精品解析：湖北广水市实验初级中学2025-2026学年下学期八年级数学期中试卷

八年级数学期中试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．在每小题中均给出了四个答案，其中有且只有一个正确答案） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点的坐标为，则点到原点的距离是（ ）． A. B. C. D. 5. 四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G，E，D分别是边AB，BC，CA的中点，若DE+CG＝7，则CG的长为（　　） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 7. 若一直角三角形的两边的长为3和4，则第三边的长为（ ） A. 5 B. 5或 C. 5或4 D. 7 8. 如图，中，、为对角线，，边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 9. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以三边为底向形外作等腰直角三角形，它们的面积依次为S1、S2、S3，则下列关系式正确的是（　　） A. S1＞S2+S3 B. S1＜S2+S3 C. S1＝S2+S3 D. S12＝S22+S32 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 9的算术平方根是_____． 12. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，C的坐标分别是，，则B点的坐标是______． 13. 若实数，满足，则的值是________． 14. 如图，在中，，，D为上一动点，于点E，于点F，若，则的最小值为______． 15. 如图，在矩形中，，，若P 是射线上一个动点，连接，点A关于直线的对称点为点M，连接，，当P，M，C三点共线时，的长为________． 三、解答题（共9个小题，75分） 16. 计算 （1）； （2） 17. 已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF． 18. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简. 19. 如图，每个小正方形的边长为1． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的面积． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级的诚诚和同学们学习了“勾股定理”之后，想学以致用，求得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①牵线放风筝的诚诚的手握线的高度为；②根据手中剩余线的长度推算出风筝线的长为；③测得水平距离为，求风筝的垂直高度 ． 21. 如图，在中，，，，是边的中点．分别以点，为圆心．的长为半径作弧，两弧交于点，连接，． （1）根据以上尺规作图的过程，四边形是什么特殊的四边形？说明理由； （2）求四边形的面积． 22. 如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 23. 【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 （1）化简 的结果为________； （2）已知 求 的值； （3）计算 ． 24. 已知正方形的边长为，点F从点B出发，沿射线方向以的速度移动，点E从点D出发，向点A以的速度移动（不与点A重合），设点E，F的运动时间为． （1）如图①，在点E，F移动的过程中，连接，则的形状是______． （2）如图②，连接，设交于点M，连接，求证：； （3）如图③，点G，H分别在边上，且，连接，当与的夹角为时，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题．每小题3分，共30分．在每小题中均给出了四个答案，其中有且只有一个正确答案） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：最简二次根式需要满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式： A、，被开方数含能开得尽方的因数4，∴A不符合要求； B、，可直接化为整数，不是最简二次根式，∴B不符合要求； C、，被开方数含分母，∴C不符合要求； D、符合最简二次根式的条件，∴D符合要求． 2. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，计算每组中两个较短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等即可构成直角三角形，逐一判断即可． 【详解】解： A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3. 若代数式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】代数式有意义， ， ， 4. 已知点的坐标为，则点到原点的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到原点的距离计算，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点到原点的距离可根据勾股定理得， ∵，即， ∴代入得． 5. 四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、当，时，四边形可能是等腰梯形，不能判定这个四边形是平行四边形，因此A符合题意． B、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，因此B不符合题意； C、，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，因此C不符合题意； D、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，因此D不符合题意； 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G，E，D分别是边AB，BC，CA的中点，若DE+CG＝7，则CG的长为（　　） A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得到CG=AB，根据三角形中位线定理得到DE=AB，进而证明DE=CG，根据DE+CG=7解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点G是边AB的中点， ∴CG=AB， ∵点E，D分别是边BC，CA的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=AB， ∴DE=CG， ∵DE+CG=7， ∴CG=DE=3.5， 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 7. 若一直角三角形的两边的长为3和4，则第三边的长为（ ） A. 5 B. 5或 C. 5或4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分类讨论是解答本题的关键．分类讨论：①若3和4为直角边，②若3为直角边，4为斜边，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：①若3和4为直角边，则第三边长为：； ②若3为直角边，4为斜边，则第三边长为：； 故选B． 8. 如图，中，、为对角线，，边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得出阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，再由平行四边形的面积得出答案即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，，， ，又， ， 同理：，， ， ． 故先C． 【点睛】本题考查了平行四边形的面积和性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对角线互相平分． 9. 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以三边为底向形外作等腰直角三角形，它们的面积依次为S1、S2、S3，则下列关系式正确的是（　　） A. S1＞S2+S3 B. S1＜S2+S3 C. S1＝S2+S3 D. S12＝S22+S32 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，可以分别表示出S1、S2、S3，然后根据勾股定理，即可得到S1、S2、S3之间的关系，从而可以解答本题． 【详解】解：如图所示， △ABC中，∠ACB＝90°，分别以三边为底向形外作等腰直角三角形， ∴S1＝＝， 同理可得，S2＝，S3＝， ∵∠ACB＝90°， ∴a2+b2＝c2， ∴S1＝S2+S3， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O．点E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点为的中点， ， 又， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即，故①正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又，点为的中点， ， 平行四边形是菱形，故③正确； ， 在中，， ，故②正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故④正确； 综上所述：正确的结论有4个， 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 12. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，C的坐标分别是，，则B点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形“对边平行且相等”的性质，通过点的平移规律来求解未知点的坐标． 【详解】解：在中，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 13. 若实数，满足，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，可得的值，从而可得的值，代入计算即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，D为上一动点，于点E，于点F，若，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，根据三个角是直角的四边形是矩形判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等可得，根据垂线段最短可知当时最短，即最短，利用等腰直角三角形性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 四边形为矩形， ， 由垂线段最短知时最短，即最短， 由是等腰直角三角形，知， 时D为中点， ， 故的最小值为． 15. 如图，在矩形中，，，若P 是射线上一个动点，连接，点A关于直线的对称点为点M，连接，，当P，M，C三点共线时，的长为________． 【答案】2或8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，分情况讨论，当点在线段上时，当点在的延长线时，根据折叠的性质和勾股定理即可得到结论． 【详解】解：当点线段上时，如图， 与关于直线对称， ，，， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， ； 当点在的延长线时，如图， 与关于直线对称， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为2或8， 故答案为：2或8． 三、解答题（共9个小题，75分） 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，线段EF过点O交AD于点E，交BC于点F．求证：OE=OF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC， ∴∠OAE=∠OCF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE=OF． 【解析】 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，继而可利用ASA判定△AOE≌△COF，继而证得OE=OF． 【详解】略 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 18. 实数a，b在数轴上对应点A，B的位置如图，化简. 【答案】-2a+b 【解析】 【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后利用算术平方根和绝对值的性质解答即可． 【详解】由图可知，，且， 所以，， 所以 ． 【点睛】本题考查了实数与数轴，准确识图判断出a、b的正负情况是解题的关键． 19. 如图，每个小正方形的边长为1． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的面积． 【答案】（1） 是直角三角形； 理由：∵，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）10 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）利用勾股定理求出和，再根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，是直角， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 20. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节，某校八年级的诚诚和同学们学习了“勾股定理”之后，想学以致用，求得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①牵线放风筝的诚诚的手握线的高度为；②根据手中剩余线的长度推算出风筝线的长为；③测得水平距离为，求风筝的垂直高度 ． 【答案】风箏的垂直高度为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：根据题意得，，与地面垂直， 四边形为矩形， ， 在中，根据勾股定理，得， ， ． 答：风箏的垂直高度为． 21. 如图，在中，，，，是边的中点．分别以点，为圆心．的长为半径作弧，两弧交于点，连接，． （1）根据以上尺规作图的过程，四边形是什么特殊的四边形？说明理由； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 四边形是菱形，理由如下： ∵，是边的中点， ∴． 由作图知， ∴． ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知，结合尺规作图，可知，从而推出，得证； （2）先根据30度所对的直角边等于斜边的一半求得，然后根据勾股定理求得，可证，最后利用求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，． ， 是边的中点， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的证明，勾股定理，三角形的面积，菱形的面积，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. 如图，台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点作于点，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由． 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离为 （2）海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理求出即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响；若受影响，利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 答：监测点与监测点之间的距离为； 【小问2详解】 解：海港受台风影响， 理由：，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港会受到此次台风的影响， 以为圆心，长为半径画弧，交于，， 则时，正好影响港口， 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 23. 【阅读材料】在二次根式的计算中，如：，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：， ． 【解决问题】 （1）化简 的结果为________； （2）已知 求 的值； （3）计算 ． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的关键． （1）利用分母有理化、平方差公式计算； （2）利用分母有理化化简a，b，利用提公因式法把原式变形，代入算即可； （3）根据（1）的结论计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ； 【小问3详解】 ． 24. 已知正方形的边长为，点F从点B出发，沿射线方向以的速度移动，点E从点D出发，向点A以的速度移动（不与点A重合），设点E，F的运动时间为． （1）如图①，在点E，F移动的过程中，连接，则的形状是______． （2）如图②，连接，设交于点M，连接，求证：； （3）如图③，点G，H分别在边上，且，连接，当与的夹角为时，求t的值． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2） 证明：∵四边形是正方形， ∴， 由题意得，， 如图，过点作，交于点， ， 则， ， ， 在与中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）通过证明得到，则易推知是等腰直角三角形； （2）过点作，交于点，，，可证，得到； （3）连接，，设与交于，通过证明四边形是平行四边形得到，由勾股定理计算得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：等腰直角三角形， 理由如下： 四边形是正方形， ， ∴， 根据题意可得：， 在和中， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，连接，，设与交于， 由（）得为等腰直角三角形， ∴， 由题意得，， ， ∵正方形中，， 四边形是平行四边形， ， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $