河北雄安新区部分学校2025-2026学年高二下学期4月份联考数学试卷

高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 拓 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 阳赶 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡 长 上作答；字体工整，笔迹清楚。 报 4,考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.某学校开设3门球类课程、4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1 门课程学习，则不同的选法共有 A.12种 B.11种 C.10种 D.9种 2.已知f(x)是函数f(x)的导函数，f(x)= ze-sinx,则f(0)= 1 A.0 B.1 C.2 D.3 咖 3.根据图中的函数图象，下列数值最小的是 與 y=f孔x) x 地 A.曲线在点A处切线的斜率 B.曲线在点B处切线的斜率 C.曲线在点C处切线的斜率 D.割线AB的斜率 p 4.某校从2名女生和4名男生中选出2人参加一项创新大赛，则选出的2人中至少有1名女生 当 的概率为 .2 1 c是 4 D. 【高二数学第1页（共4页）】 HB 5.某电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系式为y一日-一碧2-40x(x>0),为使其耗 电量最小，则其速度为 A.20 B.30 C.40 D.50 6.若函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax的极小值点为1，则 A.a>1 B.a<1 C.a≥1 D.a≤1 7.用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不 同的染色方法有 A.384种 B.168种 C.108种 D.192种 8.已知函数f(x)=e-alnx一1在[1,2]存在单调递增区间，则实数a的取值范围为 A.(-∞，2e2) B.(-o∞，e) C.(-o∞，2e2] D.(-∞，e] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)的导函数f(x)在[一4,3]上的图象如图所示，则下列说法正确的是 42 0五3 A.f(x)在（一2,2）上单调递减 B.当x=一2时，f(x)取得极大值 C.当x=2时，f(x)取得极小值 D.f(3)是f(x)在[一4,3]上的最大值 10.已知(1一2x)7=a十a1x十a2x2+…十a7x2,则下列结论正确的是 A.a0=1 B.a3=280 C.a1+a2+ag十…+a7=-1 D.a1+2a2+3a3+…+7a7=-14 11.已知函数f(x)=x(x一a)2在x=1处有极大值，则 A.a=1 B.f(2+x)+f(2-x)=4 C.曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线与曲线f(x)有且仅有一个公共点 D.若0≤x≤t时，f(x)的值域为[0,4]，则t的取值范围为[1，十∞) 【高二数学第2页（共4页）】 HB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. l2.已知函数y=f(x)的定义域为R,且y=f(x)为y=f(x)的导函数，若li f1+)-f1)=1, 2h 则f(1)= 13.从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数 个.（用数字作答） 14.设a∈Z,且0≤a≤13，若512o26十a能被13整除，则a等于 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(本小题满分13分) 已知函数f)-r-2. (1)求f(x)的单调区间； (2)若x∈[-1,3]，求f(x)的最大值与最小值. 16.(本小题满分15分) 已知(+)广的展开式中，二项式系数的和为64，求： (1)n; (2)含x2的项； (3)各项系数和. 【高二数学第3页（共4页）】 HB 17.(本小题满分15分) 为庆祝校庆，5名同学(3男2女)相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在 一起.（列出算式并计算结果） (1)若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ 年 (2)若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ (3)同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 张 18.（本小题满分17分) 河 已知f(x)=alnx+2-3b,曲线y=f(x)在点(e,fe)处的切线方程为y-2e+4x-e+1. e (1)求实数a,b的值； (2)若g(x)=是2x-46,求曲线y=g(x)过点(2,4)的切线方程。 器 甘 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=xlnx十2ax2-2a(a∈R). (1)当a=一时，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有极值点，求a的取值范围： (3)若f(x)有三个零点，求a的取值范围. 好 些 【高二数学第4页（共4页）】 HB高二数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 6 答案 A A C B C B 题号 7 8 10 11 答案 D A ABC AD BC 1.A【解析】分类加法计数原理，3十4+5=12种.故选A. 2.A【解析】由题可得f(x)=e2x-cosx,所以f(0)=1一1=0.故选A. 3.C【解析】通过图象可知，曲线在点A处、点B处切线的斜率为正，在点C处切线的斜率为负，割线AB的斜 率为正，所以最小值为曲线在点C处切线的斜率.故选C 4B【桌折】P=1-昌-1号-是故造B 5.C【解析】由题意知y=x2一39x一40(x>0),令y>0,解得x>40,令y<0,解得0<x<40,所以函数 y号2一翌一40x(>0)在(0,40)上单调递减，在(40，十e∞)上单调递增当x=40时y取得最小值。 因此为使耗电量最小，则其速度应定为40.故选C 6.B【解析】因为f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,所以f(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a).若a>1, 当x<1时，f(x)>0,当1<x<a时，f(x)<0,当x>a时，f(x)>0,所以f(x)在(-o∞，1)上单调递增，在 (1,a)上单调递减，在(a,十o∞)上单调递增，此时1是f(x)的极大值点，矛盾，故a>1不符合题意；若a=1, 则f(x)=6(x一1)2≥0，等号成立当且仅当x=1,此时f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，即此时f(x)没有 极值点，故a=1不符合题意；若a<1,当x<a时，(x)<0,当a<x<1时，f(x)>0,当x>1时， f(x)<0,所以f(x)在（一∞，a)上单调递增，在(a,1)上单调递减，在(1，十∞）上单调递增，此时1是f(x)的 极小值点，故a<1符合题意.综上所述，符合题意的a的取值范围是a<l.故选B. 7.D【解析】先给2,5染色，有A?种方法，若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有2×1=2 种涂法.因为1,4分别与3,6对称，所以不同的染色方法有A?×(2+2)2=192种.故选D. 8.A【解析】考虑问题的否定，函数f(x)=e2-alnx一1在[1,2]上不存在单调递增区间，则对于Vx∈[1,2]， f(x)=c-只≤0恒成立，分离参数得a≥xe在l,2]上恒成立，则a≥(xe)nx.令h(x)=xe,求导得 h(x)=e2十xe=e(1十x),当x∈[1,2]，h'(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x)max=2e,所以a≥2e2.所以原 命题成立的条件为a<2e2.故选A. 9.ABC【解析】对于A,由题图可知x∈(-2,2)时，f(x)<0,f(x)单调递减，故A正确； 对于B、C,由题图易知f(x)在（一4，一2）上单调递增，在（一2,2）上单调递减，在(2,3)上单调递增，所以当 x=一2时，f(x)取得极大值，当x=2时，f(x)取得极小值，故B、C正确； 对于D,f(x)在[-4,3]上的最大值应是f(3)与f(一2)中的较大者，故D错误.故选ABC. 10,AD【解析】对于A,根据二项式定理，当我们令展开式中x=0时，此时展开式中除了a。这一项，其余含有 x的项都为0，所以(1-2×0)7=a0十a1×0十a2×02+…十a,×0,即17=a0,可得ao=1,故A正确； 对于B,二项式(1一2x)7其展开式的通项公式为T,+1=C1?-r(-2x)'=(一2)'Cx',要求a3,也就是当 =时的系数，将=3代人酒项公式中，=(-2G,先计算组合数c=淡-85，则 a3=(-2)3×35=-8×35=-280,故B错误； 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 HB 对于C,令x=1,则(1-2×1)7=a+a1×1十a2×12+…十a,×1',即(-1)7=a+a1+a2+…+a,所以 a十a1十a2十ag十…十a,=-1,又因为前面已经求得a0=1,那么a1十a2十ag+…十a,=-1-1=一2，故C 错误； 对于D,对(1一2x)?=a十a1x十a2x2十…十ax两边同时求导.左边求导为-14(1一2x)°，右边求导为 a1+2a2x+…+7ax5,即-14(1-2x)6=a1+2a2x+…+7a7x8,令x=1,则-14(1-2X1)8=a1+2a2X 1+…+7a7×16,即-14(-1)6=a1十2a2+…+7a,所以a1+2a2+3a3+…十7a,=-14,故D正确.故 选AD. 11.BC【解析】f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,f(x)=3x2-4ax+a2,因为函数f(x)=x(x-a)2在x=1 处有极大值，所以f(1)=0,即3-4a十a2=0,解得a=1或3，当a=1时，(x)=3x2-4x十1=(3x-1)(x一1)，当 x<号时，()>0：当号<<1时，(a)<0:当x>1时，f(x)>0,此时z=1为极小值点，不符合题意， 当a=3时，f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),当x<1时，f(x)>0;当1<x<3时，f(x)<0;当 x>3时，f(x)>0,此时x=1为极大值点，所以f(x)=x(x一3)2. 对于A,由以上可得a=3,故A错误； 对于B,f(x)=x(x-3)2=x3-6x2+9x=(x一2)3-3(x一2)十2，易知函数y=x3-3x为奇函数，其图象 关于原点对称，而f(x)的图象是由函数y=x3一3x的图象向右平移两个单位后，向上平移两个单位得到， 所以f(x)的图象关于点(2,2)成中心对称，即f(2十x)十f(2-x)=4,故B正确； 对于C,由f(2)=2,f(2)=一3，所以切线方程为y-2=-3(x-2),即y=-3x十8，联立f(x)=x(x-3) 可得x3-6x2十12x-8=0→(x一2)3=0，解得x=2,即方程有三重根，所以曲线f(x)在点(2，f(2)处的切 线与曲线f(x)有且仅有1个公共点，故C正确； 对于D,因为f(0)=0,极大值f(1)=4,极小值f(3)=0,f(4)=4,结合单调性可得当f(x)的值域为[0,4]， 则t的取值范围为[1,4幻，故D错误.故选BC. 12.2【解析】由导数的定义，可得函数f(x)在x=1处的导数满足：了(1)=m+)-①，则 h f1+f仙=合·1+f=合f1)=1,解得了(1=2. 2h h*0 h 13.328【解析】末位是0时：末位有1种选法，十位有9种选法，百位有8种选法，故末位是0的三位偶数有 1×9×8=72个；末位不是0时：个位有4种选法，百位有8种选法，十位有8种选法，故末位不是0的三位 偶数有4×8×8=256个.所以共有72+256=328个. 14.12【解析】a∈Z,且0≤a≤13，.51226+a=(52-1)2026+a=C826·5222s-C326·522025+ C号26·52224-…-C号览·52+C号8十a,51226十a能被13整除，.C号8十a=1十a能被13整除， 0≤a≤13，.a=12. 15.解：（1)因为f(x)=x2-2x=x(x-2).……(1分) 令f(x)=0,得x=0或x=2,… (2分) 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如表所示. (-∞，0) 0 (0,2) 2 (2,十∞) f(x) + 0 0 + f(x) 单调递增 0 单调递减 4 单调递增 (5分) 所以f(x)的单调递增区间为（一∞，0）和(2，十∞)，单调递减区间为(0,2). (6分) (2)由(1)知当x=2时，(x)取得极小值一等 (7分) 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 HB 当x=0时，f(x)取得极大值0. (8分) 又由f(-10=-号-1=-青，f3)=0.… (10分) 所以f(x)x=0,f(x)=- 4 (13分) 16.解：(1)因为二项式系数的和为64， 所以2"=64，解得n=6.… (5分) (2)由(1知m=6,则二项式变为(x+)广， 由二项式定理可得展开式的通项为T+1=Cx-(2） =2C6x8-2r】 (7分) 令6一2r=2,得r=2,故含x2的项为2Cx2=60x2. (10分) (3)令x=1,则各项系数和为(1十2)5=36=729.…(15分) 17.解：(1)先将3名男生排在一起，有A=6种排法， 再将2名女生排在一起，有A号=2种排法， 将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有A经=2种排法， 由分步乘法计数原理可知，共有A×A号XA号=6×2X2=24种排法.……………(5分) (2)先将3名男生排好，共有A=6种排法， 再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有A=2种排法， 再由分步乘法计数原理，共有A好XA经=6×2=12种排法.……(10分) (3)先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有A号=2种排法， 由于甲乙相邻，则有A=2种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插人原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有A?=6种 排法， 由分步计数原理，共有A经XA经XA?=2X2X6=24种排法.…(15分) 18.解：(1)由函数f(x)=alnx十x2-3b,其中x>0,可得f(x)=只+2x,c>0,…(2分) 因为曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y=2c+4zx 4x-e2+1, e fa+e2-3b=e2+5 可得f(e)=e+5,且f(⊙=2e+4,即 +2e=2e2+4… (5分) e 解得a=4,b=-1 · (7分) 2)由()知，g(z)=十x∈R,可得g(c)=x, (9分) 设切点为0，则切线的斜率=，放切线方程为)一号一合=（红一小，…（1分》 因为切线过点(2,0，所以4-号-专-(2-)，整理得（十1D(。一2)2=0，……14分) 解得x0=2或x0=一1，所以切点为(2,4)或（一1,1），………………（15分) 此时，曲线y=g(x)过点(2,4)的切线方程为4x一y一4=0或x一y十2=0.…(17分) 19.解：D当a=-子时，fx)=nx-合2+号该函数的定义域为(0，十∞)，f(国)=lnx+1-,… ………(1分) 令()=lnx-x+1,其中x>0,则p'(x)=-1=1, 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 HB 当x∈(0,1)时，p'(x)>0,即函数f(x)在(0,1)上单调递增， 当x∈(1，十∞)时，p'(x)<0,即函数(x)在(1，十∞)上单调递减，…(3分) 所以f(x)≤f(1)=0,故函数f(x)的减区间为(0，十∞)，无增区间. (4分) (2)因为f(x)=xlnx十2a.x2-2a(a∈R),所以f(x)=lnx+1十4ax, 由f(=0可得-4a=lnz+1,设g()=血z+1,其中x>0, 若函数f(x)有极值点，则直线y=一4a与函数g(x)有交点（非切点），…(6分) 1·x-(Inx+1) g'(x)= Inx (7分) x 7……心………… 当0<x<1时，g'(x)>0,即函数g(x)在(0,1)上为增函数， 当x>1时，g(x)<0,即函数g(x)在(1，十∞)上为减函数，如下图所示：…(8分) y=g(x) 由图可知-4a<1,解得a>-千，故实数a的取值范围是(-子，十∞） ……(9分) (3)由f(x)=xlnx+2a.x2-2a=0可得2ax+1nx-2a=0, x 所以函数f()有三个零点台方程2ax十ix-经=0有三个实根， …………(10分) 令h(x)=2a.x+lnx-2a,其中x>0,且h(1)=2a+lnl-2a=0, x h'()-2a++g-2ar++2 , (11分) ①当a≥0时，对任意的x>0,h'(x)>0,即函数h(x)在(0，十∞)上为增函数， 此时函数h(x)有且只有一个零点，不符合题意；…………(12分) ②当a<0时，令p(x)=2ax2+x+2a,A=1-16a2, (①当△=1-16a2≤0时，即当a≤-子时，对任意的x>0时，(x)<0恒成立， 所以函数h(x)在(0，十∞)上有且只有一个零点，不符合题意.………(13分) (i当△=1-16a>0时，即当-4<a<0时，函数p(x)有两个零点a1x(x<), 由韦达定理可得=1，山十=一六>0，所以0<1<1<， 当x∈(0，x)U(x,十∞)时，h'(x)<0,所以函数h(x)在(0，x)、(x2,十∞)上为减函数， 当x∈(x1,x2)时，h'(x)>0,所以函数h(x)在(x1,x2)上为增函数，…（15分) 所以h(x)<h(1)=0,h(x2)>h(1)=0, 当x0+时，h(x)→十∞；当x→十∞时，h(x)→-∞. 所以函数h(x)在区间(0，x1)、(,x2)、(x2,十∞)上各有一个零点， 此时函数h(x)有三个零点，符合题意. 综上所述，实数a的取值范围是(-子，0） (17分) 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 HB