专项12 特殊四边形的性质和判定7大题型（大题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 以“性质判定-模型构建-综合应用”为主线，系统提炼矩形、菱形、正方形的解题技法，覆盖折叠、旋转等中考热点题型，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |矩形性质判定|1典例+2变式|性质活用（对角线、直角）、判定路径（平行四边形+直角/对角线等）、辅助线（中位线、对称）|从边/角/对角线性质到折叠动点综合，结合勾股定理建模| |菱形性质判定|1典例+2变式|性质（四边等、对角线垂直）、判定（平行四边形+邻边等/对角线垂直）、方程思想（设对角线求面积）|从菱形特殊性到与相似、三角函数综合，强化方程计算| |正方形性质判定|1典例+2变式|性质整合（矩形+菱形）、模型（K型全等、手拉手）、旋转构造|从正方形性质到旋转综合压轴，培养空间观念与创新意识| |折叠/旋转/新定义|各1典例+2变式|折叠找等量、旋转三要素、新定义转化|从图形变换到跨板块融合，提升数学语言表达与问题解决能力|

专项12 特殊四边形的性质和判定 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年中考，特殊四边形（矩形、菱形、正方形）为必考核心内容，分值约12-18分。题型覆盖选择、填空、解答，考查性质判定、折叠变换、动点最值及与相似三角形的综合。矩形考查频率最高，菱形次之，正方形难度最大。解答题常作为几何压轴，融合三角形全等、相似等知识，强调模型识别与综合推理能力。 ## 全国2026年命题趋势分析 2026年命题将延续“基础+综合+压轴”的格局。首先，基础题仍以特殊四边形的性质判定辨析为主，常见于选择填空，考查对边、角、对角线、对称性等基本要素的理解。 其次，解答题将继续强化折叠与动点背景下的综合问题。折叠问题侧重利用勾股定理和相似三角形建立方程求线段长；动点问题常与“将军饮马”最值模型或“手拉手”旋转模型结合，考查分类讨论思想。 第三，跨板块融合趋势明显。矩形、菱形、正方形与相似三角形、锐角三角函数、圆的综合题将频繁出现在压轴位置，尤其是“十字模型”和“一线三等角”在四边形背景下的运用。此外，创新作图题（仅用无刻度直尺在特殊四边形中作图）在部分考区已出现，需关注几何作图的推理要求。 最后，含参问题与存在性问题的考查力度可能加大，要求学生根据条件先确定参数范围再求解，进一步提升代数与几何的综合运用能力。 ## 全国2026年预测 2026年中考，矩形、菱形、正方形的性质判定仍为解答题热点，需熟练掌握对角线、对称性等核心性质。折叠与动点最值问题必考，常结合勾股定理和相似三角形求解。正方形背景的旋转综合题难度较大，可能作为压轴题出现。备考应强化模型识别能力，重点训练“十字模型”和构造辅助线技巧。 题型01 矩形的性质和判定综合问题 析典例·建模型 1．（2026·北京西城·一模）如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点F是的中点，，求的长． 研考点·通技法 1. 灵活运用性质 矩形对角相等且互补（均为90°），对角线相等且互相平分。遇对角线可证等腰三角形；利用直角得勾股定理求边长；结合折叠问题，注意对应边相等、角相等。 2. 判定方法选择 优先证平行四边形再加条件：有一个角是直角或对角线相等。若已知直角较多，直接证三个角为直角。注意菱形加直角得矩形，或对角线相等且互相平分。 3. 构造辅助线 遇中点连接构造中位线或斜边中线；求线段和最小值作对称点；矩形翻折时作垂直证全等。设未知数表示边长，利用勾股或面积法列方程，最终检验点是否在边上。 破类题·提能力 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 2．（2026·四川南充·一模）如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一点（不与，重合），交于点，，．    (1)若，求证：； (2)当点在边上运动时，求的最大值； (3)如图2，连接，当时，求的值． 题型02 菱形的性质和判定综合问题 析典例·建模型 1．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 研考点·通技法 1. 活用菱形性质 菱形四边相等，对角线互相垂直平分且平分内角。遇对角线可构造直角三角形（边长、半对角线、高），常用勾股定理求边长或面积（S =× d1×d2）。 2. 判定方法选择 先证平行四边形，再加邻边相等或对角线垂直；或直接证四边相等。若已知角等，可证等边三角形得菱形。注意矩形加邻边相等得正方形，区分菱形。 3. 构造与计算 作菱形的高或连接对角线，将问题转化为三角形全等或相似。设未知数列方程（如设边长为a，对角线为2x, 2y，有a2 = x2+ y2）。最后检验角平分线是否对应正确。 破类题·提能力 1．（2026·上海崇明·二模）如图，已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)点是边上一点，与相交于点，若，求证：． 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． (1)如图①，若点与线段的中点重合，求并说明线段与线段的位置关系； (2)如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 题型03 正方形的性质和判定综合问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）在矩形中，为正方形，点G在射线上，，过A作交于点H，过H作交于点P，连接交于点Q． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，若Q为的中点，求的长． 研考点·通技法 1. 整合性质解题 正方形兼具矩形（四角90°、对角线相等）与菱形（四边相等、对角线垂直平分且平分内角）。遇对角线得等腰直角三角形（45°），常用勾股定理或三角函数求边长、面积（S = a2）。 2. 判定路径选择 优先判定矩形+邻边相等，或菱形+一个角为直角。也可直接证四边相等且四角相等。注意对角线互相垂直平分且相等也可得正方形。 3. 模型与辅助线 遇中点、垂直或旋转，常构造“K型”全等或“手拉手”模型。正方形翻折时，设未知数利用勾股列方程。求最值可作对称点。最后验证点是否在边上，结论是否合理。 破类题·提能力 1．（2026·湖北武汉·一模）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且，连接交于点． (1)如图（1），求证：； (2)连接． ①如图（2），若平分，求证：； ②如图（3），连接，若平分，直接写出的值． 2．（2026·山东济宁·一模）感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值． (1)【感知模型】如图1，已知．求证：； (2)【应用模型】如图2，四边形是正方形，点E和点F分别是边，上的动点，且，过点F作，交边于点G，垂足为O，连接．试判断的形状，并证明你的猜想（方法不唯一）； (3)【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作，垂足为P，连接．求的度数； (4)【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长交边于点Q，连接．若为等腰直角三角形，请直接写出的值． 题型04 特殊四边形中尺规作图中证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·广东中山·一模）在矩形中，连接． (1)如图，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若，，求的长． 研考点·通技法 1. 理解作图步骤 明确尺规作图的具体操作（如作垂直平分线、角平分线、过点作垂线）。分析作图结果在特殊四边形中产生的点、线关系（如中点、等角、对称点）。 2. 证明作图结论 根据作图性质（如中垂线得等腰、角平分线得等角），结合特殊四边形性质（矩形对角线相等、菱形对角线垂直）证全等或相似，得出边等、角等或平行关系。 3. 计算线段或角度 将作图产生的点视为已知条件，设未知数表示边长，利用勾股定理、三角函数或面积法列方程。注意尺规作图隐含的特殊点（如重心、内心），最后检验是否符合作图规范。 破类题·提能力 1．（2026·河南周口·一模）如图，在正方形中，是边上一点，于点． (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 题型05 特殊四边形中折叠问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，矩形中，，，点P在边上，且不与点B，点C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 研考点·通技法 1. 找等量关系 折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等。折痕垂直平分对应点的连线。根据这些性质，标出图中相等的边和角，设未知数表示相关线段。 2. 构造直角三角形 将已知边和设出的未知边集中到一个直角三角形中（常用矩形、正方形一角为90°），利用勾股定理列方程求解。注意折叠后点的位置变化（如落在边上、对角线上）。 3. 分类讨论与检验 若折叠方式不确定（如点落在不同边上），分情况讨论，分别画图求解。解出未知数后，验证是否满足原始边长范围（如线段长非负且不超过原边长）。最后作答时明确折叠方式。 破类题·提能力 1．（2026·甘肃天水·二模）如图，在正方形中，，M为上的一动点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，与的延长线交于点N． (1)如图1，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折得到，连接，试探究在点M移动的过程中，的面积是否发生变化．若发生变化，请求出的面积的最小值；若不发生变化，请求出的面积． 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，点F在线段上，连接，．当时，求四边形的面积． 2．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 题型06 特殊四边形中旋转问题 析典例·建模型 1．（2026·福建泉州·三模）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 (1)连接，直线分别交于点E、G，交于点，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 研考点·通技法 1. 明确旋转三要素 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。对应点到旋转中心距离相等，对应点与中心连线夹角等于旋转角。利用这些性质找出旋转前后的全等三角形或相等线段、角。 2. 构造手拉手模型 若旋转共顶点（如正方形顶点），常出现“手拉手”全等或相似。连接对应点，证新三角形全等，转化边角关系。注意旋转角为特殊角（90°、60°）时可导角。 3. 设未知数列方程 设旋转后某点坐标或线段长为未知数，利用勾股定理、全等三角形对应边相等或旋转角三角函数列方程。解出后验证点位置是否在原四边形内，并考虑多解（如顺时针/逆时针旋转）。 破类题·提能力 1．（2026·甘肃平凉·一模）解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板，）的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． 操作发现 （1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为_____； 类比探究 （2）若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号：）； 拓展应用 （3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为（设） 将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出图2和图3情况下的阴影面积（分别用含的式子表示）． 题型07 特殊四边形中新定义型问题 析典例·建模型 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形叫作“和谐四边形”，把这条对角线叫作这个四边形的“和谐线”． (1)如图1，在四边形中，平分，求证：四边形是“和谐四边形”： (2)如图2，在中，，，在平面内找一点D，使得以点A，B，组成的四边形是满足的“和谐四边形”，且为和谐线，请直接写出所有满足条件的的度数． 研考点·通技法 1. 解读定义，转化条件 圈出新定义的关键词（如“等角点”、“倍长边”），结合特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的性质，将其转化为数学表达式（如距离相等、角度关系、比例式）。 2. 分类讨论对应位置 新定义中顶点对应或点的位置可能不确定（如在边上、对角线上），需按不同情况画图分类讨论。利用全等、相似或勾股定理列出方程求解。 3. 验证解的存在性 解出的参数需满足定义中的限制条件（如点在四边形内部、线段非负）。代入原图验证是否与特殊四边形性质矛盾（如菱形对角线垂直），并判断是否有多解或需要舍去。 破类题·提能力 1．（2026·内蒙古·模拟预测）【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 (1)如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边， 和， 之间的数量关系； 【理解运用】 (2)已知四边形是垂美四边形，，，，则 ． 【变式探究】 (3)如图2，矩形与矩形，，，，，当、、三点共线时，求的长． (4)将（3）中矩形绕点逆时针旋转，当 最大时，求的长． 2．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）． ①矩形  ②正方形  ③菱形  ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究． ①如图1，“豫式四边形”中，，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； ②如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为“豫式四边形”； (3)拓展应用 如图3，中，，在直线的右上方存在点D，使得四边形为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为时，请直接写出的长． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 2．（2026·河北石家庄·一模）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． (1)尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． (2)求的度数与的长． 3．（2026·湖南·模拟预测）在矩形中，，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以，为边作矩形，连接线段，线段与对角线交于点． (1)求证； (2)求； (3)当时，求的长度． 4．（2026·广东珠海·一模）定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； (3)如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 5．（2026·辽宁锦州·一模）【基本探究】 如图1，为正方形的边右侧一点，连接分别交边，对角线于点． (1)求证：； (2)连接，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图2，在正方形中，为的中点，交于点，将沿翻折得到，连接交于点，连接．若，求的长． 6．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 7．（2025·河南开封·一模）新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O，． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交边于点E，交边 于 点 F，  如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是的 ； ② ． 【迁移探究】 如图（3），平分，点 P 在上，点E，D 分别是，上的动点，且，当点D，E 分别在， 上运动时，试判断四边形的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由． 【拓展应用】 如图（4），平行四边形中 ，，，，点E为边上一点，且平分， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在上时，点F 恰好为的三等分点，请直接写出m 的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项12 特殊四边形的性质和判定 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 近五年中考，特殊四边形（矩形、菱形、正方形）为必考核心内容，分值约12-18分。题型覆盖选择、填空、解答，考查性质判定、折叠变换、动点最值及与相似三角形的综合。矩形考查频率最高，菱形次之，正方形难度最大。解答题常作为几何压轴，融合三角形全等、相似等知识，强调模型识别与综合推理能力。 ## 全国2026年命题趋势分析 2026年命题将延续“基础+综合+压轴”的格局。首先，基础题仍以特殊四边形的性质判定辨析为主，常见于选择填空，考查对边、角、对角线、对称性等基本要素的理解。 其次，解答题将继续强化折叠与动点背景下的综合问题。折叠问题侧重利用勾股定理和相似三角形建立方程求线段长；动点问题常与“将军饮马”最值模型或“手拉手”旋转模型结合，考查分类讨论思想。 第三，跨板块融合趋势明显。矩形、菱形、正方形与相似三角形、锐角三角函数、圆的综合题将频繁出现在压轴位置，尤其是“十字模型”和“一线三等角”在四边形背景下的运用。此外，创新作图题（仅用无刻度直尺在特殊四边形中作图）在部分考区已出现，需关注几何作图的推理要求。 最后，含参问题与存在性问题的考查力度可能加大，要求学生根据条件先确定参数范围再求解，进一步提升代数与几何的综合运用能力。 ## 全国2026年预测 2026年中考，矩形、菱形、正方形的性质判定仍为解答题热点，需熟练掌握对角线、对称性等核心性质。折叠与动点最值问题必考，常结合勾股定理和相似三角形求解。正方形背景的旋转综合题难度较大，可能作为压轴题出现。备考应强化模型识别能力，重点训练“十字模型”和构造辅助线技巧。 题型01 矩形的性质和判定综合问题 析典例·建模型 1．（2026·北京西城·一模）如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）证明，得到，进而利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：∵点F是的中点， ， ∵平分， ， ，， ， ， 在中，， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ． 研考点·通技法 1. 灵活运用性质 矩形对角相等且互补（均为90°），对角线相等且互相平分。遇对角线可证等腰三角形；利用直角得勾股定理求边长；结合折叠问题，注意对应边相等、角相等。 2. 判定方法选择 优先证平行四边形再加条件：有一个角是直角或对角线相等。若已知直角较多，直接证三个角为直角。注意菱形加直角得矩形，或对角线相等且互相平分。 3. 构造辅助线 遇中点连接构造中位线或斜边中线；求线段和最小值作对称点；矩形翻折时作垂直证全等。设未知数表示边长，利用勾股或面积法列方程，最终检验点是否在边上。 破类题·提能力 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，，，点是对角线上一点，交于点． (1)若，求的长； (2)若点在上运动，试探究的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请说明理由； (3)线段的最小值是___________． 【答案】(1) (2)不变， (3) 【分析】（1）连接，先证明，得到，进而得到，根据同角的余角相等可得，则，列式计算即可； （2）过点作，交于，交于，易证，再证明，即可得到的比值； （3）根据的比值不变，故当线段取最小值时，线段取最小值，根据垂线段最短可得，当时，取最小值，然后根据等面积法求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是矩形，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， （2）解：如图，过点作，交于，交于，则四边形是矩形， ，即， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 设，则，，， ， 即的比值不变，为； （3）解：由（2）可知，，即， 当线段取最小值时，线段取最小值， 根据垂线段最短可得，当时，取最小值，此时点与点重合，如图所示， 在中，， ， ， 即线段的最小值是． 2．（2026·四川南充·一模）如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一点（不与，重合），交于点，，．    (1)若，求证：； (2)当点在边上运动时，求的最大值； (3)如图2，连接，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的长为2或4 【分析】（1）利用一线三垂直模型，证明，从而得出； （2）根据勾股定理和一元二次函数模型求的最大值； （3）利用三角函数定义以及相似三角形的性质构建分式方程求解线段的值． 【详解】（1）证明：点是的中点，，． ∴． ， ， ． 四边形是矩形， ， ． ， ， ． 在和中， ， ． （2）解：设，则， 由（1）知：， ， ， ， ， 当时，． （3）解：如图，设的中点为点，过点作交于点，在上截取，连接，以点为圆心为半径作，交于点，连接，．   是的中点，, 是的垂直平分线， ， 在上． ． ，， ， ． 在中，， ． 即当时，点为交的交点． ， 四边形是矩形， ，． ， ， 又， ， ， ． 设，则． 由（2）知：． ， ． 整理得：， 解得或． 经检验：或都是原方程的根． 或． 或，即的长为或． 题型02 菱形的性质和判定综合问题 析典例·建模型 1．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）因为平分，所以可得一组相等的角，结合上述平行线的角的关系，可推出；因为，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，． ∵，的周长为18， ∴，则． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 研考点·通技法 1. 活用菱形性质 菱形四边相等，对角线互相垂直平分且平分内角。遇对角线可构造直角三角形（边长、半对角线、高），常用勾股定理求边长或面积（S =× d1×d2）。 2. 判定方法选择 先证平行四边形，再加邻边相等或对角线垂直；或直接证四边相等。若已知角等，可证等边三角形得菱形。注意矩形加邻边相等得正方形，区分菱形。 3. 构造与计算 作菱形的高或连接对角线，将问题转化为三角形全等或相似。设未知数列方程（如设边长为a，对角线为2x, 2y，有a2 = x2+ y2）。最后检验角平分线是否对应正确。 破类题·提能力 1．（2026·上海崇明·二模）如图，已知四边形是平行四边形，点是对角线上一点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)点是边上一点，与相交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接交于点，利用等腰三角形的性质证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，证明，推出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是菱形； （2）证明：， ， 由（1）知，四边形是菱形； ，， ， ， ， ． 2．（2026·湖北十堰·模拟预测）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． (1)如图①，若点与线段的中点重合，求并说明线段与线段的位置关系； (2)如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 【答案】(1)， (2)，理由见解析； (3)的长为或. 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）解：如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或． 题型03 正方形的性质和判定综合问题 析典例·建模型 1．（2026·浙江·模拟预测）在矩形中，为正方形，点G在射线上，，过A作交于点H，过H作交于点P，连接交于点Q． (1)求证：四边形是正方形． (2)已知，若Q为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）根据已知的、和，可得四边形的三个内角均为，因此它是矩形，利用正方形的性质，通过同角的余角相等推出，从而证明，得到邻边相等，即可解答； （2）由，结合是中点，可证，得，设，则，因此．在中，由，证，得．由（1）知，在中，，联立方程．解方程并取舍即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴ ∴四边形是矩形． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴ ∴． 在和中 ∴， ∴， ∴四边形是正方形． （2）解：设， 四边形是正方形，四边形是矩形， ，即． ． 为中点， ． 在和中： ． ． ，， ． ，， ， ， ， ． ，四边形为正方形， ，， ． 由（1）可知， ． 在中， ． ， 整理得：， 解得（舍去），． ． 研考点·通技法 1. 整合性质解题 正方形兼具矩形（四角90°、对角线相等）与菱形（四边相等、对角线垂直平分且平分内角）。遇对角线得等腰直角三角形（45°），常用勾股定理或三角函数求边长、面积（S = a2）。 2. 判定路径选择 优先判定矩形+邻边相等，或菱形+一个角为直角。也可直接证四边相等且四角相等。注意对角线互相垂直平分且相等也可得正方形。 3. 模型与辅助线 遇中点、垂直或旋转，常构造“K型”全等或“手拉手”模型。正方形翻折时，设未知数利用勾股列方程。求最值可作对称点。最后验证点是否在边上，结论是否合理。 破类题·提能力 1．（2026·湖北武汉·一模）如图，在正方形中，E，F分别为边上的点，且，连接交于点． (1)如图（1），求证：； (2)连接． ①如图（2），若平分，求证：； ②如图（3），连接，若平分，直接写出的值． 【答案】(1)见详解 (2)①见详解② 【分析】（1）结合正方形的性质，证明，再进行角的等量代换，即可作答． （2）①由（1）得，且结合正方形的性质，得出，故四点共圆，再运用圆周角定理得 ，故是等腰直角三角形，结合，故； ②设，结合正方形的性质证明，再得出四边形是矩形，，，同理证明，即，因为平分，得，再把数值代入，整理得，运用公式法解得，再代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 即； （2）解：①由（1）得， 即 ∵平分， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四点共圆，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ②设， 过点作，过点作，过点作的延长线，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴ ∴ 由（1）得， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理证明， ∴，， 则， ∵平分， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， ∴， 则， 则（舍去）， 与①同理得四点共圆，如图所示： ∵ ∴ ∴， ∵ 则 ∵， ∴． 2．（2026·山东济宁·一模）感知、应用、深化模型，利用已知条件进行拓展延伸求值． (1)【感知模型】如图1，已知．求证：； (2)【应用模型】如图2，四边形是正方形，点E和点F分别是边，上的动点，且，过点F作，交边于点G，垂足为O，连接．试判断的形状，并证明你的猜想（方法不唯一）； (3)【深化模型】如图3，在【应用模型】的条件下，过点F作，垂足为P，连接．求的度数； (4)【拓展延伸】如图4，在【深化模型】的条件下，延长交边于点Q，连接．若为等腰直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)证明见详解 (2)是等腰直角三角形，证明见详解 (3) (4)或 【分析】（1）利用相似三角形的性质得出，，再利用角度和差关系推出，从而证得结论； （2）过点F作交于点H，交于点K，连接，，利用正方形的性质结合直角三角形两锐角互余证明，，，结合已知条件证明是等腰直角三角形，得到，从而证得结论； （3）利用圆内接四边形和圆周角定理即可求得结果； （4）根据已知条件，由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆，此时分情况讨论：①当点Q在中点时；②当点Q与点D重合时；利用正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理设未知数，表示出相关线段的表达式，最终利用正切的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． （2）解：是等腰直角三角形， 证明：如图，过点F作交于点H，交于点K，连接，， 在正方形中，，， ∵， ∴且， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：∵， ∴点A，B，O，F四点共圆， ∴为直径， ∵， ∴点P在圆上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （4）解：∵，， ∴， 由定弦定角可知，点B，P，O，F四点共圆， 由题意知，此时分情况讨论： ①如图，当点Q在中点时，过点Q作交于点M， 易证得：四边形是矩形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵点Q为的中点， ∴， ∴， 同理可证得：四边形是正方形， ∵为四边形是正方形的对角线， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 此时点F，P分别在，的中点， 设正方形的边长为， ∴， 过点O作交于点N， ∵， ∴点O为正方形对角线的中点， ∴， ∴， 在中，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴； ②如图，当点Q与点D重合时，则点E也与点D重合， 此时点F与点A重合，点P与点B重合，点G与点C重合， ∴点O为正方形对角线中点， ∴为等腰直角三角形，即为等腰直角三角形， ∴， 综上所述，或． 题型04 特殊四边形中尺规作图中证明与计算 析典例·建模型 1．（2026·广东中山·一模）在矩形中，连接． (1)如图，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)． 【分析】（1）作的垂直平分线交于P，点P即为所求； （2）设，则，由勾股定理可得​，证明，再由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，点P即为所作； 由作图可得：， ∴； （2）解：如图， 由（1）得，， ∵ 四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ 解得． 研考点·通技法 1. 理解作图步骤 明确尺规作图的具体操作（如作垂直平分线、角平分线、过点作垂线）。分析作图结果在特殊四边形中产生的点、线关系（如中点、等角、对称点）。 2. 证明作图结论 根据作图性质（如中垂线得等腰、角平分线得等角），结合特殊四边形性质（矩形对角线相等、菱形对角线垂直）证全等或相似，得出边等、角等或平行关系。 3. 计算线段或角度 将作图产生的点视为已知条件，设未知数表示边长，利用勾股定理、三角函数或面积法列方程。注意尺规作图隐含的特殊点（如重心、内心），最后检验是否符合作图规范。 破类题·提能力 1．（2026·河南周口·一模）如图，在正方形中，是边上一点，于点． (1)尺规作图：过点作的垂线，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作图的方法作出图形即可； （2）利用证明，得到，，据此计算即可证明结论成立． 【详解】（1）解：所作图形如图所示， ； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 2．（2026·福建泉州·一模）如图，在菱形中，． (1)求作正方形，使得点E，F在对角线上，且点在点的左边；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在（1）的条件下，是的中点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点O，以为半径，点O为圆心作圆交于点E和点F，再作四边形即可．根据作图可知，，则四边形是正方形； （2）利用勾股定理求出，取的中点N，连接，可知利用中位线定理求出和，并证明，继而求出，再用勾股定理求即可． 【详解】（1）解：如下图所示，正方形即为所求作的正方形， （2）解：取的中点N，连接， 由作图可知： ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， 又∵点N是的中点，是的中点， ∴，， ∴ ∴，． 题型05 特殊四边形中折叠问题 析典例·建模型 1．（2026·安徽阜阳·二模）如图，矩形中，，，点P在边上，且不与点B，点C重合，直线与的延长线交于点E． (1)当点是的中点时，求证：； (2)将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析，；②12 【分析】（1）根据矩形的性质得，可得，，利用即可得出结论； （2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出，等角对等边即可得，设，则，，在中，由勾股定理得，即； ②可得的周长，当点恰好位于对角线上时，最小，在中，由勾股定理得，则的最小值，即可得周长的最小值． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， 点是的中点， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， 在矩形中，，， ， 点是的中点， ， 由折叠得，，， 设，则， ， 在中，， ， 解得， 即； ②由折叠得， ， 的周长， 连接， ， 当点恰好位于对角线上时，最小， 在中，，， ， 的最小值， 周长的最小值． 研考点·通技法 1. 找等量关系 折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等。折痕垂直平分对应点的连线。根据这些性质，标出图中相等的边和角，设未知数表示相关线段。 2. 构造直角三角形 将已知边和设出的未知边集中到一个直角三角形中（常用矩形、正方形一角为90°），利用勾股定理列方程求解。注意折叠后点的位置变化（如落在边上、对角线上）。 3. 分类讨论与检验 若折叠方式不确定（如点落在不同边上），分情况讨论，分别画图求解。解出未知数后，验证是否满足原始边长范围（如线段长非负且不超过原边长）。最后作答时明确折叠方式。 破类题·提能力 1．（2026·甘肃天水·二模）如图，在正方形中，，M为上的一动点，连接，将绕点A按顺时针方向旋转，与的延长线交于点N． (1)如图1，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，将沿翻折得到，连接，试探究在点M移动的过程中，的面积是否发生变化．若发生变化，请求出的面积的最小值；若不发生变化，请求出的面积． 【拓展延伸】 (3)如图3，在（2）的条件下，点E在线段上，点F在线段上，连接，．当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积不变，其值为18 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质证明，即可解答； （2）过点N作，垂足为Q．由得出，进而得到，从而证明，得到，根据三角形的面积得到，即可解答； （3）由得到，根据翻折的性质得到，，，因此，根据得到．根据，得到，因此，再由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴，， 由旋转可知，， ∴， ∴． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： 过点N作，垂足为Q． 由（1）知， ∴． 由翻折可知， ∴， ∴， 即． ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 即的面积不变，其值为18． （3）解：∵， ∴． 由翻折可知，，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ 由（2）知， ∴， ∴． 2．（2026·江苏无锡·一模）数学活动课上，老师为同学们提供了若干大小不同的矩形纸片、其中边长均为．同学们以折叠矩形纸片展开数学探究活动． 【动手操作】 步骤如下： 第一步：如图①，将矩形纸片对折、使边重合，展开后折痕与交于点F． 第二步：如图②，在上取一点E，沿折叠矩形，点A的对应点为G．延长交于点H，将纸片沿过点H的直线折叠．使点C的对应点落在所在直线上，折痕与交于点M． (1)求证：． 【初步感知】 A小组的同学们选用了如图③所示的矩形纸片．在按上述步骤折叠的过程中发现，当点E与点D重合时，此时点F、G、M三点在一条直线上． (2)求的长． 【应用创新】 (3)如图④，B小组的同学们选用了的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点E），且第二步折叠中，过点H的折痕与交于点M，把纸片展开后，连接．当为直角三角形时，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）连接，根据折叠的性质得到，再证明即可； （2）证明，则，再对运用勾股定理求解即可； （3）当时，可得四边形是矩形，则，然后可得 为等腰直角三角形，则；当时，连接，过点作于点，先得到三点共线，求出，则，再证明，设，则，根据相似三角形的性质求解，最后由勾股定理求解得到． 【详解】（1）证明：连接，如图②： 由第一次折叠可得，， ∵四边形是矩形， ∴ 由第二次折叠可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图③： 由②得，， ∴ ∵矩形， ∴，， ∴ 由折叠可得， ∵ ∴ ∴， 由（1）得， ∴ ∴ ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时， ∴ ∵矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，平分 ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 当时，连接，过点作于点， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， 同上可证明四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， 由（1）得， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， 设，则 ∴， 解得 ∴， 综上：当为直角三角形时，则的长为或． 题型06 特殊四边形中旋转问题 析典例·建模型 1．（2026·福建泉州·三模）【课本再现】 如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 (1)连接，直线分别交于点E、G，交于点，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 (2)如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）证明，得到，由勾股定理得，则； （2）猜想：，连接，延长交于，证明，再利用勾股定理证明即可； （3）设分两种情形：①当点E在线段上时，②当点E在延长线上时，分别利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，连接，延长交于， ∵O为矩形的中心， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵矩形， ∴， ∴垂直平分， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； （3）解：如图所示，当点E在上时， 过点B作，交的延长线于点M，连接， ∵， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴ ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴ 如图所示，当点E在的延长线上时， 过点B作，交的延长线于点N，连接， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， 由勾股定理，得， ∴． ∵，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或。 研考点·通技法 1. 明确旋转三要素 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。对应点到旋转中心距离相等，对应点与中心连线夹角等于旋转角。利用这些性质找出旋转前后的全等三角形或相等线段、角。 2. 构造手拉手模型 若旋转共顶点（如正方形顶点），常出现“手拉手”全等或相似。连接对应点，证新三角形全等，转化边角关系。注意旋转角为特殊角（90°、60°）时可导角。 3. 设未知数列方程 设旋转后某点坐标或线段长为未知数，利用勾股定理、全等三角形对应边相等或旋转角三角函数列方程。解出后验证点位置是否在原四边形内，并考虑多解（如顺时针/逆时针旋转）。 破类题·提能力 1．（2026·甘肃平凉·一模）解答下列各题： (1)如图，在正方形和正方形中，点在线段上，点在的延长线上，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图，在正方形和正方形中，连接、．判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若四边形与四边形都为菱形，且，连接、．猜想线段与线段的数量关系及与线段所在直线所夹锐角的度数，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)，与所在直线所夹锐角的度数为，理由见解析． 【分析】（1）由正方形和正方形证得，即可求得； （2）由正方形和正方形证得，即可求得； （3）由菱形和菱形证得，可求得，，延长交的延长线于点，交于点，再求出即可． 【详解】（1）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ； （2）解：，理由： 四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，与所在直线所夹锐角的度数为，理由： 四边形和四边形是菱形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，，， ， 与所在直线所夹锐角的度数为． 2．（2025·辽宁铁岭·二模）综合与实践 问题提出 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板，）的一个顶点放在正方形中心处，并绕点逆时针旋转，探究直角三角板与正方形重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）． 操作发现 （1）如图1，若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，当与重合时，重叠部分的面积为_____；当与垂直时，重叠部分的面积为_____；一般地，若正方形面积为，在旋转过程中，重叠部分的面积与的关系为_____； 类比探究 （2）若将三角板的顶点放在点处，在旋转过程中，，分别与正方形的边相交于点M，N． ①如图2，当时，试判断重叠部分的形状，并说明理由； ②如图3，当时，求重叠部分四边形的面积（结果保留根号：）； 拓展应用 （3）若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心处，该锐角记为（设） 将绕点逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为，请直接写出图2和图3情况下的阴影面积（分别用含的式子表示）． 【答案】（1）1，1，；（2）是等边三角形，理由见解析；②；（3）， 【分析】（1）若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当与重合时，与重合，此时重叠部分的面积的面积=正方形的面积=1；当与垂直时，，重叠部分的面积=正方形的面积=1；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为．利用全等三角形的性质证明即可； （2）①结论：是等边三角形．证明，可得结论； ②如图3中，连接，过点O作于点J．证明，推出，解直角三角形求出，即可解决问题； （3）同（2）的方法解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：当与重合时，与重合，如图所示， 重叠部分的面积； 当与垂直时，，如图所示， 重叠部分的面积； 一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积与S的关系为． 理由：设交于点J，交于点K，过点O作于点M，于点N．如图所示， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1，1，． （2）解：①如图2中，结论：是等边三角形． 理由：过点O作， ∵O是正方形的中心， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； ②如图3中，连接，过点O作于点J． ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴ ∴ 如图， 同（2）可得 ∴ ∴ ∴． 综上所述，，． 题型07 特殊四边形中新定义型问题 析典例·建模型 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么这个四边形叫作“和谐四边形”，把这条对角线叫作这个四边形的“和谐线”． (1)如图1，在四边形中，平分，求证：四边形是“和谐四边形”： (2)如图2，在中，，，在平面内找一点D，使得以点A，B，组成的四边形是满足的“和谐四边形”，且为和谐线，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)见解析 (2)所有满足条件的的度数为或或 【分析】（1）根据，， 平分，可得，，进而求得，根据等角对等边，可证是四边形的和谐线． （2）根据为和谐线，点D在之内，点A、B、C、D组成的凸四边形为和谐四边形，有三种情况，逐项分析画图，求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； 将四边形分成和， ∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰三角形， ∴是四边形的和谐线； （2）根据为和谐线，点D在之内， 当为对角线，四边形有三种情况． 第一种：， 如图，以A为圆心，为半径画圆，以B为圆心，为半径画圆，点D位于线段下方两圆交点上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， 第二种：不等于、、、，如图: 以点B为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆，两圆在下方的交点就是点D， 则，，， ∵四边形四条边都相等，且， ∴四边形是正方形， ∴； 第三种：当只等于时，如图， 以B为圆心，为半径画圆，点F为中点，的中垂线和圆相交，下方的交点即为D， 过点B作于点E，的中点为点N，连接， 此时，四边形为矩形(3个角是直角的四边形是矩形)， ∵点F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的中点为点N，是直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，， 在直角中，， ∵， ∴； 综上，所有满足条件的的度数为或或． 研考点·通技法 1. 解读定义，转化条件 圈出新定义的关键词（如“等角点”、“倍长边”），结合特殊四边形（矩形、菱形、正方形）的性质，将其转化为数学表达式（如距离相等、角度关系、比例式）。 2. 分类讨论对应位置 新定义中顶点对应或点的位置可能不确定（如在边上、对角线上），需按不同情况画图分类讨论。利用全等、相似或勾股定理列出方程求解。 3. 验证解的存在性 解出的参数需满足定义中的限制条件（如点在四边形内部、线段非负）。代入原图验证是否与特殊四边形性质矛盾（如菱形对角线垂直），并判断是否有多解或需要舍去。 破类题·提能力 1．（2026·内蒙古·模拟预测）【图形定义】我们给出如下定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 (1)如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边， 和， 之间的数量关系； 【理解运用】 (2)已知四边形是垂美四边形，，，，则 ． 【变式探究】 (3)如图2，矩形与矩形，，，，，当、、三点共线时，求的长． (4)将（3）中矩形绕点逆时针旋转，当 最大时，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据垂美四边形的定义，利用勾股定理即可得到结论； （2）利用垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可； （3）连接，，，，和相交于点，证明，推出四边形是垂美四边形，利用垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可； （4）利用圆的切线的性质和垂美四边形对边平方和相等的性质计算的长度即可． 【详解】（1）解：，理由如下: 由题得， ， ，， ； （2）解：由（1）得， ， （负值舍去）； （3）解：如图，连接，，，，和相交于点， 矩形与矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是垂美四边形， ， ，、、三点共线， ， ， ，， ， ； （4）解：将矩形绕点逆时针旋转， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 为圆外一个定点， 当与相切时最大， ， ， 由（3）得， ， ． 2．（2026·河南周口·模拟预测）综合与实践 在以往的学习过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“豫式四边形”进行研究． 定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“豫式四边形”． (1)初步判断 下列初中阶段常见的四边形中，一定属于“豫式四边形”的是________（填序号）． ①矩形  ②正方形  ③菱形  ④平行四边形 (2)性质探究 根据定义可得出“豫式四边形”的边、角的性质．下面继续进行相关探究． ①如图1，“豫式四边形”中，，．写出图中除条件外相等的线段，并说明理由； ②如图2，在四边形中，，平分，若，求证：四边形为“豫式四边形”； (3)拓展应用 如图3，中，，在直线的右上方存在点D，使得四边形为“豫式四边形”，当该“豫式四边形”中有一内角为时，请直接写出的长． 【答案】(1)② (2)①，理由见解析；②见解析 (3)或 【分析】（1）根据“豫式四边形”的定义判断即可； （2）①根据“豫式四边形”的定义可得，再根据“”证明，可得； ②过点作，交于点，证明，推出，即可证明四边形为“豫式四边形”； （3）分两种情况，即或，作出图形，计算的长即可． 【详解】（1）解：①矩形对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不一定属于“豫式四边形”； ②正方形对角互补，邻边相等，故正方形一定属于“豫式四边形”； ③菱形对角相等，不一定互补，邻边一定相等，故菱形不属于“豫式四边形”； ④平行四边形对角相等，不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不属于“豫式四边形”； 即答案为②； （2）①解：，理由如下： 四边形为“豫式四边形”， ， ， ， ，， ， ； ②证明：如图，过点作，交于点， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， 四边形为“豫式四边形”； （3）解：要使四边形为“豫式四边形”，则， ， ， 当时，如图，作，连接， ，， ，， ， ， ， ， 设，则，， ， 根据勾股定理可得， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ； 当时，如图，作，连接， 同理可得， 设，则，， ， 根据勾股定理可得， 可得， 解得， 当时，，不符合直角三角形边长关系，故舍去， ， 综上，的值为或． （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·北京平谷·一模）如图，平行四边形，是延长线上一点，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于，若，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）根据平行四边形的性质和等边对等角的性质，推出，则，即可得证； （2）过点作于点，根据菱形的性质，得出是等边三角形，，再得出，利用勾股定理求出，即可得出的长．根据三线合一的性质和勾股定理，求出，证明，利用对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ， ， 由（1）可知，四边形是菱形， ，，，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，， ， ∴， ， ， ， ． 2．（2026·河北石家庄·一模）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． (1)尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． (2)求的度数与的长． 【答案】(1) (2)，的长为 【分析】操作1：先推导出，得到，求出，则，即可解答；         操作2：（1）以点A为圆心，为半径作弧，再以点F为圆心，为半径作弧，两弧的交点即为点M，连接并延长交于点，连接，，即可解答；        （2）先推导出，得到，，进而求出，设，则，，根据勾股定理得到，代入求出，即的长为，即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可知：，，． 中，， ， ． ． （2）解：（1）如图所示，点M即为所求；         （2）四边形是正方形， ，， 由折叠可知：，， ，． ，，， 又， ， ，． ， 设，则，， ∵， ， 解得：，即的长为． 3．（2026·湖南·模拟预测）在矩形中，，点是对角线上一动点，连接，作交于点，以，为边作矩形，连接线段，线段与对角线交于点． (1)求证； (2)求； (3)当时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明点在矩形的外接圆上，利用圆周角定理即可证明； （2）利用等角的余角相等求得，再利用正切函数的定义求解即可； （3）证明点为的中点，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接和，交点为， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∴点在矩形的外接圆上，且是直径， ∴，即； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点为的中点， ∴． 4．（2026·广东珠海·一模）定义：如题图1，点M，N把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点． (1)已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，求的长； (2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，，，分别交于点．求证：是线段的勾股分割点； (3)如图3，点是线段上的一定点，．请在上画一点，使得C，D是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图） 【答案】(1)的长为或 (2)证明过程见详解 (3)作图见详解 【分析】（1）设，则，根据勾股定理中直角边与斜边的关系，分类讨论即可求解； （2）根据菱形的性质设，根据相似三角形的判定和性质得到，则，，则，则，运用勾股定理的计算即可求证； （3）根据尺规作垂线，垂直平分线的性质作图即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 当是斜边时，， ∴，整理得， ∵， ∴原方程无解，即不是斜边； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； 当是斜边时，， ∴， 解得，， ∴； ∴的长为或； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， ∵， ∴，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴是线段的勾股分割点； （3）解：如图所示， 以点为圆心，以为半径画弧交于点， 分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点，则， 在上取， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，交于点，则， 在中，，即， ∴点即为所求点的位置． 5．（2026·辽宁锦州·一模）【基本探究】 如图1，为正方形的边右侧一点，连接分别交边，对角线于点． (1)求证：； (2)连接，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图2，在正方形中，为的中点，交于点，将沿翻折得到，连接交于点，连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得出，．根据平行线的性质得出，根据四边形的内角和定理得出，即可得证； （2）方法1：过点分别作于点于点，可证，证明，得出，根据平行线的判定得出是的平分线，即可求解； 方法2：延长至点，使得，连接，证明，得出，根据等边对等角得出，即可求解； （3）方法1：过点作，交延长线于点，连接，根据正方形的性质得出，设，则．在中，根据勾股定理得出，则可求出，证明，求出，由（2）可得，根据翻折得出．设，则，，，得出，可证，求出即可； 方法2：延长，交的延长线于点，过点作于点，根据正方形的性质得出，设，则． 在中，根据勾股定理得出，求出，根据平行线的性质，翻折的性质得出，则．设，则， ．在中，根据勾股定理得出，可求出 ，证明，求出，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，． ． ， ； （2）解：方法1：如答图1，过点分别作于点于点． ． ． ． 即． ∵四边形是正方形， ． ． ． 是的平分线． ． 方法2：如答图2，延长至点，使得，连接． ∵四边形是正方形， ． ， ∴在四边形中， ． ， ． ． ． ． ． ． （3）解：方法1：如答图3，过点作，交延长线于点，连接． ∵四边形是正方形， ． 为中点， 设，则． 在中，， ． 解得． ． ， ． ． ． 由（2）可得． 沿翻折得到， ．设，则． ， ． ． ， ． ． 即． ． ． 方法2：如答图4，延长，交的延长线于点，过点作于点． ∵四边形是正方形， ． 为中点， 设，则． 在中，， ． 解得． ． ， ． 沿翻折得到， ． ． ． 设，则． ． 在中，， ． 解得． ． ， ． ． ． ． 在中，， ． 6．（2026·江苏南通·一模）平移是一种重要的图形变换，在平面几何中，广泛用于解决各种问题． 【尝试解决】 如图1，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，且． (1)过点D作交边于点G，则，的数量关系是 ． (2)在（1）的基础上，求证：． (3)【类比应用】 如图2，正方形中，点E，F，P分别在边，，上，直线交于点Q，且．若点P是的中点，，求的长． (4)【拓展提升】 如图3，矩形中，点E，F分别在边，上，点P在射线上，直线交于点Q．若，，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据正方形得到，证明四边形是平行四边形，即可得到答案； （2）根据正方形的定义得到，证明，得到，即可得到结论； （3）过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点，先证明，根据点P是的中点，，正方形，得到，， 设，则，求出，故，证明，即可得到； （4）过点作交于点，交延长线于点，过点作，分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 在正方形中，， ， 四边形是平行四边形， ； （2）证明：， ， 正方形， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作交于点，交的延长线于点，过点作于点， 正方形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点P是的中点，，正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ； （4）解：当点在线段上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ； 当点在线段延长线上时，过点作交于点，交延长线于点，过点作， 矩形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ，，矩形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 综上：的值为． 7．（2025·河南开封·一模）新考法 知识探索＋迁移＋拓展 【操作判断】 ①在学习特殊平行四边形的性质时，赵老师让学生制作两个大小相同的正方形纸片和，其中正方形的对角线相交于点O，赵老师让学生固定正方形纸片， 将 正 方 形 纸 片的顶点D'与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，如图（1），学生们惊奇 地发现两个正方形重叠部分的面积 ．（填“变了”或“不变”） ② 赵老师又让学生制作了两个大小一样的菱形纸片和，其中菱形 的 对 角 线相交于点O，． 赵老师让学生固定菱形纸片， 将菱形纸片的顶 点 与点O重合，并将纸片绕着点O旋转，交边于点E，交边 于 点 F，  如 图（2），学生们惊奇地发现两个菱形重叠部分（四边形） 的面积 ．（填“变了”或 “不变”） 【探索发现】 根据（1）中的发现，学生们认为图（1）和图（2）存在共同的特征：①射线是的 ； ② ． 【迁移探究】 如图（3），平分，点 P 在上，点E，D 分别是，上的动点，且，当点D，E 分别在， 上运动时，试判断四边形的面积是否发生变化，并利用图 （3）说明理由． 【拓展应用】 如图（4），平行四边形中 ，，，，点E为边上一点，且平分， 连接．将绕 点E 旋转，当点C 的对应点F 落在上时，点F 恰好为的三等分点，请直接写出m 的值． 【答案】[操作判断] ①不变；②不变； [探索发现] ①平分线；②； [迁移探究]不变，理由见详解； [拓展应用]的值为7或8 【分析】[操作判断] ①作于，作于，设与交于点，与交于点，根据正方形的性质证明，即可得结论；②取的中点，连接，得是等边三角形，证明， ，得，，进而可得不变这一结论； [探索发现] ①由正方形、菱形的性质即可得线是的平分线；②由正方形、菱形的性质即可得； [迁移探究] 过点作，，垂足分别为，，证明，进而可证明，利用面积和差可得结论； [拓展应用]根据上面所得结论，过点作，垂足为，过点作，垂足为，可得，证明，  ，求得，进而可得， 分以下两种情况讨论：当点是靠近点的三等分点时，当点是靠近点的三等分点时，结合图形求解即可． 【详解】解：[操作判断] ①不变；理由如下： 作于，作于，设与交于点，与交于点， 由题意可得，正方形中，平分， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：不变； ②不变； ， 又菱形中，，， 是等边三角形， ， 如图，取的中点，连接， 是的中位线， ， ， ， 则是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：不变； [探索发现] ①四边形是正方形， 平分； 四边形是菱形， 平分； 故答案为：平分线； ②在图（1）中，， ， 在图（2）中，， ， 故答案为：； [迁移探究] 不变，理由如下： 如图，过点作，，垂足分别为，， 则， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ，， ， ， 为定值， 故四边形的面积不发生变化； [拓展应用] 解：的值为7或8； 平分， ， ， ， ， ，， ； ， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， 可得， 同上可证明，  ， ， ， ， ， 分以下两种情况讨论： 如图，当点是靠近点的三等分点时，，，则； 当点是靠近点的三等分点时，，，则，      综上所述，的值为7或8． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $