精品解析：湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. ，； B. ，； C. 是的充分不必要条件； D. 是的必要不充分条件． 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ） A. 样本中多数男生喜欢手机支付 B. 样本中的女生数量少于男生数量 C. 样本中多数女生喜欢现金支付 D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（ ） A. B. C. D. 6. 若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 8. 已知函数，若当时，，则的最大值为（ ） A. -1 B. 0 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（ ） 4 6 8 10 12 2 6 A. 变量与的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，的预测值为11.3 10. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. 第4项的二项式系数最大 C. 的系数为60 D. 展开式各项系数之和为64 11. 下列说法正确的有（ ） A. 4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种 B. 4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种 C. 盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是 D. 把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记为装有球的盒子的个数，则的期望值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值是________. 13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值． 16. 如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，. （1）证明：平面； （2）设，求平面与平面的夹角. 17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关. （2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. （1）求小王答3道题后积分小于6的概率； （2）设小王答4道题后积分为，求； （3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 19. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程. （2）记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为， （i）若，求； （ii）若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，解得，所以， 又或，所以，故． 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. ，； B. ，； C. 是的充分不必要条件； D. 是的必要不充分条件． 【答案】B 【解析】 【分析】对于全称量词的命题，只需举反例即可判断A项，对于特称量词命题，只需举例说明即可判断B，利用充要条件的判断方法判断C，D两项即可. 【详解】对于A，当，显然不成立，故A错误； 对于B，若取，则，满足，故B正确； 对于C，对于，如，但，即充分性不成立，故C错误； 对于D，由必能得到，而由不一定得到，如， 故是的充分不必要条件，即D错误. 故选：B. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以， 则 所以 4. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ） A. 样本中多数男生喜欢手机支付 B. 样本中的女生数量少于男生数量 C. 样本中多数女生喜欢现金支付 D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 【答案】C 【解析】 【分析】根据两等号条形图的信息，逐个分析判断即可. 【详解】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对； 对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对； 对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错； 对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对. 故选：C. 5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是首项为1，公差为2的等差数列， ， ， ， 数列的前3项和为： ． 6. 若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立， 令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出. 【详解】存在，不等式成立， 则，能成立， 即对于，成立， 令，， 则，令， 所以当，单调递增， 当，单调递减， 又，所以 ， 所以. 故选：C 7. 已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 8. 已知函数，若当时，，则的最大值为（ ） A. -1 B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】等价变形给定不等式，构造函数并利用导数分类讨论此函数的单调性求出范围即可. 【详解】函数，由，得， 由，得，则当时，， 令函数，求导得，而， 当，即时，，，函数在上单调递增， 不等式恒成立，即恒成立，因此； 当时，，函数在上的图象连续不断， 则存在，使得当时，，函数在上单调递减， 当时，，即，不符合题意， 所以的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（ ） 4 6 8 10 12 2 6 A. 变量与的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，的预测值为11.3 【答案】ABC 【解析】 【分析】由经验回归方程为即可判断A选项；根据数据先计算，结合，，成等差数列，有，在根据经验回归方程一定经过样本中心即可计算出的值，即可判断B选项，将代入经验回归直线方程中计算出的值，从而计算出此时的残差即可判断C选项，将代入经验回归直线方程中计算出预测值即可判断D选项. 【详解】由于经验回归方程为是递增的一次函数， 所以两个变量是正相关，则样本相关系数，故正确； 由表格中的数据可计算平均数： ， ， 又因为，，成等差数列， 所以，则， 根据经验回归方程为必过点， 则，解得，故B正确； 当时，， 所以残差为，故C正确； 当时，， 所以的预测值为，故D错误， 故选：ABC. 10. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. 第4项的二项式系数最大 C. 的系数为60 D. 展开式各项系数之和为64 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质可求解，进而根据选项即可逐一求解. 【详解】由题意得，所以，故A错误； 因为时，二项式系数最大的是，所以第4项的二项式系数最大，故B正确； 的展开式的通项公式为， 令，得，所以的系数为，故C正确； 展开式各项系数之和为，故D错误. 11. 下列说法正确的有（ ） A. 4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种 B. 4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种 C. 盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是 D. 把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记为装有球的盒子的个数，则的期望值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据列举法或者排列组合即可求解AB，由全概率公式即可求解C，列出分布列或者利用分布列的性质即可求解D. 【详解】对于A,选一个盒子装2个小球，剩余两个盒子各装一个小球，故共有3种方法，A选项正确； 对于B,由于小球和盒子都不一样，故选一个盒子装两个小球，剩余两个盒子各装一个小球，共有种方法，故B选项不正确； C选项，法一：相当于把5个球排序，共有种方法.黄球最先被全部取出，最后一个黄球最晚在第三次被取出，前两次都是黄球共有3种情况，前两次中有一个红球一个黄球，第三次是黄球共有4种情况，故总共有7种，所以概率为. 法二：记“最后一次取出球是红球”为事件，“最后一次取出球是黑球”为事件， 显然事件，互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件，则. 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球， 则. 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球， 则.所以. D选项，法一：的可能取值为1，2，3，4个球随机放入3个盒子共有81种方法， ，，， 法二：定义时，表示第个盒子中有球，时，表示第个盒子中没有球， 其中，则， 又，，故， 所以 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值是________. 【答案】4 【解析】 【分析】由基本不等式乘“1”法即可求解. 【详解】所以， 当且仅当时取等号. 则的最小值是4. 13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由命题“”为假命题，可得“”为真命题利用判别式可求得答案. 【详解】已知命题“”为假命题， 则该命题的否定：“”为真命题. 此时二次函数的判别式满足 . 即， 化简可得： 综上，实数的取值范围是 . 故答案为： 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，利用算两次思想计算即可. 【详解】如图，由题意可知，则，， 设，则，于是， 即，则，解得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出，进而求出切线方程； （2）求导，利用导数分析函数的单调性及极值，进而求出． 【小问1详解】 ，其中，则， 由导数的几何意义可得， 又， 在点处的切线方程为． 【小问2详解】 ，其中，则， ，则， 由可得，由可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，解得，符合题意． 综上，． 16. 如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，. （1）证明：平面； （2）设，求平面与平面的夹角. 【答案】（1） ∵且与无公共点 ∴ ∵平面，平面 ∴平面. ∵四边形是正方形 ∴ ∵平面，平面 ∴平面， ∵，，平面 ∴平面平面， 又平面 ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行推导线面平行 （2）采用空间向量法求解两平面的夹角：建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，再通过向量夹角公式计算平面夹角 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，平面， 所以，，因为，所以，，两两垂直， 所以以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示. 则，，，，所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取,得，故可取； 设平面的一个法向量为， 则，取,得，故可取. 则， 所以平面与平面的夹角为. 17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关. （2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）（i）（ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系 （2），与线性相关性很强 【解析】 【分析】（1）（i）根据古典概型计算公式计算求解；（ii）计算根据临界值表判断即可； （2）根据最小二乘法结合题中参考公式计算求解即可判断. 【小问1详解】 （i）由题可知，样本中选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的频率为， 由样本估计总体可得选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率. （ii）零假设为：选择新能源汽车与年龄无关， 由列联表中数据代入计算得：， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以认为选择新能源汽车与年龄有关系，此推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 因为，， 所以， 故与线性相关性很强. 18. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. （1）求小王答3道题后积分小于6的概率； （2）设小王答4道题后积分为，求； （3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 【答案】（1） （2） （3），， 【解析】 【分析】（1）分小王3题都答错，或答对1题答错2题讨论，再利用独立事件乘法公式和加法公式即可得到答案； （2）设小王答对的题数为，得到关系式，再利用二项分布的均值公式和均值性质即可得到答案； （3）首先需对边界条件进行直接判断，即和，再求出的递推公式，分析可知数列为等比数列，求得，再利用累加法和等比数列求和即可得到答案. 【小问1详解】 小王答3道题后积分小于6，有两种情况：3题都答错；答对1题，答错2题. 3题都答错的概率为；答对1题，答错2题的概率为：. 所以小王答3道题后积分小于6的概率为： 【小问2详解】 法一：设小王答对的题数为，则他答错的题数为，所以. 由题意知，所以，所以. 法二：的可能取值为2，4，6，8，10. 则：；；； ； 所以，. 【小问3详解】 当积分已为0时，游戏已停止，无法再达到12分，故； 当积分已为12时，游戏已停止，已是目标状态，故. （i）当小王的积分为时， 若小王接下来一题答对，则积分变为，若小王接下来一题答错，则积分变为. 由全概率公式有，即，整理可得. 又，所以为等比数列. （ii）由（i）可得， 所以， 又，所以. 所以 . 19. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程. （2）记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为， （i）若，求； （ii）若，求的面积. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件可求，得到椭圆方程. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理，可得，. （i）化简，结合，可求. （ii）化简，结合，表示出，再利用，求的值，再用求的面积. 【小问1详解】 由题意，，，所以，所以. 所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 直线的方程为，（），代入椭圆方程，得： . 整理得. 设，，则，. 如图： （i）因为， 所以 由. （ii）因为 . 由. 由， 此时，. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $