第十二章 定义 命题 证明（知识清单）数学新教材苏科版七年级下册

第十二章 定义 命题 证明 1.定义：对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”.根据概念的定义,就可以准确地判断一个对象是否属于这个概念 .给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰,可以明确地区分这个概念所包含的对象. 2.命题：可以判断真假的陈述句叫作命题.一个命题要么为真,要么为假,二者必居其一. 3.数学命题的构成：数学命题一般都由条件和结论两部分组成. 4.真命题：正确的命题称为真命题；假命题：错误的命题称为假命题。 5. 互逆命题：一个命题A的条件是另一个命题B的结论，这个命题A的结论是命题B的条件，这样个两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为原命题，另一个命题称为这个命题的逆命题。 6.证明：从命题的条件出发,根据一些已知的事实 (如概念的定义,基本性质,真命题等),用 “因为……,所以……”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 7. （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。 （2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 （3）多边形内角和定理:边形的内角和等于 （4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于360°. （5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线平行 . 8.定理：一般情况下,数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理.定理可以作为证明后续命题的依据 . 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的推论. 9. 反证法：通过否定命题的结论,发现了矛盾,从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法 . 用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发,经过若干步推理,得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确,从而肯定原来命题的结论成立. 在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题条件,但不符合命题结论的例子. 一、定义概念的理解： 注意： （1）定义是对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义，这里要求语句要明确，不能模棱两可，模糊不清，例如，不能够使用“一些”，“大概”，“差不多”等词语。否则就不能作为一个概念的定义。 （2）定义中通常含有“叫做”“称为”等词语。通过这些词语可以很方便地判断出这句话是不是某个概念的定义。 二、命题的概念和构成： 注意：命题通常由条件和结论两部分构成。一般情况下，命题的条件用“如果”，“若”等字样引出，命题的结论用“那么”、“则”等字样引出，若命题中没有“如果……，那么……”或者“若……，则……”，那么可以先将命题改写成“如果……，那么……” 或者“若……，则……”形式，再确定命题的条件和结论。 三、如何说明一个命题是假命题 一个命题如果是真命题，通常可以采用证明的办法证明其正确性即可。而如果一个命题如果是假命题，一般可以采用举反例的方法来证明是错误的，也就是假命题，举的反例越简单越好，一个反例即可。 四、互逆命题的理解 注意：互逆命题中的原命题与逆命题是一个相对的概念，例如命题A的条件是命题B的结论；命题A的结论是命题B的条件。我们如果把命题A当作原命题，则命题B就是命题A的逆命题；如果把命题B当作原命题，则命题A就是B的逆命题，这两个是相对的关系，就类似于相反数的概念一样。 知识点1训练：定义的概念与识别 1．下列语句中，属于定义的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于 C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查了定义的概念，熟记定义的概念是解题的关键．根据定义的概念判断即可． 【详解】解：因为、、中的语句是对一件事做出了判断，没有明确规定， 所以都不是定义，只有是定义． 故选：C． 2．下列语句中，属于定义的是________．（填序号） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 只有符号不同的两个数称为互为相反数； 你的作业做完了吗？ 天空真蓝啊 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角． 【答案】 【分析】此题考查了定义，根据相反数、补角的定义和对顶角、邻补角、三角形的外角性质判断. 【详解】解：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，不属于定义； 只有符号不同的两个数称为互为相反数，属于定义； 你的作业做完了吗？，不属于定义； 天空真蓝啊，不属于定义； 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角，属于定义． 故答案为：. 3．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 【答案】D 【分析】命题的定义：判断一件事情的语句叫做命题． 【详解】解：A选项两条直线被第三条直线所截没有对事情作出判断，不是命题． B选项两直线相交吗是疑问句，未对事情作出判断，不是命题． C选项过直线外一点作这条直线的垂线是作图描述，未对事情作出判断，不是命题． D选项内错角相等对两直线被截所得内错角的关系作出了判断，符合命题的定义，是命题． 知识点2训练：正确识别命题 4．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 【答案】D 【分析】定义是对某一名称或术语的含义作出明确规定的语句，据此逐项判断即可求解． 【详解】解：、两直线平行，同位角相等是平行线的性质定理，不是定义； 、同角的余角相等是经过证明的定理，不是定义； 、垂线段最短是基本事实，不是定义； 、有一个角是直角的三角形叫作直角三角形，对直角三角形的含义作出了明确规定，属于定义． 5．下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．垂线段最短 C．作直线 D．平行线与垂线 【答案】B 【分析】根据命题的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：、“延长线段”是操作描述，没有对事情作出判断，不是命题； 、“垂线段最短”对线段长度的性质作出了判断，符合命题的定义，是命题； 、“作直线”是操作指令，没有对事情作出判断，不是命题； 、“平行线与垂线”是两个几何名词，没有对事情作出判断，不是命题． 6．下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】命题是判断一件事情的语句，解题只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，C，D都对对应事件作出了明确判断，都属于命题； 而选项B连接两点只是作图操作指令，没有对任何事件作出判断，不属于命题． 知识点3训练：命题的构成 7．命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____． 【答案】两条平行线被第三条直线所截 【分析】命题的一般叙述形式为“如果……那么……”，其中“如果”所引出的部分是题设，“那么”所引出的部分是结论． 【详解】解：命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”可改写为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”，因此这个命题的题设为两条平行线被第三条直线所截． 8．命题“对顶角相等”的条件是_______，结论是______． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】根据命题的概念，命题可改写为“如果…那么…”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，据此拆分即可得到结果． 【详解】解：命题“对顶角相等”可改写为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．其中条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等． 9．命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是___________，结论是____________． 【答案】 两个相等的角 这两个角是平行线的内错角 【分析】本题考查命题，解题的关键是能分清一个命题的题设与结论． 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．该命题可以改写成“如果…那么…”的形式，从而确定题设和结论． 【详解】解：将命题“两个相等的角是平行线的内错角”改写成“如果两个角相等，那么它们是平行线的内错角”， 所以题设是“两个相等的角”，结论是“这两个角是平行线的内错角”． 故答案为：两个相等的角，这两个角是平行线的内错角． 知识点4训练：判断命题的真假 10．下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．内错角相等 C．等角的补角相等 D．若直线，则 【答案】C 【分析】根据相关数学定义，性质逐一判断各选项即可. 【详解】解：∵时，可得或，例如满足但， ∴A是假命题，不符合题意； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截，得到的内错角才相等，命题缺少“两直线平行”的前提条件， ∴B是假命题，不符合题意； 设两个相等的角为，它们的补角分别为和， ∵， ∴ ，即等角的补角相等， ∴C是真命题，符合题意； ∵命题未说明在同一平面内，不在同一平面时，直线得不到， ∴D是假命题，不符合题意． 11．下列命题，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】C 【分析】根据对顶角定义，平行公理，平行线的判定与性质，逐个判断各选项命题的真假即可． 【详解】解：A、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，故A是假命题，不符合要求； B、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两个直角三角板的直角相等，并非对顶角，故B是假命题，不符合要求； C、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线，与已知直线形成的同位角都是，根据同位角相等，两直线平行，可判定两条直线平行，故C是真命题，符合要求； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，任意两条直线不满足该结论，故D是假命题，不符合要求． 12．下列命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．同位角相等 C．如果，那么 D．如果直线，，那么 【答案】A 【分析】根据等量代换，平行线的性质，平方的性质，逐一判断各命题真假，即可得出结论． 【详解】解：A、若，，则，原命题是真命题，符合题意； B、只有两直线平行时，同位角才相等，原命题是假命题，不符合题意； C、如果，则或，原命题是假命题，不符合题意； D、如果直线，，那么，原命题是假命题，不符合题意； 知识点5训练：举例说明假命题错误 13．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：选项A：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项B：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项C：，，满足，但，不满足结论，是符合要求的反例； 选项D：，，满足，且，满足结论，不是反例． 14．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了举反例解题，准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．先比较大小，确定满足条件的数，再代入计算判断即可． 【详解】解：当时，满足，但是， 故A符合题意； 当n=时，满足＜1，但是， 故B不符合题意； 当时，满足，但是， 故C不符合题意； ∵1不符合条件， ∴D不符合题意； 故选A． 15．下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理．反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项． 【详解】解：能说明命题“若，则”是假命题的只有，，此时，但， 故选：C． 知识点6训练：写出一个命题的逆命题 16．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 【答案】如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 【分析】交换原命题的题设与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是“如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等”． 17．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________． 【答案】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【分析】交换原命题的题设与结论，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”中， 题设为“点在线段的垂直平分线上”，结论为“该点到线段两端的距离相等”， 交换题设与结论后，得到逆命题为：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 18．已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 【答案】若，则 【分析】本题考查的是写出命题的逆命题，通过互换原命题的条件和结论，即可解题． 【详解】解：原命题是“若，则”，根据逆命题的定义，将条件“”和结论“”互换，得到逆命题“若 ，则”． 故答案为：若，则． 知识点7训练：证明一个命题为真命题 19．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 20．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题与证明，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理，属于中考常考题型． 写出已知，求证，根据同位角相等两直线平行即可证明． 【详解】解：已知：，， 求证：， 证明：， ． ， ， ， ． 21．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】已知：，，平分， 求证：平分． 证明：如图所示， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 知识点8训练：关于定理的说法判断 22．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】根据定理是真命题进行判定． 本题考查了定理的理解，定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述． 【详解】解：A. 在直线上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B. 如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，叙述语句是假命题，不是定理，不符合题意； C. 作射线，不是命题，不是定理，不符合题意； D. 同角的补角相等，真命题，是定理，符合题意； 故选：D． 23．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 24．下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理，理解公理与定理的概念是解题的关键． 公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明的客观规律或基本事实．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．从公理和定理的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、公理和定理都是真命题，说法正确，故此选项不符合题意； B、真命题不一定是定理，但定理一定是真命题，所以真命题可能是定理，说法正确，故此选项不符合题意； C、公理是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题．所以公理就是定理，定理也是公理，说法不正确，故此选项符合题意； D、公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 定义 命题 证明 1.定义：对一个概念作出 叫作这个概念的定义,有时也说 “给概念下定义”.根据概念的定义,就可以 一个对象 这个概念 .给概念下定义时要求 、 ,可以明确地 . 2.命题：可以判断 的 叫作命题.一个命题要么为 ,要么为 ,二者必居其一. 3.数学命题的构成：数学命题一般都由 和 两部分组成. 4.真命题： 的命题称为真命题；假命题： 的命题称为假命题。 5. 互逆命题：一个命题A的 是另一个命题B的 ，这个命题A的 是命题B的 ，这样个两个命题称为 ，其中一个命题称为 ，另一个命题称为这个命题的 。 6.证明：从 出发,根据一些 (如 , , 等),用 “ ”的形式一步一步推出命题的结论,从而确定这个命题为真命题的过程称为证明。 7. （1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 。 （2）三角形内角和定理推论：三角形的外角等于与它 的两个内角的和。 （3）多边形内角和定理:边形的内角和等于 （4）多边形外角和定理: 多边形的外角和等于 . （5）平行线的性质定理: 平行于同一条直线的两条直线 . 8.定理：一般情况下,数学中把一些 、 叫作定理.定理可以作为证明后续命题的 . 由一个定理直接推出的重要结论,一般叫作这个定理的 . 9. 反证法：通过否定 ,发现了矛盾,从而反过来 成立的证明方法叫作反证法 . 用反证法证明一个命题的步骤一般为: （1）先假 ； （2）从这个 出发,经过若干步 ,得出 ； （3）由矛盾判定 ,从而肯定 . 在说明一个命题是假命题时,常用“举反例”的方法 .举反例的关键是找到一个符合命题 ,但不符合命题 的例子. 一、定义概念的理解： 注意： （1）定义是对一个概念作出明确规定的语句叫作这个概念的定义，这里要求语句要明确，不能模棱两可，模糊不清，例如，不能够使用“一些”，“大概”，“差不多”等词语。否则就不能作为一个概念的定义。 （2）定义中通常含有“叫做”“称为”等词语。通过这些词语可以很方便地判断出这句话是不是某个概念的定义。 二、命题的概念和构成： 注意：命题通常由条件和结论两部分构成。一般情况下，命题的条件用“如果”，“若”等字样引出，命题的结论用“那么”、“则”等字样引出，若命题中没有“如果……，那么……”或者“若……，则……”，那么可以先将命题改写成“如果……，那么……” 或者“若……，则……”形式，再确定命题的条件和结论。 三、如何说明一个命题是假命题 一个命题如果是真命题，通常可以采用证明的办法证明其正确性即可。而如果一个命题如果是假命题，一般可以采用举反例的方法来证明是错误的，也就是假命题，举的反例越简单越好，一个反例即可。 四、互逆命题的理解 注意：互逆命题中的原命题与逆命题是一个相对的概念，例如命题A的条件是命题B的结论；命题A的结论是命题B的条件。我们如果把命题A当作原命题，则命题B就是命题A的逆命题；如果把命题B当作原命题，则命题A就是B的逆命题，这两个是相对的关系，就类似于相反数的概念一样。 知识点1训练：定义的概念与识别 1．下列语句中，属于定义的是（    ） A．对顶角相等 B．三角形的内角和等于 C．数与字母的乘积叫作单项式 D．两直线平行，内错角相等 2．下列语句中，属于定义的是________．（填序号） 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 只有符号不同的两个数称为互为相反数； 你的作业做完了吗？ 天空真蓝啊 如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为补角． 3．下列语句中，是命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截 B．两直线相交吗 C．过直线外一点作这条直线的垂线 D．内错角相等 知识点2训练：正确识别命题 4．下列语句中，属于定义的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同角的余角相等 C．垂线段最短 D．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 5．下列语句是命题的是（   ） A．延长线段 B．垂线段最短 C．作直线 D．平行线与垂线 6．下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 知识点3训练：命题的构成 7．命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____． 8．命题“对顶角相等”的条件是_______，结论是______． 9．命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是___________，结论是____________． 知识点4训练：判断命题的真假 10．下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．内错角相等 C．等角的补角相等 D．若直线，则 11．下列命题，是真命题的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 12．下列命题是真命题的是（    ） A．若，，则 B．同位角相等 C．如果，那么 D．如果直线，，那么 知识点5训练：举例说明假命题错误 13．要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 15．下列选项中，可以用来验证命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点6训练：写出一个命题的逆命题 16．“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是_______． 17．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是___________． 18．已知命题“若，则”，写出这个命题的逆命题________． 知识点7训练：证明一个命题为真命题 19．如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 20．命题：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，画出图形，写出该命题的已知、求证，并证明． 21．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 知识点8训练：关于定理的说法判断 22．下列语句中，属于定理的是（   ） A．在直线上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．作射线 D．同角的补角相等 23．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 24．下面关于公理和定理的说法不正确的是（   ） A．公理和定理都是真命题 B．真命题可能是定理 C．公理就是定理，定理也是公理 D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $