山东济宁市泗水县2025-2026学年第二学期期中质量检测高一数学试题

泗水县2025-2026学年第二学期期中质量检测 高一数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 已知向量，若，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 4 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的底面半径为，且此圆锥的内切球体积为，则圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点，若，，则的最小值（ ） A. B. C. D. 8. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，6根等长的正四棱柱体分成3组，经榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为（ ）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留）． A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 非零向量和满足，则与的夹角为 B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若，则在方向上的投影向量的模为 D. 若，与共线的单位向量坐标为 10. 已知，下列说法中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或 D. 若，则 11. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最大值为 D. 若，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，的夹角为，，，则________. 13. 我国许多地方都有风格迥异的古塔.现在在某塔底共线三点处分别测得塔顶P点的仰角为，，，且，设该塔高为，示意图如图，则该塔高________m. 14. 已知点在以为圆心，3为半径的圆上，且，则的取值范围__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，且，a为实数. （1）求实数a的值； （2）若z为纯虚数，复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数b的取值范围. 16. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若为锐角，边上的中线，求的面积最大值． 17. 圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. （1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； （2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求C的值. （2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r. （i）若，，求的周长； （ii）求的最大值. 19. 如图，设是由个实数组成的n行n列的数表，其中表示位于第i行第j列的实数，且． 记向量，若，则称与为正交向量．若对任意不同的，都有与为正交向量，则称为正交数表． （1）直接判断，是否为正交数表（不需要说明理由）； （2）当时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量； （3）求证：对任意，当时，不是正交数表． 泗水县2025-2026学年第二学期期中质量检测 高一数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】60 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）或 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）， 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）30（ii） 【19题答案】 【答案】（1）是正交数表，不是正交数表; （2） 设,， 由与为正交向量，与为正交向量，得 且.其中,. 故不妨设,, 则, 即,所以与不是正交向量. （3） 因为,所以的最小值为.因此我们可以从数表中选出三个不同的行向量，不妨设为. 若为正交数表，则有. 且若为正交数表，可得如下变换成立， 变换1：交换正交数表的任意两行，所得的新数表仍是正交数表； 变换2：交换正交数表的任意两列，所得的新数表仍是正交数表； 变换3：将正交数表的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表仍是正交数表． 因此我们将第一行的所有元素都变成1，即假设， 由得，在中，和的数量相等，即有个和； 同样地，中也有有个和.现在考虑. 我们将乘积值的情况分成四类： ①,设数量为; ②,设数量为; ③,设数量为; ④,设数量为. 且. 根据中有个和，,同样根据中有个和，. 所以得，从而有. 故有，所以，即正交数表的行列数必须是的倍数. 所以时必不成立.命题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $