二次函数综合问题（特殊四边形问题）专项练2026年中考数学一轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊四边形综合，以"基础求解-动态探究-综合应用"为路径，分层突破中考高频考点，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固层|二次函数解析式求解|每题（1）问均为待定系数法求解析式，夯实代数运算基础| |能力提升层|特殊四边形存在性判定|如平行四边形存在性（第1题（2）），需分类讨论顶点位置，发展空间观念| |综合应用层|动态几何与最值问题|结合平移（第2题（3））、面积最值（第2题（2）），融合代数推理与几何建模，提升应用意识|

二次函数综合问题（特殊四边形问题）专项练2026年中考数学一轮复习备考 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点；直线经过点，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图2，将原抛物线向射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为轴上一动点，抛物线上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点． (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线在第一象限内的点，连接，若的面积是面积的，求点P的坐标； (3)M为直线上的动点，N为抛物线上的动点，当以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标． 4．抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 5．如图， 抛物线 与x轴交于、两点， 与y轴交于点C，连接，点P是抛物线对称轴上的一个动点，点Q是抛物线上的动点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在对称轴上运动时，求周长的最小值； (3)是否存在以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 ． 6．如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 7．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交于点M，当t为何值时，线段的长最大，并求其最大值，和此时点P的坐标； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点B，E为直线上的任意一点，过点E作交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出点E的坐标；若不能，请说明理由． 8．如图，抛物线与 x 轴相交于 A，B两点(点 A 在点 B 的左侧)，与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ．    (1)直接写出 A，B，C 三点的坐标和抛物线的对称轴． (2)连接，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段上的一个动点，过点 P 作交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ①用含 m 的代数式表示线段 的长，并求出当 m 为何值时， 四边形 为平行四边形？ ② △BCF的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值． 9．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点E的横坐标为m，当m为何值时，线段有最大值？并写出最大值为多少； (3)若P是直线上的一动点，在坐标平面内是否存在Q，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出符合条件的菱形的个数并请直接写出其中2个点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．在平面直角坐标系中，抛物线=与x轴交于点，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (4)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，A、C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线与轴交于、，与轴交于点，其顶点为点． (1)求点坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)连接、，动点的坐标为．为抛物线上的一点，是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 12．抛物线交轴于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（1），连接，是抛物线第四象限内一点，直线交于，交轴于点，若，求点坐标； (3)如图（2），经过第四象限的直线交抛物线于点，，交轴于点，作平行四边形，连接，若轴，当点到距离的最大时，求的值． 13．如图，抛物线（）与轴交于、两点． (1)求抛物线表达式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 14．如图，已知抛物线与轴分别交于两点，与轴交于点为抛物线的顶点． (1)抛物线的对称轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)将抛物线关于轴对称得到新的抛物线，在抛物线上是否存在一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为边，且以点四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出两点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图所示，抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式，点C及顶点M的坐标． (2)若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交x轴于点E，若点P是线段上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数综合问题（特殊四边形问题）专项练2026年中考数学一轮复习备考》参考答案 1．(1)； (2)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，设，，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴, 设， 如图， 当时，则且 解得：， ∴ 当时，则且 解得：， ∴ 综上：点M坐标为或 2．(1) (2)四边形的最大面积为，此时点的坐标为 (3)存在满足条件的点，点的坐标为或或 【分析】（1）先通过直线求出与坐标轴交点、，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于、的方程组，解方程组求得、，即可确定抛物线表达式； （2）先求出抛物线与轴另一交点，算出面积，将四边形面积拆分为；设动点坐标，将面积转化为关于横坐标的二次函数，配方后结合取值范围，即可求出面积最大值及对应点坐标； （3）先根据的方向和平移距离，确定抛物线向右、向上各平移个单位，求出平移后解析式；分两类讨论：①为平行四边形的边，利用对边平行且相等的性质求解；②为对角线，利用对角线互相平分的中点公式求解，最终汇总所有符合条件的点坐标即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点、与轴交于点， 令，得；令，得； ∴、， 将、代入抛物线，得 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴令，得， 解得 ，， ∴， ∴， ∵，垂直轴， ∴， ∵，​为固定值， ∴要使四边形面积最大，只需最大， 设第二象限内抛物线上的点，过点作垂直轴，交直线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，抛物线开口向下，且， ∴当​时，四边形面积取得最大值， 将代入点纵坐标，得， ∴四边形的最大面积为，此时点的坐标为； （3）解：存在满足条件的点， ∵直线的解析式为，直线与轴夹角为， ∴沿射线方向平移时，水平方向（轴）与竖直方向（轴）的平移距离相等， 设向右平移个单位，竖直向上平移个单位，平移总距离为， 由勾股定理得 ， 解得， ∴抛物线整体向右平移个单位、向上平移个单位， ∵原抛物线为，顶点为， ∴平移后抛物线的顶点为，即， ∴平移后的抛物线解析式为， 已知、，点在轴上，设，点在抛物线​上，分两种情况讨论： 情况1：为平行四边形的边， ∵平行四边形对边平行且相等，在轴上，， ∴且，即、纵坐标相等，横坐标差的绝对值为， ∵N的横坐标为， ∴的横坐标为或， ①当的横坐标为时： ∵在​上， ∴把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； ②当的横坐标为时： 把代入，得 ， ∴， ∵、纵坐标相等， ∴，即； 情况2：为平行四边形的对角线， ∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点与的中点完全重合， ∵、， ∴的中点坐标为，即， ∵、，的中点为， ∴，， 解得，， 即， ∵在上， ∴把代入，得 ， ∴， 解得， 即； 综上，存在满足条件的点，点的坐标为或或． 【点睛】求四边形面积的最大值，把不规则四边形拆成“固定面积的 动态面积的”，化繁为简，用铅垂高把斜三角形面积，直接转化为动点坐标的纵坐标差，完美避开复杂几何计算，是二次函数面积最值的通用通法；平行四边形存在性问题，必须先分“为边”、“ 为对角线”两类，这是避免漏解的核心，再用“对边平行且相等”、“对角线互相平分（中点公式）”，把几何性质直接转化为坐标计算，不用画图硬凑，是此类问题的标准解题逻辑． 3．(1) (2) (3)点M的坐标为或或 或 【分析】（1）先求出点，，再将两个点的坐标代入可得答案； （2）由点的坐标得，，再设，然后根据得出方程，求出解即可； （3）先设，再分两种情况：当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，可得，进而得出，再根据时四边形是平行四边形，即当，时，求出答案； 当为平行四边形的对角线时，先确定点，由得出方程，再求出解可得坐标． 【详解】（1）解：当时，；当时，， ∴点，， 将，代入中得： 解得：，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由，得：，， 设， ∴， ∴， 得：， 解得：，（舍）， ∴； （3）解：设， ①当为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，如图， 则， 则， ∵， ∴当时，以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， ∴，当时，即， 解得：，， 此时，； 当时，即， 则， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵，， ∴， 则，即， 解得：，， ∴或， ∴点M的坐标为或或或或． 4．(1) (2)满足条件的点坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ 设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述：满足条件的点坐标为或或． 5．(1) (2) (3)存在, 点或或． 【分析】（1）利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线方程，求出，即可得解； （2）如图，为抛物线对称轴上的动点，连接，，，，求解，，，当三点共线时，可得周长的最小值为. （3）如图所示，分类讨论：当四边形为平行四边形时，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样的方法即可求出对应Q点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线 与x轴交于、两点， ， 解得：， 抛物线解析式为． （2）解：如图，为抛物线对称轴上的动点，连接，，， ∴， ∵， ∴当，，抛物线的对称轴为直线， 即，而， ∴，， ， 当三点共线时，周长的最小值为. （3）解：存在．理由如下： ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， 设， 如图所示： 当四边形为平行四边形，由平移可得， 把代入得 ， 解得， ∴； 如图，当四边形为平行四边形时，由平移可得：， 把代入得 ， 解得， ∴； 如图，当四边形为平行四边形时， ∴，， ∴为对称轴与轴交点，，关于直线对称，， 此时满足，符合题意， ∴， 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；轴对称的性质，勾股定理的应用，平移的性质，会利用待定系数法求二次函数解析式；会运用点平移的坐标规律表示平行四边形的顶点坐标，连接坐标与图形性质． 6．(1) (2)符合条件的P点坐标是或 (3)或或 【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合，，运用待定系数法求解即可； （2）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可． （3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，设，，而，，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，， ∴， 把A，E两点坐标代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N， 在中， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上，符合条件的P点坐标是或． （3）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 当为对角线时，如图， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键． 7．(1) (2)当， 有最大值，且最大值为，点； (3)以B，D，E，F为顶点的四边形能为平行四边形，点E的坐标为或或，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式、二次函数与线段及特殊四边形问题，掌握函数的性质是解题关键． （1）将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，设点，则 ，根据即可求解； （3）由题意得，；若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则；设，则，根据即可求解； 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ， ∴ ； ∵， ∴当，有最大值，且最大值为； 此时，即点； （3）解：∵， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴与直线相交于点B， ∴， ∵， 若以B，D，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则， 设，则， ∴， 解得：（舍）， ∴或或， ∴点E的坐标为或或． 8．(1)，，，对称轴 (2)①，②，S的最大值为 【分析】（1）已知了抛物线的解析式，当时可求出A，B两点的坐标，当时，可求出C点的坐标．根据对称轴，可得出对称轴； （2）①的长就是当时，抛物线的值与直线所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出所在直线的解析式，然后将m分别代入直线和抛物线的解析式中，得出两函数的值的差就是的长．根据直线的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出的长，然后让，即可求出此时m的值； ②设直线与x轴交于点M，易得，结合，所以，即，作答即可． 【详解】（1）解：∵与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧）， ∴当时，即， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，， 当时，即， ∴， ∵对称轴直线， ∴对称轴直线； （2）解：如图：连接，    ①设直线的函数关系式为， 把，，分别代入得： 解得 所以直线的函数关系式为：． 当时， ∴． 当时， ∴． 在中，当时，． ∴ 当时，， ∴ ∴线段， 线段， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形． 由， 解得：，（此时点P与点E重合，故不合题意，舍去）． 因此，当时，四边形为平行四边形． ②设直线与x轴交于点M，如图      由，， 可得：． ∵， 即， ∴． 因为点P为线段上的一个动点， 所以， 则， ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数的解析式，涉及线段和面积，平行四边形等知识内容；根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础． 9．(1)二次函数解析式为 (2)当时，有最大值，且最大值为 (3)存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解； （2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解； （3）根据题意可求出的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点在直线下方；第二种情况：如图所示，点在直线上方；图形结合，即可求解， 第三种情况，为菱形的对角线时． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为， ∴， ∵， ∴，则， 把，代入二次函数解析式得， ，解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点， ∴点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴当时，有最大值，且最大值为； （3）解：∵二次函数的图象与轴交于两点，且， ∴令时，，则，， ∴，且 在中，，， ∴， 第一种情况：如图所述，点在直线下方，    四边形是菱形，则，， 且直线的解析式为， ∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，过点作轴于点， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， ∴当时，，即； 当时，，即； 第二种情况：如图所示，点在直线上方，    四边形是菱形，，， 且，， ∴直线的解析式为， 设， ∴， 整理得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即， ∴设所在直线的解析式为， 把点代入得，， ∴直线的解析式为， 根据题意，设， ∴， 整理得，， ∴，即，， ，不合题意， ∴； 第三种情况，为菱形的对角线时，如图所示： 作的垂直平分线，交于P，交于N， 在直线上截取，连接、得菱形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线为， 代入，， 得， 解得， ， 与联立， 得， 解得， ， 将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C， 将点也做相同的平移得到点，即， 综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，共有4个，点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键． 10．(1) (2) (3) (4)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明是等腰直角三角形，则，即可求解； （3）与抛物线的对称轴的交点即为点Q，求出直线的解析式，进而即可求解； （4）当为平行四边形对角线时，则，解得：，即可求解；当为平行四边形对角线时，同理可解． 【详解】（1）解：点，在抛物线的图象上， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）知，抛物线的表达式为：， 令，解得：或， 故点； ①过作于点，过点作轴交于点，如图： ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为， 将代入得， ， 直线解析式为， 设，，则， ， ， 当时，的最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大； 面积的最大值； （3）设点，点，， 与关于对称轴对称， 连接与对称轴的交于点， 设解析式为， ， 解得， ， 当时，， ， 点； （4）存在，理由如下： ， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， 则，解得：， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， 则， 解得：， 点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 11．(1) (2) (3)存在；，或，或，或， 【分析】（1）将带入抛物线的解析式里求出点的纵坐标，即可求解； （2）利用待定系数法即可求解； （3）求得顶点，分两种情况讨论，当为对角线时，当为对角线时，根据平行四边形以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得：， 点的坐标为； （2）抛物线与轴交于、， ，解得：， 抛物线的解析式为； （3）解：， ， 当为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于向上平移个单位， ，，点向上平移个单位为点， 点向上平移个单位为点，则点的纵坐标为，解方程，得或， 当时，，即点向上平移个单位，向左平移个单位， 点向上平移个单位，向左平移个单位，得到点， 当时，同理，， 即，或，； 当为对角线时，根据平行四边形的性质，相当于向上平移个单位， ， 点的纵坐标为，解方程，得，或； 同理得，或，； 综上，，或，或，或，． 【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标、利用待定系数法求抛物线的解析式、抛物线的顶点式、平行四边形的性质、平移的性质以及解一元二次方程等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 12．(1)； (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养． （1）由待定系数法即可求解； （2）作交轴于点，证明，由，得到，则，进而求解； （3）证明四边形为平行四边形，则，得到，进而求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 则， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：作交轴于点，则， 又， ， ， 由，得直线的解析式为， 直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得：， 解得：（舍去）或， 点的坐标为； （3）解：作轴交于点， 由平行四边形可得，， 四边形为平行四边形， ， ， ，即， ， 设直线的解析式为， 联立上式和抛物线的解析式得：， 整理得：， ， 解得：， 直线的解析式为． 当直线与抛物线只有一个公共点时到的距离最大． 此时，方程有相等的实数根， 整理得：， 则， 解得：． 13．(1) (2)最大值为； (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）可知，过点M作y轴的平行线，交于点N，由题意易得直线的解析式为，设，则，然后根据铅垂法可进行求解； （3）由题意可分当为对角线时，当或为对角线时，然后根据中点坐标公式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得： ， 解得：， ∴该抛物线解析式为； （2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则令时，， ∴， 过点M作y轴的平行线，交于点N，如图所示： 设直线的解析式为，则有： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时； （3）解：存在，理由如下： 由题意可知：，设点， 当为对角线时，由中点坐标公式可得： ， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， 当或为对角线时，同理可得： 或， 解得：或， ∴点D的坐标为或或； 综上所述：当以点A、、、为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 14．(1)点的坐标为或或或； (2)，或，． 【分析】（）求出点坐标及抛物线对称轴，分和两种情况利用平面内两点间距离公式列出方程解答即可求解； （）根据对称性求出新的抛物线的顶点坐标，进而得到新抛物线的解析式，由点坐标得，根据平行四边形的对边相等可得，设)，则点或，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，二次函数与几何图形，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键 【详解】（1）解：存在． 令， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设， 当时，即， 解得，； 当时，即， 解得，； 综上所述，点的坐标为或或或； （2）解：存在． ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线关于轴对称得到新的抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∵，， ∴， ∵以点四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴， 设)，则点或， ①当时， 则， 解得， ∴， ∴，； ②.当时， 则， 解得， ∴， ∴，； 综上所述，点的坐标分别为，或，． 15．(1)，， (2)存在，或或 (3)存在，或 【分析】（1）利用交点式直接求出抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式求出点C和顶点M的坐标即可； （2）先求出抛物线的对称轴为 ，设点 ，然后分三种情况：当为对角线时；当为对角线时；当为对角线时，利用中点公式，即可求解； （3）先求出点 ，再求出直线的解析式，可得到，然后两种情况：当 时和当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于两点 ∴， ∴顶点坐标为， 当时，， 点； （2）解：存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ， 根据（1）可知：点 ， 设点 ， ∵， 当为对角线时，另一条对角线为， ∴ ， 解得： ， ∴此时点； 当为对角线时，另一条对角线为， ∴ ， 解得： ， ∴此时点； 当为对角线时，另一条对角线为， ∴， 解得：， ∴此时点； 综上所述，点G的坐标为或或； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，， ∵， ∴点 ， 设直线的解析式为 ， 把点 ， ，代入得： ， 解得：， ∴直线CM的解析式为 ， 当 时， ， ∴点 ， ∴，且， ∴， ∴， 设 ， 又∵点P在线段上， ∴ ， ∴ ， ， 当 时， ， 即 ， 解得： ， ∴此时点 ； 当时， ， 即 ， 解得： ， ∴此时点 ， 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形性质等知识，解决问题的关键是正确分类． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $