2026年中考数学专题训练：二次函数压轴题（特殊三角形问题）

2026年九年级数学中考专题训练：二次函数压轴题（特殊三角 形问题) 1.如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A1,0)和B(4,0). E B (1)求抛物线的解析式： (2)若抛物线的对称轴交x轴于点E,点F是位于x轴上方的抛物线对称轴上一点，C是第 一象限抛物线上一点，若EF=2,点C的横坐标是5，求证：四边形OECF是平行四 边形； (3)在(2)的条件下，若点P是x轴上的一个动点，当△OCP是等腰三角形时，求点P的 坐标。 2.如图，抛物线y=ax2+bx-3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于 点C,且08=0C=304,直线y=写+1与y轴交于点D. (1)求抛物线的解析式： (2)证明△BCE为直角三角形： (3)求∠DBC与∠CBE的差， 3.如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于 A,B两点（点A在点B的左侧）. （1)求抛物线的解析式： 试卷第1页，共3页 (2)连接AC,CD,AD,试证明△ACD为直角三角形： (3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,F为顶点的四 边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由， 4.如图，顶点为M的抛物线y=a(x+1)-4分别与x轴相交于点A,B(点A在点B的右 侧)与y轴相交于点C(0,-3). (1)求抛物线的解析式： (②)判断△BCM是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形ABMC的面积 5.如图，抛物线y=ax2+bx经过点A4,0),B(2,2),连接0B,AB. (1)求a、b的值： (2)求证：△0AB是等腰直角三角形； (3)将△0AB绕点O顺时针旋转135°得到△0A'B',写出AB的中点P的坐标，试判断点P 是否在此抛物线上，并说明理由· 试卷第1页，共3页 6.己知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,-3). (1)求抛物线的表达式： (②)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M,过点P作x轴的垂线I,垂线I交 BC于点E,AD∥垂线，求证SADMAPEM,当PM AM 最大时，求点P的坐标及 M的 A 最大值； (3)在(2)的条件下，在1上是否存在点D,使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由 7.如图，已知抛物线y=ax2+bx+6与坐标轴分别交于点A,B,C三点，点B(6,0),点 C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)求△PAB面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P作PEI‖x轴交抛物线于点E,连接 DE,请问是否存在点P,使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存 在，说明理由 8.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a,b是常数，且a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴 交于点C.A点的坐标是A(1,0),对称轴是直线x=-1,抛物线顶点为D, 试卷第1页，共3页 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)若E为线段BD上的一点，其横坐标为m,过点E作EF⊥x轴于点F,求当m为何值时， 四边形EFOC的面积最大？ (3)点P在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在一点A,使PA'=PA,∠APA'=90°，若存 在，求出点P和点A的坐标，若不存在，请说明理由 9.如图，抛物线的顶点为D,其坐标为1,4)，抛物线交x轴于A,B两点，交y轴于点C, 已知0C=3. (I)求抛物线的表达式： (2)连接CD,BD,判断△BCD的形状； (3)若点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE,求△BCE面积的最大值，并求出 取得最大值时E点坐标. 10.如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. 备用图 试卷第1页，共3页 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当点P在第一 象限时，求线段PE的最大值： (3)在(2)的条件下，当PE取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得 △QBE为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 11.如图，二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)图象与x轴交于点A(-1,0,B(3,0),顶 点为C,点D的坐标为O,-1,连接BD,CD,BC. B 图1 图2 (I)求二次函数表达式： (2)如图1，求证：△BDC是等腰直角三角形； (3)如图2，M,N分别是线段BC,CD上的动点，且BM+DN=CD,求BN+DM的最小值 12.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A(3,0)和点B(1,0),与轴交于点C,顶 点为点D,对称轴与x轴相交于点E. O B/E (1)求抛物线的解析式： (2)求证：△ACD是直角三角形； (3)设点P为此抛物线上的一个动点，将△ACP沿直线AC对折后得到△ACP,且顶点P恰 试卷第1页，共3页 好在直线DO上，请直接写出点P的横坐标. 13.己知抛物线C。:y=a(x-2)2. 图1 图2 (1)如图1，将抛物线C向下平移6个单位长度得到抛物线C,C的对称轴为直线1，C与x 轴交于A、B两点，若AB=2√6，求此时C的解析式： (2)在(1)的条件下，点C在C对称轴1右侧的抛物线上，点D在对称轴1上，若△OCD是 以OD为斜边的等腰直角三角形，求点C的坐标； (3)如图2所示，将抛物线CG向左平移2个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C,,Q为 y轴负半轴一点，经过点Q的直线l:y=kx+b交C,于E、F两点，经过点Q的直线 1 4:y=x+b交C,于G、H两点，且，6满足：点-F3弘，+，从V分别为EF GH的中点，直线MN交y轴于点P,求证：P为定值 14.已知抛物线y=x2-2mx+m2+m-1(m是常数)的顶点为P,直线1：y=x-1 ()求证：点P在直线1上； (2)当m=-3时，抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,与直线1的另一个交点为 Q,M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ(如图)，求点M的坐标； 试卷第1页，共3页 (3)若以抛物线和直线1的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出 所有符合条件的m的值， 15.如图1，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A(-6,0)、B(2,0),与y轴交于点C,抛 物线对称轴交抛物线于点M,交x轴于点N.点P是抛物线上的动点，且位于x轴上方. M M M D A NO B A N OB A 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)如图2，点D与点C关于直线MN对称，若LCAD=∠CAP,求点P的坐标. (3)直线BP交y轴于点E,交直线MN于点F,猜想线段OE、FM、MN三者之间存在的数 量关系，并证明. 试卷第1页，共3页 参考答案 a+b+2=0 1.(1)解：依题意得 116a+4b+2=0' 〔1 a= 2 解得 b=- 5 2 抛物线的解析式为y7 2x+2. (2)由点41,0和8(4,0)得抛物线的对称轴为直线x= B 0,而2， 8 :0E= 把x=5代入抛物线得y=)×25-5x5+2=2, 1 2 2 C(5,2, 55 FC∥x轴，FC=5-2= 22 .FC∥OE,FC=OE, .四边形OECF是平行四边形. (3):C(5,2), .0C=V52+22=√29， :点P在x轴上，△OCP是等腰三角形， 因此有三种情况如下： ①当0P=0C=√29时，P√29,0或-V29,0, 答案第1页，共2页 ②当CP=C0=√29时，设P(m,0), .(m-5)2+22=29, 解得：m=10,m2=0(舍去) .P(10,0）, ③当P0=PC时，设P(m,0), 又：O0,0),C5,2, 则P02=m2,PC2=(m-5)2+2, .m2=(m-5)2+4, 解得m=2.9, P(2.9,0), 综上所述，在x轴上存在点P,使△0CP是等腰三角形，点P坐标为√29,0或(-√29,0)或 (10,0)或2.9,0. 2.(1)解：关于抛物线y=ax2+bx-3,当x=0时，y=-3, .C(0,-3), .0C=3, :0B=0C=30A, 0A=1,0B=3, .A-1,0,B3,0, [a-b-3=0 将A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3得 9a+3b-3=0' a=1 解得b=2 :抛物线的解析式为y=x2-2x-3; (2)证明：由(1)知抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 答案第1页，共2页 E(1,-4), :B(3,0,C(0,-3, BC2=32+32=18,BE2=(1-3)2+(-4-0)2=20,CE2=(1-0)2+(-4+3)2=2, ..BC2+CE2=BE2, :△BCE是直角三角形； 1 (3)解：：直线y=-二x+1与y轴交于点D, 3 D0,1, .0D=1, 0B=3, tan∠DBO=OD1 OB 3' 由(2)得CE=N2,BC=3V2,LBCE=90°， ..tan/CBE CE 1 BC-3' :.∠DBO=∠CBE, :0B=0C=3,∠B0C=90°， .∠0BC=∠0CB=45°， ∠DBC-∠CBE=LDB0+LOBC-LCBE=45°. 3.(1)解：把C(0,-3),D(-1,-4)代入y=x2+bx+c得， -3=C -4=1-b+c' [b=2 解得 c=-3' ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3; （2)证明：把y=0代入y=x2+2x-3,得x2+2x-3=0, 解得x=1或x=-3, A(-3,0),B(1,0), AC=V-3-0)2+(0+3)2=32,CD=V0+12+(-3+42=V2, 答案第1页，共2页 AD=V-3+1)2+(0+42=25, :AC2+CD2=AD2=20, :△ACD为直角三角形： （3)存在，理由如下： :A-3,0),B(1,0), .AB=1-（-3=4, :点E在抛物线的对称轴上， .点E的横坐标为-1， 当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4,如图， Y F E E B D .F的横坐标为3或-5， F的坐标为3,12)或-5,12)； 当AB为平行四边形的对角线时，如图， (F)D 平行四边形的对角线互相平分， F点必在对称轴上，此时F点与D点重合， .F-1,-4); 答案第1页，共2页 综上，所有满足条件的点F的坐标为3,12)或(-5,12)或(-1，-4. 4.(1)y=(x+12-4 (2)△BCM是直角三角形 (3)9 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定 理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键。 (1)把点C坐标代入解析式中计算求解即可； (2)根据(1)所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出 BC2+CM2=BM2,则由勾股定理的逆定理可得结论： (3)根据S四边形4BMC=S△CM+S△4Bc可知，只需要求出△BCM,△ABC的面积即可得到答案. 【详解】(1)解：抛物线y=a(x+1)2-4与y轴相交于点C(0,-3), -3=a(0+12-4, .a=1, .抛物线解析式为y=(x+1)-4; (2)解；△BCM是直角三角形，理由如下： 抛物线解析式为y=(x+1)2-4, 抛物线的顶点M的坐标为-1，-4)， 在y=(x+1)2-4中，当y=(x+1)2-4=0时，x=-3或x=1, B(-3,0), BM2=[-1-(-3]+(-4-0)2=20,BC2=[0-(-3)]+(-3-0)2=18, CM2=(-1-0)2+[-4-(-3)]=2, .BC2+CM2=2+18=20=BM2, .△BCM是直角三角形； (3)解：由(2)可得aBCM是直角三角形，且∠BCM=90°，A1,0, 又：BC=32,CM=√2， 答案第1页，共2页 SAww -BC.CM=3, 2 A1,0,B(-3,0),C0,-3), AB=1--3=4,0C=3, 1 S4c=24B0C=6, .S四边形HBMc=S△BCM+S△HBc=9. 5.00=-号8-2 (2)答案见解析 (3)-√2，-2√2)，点P不在此抛物线上，理由见解析 【分析】(1)利用待定系数法，将点A、B代入抛物线解析式求解即可； (2)作BC⊥x轴于点C,根据点A、B的坐标得到OC=BC=AC=2, ∠B0C=∠CB0=∠CBA=∠CAB=45°，从而证明结论即可： (3)将△0AB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△0A'B',求出、B的坐标，计算中点 坐标，代入抛物线解析式验证即可. 16a+4b=0 【详解】(1)解：将点A(4,0,B(2,2)代入抛物线y=ax2+bx,得： 4a+2b=2’ 解得： a2, b=2 :该抛物线的解析式为y=-】x2+2x 2 (2)如下图，作BC⊥x轴于点C, B :点A4,0,B2,2, ·点C的坐标为2,0)， .0C=BC=AC=2, :∠B0C=∠CB0=LCBA=∠CAB=45°， 答案第1页，共2页 :△OAB是等腰直角三角形： (3)P(-√2，-2②)，点P不在此抛物线上，理由如下： 如下图，将△0AB绕点O按顺时针方向旋转135°， A 在RtABCA中，BC=AC=2,AB=VBC2+AC2=V22+22=22, ..OB AB=22, :点4的坐标为(-22，-2V2),点B的坐标为0，-2V2), :AB的中点P的坐标为(-2，-22)， 当x=-√2时， y=2+2x回=-125*-25. :点P不在此抛物线上。 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、图形 的旋转、二次函数上点的坐标特点，勾股定理，解题的关键是能够画出旋转后的图形，求出 A、B的坐标，从而得到中点坐标代入抛物线进行验证， 6.(1)y= ②证明见解新：PA-号.化的设大值为名 AM ③d6成a或a碳65多 【分析】(1)将A(-2,0)、B6,0)、C(0,-3)代入y=ax2+bx+c即可求解析式： (2)由PE∥AD,可得△ADMPEM， 祝侣剥求E的最大值即可： AF (3)PB,-15,D点在1上，则D3,,C0,-3),B6,0),勾股定理求得DC,BC,DB,分三 种情况讨论，勾股定理即可求解. 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：将点A(-2,0)、B(6,0)、C(0,-3)代入y=ax2+bx+c, [4a-2b+c=0 得36a+6b+c=0,， c=-3 〔1 a=- 4 解得b=-1, c=-3 y=x2-x-3: 4 (2)如图， :PE∥AD, ∴△ADM∽△PEM, :MP PE AM AD' 设直线BC的解析式为y=c+d, 「6k+d=0 d=-31 d=-3 1 y=2-3, 设Pe-1-),则-3， PE=-3-+1+3=-+3, 2 4 21 A(-2,0), 答案第1页，共2页 .D-2,4), AD=4, 1+ 3 :.MP PE 4 1 2- 31 AM AD 4 2+1= 16816 -3)2+9, 16 :当t=3时， MP 9 AM 有最大值 6, B3, (3)P3-9,D点在1上，则D3, C0,-3),B(6,0), BC2=32+62=45,CD2=32+(t+3)=t2+6t+18,BD2=32+2=2+9 当BC为斜边时，45=t2+9+t2+6t+18, 解得：1=353或1=353 22 22 Dg,35_高或D3.-35-3 22 22: 当CD为斜边时，t2+6t+18=t2+9+45, 解得：t=6; D(3,6), 当BD为斜边时，t2+9=45+t2+6t+18, 解得：t=-9; D(3,-9), 综上所述：ABCD是直角三角形时，D点坐标为6,0)或3，-9)或B,5或)5-} 2 2 【点晴】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将 的最大值问题转化为求F的最大值句题是解题的关键 MP AE 7.(1)y=-5x2+2x+6 号 (3)(4,6或5-17,317-5 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题、等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的 图象性质是解题的关键。 答案第1页，共2页 (1)利用待定系数法求解即可： (2)过点P作x轴的垂线，交AB于点D,求得直线AB的解析式为y=-x+6,设 P-+2+00+6,则PD1,进面将到S=-明+召.当 1=3时，SP有最大值，最大值为2， (3)延长PD交x轴于点H,若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE,由(2)知 PD=+31,根据抛物线的对称维为：=2得到PE=22-小或PE=2-2引，据此列方 程解答即可. 【详解】(1)解：将点B(6,0,点C(-2,0)代入y=ax2+bx+6得： 4a-2b+6=0 36a+6b+6=0 1 a=- 解得 2 b=2 因此，抛物线的解析式为y三一)2+2x+6 (2)解：过点P作x轴的垂线，交AB于点D, 将x=0代入y= 0x2+2x+6得y=6 则点A(0,6), 设直线AB的解析式为y=x+n, 将B6,0)、A(0,6代入y=kc+n得 6k+n=0 n=6 答案第1页，共2页 [k=-1 解得n=6 则直线AB的解析式为y=-x+6, 设P4-+2+6, D(t,-1+6, 则PD=-2+3, 此56x+3-+ 当1=3时，S有最大值，最大值为2 (3)解：存在点P使△PDE为等腰直角三角形，理由如下： 延长PD交x轴于点H,如图： PH⊥OB, B ∠DHB=∠AOB=90°， .DH‖AO, :0A=0B=6, :∠BDH=∠BA0=45°， :PE∥x轴、PD⊥x轴， ∠DPE=90°， 若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE, 由(2)知， 设P-+21+6,D16,且01<6，则PD=+, :抛物线的对称轴为直线x=2, .PE=2(2-t或PE=2(1-2, +3=22-4或-2+3=2-2. 解得t=5-7或t=5+√17（不合题意舍去）或t=4或1=-2（不合题意舍去）， 答案第1页，共2页 当1=4时，×4+2x4+6=6. 当=5-7时，5-阿列+2x5-可列+6=37-5， :点P的坐标为(4,6)或5-7,37-5. 8.(1)y=-x2-2x+3; 白当m-名ag (3)点P(-1,1或(-1-2)，点A'(0,3或(-3,0). 【分析】(1)把A1,0)代入y=axr2+bx+3,得a+b+3=0,由对称轴方程得 b=-1,联 2 a+b+3=0 立方程组-。。-1，解方程组可得出答案： 2a (2)点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为2m+6,点E(m,2m+6),由题意可知0C=3, OF=-m,EF=2m+6,根据面积公式及二次函数的性质可得出答案； (3)抛物线的对称轴为x=-1,当P点在x轴上方时，过点作AG⊥DH于G,证明 △APH≌aPA'G,则AH=2,求得P(-1,1;当P点在x轴下方时，△APA'为等腰直角三角形， 则P(-1,-2). 【详解】(1)解：把A1,0)代入y=ax2+bx+3,得a+b+3=0, 又对称轴是直线x=-1, =-1, [a+b+3=0 -b=-1 2a a=-1 解得： b=-21 y=-x2-2x+3; (2)解：对于y=-x2-2x+3,令x=0,得y=3, C(0,3: 当x=-1时，y=-(-1)2-2×(-1+3=4, 答案第1页，共2页 .D(-1,4, :A(1,0),对称轴是直线x=-1, B-3,0, 设直线BD的表达式为y=x+b, 3k+b=0 把B(-3,0),D(-1,4)代入解析式得 -k+b=41 [k=2 解得b=6 直线BD的表达式为：y=2x+6, 连接EC, :点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为2m+6,点E(m,2m+6), 由题意可知：0C=3,0F=-m,EF=2m+6, -100FF0Fm 21 9 :-1<0,点E在线段BD上，-3<m=- <-1, 4 ·当m=9 时，S最大值16 81 (3)解：抛物线对称轴与x轴交于H,过A作A'G⊥DH于G, :PA'=PA,∠APA'=90°， .∠A'PG+∠APH=90°，∠A'PG+∠PA'G=90°， .LAPH=∠PA'G 在APH和△PA'G中， 答案第1页，共2页 ∠HPA=∠GA'P ∠PHA=∠A'GP, AP=PA' △APH≌△PA'GAAS), .AH=PG,PH=A'G, :A(1,0),对称轴x=-1,H(-1,0 .AH=2, 设PH=m, 点A'-1+m,2+m, :点A'(-1+m,2+m)在抛物线y=-x2-2x+3上， 2+m=--1+m)-2(-1+m+3, 整理得m2+m-2=0, 解得m=-2或m=1, 当m=1,P(-1,1,点A'(0,3)与点C重合，在抛物线上，满足条件， 当m=-2,P(-1,-2),点'(-3,0)与点B重合，在抛物线上，满足条件， 点P(-1,1或(-1，-2)，点A'0,3或(-3,0). 9.(1)y=-x2+2x+3 (2)△BCD是直角三角形 27 ()aBCE面积的最大值名，此时点E的坐标为 315 24 【分析】(1)把解析式设为顶点式，求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； (2)求出点B的坐标，可证明CD+BC2=BD,据此可得结论： 答案第1页，共2页 (3)过点E作EF∥y轴交BC于点F,求出直线BC的表达式为y=-x+3;设 Em,-m2+2m+3,则F(m,-m+3),则EF=-m2+3m,可求出 S.WCE=S.CEF+S.WEF= 3m-3+27,据此根据二次函数的性质求解即可. m- 2 8 【详解】(1)解：设抛物线的表达式为y=a(x-1)+4(a≠0)， :0C=3, C(0,3, .3=a(0-1)2+4, .a=-1, .抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3; (2)解：在y=-(x-1)2+4中，当y=0时，-(x-12+4=0, 解得x=-1或x=3, .A-1,0,B3,0: C(0,3,D(1,4, .CD2=(1-0)2+4-32=2,BD2=(3-1)2+(0-4)2=20, BC2=(3-0)2+(0-3)=18, .CD2+BC2 BD2, △BCD是直角三角形； (3)解：如图所示，过点E作EF∥y轴交BC于点F, VA 答案第1页，共2页 设直线BC的表达式为y=k红+b(k≠0)，则6=3， ,3k+b=0 k=-1 b=3' .直线BC的表达式为y=-x+3; 设Em,-m2+2m+3),则F(m,-m+3), EF=-m2+2m+3--m+3=-m2+3m, ·SACE=SACEF+SNBEF -EF-(x-xc)+3EF-(x-x) 2 =IEF(xg-xc) =引w3a =-3m-3227 m-- 2 28 3 <0, 2 :当m=时，S有最大值，最大值为2马 8 则-m2+2m+3 3) +2x3+3=15,即此时点E的坐标为 3 315 2 4 2’4 10.(1)y=-x2+2x+3 9 4 ⑧存在，成e的s为号)1号2）2--》 【分析】(1)运用待定系数法求解即可； (2)由点B,C坐标求出直线BC解析式，设点P坐标为x,-x2+2x+3,则E(x,-x+3, 求出PE的关系式，运用二次函数的性质可得结论. 答案第1页，共2页 8》求出函数图象对称轴为：=1，设QLm,课出E[》,8E,80,QE,分三种 情况列方程求解即可. 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点， 抛物线的解析式为y=-(x+1)x-3)=-x2+2x+3; (2)解：设直线BC的解析式为y=c+b, 将点B30、C0,3到代入，得6=3 3k+b=0 ，解得 k=-1 b=3 .直线BC的解析式为y=-x+3, 设点P坐标为x,-x2+2x+3,则E(x,-x+3), E423+= .-1<0, :当x=时，PE有最大值，最大值为 (3)解：：y=-x2+2x+3=-(x-12+4 .抛物线的对称轴为直线x=1, :当x=3时，PE有最大值， 2 层引 设点的坐标为(1，m, :83、6引 E--o9 BQ2=(3-1)2+(0-m2=4+m2: 答案第1页，共2页 0--a=m-m+ 当BQ=BE即BQ=BE2时，4+m2= 2,即m2=1 解得m= 2 点Q的坐标为 当QE=BE即QE2=BE2时，m2-3m+ 59 221 解得m 3+7或m,= 3-7 2 2 点Q的坐标为 4 当QE=BQ即QE2=BQ时，m2-3m+ =4+m2, 解得 :点0的生标为-引 综上达意@生标为吗)93）3- 11.(1)y=x2-2x-3 (2)证明见解析 (3)30 【分析】(1)利用待定系数法解答即可求解； (2)求出点C坐标，再根据两点间距离公式求出BD、CD、BC的长度，进而根据勾股定 理的逆定理及等腰直角三角形的定义即可求证； (3)如图，延长BD至B,使B'D=BD,在CB上取CE=CD=√O,连接 B'C、B'E、B'W、EN,由线段垂直平分线的性质得BN=B'N,B'C=BC=2V5,证明 △ECN≌△BDM(SAS)得EN=DM,即得BN+DM=B'N+EN≥B'E,又由等腰三角形的性 质可得∠B'CD=LBCD=45°，即得LB'CB=90°，利用勾股定理得 B'E=√B'C2+CE2=√30，进而即可求解。 答案第1页，共2页 【详解】(1)解：把A(-1,0),B(3,0代入y=x2+bx+c得， 1-b+c=0 9+3b+c=0’ 「b=-2 解得c=3 .二次函数表达式为y=x2-2x-3; (2)解：：y=x2-2x-3=(x-1)-4, .C1,-4, B(3,0,D(0,-1, BD=V3-0)2+(0-12=10,CD=V0-2+(-1+42=0, BC=V3-1)2+(0+4)2=2W5, :BD=CD, BD2+CD2 BC2, .∠BDC=90°， ·.△BDC是等腰直角三角形； (3)解：如图，延长BD至B,使B'D=BD,在CB上取CE=CD=√IO,连接 B'C、B'E、B'W、EN, B B' 图2 :B'D=BD,CD⊥BB', .CD是BB'的垂直平分线， 答案第1页，共2页 .BN B'N B'C=BC=25, CE=CD,BD=CD, .CE BD .BM DN =CD CN+DN=CD .CN =BM, △BDC是等腰直角三角形， .∠ECN=∠BDM=45°， .△ECWN≌△BDM(SAS), .EN DM .BN +D M B'N EN 2 B'E :B'C=BC,CD⊥BB', .∠B'CD=∠BCD=45°， LB'CB=90°， 即∠B'CE=90°， B'E=BC+CE=25)+(10)=30 .BN+DM≥V30, BN+DM的最小值为√30. 【点晴】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，等腰直角三角形 的判定和性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质， 三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键. 12.(1)y=-x2+4x-3 (2)见解析 (3)1±√7 【分析】(1)把点(3,0)和点(1,0)代入解析式，确定b、c的值即可. (2)利用等腰直角三角形的底角是45°，计算即可 (3)设点P(n,-n2+4n-3),当n>0时，过点P作PG⊥x轴，垂足为G,过点C作CN ⊥y轴，交直线PG于点N,过点P作PM⊥y轴，垂足为点M,根据对称性的性质，运用 答案第1页，共2页 45°角传递，证明△CNP≌△CM,表示出点的坐标(-n2+4n,n-3),根据点D（2,1) 确定直线D0的解析式y=,把点B的坐标代入求解即可：当n<0时，过点P作PGLy 轴，垂足为G,过点P作PH⊥x轴，垂足为点H,过点C作CQ⊥PH于点Q,根据对称性 的性质，运用45°角传递，证明△CGP≌△CQP,表示出点？的坐标(-n2+4n,n-3),根 据点D(2,1)确定直线D0的解析式y=)x,把点B的坐标代入求解即可. 【详解】(1)将(3,0)，(1,0)代入y=-x2+bx+c得 -9+3b+c=0 -1+b+c=0’ b=4 解得c=3 .y=-x2+4x-3. (2)证明：由(1)抛物线为y=-x2+4x-3, 令x0得y=3 .C(0,-3) 由y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, .D(2,1) A(3,0),B(1,0) ,△ADE、△AOC都是等腰直角三角形 ·∠DAE=45°，∠OAC=45° .∠DAC=∠DAE+∠OAC=90° .△ACD是直角三角形， (3)设点P(n,-n2+4n-3),当n>0时，过点P作PG⊥x轴，垂足为G,过点C作CN ⊥y轴，交直线PG于点N,过点P作PMy轴，垂足为点M, 答案第1页，共2页 根据对称性的性质，得CP=CP,∠ACP=∠ACP,根据(1)，得∠OCA=45°， .∠ACN=45°， .45°-∠ACP=45°-∠ACP, 即∠NCP-∠MCP, .△CNP≌△CMP, NP=MP=-n2+4n-3-(-3)=-n2+4n,CM=CN=n, .MO=n-3, 点P的坐标（-n2+4n,n-3), 根据点D(2,1) :直线D0的解析式)=方，把aR的坐标代入得 1 -n+4n=2a-3刃， 解得n=1+√7，n=1-√万（舍去）： 当n<0时，过点P作PG⊥y轴，垂足为G,过点B作PH⊥x轴，垂足为点H,过点C作 CQLPH于点Q, 答案第1页，共2页 G -10 R P 12G 同理证明△CGP≌△CQP, 点P的坐标(-n2+4n,n-3), 根据点D(2,1) 直线D0的解析式y=方，把点P的坐标代入得 -+-动 解得n=1-√7，n=1+√7（舍去）： 故P的横坐标为1-√7或1+√7. 【点晴】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，直角三角形的判定，轴对称的性质， 三角形全等的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，抛物线的性质，对 称的性质是解题的关键。 13.(1)y=(x-2)2-6 (2)4,-2)或5,3) (3)证明见解析 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数的平移，二次函数与等腰直角三角形，二次 答案第1页，共2页 函数与直线交点问题： (1)先求出平移后C:y=a(x-2)2-6,再求出C与x轴交于A、B两点的坐标，最后根据 列方程求解即可； (2)设C(s,s2-4s-2),D(2,,s>2,过C作CM⊥x轴于M,CN⊥1于N,证明 △OCM≌△DCN(AAS),得到CM=CN,据此列方程求解即可； (3)先求出平移后解析式y=ax2-m,再根据经过点Q的直线4：y=kx+b交C,于E、F 两点，联立 y=ax2-m 整理得ax2-kx-m-b=0, 则xe+x=,根据M为EF的中点， y=kx+b 求出M k足+b 同理可得N k2经+b 设直线MN的解析式为y=kx+b,代入 2a’2a 2a'2a [k3=k+k2 后解得 =b-k则P0,b- 即可得到MP_kV+(k+k ,再由 2a 2a PO -k k2 名-k=3,+k, 得到(k+k2)=4k,2-1,代入化简即可. 【详解】(1)解：将抛物线C。:y=a(x-2)'向下平移6个单位长度得到抛物线 C:y=a(x-2)2-6, 6 当y=ax-22-6=0时，解得x=2±V后 :G与x轴交于A、B两点， -+ 解得a=1, ∴此时C的解析式为y=(x-2)2-6; (2)解：在(1)的条件下，C的解析式为y=(x-2)2-6=x2-4x-2,对称轴为直线 x=2, 答案第1页，共2页 :点C在C对称轴1右侧的抛物线上，点D在对称轴1上， 设Cs,s2-4s-2,D(2,1,s>2, :△OCD是以OD为斜边的等腰直角三角形， .∠0CD=90°，0C=CD, 当C在x轴下方时，过C作CM⊥x轴于M,CN⊥1于N,则CN=s-2, CM=-s2+4s+2,0M=S,DN=s2-4s-2-t, B D ∠0MC=∠CND=∠0CD=90°， .∠0CM=∠NCD=90°-∠0CN, aOCM≌ADCN(AAS), .CM CN S-2=-s2+4s+2,解得s=4或s=-1(舍去)， .s2-4s-2=42-4×4-2=-2, .C(4,-2); 当C在x轴上方时，过C作CM⊥x轴于M,CN⊥1于N,则CN=s-2,CM=s2-4s-2 答案第1页，共2页 D ! 同理可得aOCM≌aDCN(AAS), .CM CN, s-2=s2-4s-2,解得s=5或s=0（舍去)， .s2-4s-2=52-4×5-2=3, .C(5,3: 综上所述，△0CD是以0D为斜边的等腰直角三角形，点C的坐标为(4，-2)或(5,3)： （3)证明：将抛物线C。:y=a(x-2)2向左平移2个单位，再向下平移m个单位得到抛物线 C2:y=a(x-2+2)2-m,即y=ax2-m, :经过点Q的直线l:y=kx+b交C,于E、F两点， =x+b,整理得ar2-x-m-b=0, y=ax2-m Q(0,b),联立 心+= a :M为EF的中点， w+里=之 2 .yu=kw +b=k k+b= 足+b 2a 2a :.M (k足+b, 2a'2a 同理可得N k2经+b 2a'2a 答案第1页，共2页 由图可得k2<0,k>0, 设直线MN的解析式为y=kx+b, (+b=k k+by (ks =k+k2 2a 2a ，解得 经+b=k2 2a 2+by 6=b-6, 2a ·P0,b-k） 2a k .MP 、2aJ 2a 2a k+(k+6, PO b-kik2-b -kk2 2a :k2-k=3k,+k .k2-k)(3k2+k)=1, 整理得3k,2-2kk2-k2=1, .(k+k2)2=4k32-1, 1+(k+k)2-1+4h32-1=-2k, :02%1-2. po -k k2 PO为定值. M 14.(1)证明见解析：(2)点M的坐标为-4，-3到：(3)m的值为0，-1+5，1-V5 2 2 1+51-√5 2 2 【分析】(1)利用配方法得到y=(x-m+m-1,点P(m,m-1,然后根据一次函数图象上 点的坐标特征判断点P在直线1上； （2)当m=-3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5,根据抛物线与x轴的交点问题求出 A-5,0),易得C(0,5),通过解方程组 y=+6r+5,得P叫-34，Q-23,作ME1y y=x-1 轴于E,PF⊥x轴于F,QG⊥x轴于G,如图，证明RIACME~RtAPAF,利用相似得 答案第1页，共2页 -E,设M8+6x+,则，6，得=0（舍去，54，于是得到 2 4 点M的坐标为-4，-3)； (3)通过解方程组 y=x-2mr+m+m-得P(m,m-1,Q(m+1,m),利用两点间的距 y=x-1 离公式得到PQ=2,0Q2=2m2-2m+1,然后分类讨论：当PQ=OQ时，2m2+2m+1=2 ；当PQ=OP时，2m2-2m+1=2;当OP=O0时，2m2+2m+1=2m2-2m+1,再分别解 关于m的方程求出m即可 【详解】(1证明：：y=x2-2mx+m2+m-1=(x-m)2+m-1, .点P的坐标为m,m-1, 当x=m时，y=x-1=m-1, 点P在直线1上； (2)解：当m=-3时，抛物线解析式为y=x2+6x+5, 当y=0时，x2+6x+5=0,解得x=-1,x2=-5,则A-5,0), 当x=0时，y=x2+6x+5=5,则C(0,5), y=x2+6x+5 x=-3w「x=-2 可得解方程组 y=x-1，解得 ,或 y=-4y=-31 则P(-3,-4),0(-2,-3), 作ME⊥y轴于E,PF⊥x轴于F,OG⊥x轴于G,如图， :0A=0C=5, .aOAC为等腰直角三角形， .∠AC0=45°， .∠MCE=45°-∠ACM, :QG=3,0G=2, 答案第1页，共2页 AG=0A-0G=3=0G, .△AQG为等腰直角三角形， .∠0AG=45°， :∠APF=90°-∠PAF=90°-∠PAQ+45)=45-∠PA9, :∠ACM=∠PAQ, .LAPF=∠MCE, .RtACME RtAPAF, ME CE AF PF' 设Mx,x2+6x+5, .ME=-x,CE=5-x2+6x+5=-x2-6x, x=x2-6x 2 4 整理得x2+4x=0,解得x=0（舍去)，x2=-4, 点M的坐标为-4，-3； x=m+1 (3解：解方程组 y=x2-2mx+m2+m- 得m 或 (y=m-1 则P(m,m-1, y=x-1 y=m Q(m+1,m, .PQ2=(m+1-m)2+(m-m+1)2=2,002=(m+1)2+m2=2m2+2m+1, 0P2=m2+(m-1)2=2m2-2m+1, 当P0=00时，2m2+2m+1=2,解得m=-1+5,m, -1-5 2 -，m2= 2 当PQ=OP时，2m2-2m+1=2,解得m= 1+51-V5 2 当0P=O2时，2m2+2m+1=2m2-2m+1,解得m=0, 综上所述，m的值为0,1+5，-1-5,1+5.1-V3 2 2 2 2 【点晴】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象和一次函数图象上的点的坐 标特征、二次函数的性质，会求抛物线与直线的交点坐标；理解坐标与图形性质，会利用两 点间的距离公式计算线段的长；会运用相似比计算线段的长；能运用分类讨论的思想解决数 答案第1页，共2页 学问题 15.①)y=- -x+6 @g9 (3)FM+MN=2OE,FM+20E=MN.证明见解析 【分析】(1)用待定系数法求出二次函数关系式即可； (2)连接CD,设AP与y轴交点为Q,证明△DCAD△QCA(ASA,求得点Q的坐标，再 求出直线AP的函数关系式，再与二次函数联立方程，求出点P的坐标； (3)先证明△BOE-△BNT,得OB-OE 求得20E=NP,再分两种情况进行讨论进行 NB Ne 求解即可 【详解】(1)：二次函数y=ax2+bx+6的图象过点A-6,0)、点B(2,0), .0=36a-6b+6,0=4a+2b+6, 翻9a=方6=2 :抛物线的解折式为y=-2+6。 (2)如图1，连接CD,设AP与y轴交点为Q. M A 0 B 图1 :抛物线与y轴交于点C, .C(0,6 :点D与点C关于直线MW对称，直线N是抛物线的对称轴. .D(-4,6,M(-2,8,N(-2,0,CD∥AB. :C(0,6),A-6,0), .A0=C0,CD=4. 答案第1页，共2页 LBAC=∠AC0=45°. .∠QCA=∠DCA. :∠CAD=∠CAQ,AC=AC, .△DCAD△QCA(ASA. .Co=CD=4. 0(0,2）. :直线AP的解析式为y=3x+2. 点P为直线4P与揽物线的交点，令，x+2=-2-2x+6 2 解得x=4或：-6《舍去》 3 》 (3).∠BOE=∠BNF=90°，∠OBE=∠NBF, .△BOE-△BNF. .OB OE NB NF :OB=2,BN=4, OE 1 即2OE=NF. 分类讨论： ①如图2，此时FN=FM+MN. F M NO B 图2 .FM MN =20E. ②如图3，此时FN+FM=MN. 答案第1页，共2页 .FM +20E MN. 个y M P F E A N B 图3 【点晴】本题综合性的考查了用待定系数法求抛物线的解析式、等腰三角形的判定和性质、 相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及全等三角形的判定和性质，题目的综合性很 强.难度很大，对学生的解题能力要求较高. 答案第1页，共2页