2026年中考数学压轴题专题01二次函数与等腰三角形问题

2026年中考数学压轴题专题01 二次函数与等腰三角形问题 1．如图，抛物线（、为常数）与轴交于、两点，与轴交于点，直线的函数关系式为．    (1)求该抛物线的函数关系式与点坐标； (2)已知点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点，当为何值时，恰好是以为底边的等腰三角形？ (3)在（2）问条件下，当恰好是以为底边的等腰三角形时，动点相应位置记为点，将绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）； ①探究：线段上是否存在定点（不与、重合），无论如何旋转，始终保持不变，若存在，试求出点坐标；若不存在，请说明理由； ②试求出此旋转过程中，的最小值． 2．如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，，，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点E在x轴上方的抛物线上，连接，当是以为底的等腰三角形时，求点E的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求出，，点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点是该函数图象上的动点，过点作轴于点，交直线于点． (1)求该二次函数的解析式及直线的解析式； (2)当点在第一象限时，求的最大值； (3)是否存在点，使为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B右侧），交y轴于点C，连接，． (1)求点A，B，C的坐标； (2)H为抛物线上一点，且满足，请求出点H的坐标； (3)试判断在y轴上是否存在一点Q，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点、，交轴于点． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点是该二次函数图象上第一象限内一点，作轴交直线于点，求线段长度的最大值． (3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 7．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标． (2)在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 8．如图，平面直角坐标系中，点坐标，点坐标，其中实数分别是方程两根．抛物线经过三点，线段交轴于．若为线段上一个动点（不与重合），直线与抛物线交于两点（在轴右边），连接 (1)求抛物线解析式； (2)求面积的最大值，并求出此时点坐标； (3)当为等腰三角形时，直接写出点坐标． 9．如图，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D是二次函数图像的顶点，连接、． (1)求这个二次函数的表达式； (2)求的正切值； (3)若点P在二次函数图像上，且横坐标为，过点P的直线平行于y轴，与、、x轴分别交于点E、F、G，试证明线段、、总能组成等腰三角形； 10．如图1，抛物线经过，两点，与y轴交于点，与x轴交于点，直线与y轴相交于点，点是直线上方的抛物线上的动点． (1)求该抛物线对应的二次函数关系式； (2)当时，求点的坐标及此时的值； (3)当是以点为顶点的等腰三角形时，直接写出点的坐标； (4)如图2，点是抛物线的顶点，点是y轴上的点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是为边的矩形，求点的坐标． 11．如图1，抛物线为常数，且与轴交于点（点在点左侧），顶点是． (1)若点的坐标为． 求抛物线的函数表达式； 如图，点在抛物线上，连接，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． (2)如图，若直线与该抛物线交于点，试探究线段的长是否为定值，若是，求出的长度；若不是，请说明理由． 12．如图，二次函数的图象与y轴交于点，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另一个交点为C，且的面积为6． (1)求b，c； (2)若点M为二次函数的图象第二象限内一点，求四边形的面积S的最大值； (3)如果点P在x轴上，且是等腰三角形，直接写出点P的坐标． 13．如图，抛物线（）. (1)若抛物线经过点，求的值； (2)若该抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点. ①若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，求的值； ②当时，若点是该抛物线位于轴上方的一点，且，求的最大值. 14．已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 15．如图，二次函数图象与轴交于点两点（点在点的右边），与轴交于点． (1)求三点的坐标． (2)若点是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若点是线段上的任意一点，若以点为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学压轴题专题01 二次函数与等腰三角形问题》参考答案 1．(1)， (2) (3)①存在，；② 【分析】（1）先求出，再运用待定系数法求出抛物线的函数关系式，即，再令，解出，即可作答． （2）先表达，结合“恰好是以为底边的等腰三角形”得出，代入数值，运用因式分解法解方程，即可作答． （3）①证明，根据，得出不变，则，即可作答．②在以为圆心，4为半径的半圆上，，结合运动轨迹，得出的最小值，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 令，则， ， 把代入 得， ， 抛物线的函数关系式为：， 令，则， ， ； （2）解：点，过点作轴的垂线分别与直线和抛物线交于、两点， ， 当为底时，作于，    则， ， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，恰好是以为底边的等腰三角形； （3）解：①存在，，过程如下： ， ， 当时，， 不变， 即， ②将绕原点顺时针旋转得到（旋转角在到之间）； ∴在以为圆心，4为半径的半圆上， 由①知，， ， 的最小值， 此时三点共线，    ∵ 的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，解一元二次方程，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．(1) (2)点E的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，等腰三角形的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求得点E的坐标为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解： ∵，，是以为底的等腰三角形， ∴点E的坐标为， 当时，， 整理得， 解得， ∴点E的坐标为或． 3．(1)、、； (2)或或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）对于，当时，，令，则或，即可求解； （2）当时，则，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：对于，当时，，令，则或， 即，，点的坐标分别为：、、； （2）存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，设点， 由、、的坐标得，，，， 当时，则，则， 即点或； 当或时， 同理可得：或，则或， 即点或或； 综上，或或或或． 4．(1)， (2)最大值为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）设 ，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）连接，由（2）知，，，求出，，，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解： ，在二次函数上， ， 解得，， ∴二次函数解析式为； 与轴交于点， 点， 设直线解析式为， 将代入得，解得， ∴直线解析式为； （2）解：设 ，则， ， 即当时，最大值为； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， ， ， ， ， 当时，， 解得或， 当时，点的坐标为，与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当或时，点分别与点或点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为； 当时，， 解得或或， 当时，点与点重合，不构成三角形， 当时，点的坐标为，当时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质，分类求解是本题解题的关键． 5．(1)，，； (2)点H的坐标为或； (3)在y轴上存在点Q，使为等腰三角形，点Q坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键； （1）分别令，然后解方程即可得到的坐标； （2）设点H的坐标为，分别表示出，然后解方程即可； （3）分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别通过等腰三角形性质和勾股定理列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B右侧），交y轴于点C， ∴当时，， 当时，，解得， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 设点H的坐标为，则以为底的的高为， 当时， ， 则， 当时，， 当时，， 因此，点H的坐标为或； （3）解：在y轴上存在点Q，使为等腰三角形，点Q坐标为或或或，理由如下： ∵，根据勾股定理． 要使为等腰三角形，需分为三种情况讨论（如图）： ①当时， 点Q在x轴上方时，点Q的坐标为， 点Q在x轴下方时，， ∴， ∴点Q的坐标为； ②当时，设， 则， 在中，， 即，∴． ∴， ∴点Q的坐标为； ③当时，， ∴． ∴点Q的坐标为． 综上所述，在y轴上存在点Q，使为等腰三角形，其坐标为或或或． 6．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，则，求出，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求出二次函数的对称轴为直线，设，求出，，，令或，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点、， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 将代入得： 解得， 直线的表达式为， 如图，设点，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值； （3）解：二次函数的对称轴为直线， 设， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵点的水平距离为，竖直距离为， ∴由勾股定理得，， 同理，得， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，则，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等，分类求解是本题解题的关键． 7．(1)，顶点D坐标为 (2)存在， (3)点E坐标为或或或 【分析】（1）先将点，代入求得抛物线解析式，再求出顶点坐标； （2）先利用对称性求得，从而可得，再求出点B关于y轴对称点 ，从而可得，于是可得周长， 当且仅当B、M、D三点共线时取等，再求得直线表达式为，从而可求得； （3）分两种情况：、，再利用两点距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ， ∴对称轴为直线，当时，， ∴顶点D坐标为； （2）存在，； ∵，对称轴为直线，与是关于对称轴对称的对应点， ∴， ∴， 作点B关于y轴对称点 ， 则， ∴周长 ， 当且仅当B、M、D三点共线时取等， 设的解析式为， ∵ 和， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 令，得， ∴； （3）设点， 则，，， 由题意可分两种情况： ①，即， 解得：， ∴或； ②，即， 解得：， ∴或； 综上，点E坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把化成顶点式，利用二次函数对称性求最短路径，特殊三角形问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 8．(1)抛物线的表达式为； (2)面积有最大值为，此时点； (3)或或． 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，解一元二次方程，二次函数的最值，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键 （）由得或，故点的坐标分别为，，设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式，即可求解； （）过点作轴的平行线交于点，面积，然后通过二次函数的性质即可求解； （）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：由得，， ∴点的坐标分别为，， 设抛物线的表达式为，将点的坐标代入上式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∵点的坐标分别为，， ∴将点的坐标代入一次函数表达式得， 解得：， ∴直线的表达式为， ∴点， 同理可得：直线的表达式为， 过点作轴的平行线交于点， 设点，则点， ∴面积= ， ∵， ∴当时，面积有最大值为，， 此时点； （3）解：由（）得，直线的表达式为，点，直线的表达式为， ∵为等腰三角形， ∴或或， 设， （）当时，， 解得，（舍去）， ∴； 当时，点在线段的中垂线上， ∴； 当时，由， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点坐标为或或． 9．(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）设交点式，再代入C点坐标即可求解； （2）先由得，利用两点间的距离公式得，，，利用勾股定理逆运用得，进而可得答案； （3）先求出直线的表达式为，直线的表达式为，设，则，，再分别表示，，，可得，再用三边关系验证通过，即可证明． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴交于点， ∴设二次函数的表达式为，代入， 解得， 故这个二次函数的表达式为； （2）解：连接 ， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴； （3）证明：设直线的表达式为，将、代入， 得， 解得， 故直线的表达式为， 设直线的表达式为，将、代入， 得， 解得， 故直线的表达式为， 设，则，， 故，，， ∴， ∵，故， ∴，即， ∴线段、、总能组成等腰三角形． 【点睛】本题考查了利用交点式求二次函数的表达式，勾股定理，两点间距离公式，解直角三角形，三角形三边关系． 10．(1) (2)；2 (3) (4)， 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式为，由，可得直线解析式为，与抛物线解析式组成方程组，解方程组可得，进而即可得解； （3）过F点作，求出，由轴得，解方程即可得解； （4）分为对角线和为对角线两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线；经过点， ∴，解得 ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：设直线解析式为， ∵， ∴，解得， ∴直线解析式为， ∴， ∵，，    ∴直线解析式为，    ； 解得：（舍去）， ∴， ∵， ∴， （3）解：如图1，当是以点为顶点的等腰三角形时， 过F点作， ∴点H为中点， ∴， 又∵轴， ∴ ； 解得： ∴（舍去） ， 综上可知点F坐标为， （4）解：∵， ∴顶点， 当为对角线时，如图2， 设抛物线对称轴交x轴于点R，作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， 当为对角线时，如图3， 过A作轴，作于S，作于R， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴， 综上可知，Q的坐标为，． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与几何图形的综合，求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 11．(1) ；点的坐标为：或； (2)是，． 【分析】将点的坐标代入二次函数表达式，求出的值，即可求解； 若是以为底的等腰三角形，则点在的中垂线上，即可求解； 过点作，过点作，设点、的横坐标分别为，，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，设直线和轴的夹角为，则，根据，即可求出的长． 【详解】（1）解：将点的坐标代入二次函数表达式， 可得：， 解得：或(不符合题意，舍去)， 抛物线的表达式为：； 若是以为底的等腰三角形，则点在的中垂线上， 由可知二次函数的解析式是， 抛物线的顶点坐标为， 则的中点坐标为，即， 设直线的解析式为， 把点，代入解析式， 可得：，解得：， 直线的表达式为：， 如下图所示，过点作交轴于点， 则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得：， 则点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点、的坐标代入， 可得：，解得：， 的中垂线的表达式为：， 解方程组， 可得：，， 点的坐标为：或； （2）解：是，理由如下： 设点、的横坐标分别为，， 解方程组 整理得：， 整理得：， 、是方程的两个根， ，， ， ， 如下图所示，过点作，过点作， 则有， ， 则点的坐标为，点的坐标为， 在中，， 设直线和轴的夹角为，则，， ， ， 即， ， 解得：为常数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 12．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点，得到，由几何面积得到，即点，将点的坐标代入二次函数表达式即可求解； （2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点，，如图所示，过点作轴于点，设点M的坐标为，则，，，，根据，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解； （3）设点P的坐标为，则，，，根据等腰三角形的定义，分类讨论：当时，即；当时，则；当时，则；由此解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与y轴交于点， ∴， ∵的面积， ∴，即点， 将点的坐标代入二次函数表达式得：， 解得． （2）解：由（1）得抛物线的表达式为， 令，即， 解的，或， ∴点，， 如图所示，过点作轴于点， 设点M的坐标为， ∴，，，， ∵ ∴ ， ∵， ∴当时，S最大值， 答：四边形的面积S的最大值为． （3）解：设点P的坐标为，则，，， 当时，即， 解得（舍去）或3，即点P的坐标为； 当时，则， 解得或，即点P的坐标为或； 当时，则， 解得，即点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键． 13．(1) (2)①当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，或；②当时，有最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入解析式，解答即可. （2）①先确定A，B，C的坐标，再根据等腰三角形的定义去分类解答即可，注意c的正数性质的应用； ②当时，确定抛物线的解析式，根据点是该抛物线位于轴上方的一点，构造新二次函数，结合，利用二次函数的最值，求的最大值. 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得. （2）解：当时，， ∴， 解得或， ∵点在点的左侧， ∴点坐标为，点坐标为， ∴； 当时，， ∴点坐标为. ①∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 分两种情况： （ⅰ）当时，则， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； （ⅱ）当时，， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 综上，当以点，，为顶点的三角形是等腰三角形时，或； ②当时，抛物线的函数表达式为， ∵点在该抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是该抛物线位于轴上方的一点， ∴，即， 解得， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为. 【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，等腰三角形的定义，解方程，构造二次函数求最值，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法，构造二次函数求最值是解题的关键. 14．(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 15．(1) (2)存在， (3)点坐标为(-1，2)或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． （1）令和求出抛物线与x轴，y轴的交点坐标即可； （2）先得到抛物线的对称轴，设点，根据列方程求出m的值即可； （3）先求出线段，的长，然后分为，，根据相似三角形的对应边成比例求出长，即可求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：令，得， ． 令，得， 解得或， ． （2）解：存在，理由如下， 抛物线的对称轴为， 设点， 三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形， ， ， ， 解得， ； （3）解：令， 或， ， 又， ， ． 设长为． 若，如图1． ， ， ， ， ， 点坐标为． 若，如图2． ， ． 同理可得， ， ∴点坐标为． 综上所述，点坐标为或时符合题意． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $