2026年中考数学压轴题专题03 二次函数与等腰直角三角形问题

**基本信息** 以分类讨论为框架，通过K型全等/相似构造实现几何与代数的转化，系统突破二次函数与等腰直角三角形综合问题。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|1个模块|分类讨论（三直角）、K型全等/相似构造、方程建模|从等腰直角三角形性质到二次函数动态问题，构建"性质-构造-方程"的逻辑链条| |典例解析|3道中考真题|坐标法、参数表示、图形变换|覆盖两定一动/一定两动/三动全类型，展现"几何特征→等量关系→函数表达"的解题路径| |变式训练|20道综合题|动态分析、多解讨论、临界值确定|整合二次函数性质、全等相似判定、方程思想，形成问题解决的完整方法论|

专题3二次函数与等腰直角三角形问题 二次函数与等腰直角三角形的相结合的综合问题，是中考数学压轴题中比较常见的一种，涉及到的知识点有：等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、斜边的中线、全等三角形与相似三角形、角平分线、方程与函数模型、函数的基本性质等。等腰直角三角形与二次函数综合问题常见的有三种类型：两定一动探索直角三角形问题；一定两动探索等腰直角三角形问题；三动探索等腰直角三角形问题；常见的思路中，不管是哪种类型的等腰直角三角形三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角，解决的思路是通过构造K型全等或相似图来列方程解决。 在Rt△ACB和Rt△BEF中，若∠A=∠EBF，则△ACB∽BFE，则=; 若Rt△ACB和Rt△BEF是等腰直角三角形，则==1. 【例1】（2025•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【例2】（2025•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【例3】（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围． （3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m． ①求m的值． ②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标． 1．（2025•石狮市模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标； （3）直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值． 2．（2025•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形． （1）求抛物线的解析式； （2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 3．（2025•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标． 4．（2025秋•福清市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上． （1）求抛物线解析式； （2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点． ①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值； ②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围． 5．（2025•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P． （1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示） （2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式； （3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 6．（2025•城厢区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（不与点O重合）． （1）若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形． ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． （2）点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n（1≤n≤4）个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围． 7．（2025•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣有唯一的公共点A，与直线y＝交于点B，C（C在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧． （ⅰ）求P，Q两点的坐标； （ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点． 8．（2025•赣州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'． （1）求a，b，c的值； （2）画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式； （3）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）． ①直接写出m的取值范围； ②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值． 9．（2025•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值； （3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标； （3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标． 11．（2025•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2025•襄城区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）如图1，若点A在x轴的负半轴上，△OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点D（﹣2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标； （3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围． 13．（2025•山西二模）综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A（﹣2，0），B（8，0）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l⊥x轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H． （1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标． （2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2025•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1． （1）求抛物线C1的解析式； （2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值； （3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 15．（2025•永川区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值； （3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（2025•兴城市一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．（2025•昆明模拟）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标； （3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标． 18（2025•新泰市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD． （1）求这个抛物线的表达式． （2）点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值． （3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标； ②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标． 19.（2025•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求b、c的值． （2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 20.（2025•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC． ①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C在抛物线上，求C的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 【例1】（2025•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的关系式； （2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标； （3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围； （4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标． 【解析】（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0）， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3； （2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G， 设P（m，m2﹣4m+3）， ∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°， ∴∠AOE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴AE＝OA＝3， ∴E（3，3）， ∴直线OE的解析式为：y＝x， ∴G（m，m）， ∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3， ∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG ＝PG•AE ＝×3×（﹣m2+5m﹣3） ＝﹣（m2﹣5m+3） ＝﹣（m﹣）2+， ∵﹣＜0， ∴当m＝时，△OPE面积最大， 此时，P点坐标为（，﹣）； （3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1）， 抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）． 设直线x＝2交OE于点DM，交AE于点N，则E（2，3）， ∵直线OE的解析式为：y＝x， ∴M（2，2）， ∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界）， ∴2≤﹣1+h≤3， 解得3≤h≤4； （4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况： ①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N， ∴∠OMP＝∠PNF＝90°， ∵△OPF是等腰直角三角形， ∴OP＝PF，∠OPF＝90°， ∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°， ∴∠OPM＝∠PFN， ∴△OMP≌△PNF（AAS）， ∴OM＝PN， ∵P（m，m2﹣4m+3）， 则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m， 解得：m＝（舍）或， ∴P的坐标为（，）； ②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时， 同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3， 解得：m1＝（舍）或m2＝， ∴P的坐标为（，）； ③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时， 如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M， 同理得△ONP≌△PMF， ∴PN＝FM， 则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2， 解得：m1＝或m2＝（舍）； P的坐标为（，）； ④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图， 同理得m2﹣4m+3＝m﹣2， 解得：m＝或（舍）， P的坐标为：（，）； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 方法二：作直线DE：y＝x﹣2， E（1，﹣1）是D点（1，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小2倍得到， 易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹， 联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2， 解得x1＝，x2＝， 同理可得x3＝或x4＝； 综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）． 【例2】．（2025•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标； （3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可； （3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣，﹣2）． 【解析】（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）连接CB交对称轴于点Q， ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵A、B关于对称轴x＝1对称， ∴AQ＝BQ， ∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC， 当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小， ∵C（0，﹣3），B（3，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x﹣3， ∴Q（1，﹣2）； （3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB， ∴M点与A点重合， ∴M（﹣1，0）； 当∠PBM＝90°时，PB＝BM， 过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G， ∵∠PBM＝90°， ∴∠PBH+∠MBG＝90°， ∵∠PBH+∠BPH＝90°， ∴∠MBG＝∠BPH， ∵BP＝BM， ∴△BPH≌△MBG（AAS）， ∴BH＝MG，PH＝BG＝2， 设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2）， ∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3， 解得t＝2+或t＝2﹣， ∴M（1﹣，﹣2）或（5+，﹣2）， ∵M点在对称轴的左侧， ∴M点坐标为（1﹣，﹣2）； 综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（﹣1，0）． 【例3】（2025•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m． （1）求此抛物线的解析式． （2）当点P在x轴上方时，结合图象，直接写出m的取值范围． （3）若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2﹣m． ①求m的值． ②以PA为边作等腰直角三角形PAQ，当点Q在此抛物线的对称轴上时，直接写出点Q的坐标． 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）令y＝0，求出抛物线与x轴交点坐标，结合图象求解． （3）①分类讨论点P在抛物线对称轴右侧及左侧两种情况，分别求出顶点为最低点和点P为最低点时m的值． ②根据m的值，作出等腰直角三角形求解． 【解析】（1）将（1，0），（0，3）代入y＝x2+bx+c得， 解得， ∴y＝x2﹣4x+3． （2）令x2﹣4x+3＝0， 解得x1＝1，x2＝3， ∴抛物线与x轴交点坐标为（1，0），（3，0）， ∵抛物线开口向上， ∴m＜1或m＞3时，点P在x轴上方． （3）①∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x＝2， 当m＞2时，抛物线顶点为最低点， ∴﹣1＝2﹣m， 解得m＝3， 当m≤2时，点P为最低点， 将x＝m代入y＝x2﹣4x+3得y＝m2﹣4m+3， ∴m2﹣4m+3＝2﹣m， 解得m1＝（舍），m2＝． ∴m＝3或m＝． ②当m＝3时，点P在x轴上，AP＝2， ∵抛物线顶点坐标为（2，﹣1）， ∴点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）符合题意． 当m＝时，如图，∠QPA＝90°过点P作y轴平行线，交x轴于点F，作QE⊥PF于点E， ∵∠QPE+∠APF＝∠APF+∠PAF＝90°， ∴∠QPE＝∠PAF， 又∵∠QEP＝∠PFA＝90°，QP＝PA， ∴△QEP≌△PFA（AAS）， ∴QE＝PF，即2﹣m＝m2﹣4m+3， 解得m1＝（舍），m2＝． ∴PF＝2﹣，AF＝PE＝1﹣， ∴EF＝PF+PE＝2﹣+1﹣＝， ∴点Q坐标为（2，）． 综上所述，点Q坐标为（2，﹣1）或（2，1）或（2，）． 1．（2025•石狮市模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P为该抛物线在第一象限内的点．当点P为该抛物线顶点时，△ABP为等腰直角三角形． （1）求该抛物线的解析式； （2）过点P作PD⊥x轴于点E，交△ABP的外接圆于点D，求点D的纵坐标； （3）直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，求的值． 【分析】（1）运用配方法将抛物线解析式化为顶点式，可得到顶点坐标，根据等腰直角三角形的性质可得A，B两点的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）根据等腰直角三角形△ABP的外接圆可得AB为直径，点E为圆心，即可得点D的纵坐标； （3）利用待定系数法可得直线AP，BP的解析式，分别求出M，N两点的坐标，由y＝﹣x2+x+得C（0，），求出CN、CM的值，即可求解． 【解析】（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x2﹣2x）+a+2＝a（x﹣1）2+2， ∴抛物线的顶点P的坐标为（1，2）， 如图：过点P作PE⊥x轴于点E，则E（1，0）， ∴PE＝2， ∵△ABP为等腰直角三角形， ∴AE＝BE＝PE＝AB＝2， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 将B（3，0）代入y＝a（x﹣1）2+2得， a（3﹣1）2+2＝0，解得a＝﹣， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+x+； （2）如图： ∵△ABP为等腰直角三角形，PD⊥x轴于点E， ∴AB为直径，点E为圆心， ∵点P的坐标为（1，2）， ∴PE＝2， ∴DE＝2， ∴D（1，﹣2）， ∴点D的纵坐标为﹣2； （3）设直线AP的解析式为y＝kx+b， ∵点（1，2），A（﹣1，0）， ∴，解得， ∴直线AP的解析式为y＝x+1， 令x＝0，则y＝1， ∴M（0，1）， 同理得直线BP的解析式为y＝﹣x+3， 令x＝0，则y＝3， ∴N（0，3）， ∵y＝﹣x2+x+与y轴正半轴交于点C， ∴C（0，）， ∴CM＝﹣1＝，CN＝3﹣＝， ∴＝3． 2．（2025•福建模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，点C（2，﹣4）在抛物线上，且△ABC是等腰直角三角形． （1）求抛物线的解析式； （2）过点D（2，0）的直线与抛物线交于点M，N，试问：以线段MN为直径的圆是否过定点？证明你的结论． 【分析】（1）等腰直角三角形斜边中线等于斜边一半，点的坐标，不难求出A、B两点坐标，把点A、B、C代入二次函数解析式，解三元一次方程组就可得到函数解析式． （2））通过设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k，得到关于x、关于y的方程，利用跟与系数的关系，再得到圆的解析式，待定系数法确定定点的x、y的值，确定定点的坐标． 【解析】连接AC、BC，过点C作CP垂直于x轴于点P． 在Rt△CAB中，AC＝BC，CP⊥AB，点C（2，﹣4）， ∴CP＝AP＝PB＝4，OP＝2， ∴OA＝AP﹣OP＝4﹣2＝2，OB＝OP+PB＝4+2＝6， ∴点A（﹣2，0），点B（6，0）， 把点A（﹣2，0），点B（6，0），点C（2，﹣4）代入函数解析式得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣3． 故答案为：y＝x2﹣x﹣3． （2）设过点D（2，0）的直线MN解析式为y＝k（x﹣2）＝kx﹣2k， 联立直线与抛物线解析式得关于x的等式：kx﹣2k＝x2﹣x﹣3， 化简得＝0， xN+xM＝﹣＝4（k+1），xNxM＝＝8k﹣12..........①， 联立直线与抛物线解析式得关于y的等式：y＝（+2）2﹣（+2）﹣3， 化简得y2+（﹣﹣1）y﹣4＝0， yM+yN＝4k2，yMyN＝﹣16k2................②， 线段MN的中点就是圆的圆心， ∴xO＝（xN+xM）＝2（K+1）， 代入直线方程得yO＝2k2， ∴圆心坐标为（2k+2，2k2）， 直径MN＝＝， 把①、②代入上式化简整理得直径MN＝， 设圆上某一点（x，y）到圆心的距离等于半径， ∴＝， 化简整理得16k2+12﹣8k＝x2﹣4kx﹣4x+y2﹣4k2y＝﹣4yk2﹣4kx+x2﹣4x+y2， 圆过定点，所以与k值无关，看作是关于k的二次等式， k2、k的系数，常量对应相等， 得﹣8＝﹣4x， x＝2， 16＝﹣4y， y＝﹣4， 由以上分析，所以以MN为直径的圆过定点（2，﹣4）． 故答案为：以线段MN为直径的圆过定点（2，﹣4）． 3．（2025•碑林区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B（A在B的左侧）． （1）若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【分析】（1）先根据抛物线的对称性求出点A、点B的坐标，再将点A、点B的坐标代入y＝﹣x2+mx+n，列方程组求出m、n的值即可； （2）设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx，将点P的坐标用含b的式子表示，过该抛物线的顶点P作PD⊥x轴于点D，根据等腰直角三角形的性质，可列方程求出b的值及点P的坐标． 【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3， ∴点A与点B关于直线x＝﹣3对称， ∵点A在点B的左侧，且AB＝4， ∴A（﹣5，0），B（﹣1，0）， 把A（﹣5，0）、B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+mx+n， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣6x﹣5． （2）根据题意，平移后的抛物线经过原点， 设平移后的抛物线的表达式为y＝﹣x2+bx， 当y＝0时，由﹣x2+bx＝0得x1＝0，x2＝b， ∴C（b，0）， ∴该抛物线的对称轴为直线x＝b， 当x＝b时，y＝﹣（b）2+b2＝b2， ∴P（b，b2）； 如图，作PD⊥x轴于点D，则OD＝CD， ∵△OCP是等腰直角三角形， ∴∠OPC＝90°， ∴PD＝OC＝OD， ∴b2＝b， 解得b1＝2，b2＝0（不符合题意，舍去）， ∴P（1，1）． 4．（2025秋•福清市期末）已知抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2），且顶点在y轴上． （1）求抛物线解析式； （2）直线y＝kx+c与抛物线交于A，B两点． ①点P在抛物线上，当k＝0，且△ABP为等腰直角三角形时，求c的值； ②设直线y＝kx+c交x轴于点M（m，0），线段AB的垂直平分线交y轴于点N，当c＝1，m＞6时，求点N纵坐标n的取值范围． 【分析】（1）由题意可知b＝0，再将（2，2）代入y＝ax2+bx﹣2即可求解析式； （2）①求出A（，0），B（﹣，0），再由2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2），即可求c； ②由题意可得m＝﹣，k＜0，再由m＞6，可得﹣＜k＜0，联立，得到AB的中点为（，+1），设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b，与x轴的交点P（﹣，0），与y轴的交点为N（0，b），由∠PNO＝∠AMO，可得k'＝m＝﹣，则有线段AB的垂直平分线为y＝﹣x++，所以N点纵坐标为n＝+，即可求＜n＜． 【解析】（1）∵顶点在y轴上， ∴b＝0， ∵抛物线y＝ax2+bx﹣2经过（2，2）， ∴4a﹣2＝2， ∴a＝1， ∴y＝x2﹣2； （2）①当k＝0时，y＝c， 联立， ∴A（，c），B（﹣，c）， ∵△ABP为等腰直角三角形， ∴P点在AB的垂直平分线上， ∴P点在抛物线的顶点（0，﹣2）处， ∵AB＝2，AP＝BP＝， ∴2[c+2+（c+2）2]＝4（c+2）， ∴c＝0； ②∵c＝1， ∴y＝kx+1， ∴m＝﹣， 由题意可知，k＜0， ∵m＞6， ∴﹣＜k＜0， 联立， ∴x2﹣kx﹣2＝0， ∴xA+xB＝k， ∴AB的中点为（，+1）， 设AB的线段垂直平分线所在直线解析式为y＝k'x+b， ∴与x轴的交点P（﹣，0），与y轴的交点为N（0，b）， ∵PN⊥AB， ∴∠PNO＝∠AMO， ∴＝， ∴k'＝m＝﹣， ∴y＝﹣x+b， ∴线段AB的垂直平分线为y＝﹣x++， ∴N点纵坐标为n＝+， ∴＜n＜． 5．（2025•集美区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线T：y＝a（x+4）（x﹣m）与x轴交于A，B两点，m＞﹣3，点B在点A的右侧，抛物线T的顶点为记为P． （1）求点A和点B的坐标；（用含m的代数式表示） （2）若a＝m+3，且△ABP为等腰直角三角形，求抛物线T的解析式； （3）将抛物线T进行平移得到抛物线T'，抛物线T'与x轴交于点B，C（4，0），抛物线T'的顶点记为Q．若0＜a＜，且点C在点B的右侧，是否存在直线AP与CQ垂直的情形？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）解方程（x+4）（x﹣m）＝0可求A、B点坐标； （2）求出顶点P（m﹣2，（﹣m﹣3）（）2），利用等腰直角三角形斜边的中线等腰斜边的一半，求出m即可求解； （3）分别求出直线AP与直线CQ的解析式，通过联立方程组求出这两条直线的交点M，过点M作NM⊥x轴交于N，可得△AMN∽△MCN，则（am2﹣8a）2＝（﹣m+4）（4+m），得到a2＝，再由a的取值范围确定m的范围即可． 【解析】（1）令y＝0，则（x+4）（x﹣m）＝0， 解得x＝﹣4或x＝m， ∴A（﹣4，0），B（m，0）； （2）∵a＝m+3， ∴y＝（m+3）（x+4）（x﹣m）＝（m+3）（x2+4x﹣mx﹣4m）， ∴P（m﹣2，（﹣m﹣3）（）2）， ∵△ABP为等腰直角三角形， ∵AB＝m+4， ∴AB＝（m+4）＝（m+3）（）2， 解得m＝﹣2或m＝﹣5， ∵m＞﹣3， ∴m＝﹣2， ∴y＝x2+6x+8； （3）存在直线AP与CQ垂直的情形，理由如下： ∵y＝a（x+4）（x﹣m）， ∴P（m﹣2，）， 由题意可知抛物线T'的解析式为y＝a（x﹣m）（x﹣4）， ∴Q（，）， 设直线AP的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣（m+4）x﹣2a（m+4）， 同理可求直线CQ的解析式为y＝﹣（m﹣4）x+2a（m﹣4）， 联立方程组， 解得， 设直线AP与直线CQ的交点为M， ∴M（﹣m，am2﹣8a）， 过点M作NM⊥x轴交于N， ∵AM⊥CQ， ∴∠AMQ＝90°， ∴∠AMN+∠NMC＝90°， ∵∠AMN+∠NAM＝90°， ∴∠NMC＝∠NAM， ∴△AMN∽△MCN， ∴＝， ∴（am2﹣8a）2＝（﹣m+4）（4+m）， ∴a2＝， ∵0＜a＜， ∴0＜＜， 解得﹣3＜m＜4． 6．（2025•城厢区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（不与点O重合）． （1）若点A在x轴的负半轴上，且△OBC为等腰直角三角形． ①求抛物线的解析式； ②在抛物线上是否存在一点D，使得点O为△BCD的外心，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由． （2）点P在抛物线对称轴上，且点P的纵坐标为﹣9，将直线PC向下平移n（1≤n≤4）个单位长度得到直线P′C′，若直线P′C′与抛物线有且只有一个交点，求△ABC面积的取值范围． 【分析】（1）①分别求出A（m，0），B（3，0），C（0，3m），再由OC＝OB，求出m即可求解析式； ②由三角形外心的性质可知OB＝OC＝OD＝3，设D（t，t2﹣2t﹣3），则3＝，求出t即可求D点坐标； （2）由题可知P（，﹣9），求出平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n，联立方程组，再由判别式Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0，可得n＝，由n的范围求出m的范围，再由S△ABC＝（m﹣）2﹣，结合m的范围即可求△ABC的面积的取值范围． 【解析】（1）①令y＝0，则x2﹣（m+3）x+3m＝0， 解得x＝3或x＝m， ∴A（m，0），B（3，0）， 令x＝0，则y＝3m， ∴C（0，3m）， ∵△OBC为等腰直角三角形， ∴﹣3m＝3 解得m＝﹣1， ∴y＝x2﹣2x﹣3； ②存在一点D，使得点O为△BCD的外心，理由如下： ∵点O为△BCD的外心， ∴OB＝OC＝OD＝3， 设D（t，t2﹣2t﹣3）， ∴3＝， 解得t＝， ∴D（，）或（，）； （2）∵y＝x2﹣（m+3）x+3m， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， ∵点P的纵坐标为﹣9， ∴P（，﹣9）， 设直线PC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝﹣6x+3m， ∴平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n， 联立方程组， 整理得，x2﹣（m﹣3）x+n＝0， ∵直线P′C′与抛物线有且只有一个交点， ∴Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0， ∴n＝， ∵1≤n≤4， ∴1≤≤4， ∴﹣1≤m≤1或5≤m≤7， ∵A（m，0），B（3，0）， ∴AB＝3﹣m， ∴S△ABC＝×（3﹣m）×（﹣3m）＝（m﹣）2﹣， 当﹣1≤m≤1时，0＜S△ABC≤6；5≤m≤7时，15≤S△ABC≤42． 7．（2025•将乐县模拟）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣有唯一的公共点A，与直线y＝交于点B，C（C在B的右侧），且△ABC是等腰直角三角形．过C作x轴的垂线，垂足为D（3，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线y＝2x与抛物线的交点为P，Q，且P在Q的左侧． （ⅰ）求P，Q两点的坐标； （ⅱ）设直线y＝2x+m（m＞0）与抛物线的交点为M，N，求证：直线PM，QN，CD交于一点． 【分析】（1）过点A作AM⊥BC交于M，由等腰直角三角形的性质求出AM＝BM＝2，从而求出M（1，），A（1，﹣），B（﹣1，），再用待定系数法求解析式即可； （2）（ⅰ）联立方程组，即可求P、Q点的坐标； （ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，可得x1+x2＝6，y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12，求出直线PM的解析式后，求直线PM与CD的交点为（3，6+），求出QN的解析式后，求直线QN与CD的交点为（3，6+），从而所求得证． 【解答】（1）解：过点A作AM⊥BC交于M， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AM＝BM＝﹣（﹣）＝2， ∵CD⊥x轴，D（3，0）， ∴C（3，）， ∴M（1，），A（1，﹣），B（﹣1，）， 设y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣x； （2）（ⅰ）解：联立方程组， 解得或， ∵P在Q的左侧， ∴P（0，0），Q（6，12）； （ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立方程组， 整理得x2﹣6x﹣2m＝0， ∴x1+x2＝6， ∴y1＝2x1+m，y2＝2＝﹣2x1+m+12， 设直线PM的解析式为y＝k1x， ∴2x1+m＝k1x1， ∴k1＝2+， ∴y＝（2+）x， ∴直线PM与CD的交点为（3，6+）， 设QN的解析式为y＝k2x+b2， ∴， 解得， ∴y＝（2﹣）x+， ∴直线QN与CD的交点为（3，6+）， ∴直线PM，QN，CD交于一点． 8．（2025•赣州模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3（x≤3）的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，c），记为L．将L沿直线x＝3翻折得到“部分抛物线”K，点A，C的对应点分别为点A'，C'． （1）求a，b，c的值； （2）画出“部分抛物线”K的图象，并求出它的解析式； （3）某同学把L和“部分抛物线”K看作一个整体，记为图形“W”，若直线y＝m和图形“W”只有两个交点M，N（点M在点N的左侧）． ①直接写出m的取值范围； ②若△MNB为等腰直角三角形，求m的值． 【分析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，求出函数解析式即可求解； （2）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）关于x＝3对称的点分别为A'（7，0），B（3，0），C（6，﹣3），再由待定系数法求出抛物线解析式即可； （3）①数形结合即可求m的取值范围； ②当m＝﹣4时，△MNB是等腰三角形但不是直角三角形；当m＞0时，由2+＝m，求出m＝5． 【解析】（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3， 将C（0，c）代入y＝x2﹣2x﹣3，可得c＝﹣3； （2）A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）关于x＝3对称的点分别为A'（7，0），B（3，0），C（6，﹣3）， 设抛物线的解析式为y＝x2+b'x+c'， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣10x+21； （3）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点为（1，﹣4）， ∴当m＝﹣4时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点； 当m＞0时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点； ∴m＞0或m＝﹣4时，直线y＝m和图形“W”只有两个交点； ②当m＝﹣4时，M（1，﹣4），N（5，﹣4）， ∴BM＝BN， ∴△MNB是等腰三角形但不是直角三角形； 当m＞0时，M（1﹣，m），N（5+，m）， ∴BM＝BN， 当BM⊥AM时，2+＝m， 解得m＝0（舍）或m＝5， ∴m＝5． 9．（2025•琼海二模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF． （1）求该抛物线所对应的函数解析式； （2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值； （3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，运用待定系数法可得直线AF的解析式为y＝x﹣4，设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），利用三角形面积公式可得S△AFP＝PQ•OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+，再运用二次函数性质即可求得答案； （3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），分两种情况：①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，②当AP＝PF，∠APF＝90°时，分别讨论计算即可． 【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0）， ∴， 解得：， ∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q， 设直线AF的解析式为y＝kx+d， ∵A（3，0），F（0，﹣4）， ∴， 解得：， ∴直线AF的解析式为y＝x﹣4， 设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4）， ∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣4）＝﹣t2+t+7， ∴S△AFP＝PQ•OA＝（﹣t2+t+7）×3＝﹣（t﹣）2+， ∵＜0，﹣1＜t＜3， ∴当t＝时，△AFP面积的最大值为； （3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n）， ∵A（3，0）， ∴OA＝3，OF＝|n|， ①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D， 则∠ADP＝90°＝∠AOF， ∴∠PAD+∠APD＝90°， ∵∠PAD+∠FAO＝90°， ∴∠APD＝∠FAO， 在△APD和△FAO中， ， ∴△APD≌△FAO（AAS）， ∴PD＝OA，AD＝OF， ∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m， ∴﹣m2+2m+3＝3， 解得：m＝0或2， 当m＝0时，P（0，3），AD＝3， ∴OF＝3，即|n|＝3， ∵点F在y的负半轴上， ∴n＝﹣3， ∴F（0，﹣3）； 当m＝2时，P（2，3），AD＝1， ∴OF＝1，即|n|＝1， ∵点F在y的负半轴上， ∴n＝﹣1， ∴F（0，﹣1）； ②当AP＝PF，∠APF＝90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G， 则∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°， ∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°， ∴四边形PDOG是矩形， ∴∠FPG+∠FPD＝90°， ∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°， ∴∠FPG＝∠APD， 在△FPG和△APD中， ， ∴△FPG≌△APD（AAS）， ∴PG＝PD，FG＝AD， ∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝m， ∴﹣m2+2m+3＝m， 解得：m＝（舍去）或m＝， 当m＝时，P（，）， ∴FG＝AD＝3﹣m＝3﹣＝， ∴F（0，﹣2）； 综上所述，点F的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣1）或（0，﹣2）． 10．（2025•虹口区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0），与y轴交于点C，顶点为D，联结BC交抛物线的对称轴l于点E． （1）求抛物线的表达式； （2）联结CD、BD，点P是射线DE上的一点，如果S△PDB＝S△CDB，求点P的坐标； （3）点M是线段BE上的一点，点N是对称轴l右侧抛物线上的一点，如果△EMN是以EM为腰的等腰直角三角形，求点M的坐标． 【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）求出点C、D的坐标，利用勾股定理的逆定理可得△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，可得S△BCD＝BC•CD＝12，由三角形的面积公式结合S△PDB＝S△CDB可得出PD＝6，即可求解； （3）设M（m，﹣m+6），且2＜m＜6，分两种情况：①当∠MEN＝90°，EM＝EN时，②当∠EMN＝90°，EM＝MN时，根据等腰直角三角形的性质求出点M的坐标即可． 【解析】（1）将A（﹣2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+6， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+6； （2）如图： ∵y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣2）2+8， ∴C（0，6）、D（2，8）， ∵B（6，0）， ∴BC＝＝6， CD＝＝2， BD＝＝4， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°， ∴S△BCD＝BC•CD＝12， ∵S△PDB＝PD•（6﹣2）＝2PD＝S△CDB＝12， ∴PD＝6， ∴P（2，2）； （3）∵B（6，0），C（0，6）． ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵y＝﹣x2+2x+6， ∴对称轴l为x＝﹣＝2， 当x＝2时，y＝﹣x+6＝4， ∴E（2，4）， 设M（m，﹣m+6），且2＜m＜6， ①当∠MEN＝90°，EM＝EN时， 过点E作EH⊥MN于H， ∴MN＝2EH，∠EMN＝∠ENM＝45°， ∵∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠NME＝∠OCB， ∴MN∥y轴， ∴N（m，﹣m2+2m+6）， ∴MN＝﹣m2+2m+6+m﹣6＝﹣m2+3m，EH＝m﹣2， ∴﹣m2+3m＝2（m﹣2），解得m＝4或m＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴M（4，2）； ②当∠EMN＝90°，EM＝MN时， ∴EH＝NH＝MH＝EN，∠MEN＝∠ENM＝45°， ∵∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠MEN＝∠OBC， ∴EN∥x轴， ∴点N的纵坐标为4， 当y＝4时，﹣x2+2x+6＝4， 解得x＝2+2或x＝2﹣2（不合题意，舍去）， ∴N（2+2，4）， ∴EN＝2+2﹣2＝2， ∴EH＝MH＝EN＝， ∴m＝2+， ∴M（2+，4﹣）； 综上所述，点M的坐标为（4，2）或（2+，4﹣）． 11．（2025•顺城区模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和B（5，0），与y轴交于点C（0，5）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F，点D是对称轴上一点，当点D关于直线BC的对称点E在抛物线上时，求点E的坐标； （3）点P在抛物线的对称轴上，点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在以O，P，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法，将B，C的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，即可求得二次函数的解析式； （2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′，则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线，，可得△OBC是等腰直角三角形，求得点M′的坐标为（5，3），由﹣x2+4x+5＝3，解方程即可求解； （3）设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），分三种情况讨论，O，P，Q分别为等腰直角三角形的顶点，分别作出图形，构造全等三角形，利用全等的性质，建立方程，解方程求解即可． 【解析】（1）∵点B（5，0），C（0，5）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上， ∴，解得，， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5； （2）设点M关于直线BC的对称点为点M′，连接MM′，BM′， 则直线FM′为抛物线对称轴关于直线BC的对称直线， ∵点E是点D关于直线BC的对称点，点E落在抛物线上， ∴直线FM′与抛物线的交点E1，E2为D1，D2落在抛物线上的对称点， ∵对称轴与x轴交于点M，与BC交于点F， ∴， ∴点M的坐标为（2，0）， ∵点C的坐标为（0，5），点B的坐标为（5，0）， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝45°， ∴△MBF是等腰直角三角形， ∴MB＝MF， ∴点F的坐标为F（2，3）， ∵点M关于直线BC的对称点为点M′， ∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°， ∴△MBM′是等腰直角三角形， ∴BM′＝BM＝3， ∴点M′的坐标为（5，3）， ∴FM′∥x轴， ∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1＝，x2＝， ∴E1（，3），E2（，3）， ∴点E的坐标为（，3）或（，3）； （3）存在，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）． 设Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p）， ①当OP＝PQ，∠OPQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴，交PL于K， ∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°， ∴∠LOP＝∠KPQ， ∵OP＝PQ， ∴△LOP≌△KPQ（AAS）， ∴LO＝PK，LP＝QK， ∴， 解得m1＝，m2＝（舍去）， 当m1＝时，﹣m2+4m+5＝， ∴Q（，）； ②当QO＝PQ，∠PQO＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K， 同理可得△PKQ≌△QTO（AAS）， ∴QT＝PK，TO＝QK， ∴， 解得m1＝，m2＝（舍去）， 当m1＝时，﹣m2+4m+5＝， ∴Q（，）； ③当QO＝OP，∠POQ＝90°时，作PL⊥y轴于L，过Q作QK⊥x轴于T，交PL于K， 同理可得△OLP≌△QSO（AAS）， ∴SQ＝OL，SO＝LP， ∴， 解得m1＝2+，m2＝2﹣（舍去）， 当m1＝2+时，﹣m2+4m+5＝2， ∴Q（，2）； 综上，Q1（，），Q2（，），Q3（，2）． 12．（2025•襄城区模拟）抛物线y＝x2﹣（m+3）x+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）如图1，若点A在x轴的负半轴上，△OBC为等腰直角三角形，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点D（﹣2，5）是抛物线上一点，点M为直线BC下方抛物线上一动点，令四边形BDCM的面积为S，求S的最大值及此时点M的坐标； （3）若点P是抛物线对称轴上一点，且点P的纵坐标为﹣9，作直线PC，将直线PC向下平移n（n＞0）个单位长度得到直线P'C'，若直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点． ①直接写出n关于m的函数关系式； ②直接写出当1≤n≤5时m的取值范围． 【分析】（1）求出A（﹣m，0），B（3，0），C（0，3m），由题意可得3＝﹣3m，求出m＝﹣1，即可求解； （2）求出S△ABC＝16，过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q，设M（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3），则S△BCM＝﹣（m﹣）2+，可得S＝16﹣（m﹣）2+，即可求解； （3）①求出P（，﹣9），直线PC的解析式为y＝﹣6x+3m，则直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n，联立方程组，整理得x2﹣（m﹣3）x+n＝0，由Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0，可求n＝（m﹣3）2； ②当n＝1时，m＝1或m＝5，当n＝5时，m＝2+3或m＝﹣2+3，则﹣2+3≤m≤1或5≤m≤2+3． 【解析】（1）令y＝0，则x2﹣（m+3）x+3m＝0， 解得x＝3或x＝﹣m， ∴A（﹣m，0），B（3，0）， 令x＝0，则y＝3m， ∴C（0，3m）， ∵△OBC为等腰直角三角形， ∴3＝﹣3m， ∴m＝﹣1， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）由（1）知A（﹣1，0），D（﹣2，5）， ∴AB＝4， ∴S△BDC＝5×8﹣×2×8﹣×3×3﹣×5×5＝15， 过点M作MQ∥y轴交直线BC于点Q， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x﹣3， 设M（m，m2﹣2m﹣3），则Q（m，m﹣3）， ∴MQ＝﹣m2+3m， ∴S△BCM＝×3×（﹣m2+3m）＝﹣（m﹣）2+， ∴S＝15﹣（m﹣）2+， ∴当m＝时，S有最大值15+＝， 此时M（，﹣）； （3）①y＝x2﹣（m+3）x+3m的对称轴为直线x＝， ∴P（，﹣9）， 设直线PC的解析式为y＝k'x+b'， ∴， 解得， ∴y＝﹣6x+3m， ∴直线PC平移后的直线P'C'的解析式为y＝﹣6x+3m﹣n， 联立方程组， 整理得x2﹣（m﹣3）x+n＝0， ∵直线P'C'与抛物线有且仅有一个交点， ∴Δ＝（m﹣3）2﹣4n＝0， ∴n＝（m﹣3）2； ②当n＝1时，m＝1或m＝5， 当n＝5时，m＝2+3或m＝﹣2+3， ∴﹣2+3≤m≤1或5≤m≤2+3． 13．（2025•山西二模）综合与探究 如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且A，B两点的坐标分别是A（﹣2，0），B（8，0）．点P是抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作直线l⊥x轴，交直线AC于点G，交直线BC于点H． （1）求抛物线的函数表达式及点C的坐标． （2）如果点D是抛物线的顶点，点P在点C和点D之间运动时，试判断在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使得△NGH是等腰直角三角形，若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． （3）试探究在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法把A（﹣2，0），B（8，0）代入y＝x2+bx+c，解方程组即可得出抛物线解析式，令x＝0，即可求得点C的坐标； （2）求出抛物线对称轴，利用待定系数法分别求出直线AC、BC的解析式，由P（m，m2﹣m﹣2），可得：G（m，﹣m﹣2），H（m，m﹣2），GH＝m﹣2﹣（﹣m﹣2）＝m，设N（3，n），分三种情况：①当∠GHN＝90°，GH＝HN时，②当∠HGN＝90°，GH＝GN时，③当∠GNH＝90°，GN＝HN时，分别建立方程求解即可得出答案； （3）分三种情况：①当BP为平行四边形的对角线时，②当CP为平行四边形的对角线时，③当QP为平行四边形的对角线时，分别依据平行四边形的对角线互相平分和中点坐标公式可求得点P的横坐标的值，然后将点P的横坐标代入抛物线的解析式可求得点P的纵坐标． 【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣2，0），B（8，0）， ∴， 解得：， ∴y＝x2﹣x﹣2， 当x＝0时，y＝﹣2， ∴C（0，﹣2）； （2）存在．理由如下： ∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣3）2﹣， ∴抛物线顶点D（3，﹣）， 设直线AC的解析式为y＝kx+d，则， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣2， 设直线BC的解析式为y＝k′x+d′，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣2， ∵点P在点C和点D之间抛物线上运动， ∴P（m，m2﹣m﹣2），且0≤m≤3， ∴G（m，﹣m﹣2），H（m，m﹣2）， ∴GH＝m﹣2﹣（﹣m﹣2）＝m， ∵点N在对称轴上， ∴N（3，n）， 如图1，①当∠GHN＝90°，GH＝HN时，△NGH是等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴N（3，﹣）； ②当∠HGN＝90°，GH＝GN时，△NGH是等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴N（3，﹣）； ③当∠GNH＝90°，GN＝HN时，△NGH是等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴N（3，﹣）； 综上所述，点N的坐标为（3，﹣）或（3，﹣）或（3，﹣）； （3）存在点Q，使以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形， 设P（m，m2﹣m﹣2），Q（3，t），又B（8，0），C（0，﹣2）， ①当BP为平行四边形的对角线时，如图2， 由中点公式可得：＝， 解得：m＝﹣5， ∵当m＝﹣5时，m2﹣m﹣2＝×（﹣5）2﹣×（﹣5）﹣2＝， ∴P（﹣5，）； ②当CP为平行四边形的对角线时， 由中点公式可得：＝， 解得：m＝11， 当m＝11时，m2﹣m﹣2＝×112﹣×11﹣2＝， ∴P（11，）； ③当QP为平行四边形的对角线时， 由中点公式可得：＝， 解得：m＝5， 当m＝5时，m2﹣m﹣2＝×52﹣×5﹣2＝﹣， ∴P（5，﹣）； 综上所述，当点P的坐标为（﹣5，）或（11，）或（5，﹣）时，以点P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形． 14．（2025•长沙模拟）已知抛物线C1：y＝mx2+n与x轴于A，B两点，与y轴交于点C，△ABC为等腰直角三角形，且n＝﹣1． （1）求抛物线C1的解析式； （2）将C1向上平移一个单位得到C2，点M、N为抛物线C2上的两个动点，O为坐标原点，且∠MON＝90°，连接点M、N，过点O作OE⊥MN于点E．求点E到y轴距离的最大值； （3）如图，若点F的坐标为（0，﹣2），直线l分别交线段AF，BF（不含端点）于G，H两点．若直线l与抛物线C1有且只有一个公共点，设点G的横坐标为b，点H的横坐标为a，则a﹣b是定值吗？若是，请求出其定值，若不是，请说明理由． 【分析】（1）根据已知条件得到点C（0，﹣1），A（﹣1，0），B（1，0），根据待定系数法即可求解； （2）将C1向上平移一个单位得到C2：y＝x2，设MN的直线解析式为y＝kx+b，设M点坐标为（xM，xM2），N（xN，xN2），联立方程组，整理得x2﹣kx﹣b＝0，由根与系数的关系可得xM•xN＝﹣b，过点M作ME⊥x轴交于E，过点N作NF⊥x轴交于点F，证明△MEO∽△OFN，可得xN•xM＝﹣1，能够确定直线MN经过定点（0，1），则E点在以（0，）为圆心，直径为1的圆上运动，所以点E到y轴距离的最大值为； （3）分别求出直线BF的表达式为y＝2x﹣2①，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②，设直线l的表达式为y＝tx+n，联立方程组，由Δ＝0，可得n＝﹣t2﹣1，则直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣1③，联立①③并解得a＝，联立②③可得，b＝，可求a﹣b＝1． 【解析】（1）∵n＝﹣1， ∴点C（0，﹣1）， ∴抛物线C1：y＝mx2﹣1，对称轴为x＝0， ∴AC＝BC， ∵△ABC为等腰直角三角形，C为顶点， ∴OA＝OB＝OC＝1， ∴A（﹣1，0），B（1，0）， 将B（1，0）代入y＝mx2﹣1得， m﹣1＝0， ∴m＝1， ∴抛物线C1：y＝x2﹣1； （2）∵将C1向上平移一个单位得到C2， ∴抛物线C2：y＝x2， 设MN的直线解析式为y＝kx+b， ∴直线MN与y轴的交点为（0，b）， 设M点坐标为（xM，xM2），N（xN，xN2）， 联立方程组， 整理得x2﹣kx﹣b＝0， ∴xM•xN＝﹣b， 过点M作ME⊥x轴交于E，过点N作NF⊥x轴交于点F， ∵∠MON＝90°， ∴∠MOE+∠NOF＝90°， ∵∠MOE+∠OME＝90°， ∴∠NOF＝∠OME， ∴△MEO∽△OFN， ∴＝， ∴xN•xM＝﹣1， ∴b＝1， ∴直线MN经过定点（0，1）， ∵OE⊥MN， ∴E点在以（0，）为圆心，直径为1的圆上运动， ∴点E到y轴距离的最大值为； （3）a﹣b是定值，理由如下： ∵F的坐标为（0，﹣2）， 设直线BF的解析式为y＝k1x+b1， ∴， 解得， ∴直线BF的表达式为y＝2x﹣2①， 同理可得，直线AF的表达式为y＝﹣2x﹣2②， 设直线l的表达式为y＝tx+n， 联立方程组， 整理得：x2﹣tx﹣n﹣1＝0， ∵直线l与抛物线只有一个公共点， 故Δ＝（﹣t）2﹣4（﹣n﹣1）＝0， 解得n＝﹣t2﹣1， ∴直线l的表达式为y＝tx﹣t2﹣1③， 联立①③并解得a＝， 联立②③可得，b＝， ∴a﹣b＝﹣＝1为常数． 15．（2025•永川区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4x+c与直线AB相交于点A（0，1）和点B（3，4）． （1）求该抛物线的解析式； （2）设C为直线AB上方的抛物线上一点，连接AC，BC，以AC，BC为邻边作平行四边形ACBP，求四边形ACBP面积的最大值； （3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，是否存在点E使得△ADE是以AD为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将A，B两点代入到解析式中，得到a与c的值，即可求得抛物线的解析式； （2）设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，则可以得到M的坐标（m，m+1），表示出线段CM的长，则S四边形ACBP＝2S△ABC，△ABC的面积可以分解为△ACM与△BCM之和，可以用m表示出△ABC的面积，得到关于m的二次函数，根据m的范围，确定函数的最值，从而求得C点坐标； （3）将抛物线配成顶点式，直接写出平移后的抛物线解析式，联立两个抛物线解析式，求得D的坐标，以AD为腰够等腰直角三角形，分四类讨论，即A和D可以均为直角顶点，同时，E的位置可以在AD右侧，也可以在AD左侧，构造一线三等角模型，求出E点坐标即可． 【解析】（1）将A、B两点代入到解析式中，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1； （2）设直线AB为：y＝k1x+1， 代入点B，得，3k1+1＝4， 解得k1＝1， ∴直线AB为：y＝x+1， 设C（m，﹣m2+4m+1），过C作CM∥y轴交AB于M，如图， 则M（m，m+1）， ∴CM＝﹣m2+4m+1﹣m﹣1＝﹣m2+3m， ∵四边形ACBP为平行四边形， ∴S四边形ACBP＝2S△ABC＝2（S△ACM+S△BCM）＝2×CM×3＝4CM＝3（﹣m2+3m）＝﹣3（m﹣）2+， ∵﹣3＜0， ∴m＝时，四边形ACBP面积的最大值为； （3）∵抛物线y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5， ∴将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线为：y＝﹣x2+5， 联立，解得， ∴D（1，4）， ①如图，当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD右侧时，过D作x轴平行线交y轴于N，过E作y轴平行线，两线交于F点， ∵∠DAN+∠NDA＝∠NDA+∠EDF＝90 ∴∠DAN＝∠EDF， 又∠DNA＝∠EFD＝90°，DA＝DE， ∴△DNA≌△EFD（AAS）， ∴DN＝EF＝1，AN＝DF＝3， ∴E（4，3）， ②当DA＝DE，∠EDA＝90°，E在AD左侧， 同理可得，E（﹣2，5）， ③当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD左侧时， 同理可得，E（﹣3，2）， ④当AD＝AE，∠DAE＝90°，E在AD右侧时， 同理可得，E（3，0）， 综上所述，E（4，3）或（﹣2，5）或（﹣3，2）或（3，0）． 16．（2025•兴城市一模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，﹣3），连接AC，BC，点E是对称轴上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当S△BCE＝2S△ABC时，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点P，使△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设E（3，m），对称轴交BC于点F，运用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝x﹣3，则F（3，﹣），进而可得EF＝|m+|，再运用三角形面积公式建立方程求解即可得出答案； （3）设E（3，m），P（n，﹣n2+n﹣3），分两种情况：①当点P1在x轴上方时，如图2，过点P1作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BG⊥P1F于点G，可证得△BP1G≌△P1E1F（AAS），得出BG＝P1F，P1G＝E1F，建立方程求解即可求得点P的坐标；②当点P2在x轴下方时，如图2，过点P2作x轴的垂线，垂足为H，过点E作EK⊥P2H于点K，同理可证△BP2H≌△P2E2K（AAS），得出BH＝P2K，P2H＝E2K，建立方程求解即可得出答案． 【解析】（1）∵抛物线经过B（5，0），C（0，﹣3）， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x﹣3； （2）∵y＝﹣x2+x﹣3， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝3， ∵点A与B（5，0）关于直线x＝3对称， ∴A（1，0）， ∴AB＝5﹣1＝4， ∴S△ABC＝×4×3＝6， 设E（3，m），对称轴交BC于点F， 设直线BC的解析式为y＝kx+d，则， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， ∴F（3，﹣）， ∴EF＝|m+|， ∴S△BCE＝EF×OB＝|m+|， ∵S△BCE＝2S△ABC， ∴|m+|＝12， 解得：m＝或﹣6， ∴点E的坐标为（3，）或（3，﹣6）； （3）设E（3，m），P（n，﹣n2+n﹣3）， ①当点P在x轴上方时，如图2，过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BG⊥PF于点G， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE＝90°，PB＝PE， ∴∠BPG+∠EPF＝90°， ∵∠G＝∠PFE＝90°， ∴∠BPG+∠PBG＝90°， ∴∠PBG＝∠EPF， ∴△BPG≌△PEF（AAS）， ∴BG＝PF，PG＝EF， ∴， 解得：，， 当n＝0时，P（0，﹣3）； 当n＝时，BG＝PF＝n﹣3＝﹣3＝， ∴P（，）； ②当点P在x轴下方时，如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为H，过点E作EK⊥PH于点K， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE＝90°，PB＝PE， ∴∠BPH+∠EPK＝90°， ∵∠K＝∠PHB＝90°， ∴∠BPH+∠PBH＝90°， ∴∠PBH＝∠EPK， ∴△BPH≌△PEK（AAS）， ∴BH＝PK，PH＝EK， ∴n2﹣n+3＝n﹣3， 解得：n＝6或n＝（舍去）， ∴P（6，3）； 综上所述，点P的坐标为（0，﹣3）或（，）或（6，3）． 17．（2025•昆明模拟）已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）过点（﹣1，0）与（0，﹣3）．直线y＝x﹣6交x轴、y轴分别于点A、B． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是抛物线上的任意一点．连接PA，PB，使得△PAB的面积最小，求△PAB的面积最小时，P的横坐标； （3）作直线x＝t分别与抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）和直线y＝x﹣6交于点E，F，点C是抛物线对称轴上的任意点，若△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，求点C的纵坐标． 【分析】（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入得到方程组，然后求出a、c，最后得到解析式； （2）对于直线y＝x﹣6，先求出点A、B的坐标，过点P作x轴的垂线交直线AB于点D，然后设点P的坐标，然后即可表示出点D的坐标，最后利用三角形的面积表示出△PAB的面积，从而利用二次函数的性质求得面积小值时点P的横坐标； （3）用含有t的式子表示点E和点F的坐标，然后表示出EC和EF的长度，最后利用等腰直角三角形的性质列出方程求解． 【解答】解：（1）将点（﹣1，0）、（0，﹣3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）得， ，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）对直线y＝x﹣6，当x＝0时，y＝﹣6，当y＝0时，x＝6， ∴A（6，0），B（0，﹣6）， 过点P作x轴的垂线交直线AB于点，连接PA和PB， 设P（x，x2﹣2x﹣3），则D（x，x﹣6）， ∴PD＝x2﹣2x﹣3﹣（x﹣6）＝x2﹣3x+3， ∴S△PAB＝S△PBD+S△PAD＝•x•PD+•（6﹣x）•PD＝3（x2﹣3x+3）＝3（x﹣）2+， ∴x＝时，S△PAB有最小值， ∴△PAB的面积最小时，点P的横坐标为． （3）由题意可设，E（m，m2﹣2m﹣3），F（m，m﹣6）， ∴EF＝m2﹣2m﹣3﹣（m﹣6）＝m2﹣3m+3， 由y＝x2﹣2x﹣3可知抛物线的对称轴为直线x＝1， ∵△CEF是以点E或点F为直角顶点的等腰直角三角形，点C在抛物线对称轴上， ∴点C的横坐标为1，m≠1， 当点E为直角顶点时，CE＝EF，C（1，m2﹣2m﹣3）， ∴CE＝|m﹣1|， ∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3， 解得：m＝2， ∴点C的纵坐标为22﹣2×2﹣3＝﹣3； 当点F为直角顶点时，CF＝EF，C（1，m﹣6）， ∴CF＝|m﹣1|， ∴|m﹣1|＝m2﹣3m+3， 解得：m＝2， ∴点C的纵坐标为2﹣6＝﹣4； 综上所述，点C的纵坐标为﹣3或﹣4． 18（2025•新泰市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD． （1）求这个抛物线的表达式． （2）点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值． （3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标； ②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标． 【分析】（1）由交点式可求a的值，即可求解； （2）由S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC，即可求解； （3）①分两种情况讨论，通过证明△MAD≌△DOC，可得AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，可求解； ②可证点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，延长M'C交对称轴与N''，可证∠MM'C＝∠MN''C＝45°，即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0）， ∴抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a， 即﹣3a＝2，解得：a＝﹣， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2； （2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2）， ∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2交y轴于点C， ∴点C（0，2）， 则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC ＝ ＝×3×（﹣x2﹣x+2）+×2×（﹣x）﹣×2×1 ＝﹣x2﹣3x+2， ∵﹣1＜0，S有最大值， ∴当x＝时，S的最大值为． （3）①如图2，若点M在CD左侧，连接AM， ∵∠MDC＝90°， ∴∠MDA+∠CDO＝90°，且∠CDO+∠DCO＝90°， ∴∠MDA＝∠DCO，且AD＝CO＝2，MD＝CD， ∴△MAD≌△DOC（SAS） ∴AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°， ∴点M坐标（﹣3，1）， 若点M在CD右侧，同理可求点M'（1，﹣1）； ②如图3， ∵抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+1）2+； ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴点D在对称轴上， ∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°， ∴点D是MM'的中点， ∵∠MCD＝∠M'CD＝45°， ∴∠MCM'＝90°， ∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上， 当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意， ∵点C（0，2），点D（﹣1，0） ∴DC＝， ∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上， ∴点N（﹣1，），点N'（﹣1，﹣） 延长M'C交对称轴与N''， ∵点M'（1，﹣1），点C（0，2）， ∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x+2， ∴当x＝﹣1时，y＝5， ∴点N''的坐标（﹣1，5）， ∵点N''的坐标（﹣1，5），点M'（1，﹣1），点C（0，2）， ∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°， ∴MM'＝MN''， ∴∠MM'C＝∠MN''C＝45° ∴点N''（﹣1，5）符合题意， 综上所述：点N的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，5）． 19.（2025•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC、BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求b、c的值． （2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作PH⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可； （3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0）， 则 ， 解得：； （2）由（1）得：抛物线表达式为y＝﹣x2+2x+3，C（0，3），A（3，0）， ∴△OAC是等腰直角三角形， ∴∠BAC＝45°， 由点P的运动可知：AP＝t， 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图， ∴AH＝PH＝＝t，即H（3﹣t，0）， 又Q（﹣1+t，0）， ∴S四边形BCPQ＝S△ABC﹣S△APQ ＝ ＝ ＝（t﹣2）2+4， ∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动， AC＝，AB＝4， ∴0≤t≤3， ∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为4； （3）存在．假设点M是线段AC上方的抛物线上的点， 如图，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，连接MQ，MP． ∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°， ∴∠MPF+∠QPE＝90°，又∠MPF+∠PMF＝90°， ∴∠PMF＝∠QPE， 在△PFM和△QEP中， ， ∴△PFM≌△QEP（AAS）， ∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4﹣2t， ∴EF＝4﹣2t+t＝4﹣t， 又OE＝3﹣t， ∴点M的坐标为（3﹣2t，4﹣t）， ∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+3上， ∴4﹣t＝﹣（3﹣2t）2+2（3﹣2t）+3， 解得：t＝或（舍）， ∴M点的坐标为（，）． 20.（2025•上海）已知抛物线y＝ax2+c（a≠0）经过点P（3，0）、Q（1，4）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点A在直线PQ上，过点A作AB⊥x轴于点B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角三角形ABC． ①当Q与A重合时，求C到抛物线对称轴的距离； ②若C在抛物线上，求C的坐标． 【分析】（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c即可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+； （2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1，由△ABC是等腰直角三角形，得CH＝AH＝BH＝AB＝2，C到抛物线对称轴的距离是CG＝1； ②过C作CH⊥AB于H，先求出直线PQ为y＝﹣2x+6，设A（m，﹣2m+6），则AB＝﹣2m+6，yC＝﹣m+3，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3，将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+解得m＝或m＝3（与P重合，舍去），即可求出C（﹣2，）． 【解答】解：（1）P（3，0）、Q（1，4）代入y＝ax2+c得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+； （2）①过C作CH⊥AB于H，交y轴于G，如图： 当A与Q（1，4）重合时，AB＝4，GH＝1， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴△ACH和△BCH也是等腰直角三角形， ∴CH＝AH＝BH＝AB＝2， ∴CG＝CH﹣GH＝1， 而抛物线y＝﹣x2+的对称轴是y轴（x＝0）， ∴C到抛物线对称轴的距离是CG＝1； ②过C作CH⊥AB于H，如图： 设直线PQ解析式为y＝kx+b，将P（3，0）、Q（1，4）代入得： ，解得， ∴直线PQ为y＝﹣2x+6， 设A（m，﹣2m+6），则AB＝|﹣2m+6|， ∴CH＝AH＝BH＝AB＝|﹣m+3|， 当﹣m+3≥0，yC＝﹣m+3时，xC＝﹣（﹣m+3﹣m）＝2m﹣3， 将C（2m﹣3，﹣m+3）代入y＝﹣x2+得： ﹣m+3＝﹣（2m﹣3）2+， 解得m＝或m＝3（与P重合，舍去）， ∴m＝，2m﹣3＝﹣2，﹣m+3＝， ∴C（﹣2，） 当﹣m+3＜0，yC＝﹣m+3时，xC＝m﹣（m﹣3）＝3， C（3，﹣m+3），由P（3，0）可知m＝3， 此时A、B、C重合，舍去， ∴C（﹣2，） $