湖南长沙市雅礼中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题是真命题的是（ ） A. ，； B. ，； C. 是的充分不必要条件； D. 是的必要不充分条件． 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 4. 为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图： 根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ） A. 样本中多数男生喜欢手机支付 B. 样本中的女生数量少于男生数量 C. 样本中多数女生喜欢现金支付 D. 样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量 5. 已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，则数列的前3项和为（ ） A. B. C. D. 6. 若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 8. 已知函数，若当时，，则的最大值为（ ） A. -1 B. 0 C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张同学对具有线性相关的两个变量和进行了统计分析，得到了下表，其中一些数据丢失，只记得这组数据拟合出的关于的经验回归方程为，若，，成等差数列，则（ ） 4 6 8 10 12 2 6 A. 变量与的样本相关系数 B. C. 当时，残差为 D. 当时，的预测值为11.3 10. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则下列说法正确的有（ ） A. B. 第4项的二项式系数最大 C. 的系数为60 D. 展开式各项系数之和为64 11. 下列说法正确的有（ ） A. 4个相同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有3种 B. 4个不同的球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空，不同的放法有72种 C. 盒子内有5个大小相同的球，其中红球2个，黄球2个，黑球1个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出，则黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率是 D. 把4个不同的球随机放入3个不同的盒子中，记为装有球的盒子的个数，则的期望值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值是________. 13. 若命题“”为假命题，则实数的取值范围是__________． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若函数． （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）已知（为自然对数函数的底数），若在区间上的最小值为3，求实数的值． 16. 如图所示，已知多面体中，是正方形，平面，. （1）证明：平面； （2）设，求平面与平面的夹角. 17. 随着全国新能源汽车推广力度的加大，新能源汽车消费迎来了前所未有的新机遇. （1）为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用分层随机抽样的方式，从40岁以下和40岁及以上两个年龄层中各抽取100名市民进行调查，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调查，得到了如下列联表： 选择新能源汽车 选择传统汽车 总计 40岁以下 70 30 100 40岁及以上 40 60 100 总计 110 90 200 （i）记选择新能源汽车者中年龄在40岁以下的概率为，求的估计值； （ii）依据小概率值的独立性检验，分析选择新能源汽车是否与年龄有关. （2）为了了解该地区新能源汽车的销售情况，某机构根据统计数据，用最小二乘法得到该地区新能源汽车销售量（单位：万台）关于年份的线性回归方程，且销售量的方差为，年份的方差为.求与间的样本相关系数，并据此判断该地区新能源汽车销售量与年份的线性相关性强弱. 附：（i）在线性回归方程中，，； （ii）样本相关系数，若，则可判断与线性相关性很强； （iii），其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 雅礼中学某社团组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响. （1）求小王答3道题后积分小于6的概率； （2）设小王答4道题后积分为，求； （3）若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为时，最终积分为12的概率为，请直接写出和的值，并求出的值. 19. 已知椭圆的右顶点为，离心率为，过的左焦点的直线与交于异于点的，两点. （1）求椭圆的方程. （2）记直线的斜率为，直线与直线的斜率分别为， （i）若，求； （ii）若，求的面积. 雅礼中学2026年上学期期中考试试卷 高二数学 时量：120分钟 分值：150分 命题人： 审题人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】BC 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） ∵且与无公共点 ∴ ∵平面，平面 ∴平面. ∵四边形是正方形 ∴ ∵平面，平面 ∴平面， ∵，，平面 ∴平面平面， 又平面 ∴平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1）（i）（ii）可以认为选择新能源汽车与年龄有关系 （2），与线性相关性很强 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3），， 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $