精品解析：山东济宁市泗水县2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试题

泗水县2025—2026学年第二学期期中质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､座号､考生号､县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 小红从6条不同的裙子，3双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有（ ） A. 18种 B. 9种 C. 种 D. 种 2. 若，且，则（ ） A. 0.10 B. 0.40 C. 0.80 D. 0.90 3. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 5. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（ ） A. 1200 B. 1560 C. 2640 D. 4800 6. 随机变量的分布列如下，且，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 7. 已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 没有零点 D. 最大值为2 10. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，设事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ） A. B. C. 事件与事件相互独立 D. 11. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）： 上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则______． 13. 已知，，，则______. 14. 一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则__________；__________（用n表示） 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 16. 从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.（以下问题均用数字作答） （1）甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法? （2）甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间（可以不相邻）有多少种排法? （3）甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法? 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围． 18. 强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． （1）若数学组的7名学员中恰有4人来自中学，从这7名学员中随机选取4人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 19. 若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，． （1）验证1是否为和在上的同步斜率； （2）若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围； （3）证明：当且时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泗水县2025—2026学年第二学期期中质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､座号､考生号､县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 小红从6条不同的裙子，3双不同的皮鞋中选择一条裙子和一双皮鞋搭配，则不同的搭配方案共有（ ） A. 18种 B. 9种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】运用分步乘法原理计算. 【详解】完成选一条裙子和一双皮鞋搭配这件事，需要分两步， 第一步选裙子有种方法，第二步选皮鞋有种方法， 根据分步乘法计数原理，不同的搭配方案共有（种）. 故选：A. 2. 若，且，则（ ） A. 0.10 B. 0.40 C. 0.80 D. 0.90 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，进而即可求解. 【详解】根据题意，且， 则， 故， 故选：. 3. 函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线的变化趋势可判断函数的单调性，结合函数的导数的几何意义，数形结合，即可判断出答案. 【详解】由函数的图象可知为单调递增函数， 故函数在每一处的导数值，即得， 设，则连线的斜率为， 由于曲线是上升的，故，所以， 作出曲线在处的切线，设为，连线为， 结合图象可得的斜率满足， 即，即. 故选：B 4. 若，则（ ） A. 40 B. 41 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求的值. 【详解】令，则， 令，则， 故， 故选：B. 5. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法、音乐、美术、体育社团，现将6名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案的种数为（ ） A. 1200 B. 1560 C. 2640 D. 4800 【答案】B 【解析】 【分析】先将将6名同学分为或的四组，再将四组分到书法、音乐、美术、体育社团，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】先将6名同学分为或的四组，共有种， 再将4组分到书法、音乐、美术、体育社团，共有种， 所以共有种. 故选：B. 6. 随机变量的分布列如下，且，则（ ） 0 1 2 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质和期望可求，，从而可求方差. 【详解】根据题意可得解得 ． 故选:C． 7. 已知函数，对，当时，恒有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据已知可知，在上单调递增，求导根据恒成立，可推得恒成立.令，根据导函数求出在上的最小值，即可得出答案. 【详解】由已知可将不等式化为， 构造函数，，则. 由题意可知，在上单调递增， 所以，在上恒成立， 即在上恒成立，只需满足即可. 令，则. 由可得，. 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，在处取得唯一极小值，也是最小值， 所以，. 故选：A. 8. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给式子结构，构造函数，利用导数判断函数的单调性，根据单调性求解即可. 【详解】令，则， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，，且， 所以，， 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 函数，则（ ） A. B. 在上单调递增 C. 没有零点 D. 最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导数运算法则求导函数可判断A正确，结合指数函数性质求解函数单调区间可判断B正确，结合函数单调性及最小值可知C正确，D错误. 【详解】的定义域为，因为，所以，故A正确； 令得，即，令得，即， 因此在单调递增，在单调递减，且， 因此没有零点，即BC正确，D错误. 故选：ABC 10. 先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为，，设事件“”，“为偶数”，“为奇数”，则（ ） A. B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用古典概型、和事件、相互独立事件及条件概率的定义与公式计算即可. 【详解】由题意可知样本空间含个样本点， 事件， 即，故A正确； 显然，故B错误； ， 而只需为奇数，即为奇数，所以， ， 则，故C正确； 易知，则，故D错误. 故选：AC 11. 在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图1），小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按x的升幂排列，将各项系数列表如下（如图2）： 上表图2中第n行的第m个数用表示，即展开式中的系数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于ABC选项，由图2中数据特征可得，对于D，左式可由的展开式中的系数得到，故根据以及二项式定理研究展开式中的系数即可求解. 【详解】依据题意结合图2可知图2中每一行的每一个数等于其上一行头顶和左右肩上共三个数的和（没有的用0代替）， 如：第四行的第三个数10，等于上一行头顶上的数3加上左右肩上的数1和6； 第三行中的第二个数3，等于上一行头顶上的数1加上左右肩上的数0（左肩上没有数，故用0代替）和2； 所以， 对于A，由上，故A错； 对于B，由图可知， 以此类推可得，故B对； 对于C，由上可知正确，故C对； 对于D，因为， ， 则， 所以根据乘法规则的展开式中的系数为： ， 又， 其通项为， 因为，故展开式中的系数为0， 故，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：求证D选项的关键是借助展开式中的系数引出D中左式，进而借助展开式研究得证. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若随机变量，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式及标准差的定义计算即可. 【详解】由二项分布的方差公式可知. 故答案为： 13. 已知，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用全概率公式直接列式求解. 【详解】依题意，， 因此，所以. 故答案为：0.2 14. 一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第n次向左跳动的概率为，则__________；__________（用n表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】易得，，再利用全概率由求解；从而得到，利用等比数列求解. 【详解】由题意，得，，， 由， 设，则，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，， 故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍. （1）求n的值； （2）求的展开式中的常数项； （3）求展开式中系数绝对值最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的关系求解即可. （2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项即可. （3）设第项的系数的绝对值最大，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍， 即，即，解得. 【小问2详解】 二项式展开式的通项公式为， 令，解得，故常数项为. 【小问3详解】 设第项的系数的绝对值最大， 则，即，解得且，则， 所以系数的绝对值最大值的项为第7项. 16. 从甲、乙、丙等7人中选出5人排成一排.（以下问题均用数字作答） （1）甲、乙、丙三人恰有两人在内，有多少种排法? （2）甲、乙、丙三人全在内，且甲在乙、丙之间（可以不相邻）有多少种排法? （3）甲、乙、丙都在内，且甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，有多少种排法? 【答案】（1）1440种 （2）240种 （3）216种 【解析】 【分析】（1）甲、乙、丙3人中选2人，其余4人中选出3人，再全排列； （2）甲、乙、丙三人全在内，其余4人中选出2人，先排这两人，再排甲、乙、丙三人； （3）甲、乙、丙三人全在内，其余4人中选出2人，相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法. 【小问1详解】 由于甲、乙、丙三人中恰有两人在内，所以可以分3步完成： 第1步，从3人中选中2人，有种选法. 第2步，从其余4人中选出3人，有种选法. 第3步，将选出的5个人全排列，有种排法. 根据分步乘法计数原理，不同的排法有种； 【小问2详解】 由于三人全在内，且甲在乙、丙之间，所以可以分3步完成： 第1步，从其余4人中选出2人，有种选法. 第2步，将2人安排到5个位置，有种方法. 第3步，剩余3个位置排甲、乙、丙三人，有2种方法 根据分步乘法计数原理，不同排法有种； 【小问3详解】 由于甲、乙必须相邻，甲、丙不相邻，所以分3步完成： 第1步：从其余4人中选出2人，有种选法. 第2步：将甲、乙捆绑与选出的2人排列，有种方法. 第3步：将丙插空有3种方法. 根据分步乘法计数原理，不同排法共有种. 17. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若函数有两个极值点，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数在R上是增函数， 当时，函数的减区间为，增区间， （2） 【解析】 【分析】（1）求导，即可对分类讨论求解单调性， （2）将问题转化为有两个不同的实数根，构造函数，求解函数单调性，即可结合两函数图象交点情况求解. 【小问1详解】 因为，所以， 当时，，函数在R上是增函数， 当时，令，得，即， 当，，函数的减区间为， 当，，函数的增区间， 【小问2详解】 由得， 所以． 令，得． 设，；则， 令，即，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减． 分别作出函数与的图象，如图所示， 由图象可知，时，解得，函数有两个极值点， 所以当时，函数两个极值点． 18. 强基计划于2020年在有关高校开始实施，主要选拔有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动． （1）若数学组的7名学员中恰有4人来自中学，从这7名学员中随机选取4人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，．假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响．当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值． 【答案】（1）的分布列是 1 2 3 4 P （2）甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值． 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解， （2）根据相互独立事件乘法公式可得，即可利用二次函数的性质求解最值. 【小问1详解】 的所有可能取值是1，2，3，4． ，， ，， 所以的分布列是 1 2 3 4 P 数学期望是． 【小问2详解】 设甲、乙两位同学在每轮答题中取胜为事件A，则 ， 由，得． 令， 因为，，所以， 所以，设，则， 因为，当时，取得最大值． 所以，当时，甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率取得最大值． 19. 若函数与在区间I上满足：存在实数k，使得对任意，都有则称k为和在I上的同步斜率．已知．，，． （1）验证1是否为和在上的同步斜率； （2）若1是和在区间上的同步斜率，求实数a的取值范围； （3）证明：当且时，． 【答案】（1）是 （2） （3） 令，由（2）知在区间上恒成立， 当且时，，令，得． 所以 即当且时，． 【解析】 【分析】（1）由题意知，只需证时，，然后分别构造函数，，利用导数判断其单调性，从而可证得结论； （2）由题意知恒成立，令，则在区间上恒成立，对函数求导后，分和两种情况分析函数的单调性求解即可； （3）由（2）知在区间上恒成立，令，得，然后利用累加法可证得结论. 【小问1详解】 1是和在上的同步斜率， 证明如下： 由题意知，只需证时，． 令，则， 所以时，，在上单调递增， 又因为，所以时，，即在上恒成立． 令，则恒成立，所以在上单调递减， 又因为，所以，即，所以时，， 即1是和在上的同步斜率． 【小问2详解】 解：由题意知恒成立， 令，则在区间上恒成立， ， 当即时，在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，，符合条件； 当，即时，时，， 在区间上单调递减， 所以存在，使，不符合条件． 综上，a的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $