江苏南京市励志高级中学2025-2026学年高一年级第二学期第二次调研考数学试卷

③面京市励志高级中量 励志高级中学2025-2026年度高一年级第二学期第二次调研考 数学试卷 (时间：120分钟满分：150分) 命题人苏太盛 审题人赵静波 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区城书写的窖案 无效；在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1.已知复数z满足z(1+i)=3+i,则z的共轭复数z=() A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i 2.已知向量a=(x,-2),b=(2,x-4),若a11b,则a=() A.2W5 B.23 C.4 D.2W5 1 3.已知cos2a=3则sina+cosa=（） B. 9 C.g D. 4.任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成三角形式z=r(cos6+isin8)(其中r≥0， 6∈R),数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：r(cos6+isinθ)]=r"(cosn8+isinne)(n∈N)已知复数 =22 i,则，2020的虚部为() A. 21 B.-3 2 c D. 5.在△ABC中，若3b=2√5 asin B,cosA=cosC,则△ABC形状为() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰但不等边三角形 D.等边三角形 6.在△ABC中，A=45°，AC=4,AB=3√5，则BC边上的高为() A.√10 B.g而 C.210 D.610 5 第1页共4页 7.等边△ABC的边长为6，若AD=2DC,AE=EB,则DE.DC=() A.5 B.3 C.-3 D.-5 8.己知函数f(x)=4cos2ax+4 isin@xcoso(o>0)的最小正周期为T，将f(x)的图象的横坐标伸长为原 2 来的2倍，得到函数8(x)的图象，则g(x)的一个单调递增区间为() B（g c D. 3兀5π 44 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知复数z=(1+i)(2-ai)(a∈R),则下列结论正确的是（) A.若a=-1,则2=1-3i B.若=2W2,则a=0 C.若z为纯虚数，则a=2 D.若z在复平面内对应的点位于第一象限，则a∈(-2,2) 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=3,c=4,∠B=60°，则下列结论正确的 是() A.b=13 B.△ABC的面积为3√5 C.sin c=3 D.a2+c2=b2-ac 2 11.己知向量a=1,V3),b=(cos,sima),则下列结论正确的是() A.若a⊥b,则tama=-√5 B.若a11b且a∈(0，m),则a= 3 D.若6在a上的投影狗量为0，则向量后与5的夹角为号 2π C.|a-b1的最小值为1 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。) 12.若tan(a-B)=2,tanB=1,则tama=一. 13.已知ā=(2,1)，b=(2,1),若a与b的夹角为锐角，则实数2的取值范围是 ,在△4BC中，角4B,C所对的边分别为a6,c.已知△4BC的面积为2W2,b-c=3,cosA-一， a= 第2页共4页 ③南京市励志高级中学 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 15.已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a=1,-1). (1)若|c=4W3,且c∥a,求向量c的坐标： (2)若b是单位向量，且aL(a+2b),求a与b的夹角0. 16.已知锐角“，B满足，sa=3,cosB=5 101 (1)求tan2a的值.(2)求x+B的大小. 17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2+c2-√2ac=b2. (1)求角B: (2)若C=75°，b=2,求边a和△ABC的面积 第3页共4页 18.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinC=V3(b-acosC) (1)求角A的大小 (2)若b+c=6,△ABC的面积为√5，求a的值. (3)若b=1,AB.AC=1,点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 19.已知m=(W5 sin an,,cosa,n=(cOSX,-co)(w>0,x∈R),f)=m:n+号，且f)的图象 上相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)的单调递减区间： (3)若锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=√5，f(B)=1,求△ABC面积的最大值. 第4页共4页③南京市励悬高级中量 励志高级中学2025-2026年度高一年级第二学期第二次调研考 数学试卷 (时间：120分钟满分：150分) 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出箸题区城书写的答案 无效；在试题卷、草稿纸上作窖无效。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1.已知复数z满足z(1+i)=3+i,则z的共轭复数z=() A.2-i B.2+i C.-2-i D.-2+i 【答案1B【详解】0+)=3+i,2i61-D-321-4,2=2-i,-2+1 1+i(1-i)1+i)1-i2 2 2.已知向量a=(x,-2),五=(2，x-4),若a11b,则d=() A.2W2 B.25 C.4 D.2√5 【答案】A【详解】由a/b,得x(x-4)=（2)×2,即x2-4x+4=0.解得x=2.所以a=(2,-2), 则d=V22+(←2)2=22 3.已知cos2a=背，则sm'a+cos'a=（) A. C.g D. 23c0s2a=1+c0s2a2 【答案】D【详解】由cos2a-得ma-1-c2a-0 2 3 所以ma+coa=(孕+（写-号 9 4.任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成三角形式z=r(cos0+isin)(其中r≥0， O∈R),数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：「r(cosB+isin)门°=r"(cosn8+isinne)(n∈N).已知复数 1,3 z= i,则-2020的虚部为() 22 A马 B.-3 2 C. D. 第1页共10页 【答案】B【详解】由思意可得z=}+5 22 i=cos+isin 3 3 故z2020=c0 2020r+isin2020m-cos674- 2 3 3 3 即z2020的虚部为- 故选B. 2 5.在△ABC中，若3b=2W5 asin B,cosA=cosC,则△ABC形状为() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰但不等边三角形 D.等边三角形 【答案】D【详解】因为cos4=cosC,且A,C∈(0，π)，所以A=C 因为3b=2√5 asin B,由正弦定理得3simB=2√3 sinAsin B, 因为sinB>0,所以sim4=5 2 因为4C∈Q.4+Ce(Q,所以4=C-子所以B=-4C 3 故△ABC为等边三角形， 6.在△ABC中，A=45°，AC=4,AB=3√2，则BC边上的高为() A.√0 B. C.210 D.6v10 5 【答案】D【详解】在△ABC中，A=45°，AC=4,AB=3√2， 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2 AB.ACc0sA=18+16-2×3N5x4x5 =10, 2 则BC=0.设BC边上的高为，由等面积法可得AB.ACsinA=BCh, 2 则h=AB4 Csin A_6Ni而 BC 5 7.等边△ABC的边长为6，若AD=2DC,AE=EB,则DE.DC=() A.5 B.3 C.-3 D.-5 【答案】D【详解】如图： 由题意，AB=AC=6,(AB,AC)=60,所以 AB.AC=6×6×c0s60°=18 又B-4D04C,c4c, 所以sc-（店西-号acc-名4c-号4c-吉合18号36=5. 6 6 第2页共10页 ③南京市励志高级中量 8。已知函数f()=4cosa+4s血(w>0)的最小正周期为？，将/)）的图象的横坐标伸长为原来的2倍， 得到函数8(x)的图象，则8(x)的一个单调递增区间为() B. π5π 5π9π 3π5π A. (8'8 C. 88 4’4 【答案】C【详解】fx)=4×1+cos2 -+2sin 2@x =2sin 20x +2cos 20x+2 =252a+到2 最小正周期7=8至得w-2 即125m1牙2，图象的峡业标佛长到限来的2信后得到函数g25s2x2。 A.当xE2) 3π元 -L,02x+444y 此区间先减后增，故A错误： B当食，x+[ +422 是正弦函数减区间的子集，故B错误： C.当x∈ 5π9r 8’8 2x+∈3r5π 4(22 是正弦函数增区间的子集，故C正确： D.当x∈ 此区间先增后减，故D错误： 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对得6分，部分选对的得部分分。有选错的得0分) 9.已知复数z=(1+i)(2-i)(a∈R),则下列结论正确的是() A.若a=-1,则z=1-3i B.若z=2√2，则a=0 C.若z为纯虚数，则a=2 D.若z在复平面内对应的点位于第一象限，则a∈(-2,2) 【答案】ABD【详解】由z=(1+i)(2-ai)=2+a+(2-a)i, 若a=-1,则z=2-1+(2+1)i=1+3i,则z1-3i,故A正确 若=2W2,则z=V(2+a+(2-a)=V8+2d-2W2,解得a=0,故B正确， 若z为纯虚数，即2+a=0且2-a≠0，则a=-2,故C错误； 2+a>0 若z在复平面内对应的点位于第一象限，则 2-a>0,得-2<a<2,即aE(-2,2),故D正确： 故选：ABD. 10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=3,c=4,∠B=60°，则下列结论正确的是() A.b=13 B.△ABC的面积为3√5 第3页共10页 C.sin c= 2 D.a+c2=b2-ac 【答案】AB【详解】对于A,根据余弦定理b2=a2+c2-2 ac cos B, 得b2=9+16-24c0s60°=13，因此b=√13，故A正确： 对于B,根据三角形面积公式S=ac sin B, 可得S-1×3x4x535,赦B正确： 2 2 对于C,根据正弦定理， sin B sinC' 可得nC=csmB4x3 2_2W39,故C不正确： b -=13 对于D,因为b2=d+c2-2 ac cos60°=d+c2-c, 所以d+c2=b2+a心，故D不正确. 故选：AB 11.已知向量a=L,√3)，b=(cos,sin),则下列结论正确的是() A.若a⊥b,则tana=-√5 B.若aB且aeQ网，则u=胥 D.若5在a上的投影向量为0，则向量á与5的夹角为写 2π c.|a-b的最小值为1 【答案】BCD【详解】己知a=4,√3)，b=(cosa,sina),|a2,|b=1. 对A:若aL:则a有=a-5ma-0,利ma.A错次 对B:若a/b,则sma-5csa=0,得tama=5,又ae(0,所以a=胥，B正确 C:--5-2(cosa+sa)-s-4sin ≥1，最小值为1，C正确 6儿 对.有：的设能方雀为。-子，用a-160日士0- 4 =号，D正确 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，） 12.若tan(a-B)=2,tanB=1,则tama=_一 【答案】-3【详解】由tan(a-B)=2,tanB=1, 刘ma=m-小+小02- 第4页共10页 ③南京市励冬高级中学 13.已知ā=(2,1)，b=(2,1),若a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是 【答案】（小+） 【详解】 因为向量a=(2,1),b=(2,1),且a与b的夹角为锐角， 所以a.b>0,且a与不共线： [2+1<0 所以 ，解得2>号且2≠2， 1 1≠2 所以实数的取做范同是（台小2）。 14.在△1BC中，角AB,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为2W2,b-c=3,cosA=- 3则a= 【答案】5【详解】cosA=-片Ae(0刘，5mA=1-cosA=25 3 Scm45c=25,解得：c=6, 3 d=2+c2-2xc0s4=(b-c}2+8bc=9+16=25,a=5 2 四、解窖题（本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15.已知向量a,b,c是同一平面内的三个向量，其中=L,-). (1)若1c=4W5,且c∥a,求向量c的坐标： (2)若b是单位向量，且aL(a+2b),求a与b的夹角6. 【答案】(1)c=(-3,3)或c=(3,-3) Q星 【详解】(1)设c=(x,y),由d=4W3,且c∥ā， 将80 所以 x=-26[x=2W6 或 y=2W6y=-26 故c=（-2W6,2W6)或c=(26,-2w6) (2)因为l=1,=√2，且a1(a+2b), 所以a(a+2b)=0,即a+2db=0 所以a.6=-1， 2 第5页共10页 即cos8= a62 因为夹角8∈[0，小，所以ā与6的夹角9=3 4 16.已知锐角a,B满足，sim= 3W10 10 cosB=V⑤ (1)求tan2的值. (2)求+B的大小. 【答案】（①-3 4 )in 4 【详解】(1)因为a∈0， 3W10 2 sina= 10 则cosa=v-simn'a-i0 10 tana=sina=3 coS a 所以tan2au= 2tana 6 3 1-tan'a-1-9-4 2因为c0》=5则m0=-ma=25 则cos(a+p)=0-=5o.25,3i而.5 510510 2 且Q+B∈(0，m,所以a+B=3π 4 17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且a2+c2-√2ac=b2. (1)求角B: (2)若C=-75°，b=2,求边a和△ABC的面积. 【答案】(1)45 (②a=V6,面积s你=3+5 2 【详解】(1)己知a2+c2-√2ac=b2,由余弦定理得：b2=a2+c2-2 accosB, 所以a2+c2-2 ac cos B=a2+c2-V2ac, 化简可得：0sB=5 2 又0<B<180,故B=45 (2)A=180-B-C=180-45-75=60°， 由正弦定理a=b sina sin B 所以a=bsin1_2sim60 2.3 sin45 2=6 sinB V 2 第6页共10页 南东市励志高级中学 因为sin75=sin(45+30）=simn45cos30+co345sin30=6+2 4 所以s-0nc=号6.2m5=3 2 2 l8.已知△ABC的三个内角AB,C所对的边分别为a,b,c,asinC=√3(b-acosC). (1)求角A的大小 (2)若b+c=6,△ABC的面积为√5，求a的值. (3)若b=1,AB.AC=1,点D是线段BC上一点，求内角A平分线AD的长. 【答案】四4-背 (2)a=2√6 3)26 3 【详解】(l)asinC=√3(b-acos C),.sinAsinC=√3(sinB-sin AcosC). 在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, ∴.sinB-sinAcosC=cosAsin C,可得sin AsinC=√3 cosAsin C, :C∈(0，四)，nC≠0，tamA=s如45，又Ae(0,),可得A= cos 3 (2)由Se-cs血A-cx5=5,解得ec=4, 2 2 由余弦定理得d=b2+c2-bc,所以a2=(b+c)-3bc=36-12=24,故a=2√6. (3)由b=1,AB.AC=1→cbcosA=1→c=2, 设AD的长为，由S4ce=SAa8+3Ac,bcsinc 2 62 6 解得x=25,即AD=25 3 3 9,已知m=3smom,c0sa,n=(CO5o,.-coso)(o>0,xeR),了)=m:n+),且f)的图象上相 条对称轴之间的距离为号 (1)求函数f(x)的解析式： (2)求函数f(x)的单调递减区间： (3)若锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且b=√5，f(B)=1,求△ABC面积的最大值. 【答案】()f(x)=sim2x--1,( 6 写ag+0&ez )35 4 1 【详解】(1)由已知f(w)=n+ (3.co)-(coco 第7页共10页 =3sin@x cos ox-cos'@ux+ 2 sin2a 1+c0S2x,1 2 2 sin(2ox- 61 又，)的图象上相邻两条对称辅之间的距离为受， 可得I-正，可得T=兀三：解得o=1, 2@ 所以)=m2-君 令+2m<2x-π<3+2m,keZ 62 解得+<x< 5π +km,k∈Z 6 即西数)的单调避增区间为（胥+ 3 5π+km,k∈Z (3)因为b=5,fB)=1' 所以到=m2a-8引-1， 、义0<B<元，则2B-6=2,解得B=元 3 由r+c2-3=2 o3ac, 因为a2+c2≥2ac,所以ac+3≥2ac,即ac≤3， 当且仅当a=c时成立，此时△ABC为等边三角形符合题意， ac simBac 4 4 △1BC面积的最大值为3y5 4 第8页共10页 ③南京市励志高级中学 第9页共10页 第10页共10页