精品解析：四川成都市2025-2026学年高三下学期定时练习数学试题

2023级高三下学期定时练习 数学 本卷满分150分，练习时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效. 5.定时练习结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 4. 某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（ ） A. 双曲线的渐近线斜率为 B. C. 的面积为 D. 的最小值为 11. 若定义在上的函数满足是偶函数，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知成等比数列，且，若，则__________. 13. 已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 14. 已知集合，若函数满足：，都有，则符合条件的函数共有__________个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 16. 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 17. 如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为． ①求的长； ②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面． 18. 已知椭圆的左焦点为. （1）求的离心率； （2）为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 19. 设函数. （1）当时，证明：； （2）已知函数在区间内存在极值点. ①求的取值范围； ②是否存在，使？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三下学期定时练习 数学 本卷满分150分，练习时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在本卷上答题无效. 5.定时练习结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法运算求出，再由复数的模长公式即可得出答案. 【详解】由，得. 所以＝. 故选：C. 3. 已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知，，则的最小正周期. 4. 某校高三年级有男生300人，女生200人，按性别进行分层，用分层抽样的方法从该校全体高三学生中抽取一个容量为100的样本，如果样本按比例分配，得到男生､女生的平均身高分别为和，则估计该校高三年级学生的平均身高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得在抽取的100人中，男生60人，女生40人， 故样本平均数为，估计该校学生的平均身高是. 5. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知变形得到，利用等差数列求通项公式得到，进而得，即可得答案. 【详解】由可变形为， 故为公差为的等差数列， 所以，所以，所以． 6. 若圆过点，且与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心到点的距离等于到轴距离计算求解轨迹方程. 【详解】设圆心，圆过点，且与轴相切， 则，化简得，即得， 则圆心的轨迹方程为. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由平方得：， 又因为，则，所以， 则，即. 8. 若函数在区间上有最大值，则正整数的值有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】先对求导，根据导数的性质分析函数的单调性，再结合在区间上有最大值这一条件列不等式求解出的取值范围，最后根据为正整数确定的个数. 【详解】，. 令，得或. 由题意，，. 当或时，，单调递增，当时，，单调递减. 在区间上有最大值，则必须要保证极大值点在区间内且， 即， 整理得 ， 即，解得. 又，可取共5个. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由，则，所以，故A正确； 由，则， 所以，即，故B正确； 由，则， ， 因为，所以与不共线，故C错误； 由， 且，则，故D正确. 10. 已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（ ） A. 双曲线的渐近线斜率为 B. C. 的面积为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由双曲线对称性和 “仅个点在曲线上”的条件，确定在曲线上，A不在，代入求得，得到双曲线方程及参数，，，再据此逐一验证选项：由渐近线公式判断A正确；计算，判断B错误；用坐标法或底高法计算​面积判断C正确；利用双曲线定义转化，结合三点共线求最值判断D正确． 【详解】双曲线关于原点中心对称，且关于轴，轴轴对称， 因为关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称，而与三点既不关于原点中心对称，也不关于轴，轴轴对称， 所以在双曲线上，不在双曲线上， 因为在双曲线上，则， 化简得，解得，（舍去）， 所以双曲线的方程为，因此，，， 对于A，渐近线方程为，斜率为，A正确； 对于B，，，， ，， 所以，B错误； 对于C，，，， 的直线方程为，， 到的距离， 所以的面积，C正确； 对于D，要使得取最小值，则点在双曲线的右支上， 根据双曲线定义得，即， 所以， 当三点共线且在之间时，最小， ， 所以最小值为，D正确． 11. 若定义在上的函数满足是偶函数，，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合题意利用赋值法判断A，利用函数对称性和奇偶性的性质判断B，合理选取反例，进而发现矛盾判断C，求解出周期性，结合赋值法求和判断D即可. 【详解】对于A，∵，∴，故A正确， 对于B，∵是偶函数，∴， ∴函数关于直线对称，∴， ∵，∴，∴是奇函数，故B正确， 对于C，若的图象关于直线对称，则， 但是，，即， 这与假设条件矛盾，故错误； 对于D，∵，∴， ∴,∴的周期为， 将代入，得， 将，代入，得， 同理可知， 又∵的周期为，∴正奇数项的周期为， ∴ ，故正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知成等比数列，且，若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列性质求得，然后解方程组可得结论. 【详解】因为成等比数列，所以，， 化为，因为，故解得， 13. 已知圆台的底面半径分别为1和2，高为，底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作球的大圆截圆台得轴截面为圆的内接等腰梯形，在这个图形中由几何法求得球半径，再计算表面积. 【详解】如图是球的大圆截圆台得轴截面是圆的内接等腰梯形，分别是圆台下底、上底圆心，则为圆台的高，直线过， 由已知，，， 设， 若在线段上，则， ，即，解得， 所以与重合， 若在延长线上，则， 则有，同样解得，即与重合， 所以球半径为， 表面积为 14. 已知集合，若函数满足：，都有，则符合条件的函数共有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合值域的性质、分类计数原理和分步计数原理进行求解即可. 【详解】当集合中所有元素只和集合中一个元素对应时，显然符合，都有，此时可以构成个函数； 当集合中元素只和集合中二个元素对应时，这时这两个元素分别为，共5种情况， 以为例，集合中每一个元素都有2种对应方式，因此这样可以形成 个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2对应， 因此构成函数的个数为个， 所以这种方式一共有个不同的函数； 当集合中元素只和集合中三个元素对应时，这时这三个元素分别为，共2种情况， 以为例，集合中每一个元素都有3种对应方式，因此这样可以形成 个函数，但是会出现集合中所有元素都与或2或3对应，或，或，或对应，所以可以形成个不同的函数， 所以这种方式构成的函数有个； 当集合中元素和集合中四个元素都对应时，这样出现，不符合题意， 综上所述：符合条件的函数共有个. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合恒等变形可得，进而得到即可； （2）利用余弦定理解出，进而得到，再根据面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：， 利用正弦定理：， 整理得：， 由于， 所以，因为，所以； 【小问2详解】 ，， ，即， 解得（负值已舍去），则， . 16. 2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 （1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 【答案】（1），可用线性回归模型拟合与的关系 （2），（万亿千瓦时） 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合与的关系； 【小问2详解】 ， 则， 则经验回归方程为， 令，则， 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 17. 如图，在菱形中，，，将沿翻折至，连接构成四棱锥． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为． ①求的长； ②设在平面上的射影为，直线与交于点，为的中点，证明：平面． 【答案】（1） 连接交于点，连接， 因为是菱形，所以，所以，， 因为沿翻折至，所以，且， 又平面，， 所以平面； （2）①； ②由（1）知平面，因为平面，所以平面平面， 因为在平面上的射影为，平面平面，所以． 过点作平面的垂线，垂足为，连接并延长交于点，连接， 由①知，，，故，从而，， 因为与相似，所以，故， 所以为的中点， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）利用菱形对角线互相垂直，得；再由翻折的不变性，得；结合，根据线面垂直判定定理证得结论； （2）① 由（1）的垂直关系，确定为二面角的平面角；在菱形中求出，翻折后；在中，用余弦定理直接计算； ②先由面面垂直性质确定在底面的射影在上，再通过相似三角形推出为的中点；接着利用中位线分别证明、，从而证得平面平面，最后由面面平行的性质得平面． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知，，平面，平面， 所以是二面角的平面角，故， 菱形中，，，， 所以在中，， 故，即； ②略 18. 已知椭圆的左焦点为. （1）求的离心率； （2）为上一点，在处的切线为. ①证明：的方程为； ②设的右顶点为交直线于点与交于点为坐标原点，求的最小值. 【答案】（1） （2） ①由点在椭圆上，得，则点在直线上， 由，联立消去得， 即， 也即， 将代入上式化简，得， 因为， 故切线的方程为； ② 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程直接算离心率； （2）①联立，证明与椭圆相切即可；②先得到点坐标，再求直线，的斜率关系，再利用为定值得到的轨迹方程，表示出进行求解． 【小问1详解】 由椭圆知， 故，所以的离心率； 【小问2详解】 ①略 ②由①知，的方程为，当时，，则得， 由于，故直线的斜率， 由于，故直线的斜率， 又与交于点， 所以， 设，则， 化简得的轨迹方程为， ， 所以当时，的最小值为． 19. 设函数. （1）当时，证明：； （2）已知函数在区间内存在极值点. ①求的取值范围； ②是否存在，使？若存在，比较与的大小；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：设， 则， 因为，所以， 则函数在上单调递增，所以， 得当时，，即得证． （2）①,②存在， 【解析】 【分析】（1）构造函数，求导进行求解； （2）①因为函数在区间内存在极值点，所以在内有变号零点，，对分类讨论进行求解； ②由①知，当时，得，得在上单调递减，故当时，在上单调递增，在上单调递减，由零点存在性定理进行求解；由，及，得则 ，构造函数，求导判断与0大小关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 因为函数在区间内存在极值点， 所以在内有变号零点． ①当时，因为，所以， 得 恒成立， 得函数在上单调递减，无极值，不合题意， 当时，令， 则 ， 所以函数在上单调递减， 又 ， 若 ，即， 则，得，得函数在上单调递减，无极值，不合题意， 若 ，即， 因为函数在上单调递减，且 ， ， 所以存在，使得 ，即， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，符合题意， 故的取值范围为：． ②由①知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，得，则， 得在上单调递减， 故当时，在上单调递增，在上单调递减， 而 ， ， 而 ， 由零点存在性定理知，存在唯一的零点，使得， 即存在唯一的零点，使得． 接下来比较与的大小， 因为， 由，得，得， 则 ， 令， 得 ， 令，得， 得在上单调递减，得， 而 ， 令， 得， 得在上单调递减，得， 得， 得 ， 得在上单调递减，得， 得 ，而，得 ， 因为，所以，得，而， 而当时，在上单调递减， 得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $