专题07 统计与概率（课件）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 统计与概率 统计与概率的热考题型 统计与概率的创新题型 9 5 2 命题透视 1）从命题形式上看，呈现出 “新材料、新情境、新问题” 的特点，载体形式上多以统计图表、生活场景、跨学科素材为主，凸显对数据分析、数学建模、逻辑推理核心素养的考查，渗透应用意识与数据观念，培养用数据说话的理性思维。 2）从命题内容上看，统计图表信息提取与补全、统计量的计算与决策分析、用样本估计总体、两步试验概率计算、概率与统计综合应用是历年中考命题的核心区域，同时逐步增加情境化概率建模、统计结论辨析与说理类创新设问。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 统计图表信息提取 ①广东・T7.条形图与扇形图结合求频数； ②北京・T12.折线图数据分析与趋势判断 ①江苏・T9.频数分布直方图补全与计算； ②浙江・T10.扇形图圆心角与百分比计算 ①湖南・T8.条形图与表格综合提取数据； ②四川・T11.折线图与中位数计算 统计量的计算与分析 ①山东・T10.平均数、中位数、众数辨析； ②河南・T13.方差意义与稳定性判断 ①安徽・T8.众数与中位数计算； ②福建・T12.方差与数据决策 ①广西・T9.平均数与方差的实际应用； ②江西・T10.统计量选择与说理 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 用样本估计总体 ①天津・T15.抽样调查估计总体数量；②湖北・T17.频率估计概率与总体推断 ①河北・T14.样本平均数估计总体；②山西・T16.合格率估算与决策 ①陕西・T13.样本频率估计总体；②贵州・T15.抽样合理性分析 简单事件概率计算 ①上海・T6.几何概型（面积型）计算；②重庆・T9.摸球古典概型 ①辽宁・T7.转盘概率计算；②内蒙古・T8.抽卡片一步概率 ①云南・T7.掷骰子概率；②黑龙江・T8.摸球不放回简单概率 两步试验概率计算 ①浙江・T17.两次摸球（不放回）树状图计算；②广东・T20.游戏公平性判断 ①四川・T16.两次掷骰子列表法求概率；②安徽・T19.两步试验概率与决策 ①江苏・T17.两次抽卡片概率；②山东・T18.游戏公平性分析 概率与统计综合 ①北京・T23.统计图表求频率→估计概率→方案设计；②江苏・T24.数据统计与概率建模 ①湖南・T22.统计量计算与概率综合；②广东・T23.抽样数据与概率应用 ①河南・T21.统计图表与概率结合；②浙江・T22.数据推断与概率计算 5 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 情境化创新题型 ①福建・T18.体育赛事场景概率建模； ②深圳・T19.环保抽样统计与概率 ①武汉・T17.交通出行统计与概率； ②长沙・T18.传统文化背景统计题 ①成都・T17.防疫抽样统计； ②西安・T18.生活场景概率应用 命题预测 统计与概率命题将以生活、社会热点为情境，结合各类统计图表考查，侧重数据分析、逻辑推理素养，弱化纯计算、强化数据推断与实际决策。基础题聚焦图表信息提取、简单概率计算、统计量辨析，中档题核心考查两步/多步概率（区分放回与不放回）、统计概率综合，常考补全图表、游戏公平性分析、样本估计总体。设问多向开放性、探究性延伸，解答题注重 “读数据 — 算概率 — 做推断 — 说理决策” 的完整思维考查，选择填空以基础中档为主，整体难度适中但对应用能力要求更高。 考点一：统计与概率的热考题型 考点二：统计与概率的创新题型 考点一：统计与概率的热考题型 题型一统计图表信息提取 题型二统计量的计算与分析 题型三用样本估计总体 题型四统计结论辨析与说理 题型五简单事件概率计算 题型六两步 / 多步概率计算 题型七概率与统计综合 题型八游戏公平性与概率应用 题型九概率中的 “放回” 与 “不放回” 问题 必备知识 知识一数据的收集 知识二平均数、中位数、众数、方差 知识三频数与频率 知识四统计图/表的分析 知识五概率的计算 命题预测 ►题型一 统计图表信息提取 1）若要清楚地表示出各统计项目在总体重所占的百分比，则选择扇形统计图； 2）若要清楚地反映数据的变化过程和趋势，则选择折线统计图； 3）若要清楚地表示出每个统计项目的具体数据，则选择条形统计图. ►题型一 统计图表信息提取 1．（2025·甘肃·中考真题）习近平总书记致首届全民阅读大会举办的贺信指出：阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气．中华民族自古提倡阅读，讲究格物致知、诚意正心，传承中华民族生生不息的精神，塑造中国人民自信自强的品格．如图是某网站连续多年对其用户书籍阅读量的统计图，下列结论错误的是（   ） A．2022年，人均纸质书籍阅读量为5本 B．2023年，人均电子书籍阅读量为11本 C．2024年，人均电子书籍阅读量是人 均纸质书籍阅读量的3倍 D．2016年至2024年，人均电子书籍阅读量逐年上升 解：由统计图可知，2022年人均纸质书籍阅读量为5本，故A正确，不符合题意； 2023年人均电子书籍阅读量为11本，故B正确，不符合题意； 2024年人均电子书籍阅读量为12.3本，人均纸质书籍阅读量为5.3本， ， 年人均电子书籍阅读量不是人均纸质书籍阅读量的3倍，故C错误，符合题意； 2016年至2024年人均电子书籍阅读量是逐年上升的，故D正确，不符合题意． C 2．（2025·浙江·中考真题）某书店某一天图书的销售情况如图所示． 根据以上信息，下列选项错误的是（   ） A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册 C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比 ►题型一 统计图表信息提取 D 解：总销售量为：（册）， ∴科技类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售了（册）， ∴文艺类图书销售占比为：， ∴其他类图书销售占比：； 综上：只有选项D错误，符合题意； ►题型一 统计图表信息提取 3．（2025·广东广州·中考真题）某地一周的每天最高气温如下表，利用这些数据绘制了下列四个统计图，最适合描述气温变化趋势的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 最高气温/℃ 25 25 28 30 33 30 29 A． B． C． D． 解：∵扇形统计图可以清楚地表示各部分数量和总量之间的关系；条形统计图可以清楚地看出数量的多少；折线统计图，不仅可以清楚地看出数量的多少，而且还能清楚地看出数量的增减变化趋势； ∴最适合描述气温变化趋势的是折线统计图； C ►题型二 统计量的计算与分析 1）求一组数据的平均数、中位数、众数，要严格按照定义进行计算，特别是求中位数时，要注意数据的个数是奇数还是偶数.一组数据的平均数、中位数只有一个，而众数可能不止一个. 2）利用方差的定义公式进行计算. ►题型二 统计量的计算与分析 5．（2025·江苏盐城·中考真题）在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 解：“最畅销”涉及的统计量是众数， D 6．（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变， 方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3， 所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若， 则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， B ►题型二 统计量的计算与分析 7．（2025·四川广元·中考真题）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表： 书籍本数 2 3 4 5 6 人数 2 2 2 3 1 下列关于书籍本数的描述正确的是（   ） A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1 C 解：、众数是一组数据中出现次数最多的数．由表格可知， 5本对应的人数为3人（最多），故众数是5，A错误． 、，B错误． 、将数据按从小到大排列： （共个数据），中位数为第5、6个数的平均数，即，C正确． 、平均数为 ， S² ，D 错误． ►题型三 用样本估计总体 总体中某组的数量 =总体数量×样本中该组所占的百分比(或频率). ►题型三 用样本估计总体 11．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（   ） A．3000 B．4000 C．6000 D．60000 解：（条）； A 13．（2025·北京·中考真题）某地区七年级共有2000名男生．为了解这些男生的体重指数（）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 人数 6 75 15 4 解：由题意可得： 该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是人， 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中等级为正常的人数是_______． ►题型三 用样本估计总体 14．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ； 请将频数分布直方图补充完整； (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： ►题型三 用样本估计总体 14．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图． 【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题： (1) ， ； 请将频数分布直方图补充完整； 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： 1）解：抽取的学生人数为 人， 则， ， ，， 补全频数分布直方图如下： ►题型三 用样本估计总体 14．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： (2)所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第 组的分数段内； （2）解：抽取的名学生竞赛成绩中， 中位数为第和名学生竞赛成绩的平均数， 由（1）可知， 第1组有5人，第2组有10人，第3组有15人，第4组有40人， 前三组人数为人， 前四组人数为人， 则中位数处于第4组的分数段内， 4 ►题型三 用样本估计总体 14．（2025·山东滨州·中考真题）2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛．以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程． 【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本． 组别 分数 频数 百分比 第1组 第2组 10 第3组 15 第4组 40 第5组 (3)计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数． 【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表： （3）解：由（1）可知，， 即全校91分以上的同学占比约为， 则全校91分以上的同学约有 （人）， 答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人． ►题型四 统计结论辨析与说理 16．（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参加跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．   第1次测试 第2次测试 第3次测试 甲 × × × 乙 × 注：×表示犯规． 将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图． (1)补全条形统计图；(2)你认为哪名学生参加跳远比赛较为合适？为什么？ （1）解：依题意，， 即甲的一般成绩有次，补全条形统计图，如图所示 （2）解：乙参加跳远比赛较为合适， 理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少， ∴乙参加跳远比赛较为合适． 17．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）．  (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． ►题型四 统计结论辨析与说理 （1）解： ①∵图1中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果， ∴疾控中心收集数据，采用的调查方式是抽样调查， ②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升趋势，高二年级到高三年级有所下降； 抽样调查 17．（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）．  (1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果． ①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”） ②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势． (2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的985名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长时间连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠时间不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图． ①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号） ②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视． ►题型四 统计结论辨析与说理 （2）解：①观察条形统计图可以看到，B选项长时间连续用眼的有887人，人数最多， ∴从图2中可知，影响视力的最主要因素是B选项长时间连续用眼． B ②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长时间连续用眼，课间只在教室休息，饮食不均衡，睡眠时间不足，所以预防近视从以下入手：认真做眼保健操，避免长时间连续用眼，用眼一段时间要适当休息，课间到室外活动或者作适当远眺，保持饮食均衡，保证充足的睡眠时间． ►题型四 统计结论辨析与说理 18．（2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94． 数据统计表 分数段 等次 人数 A B 6 C 6 D E 2 数据扇形统计图 (1)扇形统计图中 ，统计表中 ； (2)这20个数据的众数为 ，中位数为 ； (3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有 人； (4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议． （1）解：， ∴；∴； 15 3 （2）解：根据题意得：D组人数为：人， ∵20个数据为：54， 57，▲，65，67，71，73，76，76，77，79，82，87， 87，87，88， 89，★，92，94． ∴▲在D组，★在A组， ∵87出现的次数最多为3次， ∴众数为87； 中位数为第10、11位数据77，79的平均数即， 87 ►题型四 统计结论辨析与说理 18．（2025·海南·中考真题）2025年初，海南省教育厅印发了《关于优化义务教育学校学生作息时间的通知》，各市县中小学积极实施大课间质量提升活动．某校为了解学生对本校大课间活动实施情况的满意程度，从八年级随机抽取20名学生进行问卷调查（满分100分，划分为A、B、C、D、E五个等次），统计结果如下（其中两个原始数据因某种原因模糊，用▲和★表示）：54，71，57，▲，65，67，73，76，76，77，79，87，88，87，87，82，89，★，92，94． 数据统计表 分数段 等次 人数 A B 6 C 6 D E 2 数据扇形统计图 (1)扇形统计图中 ，统计表中 ； (2)这20个数据的众数为 ，中位数为 ； (3)若该校八年级共有400人，请估计评价结果为“A”等次的八年级学生有 人； (4)为更好地开展大课间活动，请提一条合理建议． 15 3 87 （3）解：根据题意得： 人， （4）解：大课间的活动内容要形式多样、丰富多彩，更好的吸引学生，提高满意程度． 60 ►题型五 简单事件概率计算 利用概率公式求解问题时首先要找出所有可能的情况数n，然后找出满足条件的情况数m，最后利用概率公式P(A)=m/n求解答案. ►题型五 简单事件概率计算 23．（2025·湖北武汉·中考真题）某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（    ） A． B． C． D． 解：抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元． 随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种： 1. 10元和20元，和为30元； 2. 10元和30元，和为40元； 3. 20元和30元，和为50元． 其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）． 因此，所求概率为：． C ►题型五 简单事件概率计算 25．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 解：如图所示，过点A作于点D ∵是直径∴ ∵∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． D D ∟ ►题型五 简单事件概率计算 26．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． （1）解：∵曲线过点． ∴； （2）解：由（1）得，故， ∵直线也经过点P， ∴把代入， 得：， 解得：， ∴； 令， 则， ∴l与y轴交点的坐标为； 直线l的函数图象，如图所示； ►题型五 简单事件概率计算 26．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点． (1)求t的值； (2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； (3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 3）解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是： ， ∵曲线， 则 ， ∴格点在曲线G上， 即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． ►题型六 两步/多步概率计算 当事件经过两步完成时，既可以用列表法，也可以用画树状图法列出所有等可能的结果； 当事件经过三步及以上完成时，列表法就不太方便了，通常用画树状图法，这样不容易漏掉或重复. ►题型六 两步/多步概率计算 27．（2025·甘肃兰州·中考真题）现有甲、乙两个不透明盒子，其中甲盒装有分别写着d，t，l的三张声母卡片，乙盒装有分别写着a，e，i的三张韵母卡片（卡片除汉语拼音字母外，其余完全相同），若小明分别从甲、乙盒中随机各抽取一张卡片，则两张卡片刚好拼成“德”字读音的概率是（    ） A． B． C． D． 解：将所有结果列表格如下： 声母         韵母 a e i d da de di t ta te ti l la le li 所有可能的组合为9种，符合条件的情况仅1种， 故两张卡片刚好拼成“德”字读音de的概率为． A ►题型六 两步/多步概率计算 30．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的 值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为________． 解：∵关于x的一元二次方程有实数根，∴， ∴且， 1 2   1   2   由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有：，，，共3种， ∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为： P（有实根）= ， 列表如下： ►题型六 两步/多步概率计算 31．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次． (1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______； (2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率． （1）解：旋转甲转盘一次， 指针落在“A”区域的概率是 ． （2）解：列表如下：   由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种， ∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为：P=． ►题型七 概率与统计综合 概率与统计和人们的生活关系紧密，在生产和生活等各个方面都有广泛的应用. 对于统计图表中的概率问题，关键是能从各种统计图表中获得相关的信息与数据，再根据所获得的信息与数据进行概率的计算. ►题型七 概率与统计综合 32．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率； （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． 解：（1），城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87， 故b=， = ►题型七 概率与统计综合 32．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；  总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种， ∴P（所选两名学生恰好都是城区学生） ． （2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下： ►题型七 概率与统计综合 32．（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下． （一）收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 64，74，78，82，84，86，86，92，96，98； 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）： 62，70，79，83，85，87，87，90，97，100． （二）描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 c 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________； （三）迁移与应用 （3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议． （3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展； 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学； 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平； 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化． ►题型七 概率与统计综合 33．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． （1）解：由图可知抽取的学生的总数量为:， 由扇形统计图可知第5组人数， 则第2组人数， 第4组人数在扇形图中对应的圆心角为 ►题型七 概率与统计综合 33．（2025·山东淄博·中考真题）粮食安全，事关国计民生．增强学生粮食安全意识．培养学生节粮爱粮的良好生活习惯，已成为学校教育的一个重要共识．为此，某学校开设了相关校本课程，并在期末进行了结业测试．现从中随机抽取了部分学生的结业成绩（满分：100分，所有成绩均不低于75分），整理并绘制了如下尚不完整的统计图表． 组别 成绩/分 频数（人数） 1 10 2 3 35 4 25 5 根据以上信息，解答下列问题： (1)请直接写出统计表中的________，________，第4组人数在结业成绩扇形统计图中所对应的圆心角是________度； (2)请补全上面的结业成绩频数分布直方图； (3)现从第5组中选拔演讲能力出众的2名男生和3名女生组成“粮食安全”宣讲团．并从中随机抽取2人进社区宣讲，求所抽取的2人恰好是1名男生和1名女生的概率． （2）解：如图：  （3）解：设2名男生为a、b和3名女生为1、2、3， 则随机选出2人，有下列组合： ， 共10种可能的结果，其中恰好是1名男生和1名女生的有6种， 故概率为: P = ． ►题型七 概率与统计综合 35．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：； D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 解：（1）本次调查的样本容量是： ， 则组的人数 ， 将频数分布直方图补充完整如图： （2）（人）， 该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人． ►题型七 概率与统计综合 35．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：； D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．  ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为：， （3）解：画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种， ►题型八 游戏公平性与概率应用 1）判评游戏是否公平的原则： 游戏双方获胜的概率相等，说明游戏是公平的，否则说明游戏不公平. 2）游戏规则的修改： 对于任何一个游戏，修改它的规则方法不一定是唯一的，但需遵循公平的原则，如若两人参与游戏，且必须有人胜出，则两人获胜的概率需均为，此时应适当调整获胜条件，使所有等可能结果恰好均分. （1）解：画树状图如下：   由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数， 其中两球上的数字之和为奇数的结果数有8种， ∴甲获胜的概率为； （2）解：这个游戏规则对甲乙双方不公平，理由如下： 由（1）中的树状图可知，两球上的数字之和为偶数的结果数有4种， ∴乙获胜的概率为， ∵，∴甲获胜的概率大于乙获胜的概率，∴这个游戏规则对甲乙双方不公平． ►题型八 游戏公平性与概率应用 36．（2024·甘肃·中考真题）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4．甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜． (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率． (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗？请说明理由． ►题型八 游戏公平性与概率应用 37．（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． （1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张， 摸到“1”的概率是 ， （2）解：画树状图如下所示 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． ►题型八 游戏公平性与概率应用 38．（2026·陕西西安·一模）小明和小亮玩游戏：将正面分别写有数字1，7，8，8的四张卡片（这些卡片除数字外其余均相同）洗匀后，背面向上放在桌面上，小明从中任意抽取一张卡片（不放回），小亮从剩余的卡片中任意抽取一张，若两张卡片上的数字之和是8的倍数，则小亮获胜，否则小明获胜． (1)小明抽到写有偶数的卡片的概率是______； (2)请利用画树状图或列表的方法，判断这个游戏是否公平． （1）解：∵一共有四张卡片，其中写有偶数的卡片有两张， ∴小明抽到写有偶数的卡片的概率是； 由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中两张卡片上的数字之和是8的倍数的结果数有4种，两张卡片上的数字之和不是8的倍数的结果数有8种， ∴小亮获胜的概率为，小明获胜的概率为， ∵， ∴这个游戏不公平． （2）解：画树状图如下： ►题型九 概率中的“放回”与“不放回”问题 * 对于“放回”和“不放回”的题目，易错点在于不知道如何判断是“放回”还是“不放回”，只要判断正确，然后结合树状图等方法就能迎刃而解： *如，过红绿灯、选择直行、左、右转弯等，就属于放回这类问题，他们有共同特征就是每一次都有同样多的选择； *从几个人里选两个人参加活动、一次性选择两个物品等，属于不放回问题，他们的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一种情况，特别注意同时抽取，也是表示抽出来不放回． *做题时，一定要看清每次选择后的下一步选择是都有同样多的选择还是少了一种选择，以正确判断是“放回”还是“不放回”． （1）解： ∵一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同， ∴将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是， ►题型九 概率中的“放回”与“不放回”问题 40．（2025·江苏无锡·中考真题）一个不透明的袋子中装有标号分别为1，2，3，4的4个球，这些球除标号外都相同． (1)将球搅匀，从中任意摸出1个球，摸到标号为2的球的概率是___________； (2)将球搅匀，从中任意摸出1个球，记录标号后不放回，再从袋子中任意摸出1个球，记录标号．求两次摸到的球标号均小于3的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球标号均小于3的结果有2种， ∴P(两次摸到的球标号均小于3的概率) = ． （2）解：画树状图如下 ►题型九 概率中的“放回”与“不放回”问题 41．（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次． (1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____； (2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率． （1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为， （2）解：列表如下： 甲 乙 1 2 3 4 1 － （1，2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） － （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） － （3，4） 4 （4，1） （4，2） （4，3） － 由上表可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种， ． ►题型九 概率中的“放回”与“不放回”问题 42．（2025·江苏连云港·中考真题）一只不透明的袋子中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外都相同． (1)搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是_______； (2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到白球的概率． （1）解：由题意，共有个球，搅匀后从中任意摸出1个球， 有4种等可能的结果，其中摸到红球的情况只有1种， ∴摸到红球的概率是； （2）根据题意，红球用A表示，3个白球分别用B，C，D表示，画出如下的树状图： 由图可知，共有16种等可能结果， 其中2次都摸到白球的结果有9种， P(2次都摸到白球的概率) = ． 知识01 数据的收集 1. 普查与抽样调查   概念 优缺点 举例 普查 考察全体对象的调查叫做全面调查. 优点：收集到的数据全面、准确. 缺点：一般花费多、工作量大，耗时长. 1）检测“神舟十六号”飞船的零部件. 2）了解全班50名同学每天体育锻炼的时间.   抽样调查 只抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况叫做抽样调查. 优点：调查范围小，花费少、工作量较小，省时. 缺点：抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度. 1）测试一批灯泡的使用寿命或炮弹的杀伤半径等. 2）调查某批中性笔的使用寿命. 3）了解全国中学生的视力和用眼卫生情况. 知识01 数据的收集 2. 总体、个体、样本、样本容量与简单随机抽样 分类 概念 注意事项 举例 总体 要考察的全体对象称为总体 考察一个班学生的身高，那么总体就是指这个班学生身高的全体，不能错误地理解为学生的全体为总体. 对全市2.3万名初中毕业生升学考试的数学成绩进行统计调查，为了了解这2.3万学生的数学成绩，从中抽取1000名学生的数学成绩进行统计.那么: 总体指的是2.3万名学生的数学成绩； 个体指的是每一个学生的数学成绩； 样本指的是1000名学生的数学成绩； 样本容量是1000. 个体 组成总体中的每一个考察对象 总体包含每一个个体，所有的个体组成总体 样本 被抽取的个体组成一个样本 样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，样本能够在一定程度上反映总体. 样本容量 样本中个体的数目称为样本容量 样本容量是一个数字，不带单位. 知识02 平均数、中位数、众数、方差 分类 定义 特点/意义 应用 平均数 算术平均数：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，则这n个数的平均数为，记作“”，读作“x拔”. 反映一组数据的平均水平，容易受到极端值的影响 根据两组数据的平均数评价、比较两组数据的整体水平. 加权平均数：若个数，，…，的权分别是，，…，，则叫做这个数的加权平均数. 中位数 一般地，将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数叫做这组数据的中位数.如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数. 反映一组数据的 “中等水平” 判断某个数据在某组数据中所处的位置，比中位数大,位于前50%；比中位数小,位于后50%. 众数 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 反映一组数据的 “多数水平”，只与数据出现的次数有关 常与“最受欢迎”“最满意”“最佳”有关. 知识02 平均数、中位数、众数、方差 分类 定义 特点/意义 应用 方差 设有n个数据，，…，，各个数据与平均数的差的平方分别是，我们用这些值的平均数: 来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作 . 方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 在平均数相同的情况下,比较两组数据的稳定性. 知识03 频数与频率 频数： 某组数据出现的次数称为这组数据的频数，各组的频数之和等于数据总数. 频率： 频数与数据总数的比值（或者百分百）称为这组数据的频率，即. 知识04 统计图/表的分析 类型 图示 特点 扇形统计图 1）各百分比之和为1； 2）扇形圆心角的度数=该部分所占百分比×360°； 3）特点：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比. 条形统计图   1）能清楚地表示出各部分的具体数目； 2）各部分数量之和等于抽样数据总数(样本容量). 折线统计图   1）能清楚地反映事物的变化情况.   频数分布表 1）各组频率之和等于1 频数分布直方图   1）能清晰、直观地显示各组频数的分布情况及数据的整体状况； 2）各组频数之和等于抽样数据总数(样本容量). 知识05 概率的计算 概率的计算 1.计算概率的公式： 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率， 即. 知识05 概率的计算 2.列举法求概率 1）列举法： 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，我们可通过列举试验结果的方法，分析出随机事件发生的概率，这种方法称为列举法. 2）列表法： 当事件中涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，用表格不重不漏地列出所有可能的结果，这种方法叫列表法. 3）画树状图法： 当一次试验涉及两个或两个以上因素时，可采用画树状图法不重不漏地列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式计算. 3. 用频率估计概率： 一般地，在大量重复试验中，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会稳定于某个常数p，我们称事件A发生的概率为p. 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）甲、乙两名运动员六次射击测试的成绩（单位：环）如表所示，如果两人测试成绩的中位数相同，那么“？”表示的是（　　） 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10 A．6 B．7 C．8 D．9 解：∵甲的成绩从小到大排序为6，7，8，8，9，9，共6个数据，数据个数为偶数， ∴甲成绩的中位数为第3个和第4个成绩的平均数，即， ∵两人测试成绩的中位数相同， ∴乙成绩的中位数也为8， 设？表示的成绩为环， ∵乙已知成绩从小到大排序为5，6，9，9，10， ∴不能小于6也不能大于8， ∴加入从小到大排序为5，6，，9，9，10， ∴， B 2．（2026·河北张家口·一模）如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（   ） A． B． C． D． 解：根据题意列表求和如下：   1 2 4 1 2 3 5 2 3 4 6 4 5 6 8 ∵点P经过两次运动后到达点D， ∴点P两次运动的数字和为3或8， 由表格得：共有9种等可能的结果， 其中符合题意的有3种， ∴点P经过两次运动后到达点D的概率是 D 3．（2026·安徽·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 C 解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， ∴． 4．（2026·河南周口·一模）中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张，则这两张卡片相同的概率是（　　） A． B． C． D． C 解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两张卡片相同的结果有4种， ∴这两张卡片相同的概率为． 5．（2026·山西长治·一模）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（   ） A．旅客上飞机前的安检 B．了解全班同学每周体育锻炼的时间 C．对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查 D．了解某批次灯泡的使用寿命情况 D 解：∵旅客上飞机前的安检事关安全，必须逐一检查，适合普查，排除A； ∵了解全班同学每周体育锻炼时间，调查范围小，适合普查，排除B； ∵运载火箭零部件检查事关发射安全，必须逐一检查，适合普查，排除C； ∵测试灯泡使用寿命具有破坏性，无法对整批次每一个灯泡都测试，因此最适合采用抽样调查． 6．（2026·河北沧州·一模）如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是（   ） A． B． C． D． D 解：随意投掷一枚飞镖，击中白色区域的概率是： ． 7．（2026·四川成都·一模）如图所示，将某试验结果出现的频率绘制成折线统计图，则该折线统计图最有可能刻画的是（   ） A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的频率 解：、抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； 、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是的概率为，符合题意； 、一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的概率为，不符合题意； 、准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，画树状图如下，  一共有种等可能的结果，两张牌的牌面数字之和等于的结果有种， 所以两张牌的牌面数字之和等于的概率为，不符合题意； C．一个口袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外均相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摸到白球的频率 D．准备两组相同的牌，每组三张且大小一样，三张牌的牌面数字分别是，，，从每组中各摸出一张牌，记下数字后放回，两张牌的牌面数字之和等于的频率 8．（2026·安徽阜阳·一模）某机械零件要求承受的压力为，同时承受的压强要大于．现生产出四个机械零件的表面受力面积分别为， 则从中随机同时选取两个零件，两个零件都合格的概率是______． 解：根据压强公式 ，由题意得， 当一定时，与成反比，即， 当时，，当时，， 已知四个零件的受力面积分别为， 因此合格零件是共个，不合格零件是共个． 随机同时选取两个，所有可能的结果列表如下：     两个都合格 两个都合格 一个合格 两个都合格   两个都合格 一个合格 两个都合格 两个都合格   一个合格 一个合格 一个合格 一个合格   共12种等可能的结果，其中两个零件都合格的结果共有6种， 根据概率公式，（两个零件都合格）． 解：如图，连接，∵是的中位线，∴，， ∴，同理， ∴， 同理， ∴ ， ∴， 同理，， 9．（2026·四川成都·一模）如图，给定任意四边形．进行以下操作：第一次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第二次操作：连接四边形各边中点，得到四边形；第三次操作：连接四边形各边中点，得到四边形．现向四边形内部随机投掷一枚飞镖（忽略边界情况），则飞镖命中阴影 区域（飞镖落在区域分界线时，忽略不计）的概率为_____． ∴飞镖命中阴影区域的概率为． 10．（2025·上海·二模）为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个． 类别 动点问题 二次函数 相似三角形 翻折旋转问题 认为较难人数 660 解：设抽取学生调查中认为二次函数较难的有人， 则，解得， 经检验，是该分式方程的解， 所以认为动点问题较难的同学占 ， （个）． 11．（2026·陕西宝鸡·一模）我国航天事业不断刷新纪录，重大工程成就举世瞩目，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．明明和亮亮对航天知识产生了极大兴趣，他们在中国载人航天网站了解到，航天知识分为“梦圆天路”、“飞天英雄”、“碧空天链”、“太空家园”等模块．他们决定每人都从这四个模块中随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为、、、．（两名同学的选择相互不受影响，且选每个模块的可能性均相同） (1)明明恰好选择“飞天英雄”进行学习的概率是___________； (2)用画树状图或列表的方法求出他们恰好选择不同模块的概率． （1）解：明明在“梦圆天路”“飞天英雄”“碧空天链”“太空家园”四个模块中恰好选择“飞天英雄”进行学习的概率是， 由图可得，一共有种等可能的结果，其中他们恰好选择不同模块的有种结果， 他们恰好选择不同模块的概率为． （2）解：树状图如下： 12（25-26六年级上·山东东营·期末）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，________， 并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． （1）解： 本次共调查名学生， 12（25-26六年级上·山东东营·期末）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． （2）解：扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为， 12（25-26六年级上·山东东营·期末）某中学开展“人工智能机器人知识”网上答题竞赛，对收集到的数据进行整理、描述和分析，将学生竞赛成绩的样本数据分成A，B，C，D四组进行整理（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分），如表： 组别 A B C D 成绩（x/分） 人数（人） 根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次共调查____________名学生，____________，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为____________度； (3)小明查阅到某数据中心给出的年中国跨境电商出口规模及预测图，与前一年相比，哪一年增长率最高？从图中你还能发现哪些信息？写出一条． （3）从年中国跨境电商出口规模及预测图中发现，年的同比增长率最高； 从图中还能发现，年中国跨境电商出口规模逐步增长． 15．（2026·安徽·模拟预测）“一分钟跳绳”是H市中考体育考试选考项目，某校为了解九年级男生“一分钟跳绳”训练状况，随机抽取了60名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（个） 频数 8 17 12 3 ．成绩在这组的数据是（单位：个）：170 170 170 170 171 172 172 173 173 174 174 174 根据以上信息，回答下列问题： (1)___________，这次测试成绩的中位数是___________个； (2)小明的“一分钟跳绳”测试成绩为172个，这60名九年级男生的平均成绩为个．所以小强评价说：“小明的成绩低于平均成绩，在抽取的60名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高．”你认同小强的说法吗？请说明理由． （1）解：； ∵这次测试随机抽取了60名九年级男生成绩，且， ∴这次测试成绩的中位数是成绩从小到大排列后第30名和第31名的平均数， 即; （2）解：不认同，理由如下：∵， ∴小明的测试成绩高于中位数，说明他比一半九年级所测男生成绩好． 考点二：统计与概率的创新题型 题型一情境化概率建模 题型二统计与概率的阅读理解 必备知识 命题预测 ►题型一 情境化概率建模 1．（2025·吉林长春·中考真题）长春市人民广场是中心景观类环岛型交通广场，以开阔的空间、精美的建筑和多彩的绿化而驰名．甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入人民广场，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出．用画树状图（或列表）的方法，求甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率． 解：由题意得，可画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数， 其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数有3种， ∴这甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． ►题型一 情境化概率建模 2．（2025·云南·中考真题）九年级某班学生计划到甲，乙两个敬老院开展献爱心活动，老师把该班学生分成两个小组，通过游戏方式确定去哪个敬老院．游戏规则如下：在一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2的两张卡片（除数字外，都相同），班长先从这个箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．在另一个不透明的箱子中放了分别标有数字1，2，3的三张卡片（除数字外，都相同），班长再从该箱子里任意摸出一张卡片，卡片上的数字记为．若，则组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院；若，则组学生到乙敬老院，组学生到甲敬老院． (1)用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率． （1）解：根据题意画树状图如下， 共有共种等可能的结果； （2）解：由树状图得，的结果有种， 组学生到甲敬老院，组学生到乙敬老院开展献爱心活动的概率 ． ►题型一 情境化概率建模 3．（2024·宁夏·中考真题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件． (1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？ (2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘 （转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？ （1）解：设销售扎染件，刺绣件．根据题意得， ．∴． ∵均为非负整数．∴当时，（舍去）； 当时，（舍去）；当时，； 当时，（舍去）．答：该店销售扎染3件，刺绣2件． ►题型一 情境化概率建模 3．（2024·宁夏·中考真题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件． (1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？ (2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘 （转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？ （1）解：设销售扎染件，刺绣件．根据题意得， ．∴． ∵均为非负整数．∴当时，（舍去）； 当时，（舍去）；当时，； 当时，（舍去）．答：该店销售扎染3件，刺绣2件． ►题型一 情境化概率建模 3．（2024·宁夏·中考真题）中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件． (1)某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？ (2)中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘 （转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？ （2）解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形（记为事件）的结果有3种， ∴． 答：该顾客获得纪念品的概率是． ►题型二 统计与概率的阅读理解 6．（2025·云南楚雄·模拟预测）在国务院印发的《新一代人工智能发展规划》（以下简称《规划》）中，提出了面向2030年我国新一代人工智能发展的指导思想、战略目标、重点任务和保障措施，部署构筑我国人工智能发展的先发优势，加快建设创新型国家和世界科技强国．人工智能（AI）在教育中的应用主要包括：（A）智能教学系统；（B）个性化学习内容的推荐；（C）自动批改作业；（D）虚拟实验室．将以上四种应用分别书写在材质、大小完全相同的四张卡片上，背面朝上后洗匀． (1)从四张卡片中随机抽取一张，抽到（A）智能教学系统的卡片的概率为______． (2)从四张卡片中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用画树状图法或列表法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． （1）解：从四张卡片中随机抽取一张，抽到（A）智能教学系统的卡片的概率为，  共有16种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果有4种， ∴． （2）解：画树状图如下： ►题型二 统计与概率的阅读理解 7．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环； (2)你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）； (3)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） ►题型二 统计与概率的阅读理解 7．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环； （1）解：甲队员的射击成绩为： 、、、、、、、、、， 故甲队员成绩的众数为环； 乙队员的射击成绩为：、、、、、、、、、， 乙队员成绩的中位数为环； ►题型二 统计与概率的阅读理解 7．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (2)你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）； （2）解：，， ， ， 故，，∴甲队员射击的整体水平高一些， 甲 ►题型二 统计与概率的阅读理解 7．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (2)你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）； 甲 如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为： 、、、、、、、、、、， 此时平均数为：，众数为，中位数为， 故会发生改变的统计量是平均数； 平均数 ►题型二 统计与概率的阅读理解 7．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (3)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） （3）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、， 故甲队员成绩的中位数为环，甲队员成绩的众数为环，由（2）可得， ∵丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员， ∴补全丙队员的成绩如下： 此时丙队员10次成绩的众数为、中位数为、 平均数为，均大于甲队员． 1．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． 1．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中_______， _______， _______． （1）解：甲款评分数据中“满意”的数据中出现的次数最多，众数． 乙款评分数据中、两组共有个数据， 乙款评分数据的中位数为第个和第个数据的平均数，而这两个数据分别为、，中位数． 乙款评分数据在组人数所占百分比为， 即． 1．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： (2)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数． （2）解：甲款评分数据中“非常满意”的人数占比 ， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为： （人）． 答：估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 1．（2025·广东深圳·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级： ：，：，：，：， 下面给出了部分信息： 甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款评分数据中组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．甲、乙款评分统计表： (3)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率． （3）解：画树状图为： 由树状图可知，共有种等可能的结果数，其中两人都选择同款聊天机器人的结果为种， 所以两人都选择同款聊天机器人的概率为 ． 2．（2025·内蒙古·一模）内蒙古自治区文化和旅游厅发布了10条精品旅游路线，某旅行社将其划分为四种旅游类型，具体类型划分如表． 旅游路线 品鉴美食之旅 千里风景运动之旅 金色沙漠穿越之旅 大兴安岭自驾之旅 康养休闲度假之旅 阿尔山森林之旅 现代草原发现之旅 黄河几字弯文化研学之旅 冰雪世界童话之旅 科尔沁探秘之旅 类型 A美食运动 B自然风光 C休闲度假 D文化研学 为了解民众对旅游类型的选择倾向，该旅行社从回民区随机抽取部分居民进行“最感兴趣旅游类型”调查（要求每人限选一种类型），并将调查结果绘制成如图统计图． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)估计回民区12000名居民中选择旅游类型C的人数； (2)该旅行社准备从甲、乙、丙、丁四名导游中，随机选取两人负责C类旅游路线的讲解工作，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙的概率； (3)请你根据统计图中的数据，分析呼和浩特市居民对旅游类型的选择倾向，并为该旅行社提出一条旅游车辆分配的合理化建议． （1）解：， 答：估计回民区名居民中选择旅游类型C的人数为4800名 2．（2025·内蒙古·一模）内蒙古自治区文化和旅游厅发布了10条精品旅游路线，某旅行社将其划分为四种旅游类型，具体类型划分如表． 旅游路线 品鉴美食之旅 千里风景运动之旅 金色沙漠穿越之旅 大兴安岭自驾之旅 康养休闲度假之旅 阿尔山森林之旅 现代草原发现之旅 黄河几字弯文化研学之旅 冰雪世界童话之旅 科尔沁探秘之旅 类型 A美食运动 B自然风光 C休闲度假 D文化研学 为了解民众对旅游类型的选择倾向，该旅行社从回民区随机抽取部分居民进行“最感兴趣旅游类型”调查（要求每人限选一种类型），并将调查结果绘制成如图统计图． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)估计回民区12000名居民中选择旅游类型C的人数； (2)该旅行社准备从甲、乙、丙、丁四名导游中，随机选取两人负责C类旅游路线的讲解工作，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙的概率； (3)请你根据统计图中的数据，分析呼和浩特市居民对旅游类型的选择倾向，并为该旅行社提出一条旅游车辆分配的合理化建议． （2）解：画树状图如下：  由树状图可知，共有种等可能性结果，其中恰好选中甲、乙的结果有种， ∴恰好选中甲、乙的概率为； 2．（2025·内蒙古·一模）内蒙古自治区文化和旅游厅发布了10条精品旅游路线，某旅行社将其划分为四种旅游类型，具体类型划分如表． 旅游路线 品鉴美食之旅 千里风景运动之旅 金色沙漠穿越之旅 大兴安岭自驾之旅 康养休闲度假之旅 阿尔山森林之旅 现代草原发现之旅 黄河几字弯文化研学之旅 冰雪世界童话之旅 科尔沁探秘之旅 类型 A美食运动 B自然风光 C休闲度假 D文化研学 为了解民众对旅游类型的选择倾向，该旅行社从回民区随机抽取部分居民进行“最感兴趣旅游类型”调查（要求每人限选一种类型），并将调查结果绘制成如图统计图． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)估计回民区12000名居民中选择旅游类型C的人数； (2)该旅行社准备从甲、乙、丙、丁四名导游中，随机选取两人负责C类旅游路线的讲解工作，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙的概率； (3)请你根据统计图中的数据，分析呼和浩特市居民对旅游类型的选择倾向，并为该旅行社提出一条旅游车辆分配的合理化建议． （3）解：由条线统计图可知，选择的居民较多， 选择旅游的车辆按照：分配． 3．（2025·江苏连云港·二模）小明和他所在的数学社团利用周末时间开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的综合实践活动． 【随机抽样】该社团从社区里收集了一些杨树叶和桃树叶，并从中分别随机选取了两种树叶各10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比． 【整理数据】该社团将获得的长宽比用折线统计图整理如下： 【数据分析】该社团数据分析如表：   平均数 中位数 众数 极差 杨树叶长宽比 2.3 2.3 a 桃树叶长宽比 b 1.8 1.8 0.4 【问题解决】请解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)小丽收集到一片树叶长为，宽为，请你通过计算判断它最可能是杨树叶还是桃树叶； (3)该社团本次活动收集到的杨树叶和桃树叶共100片，其中杨树叶和桃树叶数量相等．请估计其中长宽比在之间的有多少片． 3．（2025·江苏连云港·二模）小明和他所在的数学社团利用周末时间开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的综合实践活动． 【随机抽样】该社团从社区里收集了一些杨树叶和桃树叶，并从中分别随机选取了两种树叶各10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比． 【整理数据】该社团将获得的长宽比用折线统计图整理如下： 【数据分析】该社团数据分析如表：   平均数 中位数 众数 极差 杨树叶长宽比 2.3 2.3 a 桃树叶长宽比 b 1.8 1.8 0.4 【问题解决】请解决下列问题： (1)填空：______，______； 1）解：杨树叶长宽比的极差， 桃树叶长宽比重新排列为， 所以桃树叶的平均数， 0.3 1.74 3．（2025·江苏连云港·二模）小明和他所在的数学社团利用周末时间开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的综合实践活动． 【随机抽样】该社团从社区里收集了一些杨树叶和桃树叶，并从中分别随机选取了两种树叶各10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比． 【整理数据】该社团将获得的长宽比用折线统计图整理如下： 【数据分析】该社团数据分析如表：   平均数 中位数 众数 极差 杨树叶长宽比 2.3 2.3 a 桃树叶长宽比 b 1.8 1.8 0.4 【问题解决】请解决下列问题： (2)小丽收集到一片树叶长为，宽为，请你通过计算判断它最可能是杨树叶还是桃树叶； （2）解：， 所以这片树叶可能是杨树叶； 3．（2025·江苏连云港·二模）小明和他所在的数学社团利用周末时间开展了“利用树叶特征对树木进行分类”的综合实践活动． 【随机抽样】该社团从社区里收集了一些杨树叶和桃树叶，并从中分别随机选取了两种树叶各10片，通过测量它们长和宽（单位：）的数据后，再计算了它们的长宽比． 【整理数据】该社团将获得的长宽比用折线统计图整理如下： 【数据分析】该社团数据分析如表：   平均数 中位数 众数 极差 杨树叶长宽比 2.3 2.3 a 桃树叶长宽比 b 1.8 1.8 0.4 【问题解决】请解决下列问题： (3)该社团本次活动收集到的杨树叶和桃树叶共100片，其中杨树叶和桃树叶数量相等．请估计其中长宽比在之间的有多少片． （3）解：由统计图可知： （片）， 答：估计其中长宽比在之间的有65片． 4．（2025·甘肃定西·一模）如图，有一电路AB是由图示的开关控制，闭合a、b、c、d、e五个开关中的任意两个开关． (1)请用列表或画树状图的方法，列出所有可能的情况； (2)求出使电路形成通路的概率．   a b c d e a   b   c   d   e   （1）解：列表如下： （2）根据题意，形成通路的可能有：，，，，，，，，，，，共12种， ∴使电路形成通路的概率是． 5．（2025·江西吉安·二模）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下： 甲运动员得分：13，51，33，8，26，38，m，36，24，43，49 乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25 用茎叶图表示如图： 茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况． (1)______________，______________； (2)甲运动员得分的中位数为______________；乙运动员得分的众数为______________； (3)分别计算甲、乙运动员的平均分，并说明哪个运动员的成绩更好？ （1）解：对于甲运动员的得分， 茎为的叶有、、， 缺失的个位数字是，． 对于乙运动员的得分， 茎为的叶有、， ． （2）甲的得分按从小到大排列：8、13、24、26、33、36、38、43、48、49、51（共11个数据）． 中位数是第个数据，即36． 乙的数据中31出现次数最多， 众数是31． 48 9 31 36 5．（2025·江西吉安·二模）我们知道，频数分布直方图能够帮助我们理解样本数据，除此之外，统计中还有用来表示数据的图叫做茎叶图．某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的记录如下： 甲运动员得分： 13，51，33，8，26，38，m，36，24，43，49 乙运动员得分： 49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25 用茎叶图表示如图： 茎是指中间的一列数，表示得分的十位数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，表示得分的个位数在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始的所有数据，方便随时记录，而且能够展示数据的分布情况． (1)______________，______________； (2)甲运动员得分的中位数为______________；乙运动员得分的众数为______________； (3)分别计算甲、乙运动员的平均分，并说明哪个运动员的成绩更好？ （3）甲运动员的平均分： 乙运动员的平均分： 因为，所以甲运动员的成绩更好． 甲的平均分为，乙的平均分为，甲运动员成绩更好． 48 9 31 36 $