考点02 随机事件的概率（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点02 随机事件的概率 考点一：古典概型 1、古典概型 如果某概率模型具有以下两个特点： （1）样本空间只含有有限个样本点． （2）每个基本事件的发生都是等可能的． 那么我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型． 2、古典概型的概率公式 在古典概型中，如果样本空间（其中为样本点的个数），那么每一个基本事件）发生的概率都是如果事件由其中个等可能基本事件组合而成，即中包含个样本点，那么事件发生的概率为． 考点二：频率与概率 1、概率的基本性质 （1）随机事件的概率范围为． （2）必然事件和不可能事件分别用和表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即， 2、频率的稳定性 一般地，对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在随机事件发生的概率的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性． 3、频率与概率的关系 若随机事件在次试验中发生了次，则当试验次数很大时，可以用事件发生的频率来估计事件的概率，即． 4、概率的意义 对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性． 题型一：古典概型 1、古典概型需满足两个条件 （1）样本点总数有限． （2）各个样本点出现的可能性相等． 2、利用古典概型公式计算概率的步骤 （1）确定样本空间的样本点的总数n． （2）确定所求事件A包含的样本点的个数m． （3）． 易错常忽略等可能，如投篮命中与否、不均匀骰子；列举基本事件时漏数、多数，或把不等可能事件当作等可能，都是高频易错点。 1．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，共有个样本点， 其中事件“点数和为”所包含的样本点为：、、、，共种， 故所求概率为. 2．已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是. 故选：A. 3．一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对2个红色球，2个绿色球依次编号为， 从袋中不放回地依次随机摸两个球， 共有共12种， 两个球颜色相同的情况共有4种， 则两个球颜色相同的概率. 故选：D 4．从字母,,,,中不放回依次取两个字母，则取到字母的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】从这5个字母中不放回依次取2个字母，属于有序选取，则 第一次取字母，有5种选择，由于不放回，第二次取字母，有4种选择. 因此，基本事件总数为：. 第一次取到，对应基本事件：，有4种选择； 第二次取到，对应基本事件：，有4种选择； 因此，“取到字母”包含的基本事件数为：. 根据古典概型的概率公式有. 故选：B 5．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设末位数字是奇数为事件，则末位数字可以为：，共10种情况，而末位数字为奇数的情况有：，共5种情况，所以末位数字是奇数的概率. 题型二：较复杂的古典概型的概率计算 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便． 复杂古典概型易混淆有序与无序、放回与不放回，计算总事件数和符合事件数时计数标准不统一。 1．从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 【解析】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个， 即． 其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．基本事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的． 设事件＝“取出的两件中恰有一件次品”， 所以，所以， 所以 （2）有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为共9个样本点组成． 由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的． 设事件B＝“恰有一件次品”，则，所以， 所以. 2．唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 【解析】（1）由表可知，这100份答卷每份答案都含有A，B，C，D，E中的两个， 其中只有10份答卷答案既没有B，也没有C， 设“在这100份答卷中随机抽取一份，这份答卷答案有B或C”， 则， . 在这次公务员考试答卷中随机取一份，这份答卷答案有B或C的概率为； （2）根据题意，由表可知，这100份答卷只有40份的答案是正确的，其余60份的答案均为错选， 设“第次抽到的那份答卷答案是正确的”“两份答卷答案恰一个有错选答案”，则， ， 所以这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率为. 3．在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为. (1)填空：袋中黄球有________个； (2)第一次摸出一个球（放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (3)若规定每次摸到红球得4分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得2分，小芳同学摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，求所有满足条件的摸法.（不分球颜色的先后顺序） 【解析】（1）设袋中黄球的个数为，依题意得，解得； （2）画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次摸到都是红球的有1种，所以两次摸到都是红球的概率为； （3）设摸到红球、黄球、蓝球的次数分别为、、，依题意得， 整理得， 当时，，（舍去）；当时，，（舍去）； 当时，，；当时，，；当时，，； 所以小芳的摸法有： 2次摸到红球、4次摸到黄球、0次摸到蓝球； 3次摸到红球、2次摸到黄球、1次摸到蓝球； 4次摸到红球、0次摸到黄球、2次摸到蓝球. 4．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 【解析】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，， 记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，， ，， （2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间 ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，， ，，，，，，，， ， 5．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【解析】（1）若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； （2）若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 题型三：对概率概念的理解 概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生． 频率是试验实际次数比值，随试验变化；概率是频率的稳定值。易错把频率当概率、用少数几次结果判定概率，混淆必然事件、不可能事件与随机事件的概率取值范围。 1．投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①掷一枚骰子，出现奇数点和出现偶数点的概率都是，故①正确； ②“出现1点”是随机事件，故②错误； ③概率是客观存在的，不因为人的意念而改变，故③错误； ④连续掷3次，每次都出现最大点数6时三次出现的点数之和为18， 所以连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19，故④正确． 故选：B． 2．下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【解析】对于①： 因为，所以事件“”必然发生，所以①错误； 对于②： 频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误； 对于③： 概率为的事件不是必然事件，必然事件的概率是，所以③错误； 对于④： 确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，所以④错误； 对于⑤： 任何事件发生的概率都满足，所以⑤正确. 故选：A. 3．下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 【答案】A 【解析】根据频率与概率的定义，可知①正确； 概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误； 概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误； 根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确． 故选：A 4．在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 【答案】D 【解析】一副去掉大小王的扑克牌有52张，其中梅花有13张， 所以取出一张恰好为梅花的概率为， 根据频率的稳定性，可估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率. 故选：D. 5．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次， 出现正面朝上的频率为：， 又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是， 出现正面朝上的概率为：， 出现正面朝上的频率为，概率为． 故选：B． 题型四：利用频率估计概率 （1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． （2）解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率． 少量试验的频率不能当作概率；误认为频率等于概率；忽略必须大量重复试验这一前提；混淆频率随机性与概率固定不变的本质，随意用单次或少数几次频率下结论。 1．在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 【答案】 /0.7 14 【解析】由题意可知摸球100次，其中30次摸到黑球， 所以其中70次摸到白球，故一次试验中摸到白球的概率为， 设不透明的盒子里，装有6个黑球和个白球， 则摸到白球的概率为，解得. 故答案为：；14. 2．频率与概率 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当______时，可以认为事件A发生的概率的估计值为______． 【解析】 n很大 3．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 【答案】3 【解析】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. 4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 【答案】 【解析】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为袋中有个红球，个白球， 所以，解得：， 故答案为：8. 5．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个. 【答案】8 【解析】因为通过大量重复的摸球实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，所以摸到绿球的概率为， 设不透明的袋中有个绿球，因为空袋中有9个红个球，3个白球，所以，解得：; 故答案为：8 题型五：概率的应用 概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大． 忽视放回与不放回抽样差异；实际决策中误把小概率事件当作不可能事件、大概率事件当作必然事件；不会用频率估计实际问题概率，建模脱离题意。 1．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【解析】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 2．某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 【解析】（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为， 所以，解得． 估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数为： 小时． 估计全校学生周平均课外阅读时间的众数为小时． 设全校学生周平均课外阅读时间的中位数为小时，则， 解得． （2）由频率分布直方图可知，，三组数的频率的比为， 所以利用分层抽样的方法抽取人，这三组被抽取的人数分别为，，， 从这人中随机选出人，则样本空间共有个样本点， 设事件“选出的人在同一组”，则共有个样本点，所以， 即从这人中随机选出人，这人恰好在同一组的概率为． 3．中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 【解析】（1）由频率分布直方图的性质，可得， 解得，即续航能力在区间内的频率为， 所以续航能力在区间内的实验次数为次. （2）根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以估计这类汽车的续航能力的平均数为百公里. （3）由频率分布直方图，可得续航能力在和的频率分别为， 所以按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验， 则在中的有1次实验，在中的有6次实验， 设在中的有1次实验为，在中的有6次实验分别为， 可得 所以从这7次实验中随机抽取2次实验，共有种不同的取法， 设事件“这2次实验中有续航能力在中的实验”， 可得，共有6个基本事件， 所以事件的概率为 可得这2次实验中有续航能力在中的实验的概率为. 4．近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： (1)求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； (2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； (3)学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 【解析】（1）由成绩在的频数是30，得成绩在的频率为，则， 由，得， 这100名学生成绩的平均数为. （2）由频率分布直方图知，样本数据在的频率为， 在的频率为，则样本数据的第85百分位数， 由，解得， 所以样本数据的第85百分位数为87.5. （3）竞赛成绩在和的频率分别为0.3和0.2，则按分层抽样抽取5人中， 成绩在中的有人，记为，成绩在中的有2人，记为， 从这5人中随机抽取2人的样本空间，共10个， 这2人来自不同组的事件，共6个， 所以所求概率. 5．某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 0.5 4 [40, 45) a 0.4 5 [45, 50) 30 0.3 6 [55, 60) 15 0.3 （一）人数统计表               （二）各年龄段人数频率分布直方图 (1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； (2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 【解析】（1）结合频率分布直方图可知，第二组的频率为， 所以第二组高为．故补全频率分布直方图如下： 结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为，频率为，所以； 因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以； 因为第四组的频率为，所以第四组的人数为，所以． （2）因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为， 所以采用分层抽样法抽取6人，则在岁中抽取4人，在岁中抽取2人． 设年龄在中被抽取的4个人分别为：； 年龄在岁中被抽取的2个人分别为：； 则总的基本事件有：,,,,,……，共20个； 记“岁中被抽取的人恰好有分在同一组” 为事件C，而事件C包含的基本事件有8个； 所以. 1．耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】耀州中学、王益中学共有名同学一起春游， 要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，即求的最大真因数， 因为，所以每队37人，共13队， 沉香被分到某队后，李飞需占据该队伍剩余的36个名额之一， 所以两个人出现在同一个队伍的概率为，即为. 2．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合的子集的概率是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】集合的所有子集有，集合的所有子集有， 故所求概率为． 故选：C. 3．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为随机模拟产生了以下18组随机数： ， 其中恰好第三次就停止包含的基本事件有：023,123,132共3个， 所以由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为， 故选：B 4．某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】先固定小蓝，则剩余8个空位， 若小黄选择除小蓝组的2个空位的其余6个空位，则小黄与小蓝不为一组； 若小黄选择小蓝所在组剩余的2个空位，则小黄与小蓝为一组， 故由古典概型计算可知小蓝和小黄不在一组的概率. 故选：D. 5．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设鞋柜中的两双鞋子分别为为, 则取出鞋子的所有可能为：， 取出的鞋成双的概率. 故选：B 6．购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】总情况数：每个盲盒有3种可能，个盲盒的总情况数为，即27种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在3个盲盒中包含所有3种玩偶， 共有种情况， 则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为. 故选：D 7．现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是偶函数； 对于定义域为， 令，则， 是非奇非偶函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数， 从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有种选法, 其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有种， 所以，所求概率. 故选：D 8．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记2个红球和3个黄球分别为和， 记为随机试验的样本点，分别表示第一次和第二次摸到的球， 则从中不放回地依次随机摸出两个球的试验的样本空间为，共20个样本点， 记事件“从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球”， 则共6个样本点. 所以. 故选：C 9．（多选题）先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中，则样本空间为 B．用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率为 D．点数相等的概率为 【答案】AD 【解析】先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数， 对于A，表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中， 则样本空间为，故A正确； 对于B，用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”， 则，，故B错误； 对于C，基本事件总数，点数之和为5包含的基本事件有，，，，共4个， 所以点数之和为5的概率为，故C错误； 对于D，点数相等包含的基本事件有，，，，，， 所以点数相等的概率为，故D正确． 10．（多选题）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 【答案】AC 【解析】对于A：比赛成绩在以下（含）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为，故A正确； 对于B：为了好计算甲乙的平均数和方差，因为甲乙的成绩都是3分多，所以只需要根据秒数计算即可. 甲的平均数， 乙的平均数， 所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误； 对于C：甲的方差 . 乙的方差 ，则，C正确； 对于D：因为甲的平均值小于乙的平均值说明甲比乙快，且甲的方差小于乙的方差， 说明甲比乙稳定，所以派甲更好.故D错误. 故选：AC. 11．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 【答案】/ 【解析】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张， 样本空间包含，，，，，，，，，共10个， 抽到的3张卡片上的数字之和大于9的基本事件为，，，共4个， 所以抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率． 12．将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为_____． 【答案】 【解析】设表示掷两次骰子前一次出现点数为，后一次出现点数为， 则所有情况为： ， ， ， ， ， ，共36种情况； 其中后一次所得点数不小于前一次所得点数的情况有： ， ，共21种情况； 所以所求概率为：， 故答案为：. 13．若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 【答案】 【解析】由集合，可得集合的非空子集有个， 其非空子集中，具有“对称特征”的子集有，共有7个， 所以选取的集合具有“对称特征”的概率为. 故答案为：. 14．乌江寨是一处集自然风光、历史文化与民俗风情于一体的旅游胜地，为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制作如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求x的值与满意度的平均分． (2)若采用分层抽样从评分在，的两组共抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行交流，求选取的两人评分分别在，各一人的概率． 【解析】（1）由图可得：，解得， 则满意度的平均分（分）； （2）在所抽取的5人中，评分在组的有人，设为， 评分在组的有人，设为， 抽取的两人有共10种情况， 符合条件的6种情况， 所以所求概率． 15．开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 【解析】（1）∵第三组的频率为， ， 众数为， 又第一组的频率为，第二组的频率为，第三组的频率为0.200， ∴前三组的频率之和为， ∴这200名业主评分的中位数为85； （2）由频率分布直方图，知评分在的人数与评分在的人数的比值为， ∴采用分层抽样法抽取5人，评分在的有3人，评分在有2人， 设评分在的3人分别为，，；评分在的2人分别为，， 从5人中任选2人的所有可能情况共10种：，，，，，，，，，， 其中选取的2人中至少有1人的评分的情况有：，，，，，，共7种． 故这2人中至少有1人的评分在的概率为． 16．某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“民法典”知识的宣传使者，若有甲（年龄）、乙（年龄）人已确定入选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率. 【解析】（1）设这人年龄的第百分位数为， 年龄在的频率为， 年龄在的频率为，故， 根据百分位数定义可得，解得. （2）由题意得，第一组应抽取人，记为、甲，第五组抽取4人，记为、、、乙. 对应的样本空间为： ，共个样本点. 设事件“甲、乙两人恰有一人被选上”， 则，共有个样本点. 所以，. 17．抛掷两枚均匀的骰子，求： (1)点数之和为5的概率； (2)出现两个4点的概率； (3)点数之和不小于9的概率． 【解析】（1）在抛掷两枚均匀的骰子的试验中，每枚骰子均可出现1点、2点……6点，共6种结果． 两枚骰子出现的点数可以用一对有序实数对来表示， 它与平面直角坐标系内的一个点对应，则样本空间为： ，共有36个样本点． （1）记“点数之和为5”为事件A， 从图中可以看到事件A包含的样本点共有4个，为， 所以. （2）记“出现两个4点”为事件，则事件包含的样本点只有1个，为．所以． （3）记“点数之和不小于9”为事件，则从图中可以看到事件包含的样本点有10个， 为，，，，，，，，，． 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 随机事件的概率 考点一：古典概型 1、古典概型 如果某概率模型具有以下两个特点： （1）样本空间只含有有限个样本点． （2）每个基本事件的发生都是等可能的． 那么我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型． 2、古典概型的概率公式 在古典概型中，如果样本空间（其中为样本点的个数），那么每一个基本事件）发生的概率都是如果事件由其中个等可能基本事件组合而成，即中包含个样本点，那么事件发生的概率为． 考点二：频率与概率 1、概率的基本性质 （1）随机事件的概率范围为． （2）必然事件和不可能事件分别用和表示，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即， 2、频率的稳定性 一般地，对于给定的随机事件，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件发生的频率会在随机事件发生的概率的附近摆动并趋于稳定，我们将频率的这个性质称为频率的稳定性． 3、频率与概率的关系 若随机事件在次试验中发生了次，则当试验次数很大时，可以用事件发生的频率来估计事件的概率，即． 4、概率的意义 对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性． 题型一：古典概型 1、古典概型需满足两个条件 （1）样本点总数有限． （2）各个样本点出现的可能性相等． 2、利用古典概型公式计算概率的步骤 （1）确定样本空间的样本点的总数n． （2）确定所求事件A包含的样本点的个数m． （3）． 易错常忽略等可能，如投篮命中与否、不均匀骰子；列举基本事件时漏数、多数，或把不等可能事件当作等可能，都是高频易错点。 1．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷次，观察向上的点数，则点数和为的概率是（   ） A． B． C． D． 2．已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 3．一个袋中有大小和质地都相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，现从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则“摸出的2个球颜色相同”的概率为（   ） A． B． C． D． 4．从字母,,,,中不放回依次取两个字母，则取到字母的概率为（    ） A． B． C． D． 5．某快递公司的取件码由8位数字组成，每一位置的数字随机选自，则取件码末位数字是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 题型二：较复杂的古典概型的概率计算 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便． 复杂古典概型易混淆有序与无序、放回与不放回，计算总事件数和符合事件数时计数标准不统一。 1．从含有两件正品和一件次品的三件产品中，每次任取一件． (1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率； (2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率． 2．唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 3．在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有1个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为. (1)填空：袋中黄球有________个； (2)第一次摸出一个球（放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率； (3)若规定每次摸到红球得4分，每次摸到黄球得3分，每次摸到蓝球得2分，小芳同学摸6次球（每次摸1个球，摸后放回）合计得20分，求所有满足条件的摸法.（不分球颜色的先后顺序） 4．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球． (1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率； (2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率． 5．一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． (1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； (2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 题型三：对概率概念的理解 概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生． 频率是试验实际次数比值，随试验变化；概率是频率的稳定值。易错把频率当概率、用少数几次结果判定概率，混淆必然事件、不可能事件与随机事件的概率取值范围。 1．投掷一枚普通的正方体骰子，四位同学各自发表了以下见①出现“点数为奇数”的概率等于出现“点数为偶数”的概率； ②只要连掷6次，一定会“出现1点”； ③投掷前默念几次“出现6点”：投掷结果“出现6点”的可能性就会加大； ④连续投掷3次，出现的点数之和不可能等于19． 其中正确的见解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列说法正确的是（    ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生；         ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 3．下列说法正确的是（   ） ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小； ②做次随机试验，事件发生了次，则事件发生的概率； ③含百分比的数是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤概率是频率的稳定值． A．①④⑤ B．①② C．②③ D．②③⑤ 4．在一副去掉大小王的扑克牌中任意取出1张牌记下牌的花色后，放回再洗匀，作为一次试验，反复进行一万次这样的试验，你估计随机事件“恰好摸到梅花”发生的频率接近（   ） A．1 B．0 C．0.5 D．0.25 5．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ） A． B． C． D． 题型四：利用频率估计概率 （1）频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率． （2）解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率． 少量试验的频率不能当作概率；误认为频率等于概率；忽略必须大量重复试验这一前提；混淆频率随机性与概率固定不变的本质，随意用单次或少数几次频率下结论。 1．在一个不透明的盒子里，装有6个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复该试验，共摸球100次，其中30次摸到黑球，则估计一次取球试验中摸出白球的概率为______，盒子中大约有白球______个 2．频率与概率 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为，则当______时，可以认为事件A发生的概率的估计值为______． 3．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有__________个． 4．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的个红球，个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在，则袋中约有绿球_________个． 5．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球__________个. 题型五：概率的应用 概率是事件的本质属性，不随试验次数的变化而变化，概率反映了事件发生的可能性的大小，但概率只提供了一种“可能性”，而不是试验总次数中某一事件一定发生的比例，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定发生，只是认为发生的可能性大． 忽视放回与不放回抽样差异；实际决策中误把小概率事件当作不可能事件、大概率事件当作必然事件；不会用频率估计实际问题概率，建模脱离题意。 1．某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 2．某校为了调查学生的课外阅读情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均课外阅读时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图估计全校学生周平均课外阅读时间的平均数（每组数据取区间的中点值作代表）、众数与中位数， (2)用分层抽样的方法从，，三组中抽取6人，求从这6人中随机选出2人，这2人恰好在同一组的概率． 3．中国新能源技术领跑世界，新能源汽车备受人们欢迎.某科研所新研发了一种新能源汽车，为检测这类汽车的续航能力，在不同路段进行了500次实验，根据续航能力（单位：百公里）分成，共六组，并制作如下频率分布直方图. (1)求续航能力在区间内的实验次数； (2)估计这类汽车的续航能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)若按分层随机抽样的方法从续航能力在和的实验中随机抽取7次实验，再从这7次实验中随机抽取2次实验，求这2次实验中有续航能力在中的实验的概率. 4．近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： (1)求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； (2)根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； (3)学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 5．某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图． 序号 分组（岁） 本组中“低碳族”人数 “低碳族”人数在本组所占的比例 1 [25, 30) 120 0.6 2 [30, 35) 195 p 3 [35, 40) 100 0.5 4 [40, 45) a 0.4 5 [45, 50) 30 0.3 6 [55, 60) 15 0.3 （一）人数统计表               （二）各年龄段人数频率分布直方图 (1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值； (2)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率． 1．耀州中学的225名同学与王益中学的256名同学一起春游，将两所中学的学生混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数量尽可能少，那么耀州中学的沉香和王益中学的李飞出现在同一个队伍的概率为（   ） A． B． C． D． 2．从集合的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合的子集的概率是（   ） A．1 B． C． D． 3．袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 232  321  230  023  123  021  132  220  001 231  130  133  231  013  320  122  103  233 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（   ） A． B． C． D． 4．某地开展志愿服务活动，小蓝、小黄在内的9人充当志愿者，现将这9人平均分成三组，则小蓝和小黄不在同一组的概率为（   ） A． B． C． D． 5．柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（    ） A． B． C． D． 6．购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 7．现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 8．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中不放回地依次随机摸出两个球，则两次都是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）先后两次掷一枚骰子，观察向上的面的点数，下列叙述正确的是（    ） A．表示第一次掷出点，第2次掷出点，其中，则样本空间为 B．用集合表示事件：“点数之和小于3”，事件：“点数之和不超过3”，则， C．点数之和为5的概率为 D．点数相等的概率为 10．（多选题）教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并整理得到如下数据： 甲 乙 若比赛成绩在以下（含）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的有（    ） A．乙比赛成绩优秀的概率为 B．甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数 C．甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差 D．为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛 11．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中不放回地随机抽取3张，则抽到的3张卡片上的数字之和大于9的概率为_________． 12．将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为_____． 13．若非空集合A满足：，都有，则称集合A具有“对称特征”.已知集合，从S的所有非空子集中随机选取一个集合，则选取的集合具有“对称特征”的概率为______. 14．乌江寨是一处集自然风光、历史文化与民俗风情于一体的旅游胜地，为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分制作如图所示的频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，求x的值与满意度的平均分． (2)若采用分层抽样从评分在，的两组共抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行交流，求选取的两人评分分别在，各一人的概率． 15．开展主题为“贯彻新发展理念，建设节水型城市”的用水宣传周活动，为了解活动开展成效，某街道办事处工作人员赴一小区调查住户的节约用水情况，随机抽取了200名业主进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名业主评分的众数和中位数； (2)若先用分层抽样的方法从评分在和的业主中抽取5人，然后再从抽出的这5位业主中任意选取2人作进一步访谈：求这2人中至少有1人的评分在的概率． 16．某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． (1)根据频率分布直方图，估计这人年龄的第百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“民法典”知识的宣传使者，若有甲（年龄）、乙（年龄）人已确定入选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率. 17．抛掷两枚均匀的骰子，求： (1)点数之和为5的概率； (2)出现两个4点的概率； (3)点数之和不小于9的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $