品 B种产品 生产成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 【答案】18万元 【解析】 【分析】设原计划生产A种太阳能光伏板x件，生产B种太阳能光伏板y件，根据原计划生产A、B两种太阳能光伏板共10件，生产成本为41万元建立方程组求出原计划生产A种太阳能光伏板和生产B种太阳能光伏板的数量，进而求出原计划的利润，同理求出实际的利润即可得到答案． 【详解】解：设原计划生产A种太阳能光伏板x件，生产B种太阳能光伏板y件， 由题意得，， 解得， ∴原计划生产A种太阳能光伏板3件，生产B种太阳能光伏板7件， ∴原计划的利润为万元； 设实际生产A种太阳能光伏板m件，生产B种太阳能光伏板n件， 由题意得，， 解得， ∴实际生产A种太阳能光伏板6件，生产B种太阳能光伏板12件， ∴实际的利润为万元， 万元， 答：订单增加后生产A、B两种太阳能光伏板的总利润比原计划生产A、B两种太阳能光伏板的总利润多18万元． 24. 如图1，，直线与，分别相交于点G，H，，佳佳将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，，． （1）请对说明理由． （2）如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求的度数． ②佳佳将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①；②或． 【解析】 【分析】（1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可．②分点N在点G右侧和点N在点G左侧两种情况，利用平行线的性质和角平分线的定义讨论求解即可． 【小问1详解】 解：如答图1，过点P作，交于点Q， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， 又∵的平分线交直线于点O， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②当点N在点G的右侧时， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴； 当点N在点G的左侧时，如答图2， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $